द्विघात समीकरण

This article is about algebraic equations of degree two and their solutions. For the formula used to find solutions to such equations, see Quadratic formula. For functions defined by polynomials of degree two, see Quadratic function.

File:Quadratic formula.svg

द्विघात सूत्र

बीजगणित में, द्विघात समीकरण (लैटिन क्वाड्रैटस 'वर्ग') एक ऐसा मानक समीकरण है जिसे पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$ax^{2}+bx+c=0$$

जहाँ x एक अज्ञात को दर्शाता है,और a, b तथा c ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं,जहां a ≠ 0. यदि a = 0 है तो समीकरण रैखिक है,द्विघात नहीं है क्योंकि कोई $ax^{2}$ टर्म नहीं है। संख्या a, b तथा c समीकरण के गुणांक हैं और उन्हें क्रमशः द्विघात गुणांक,रैखिक गुणांक और स्थिरांक कहकर अलग किया जा सकता है।

x का मान जो समीकरण को पूरा करते हैं, समीकरण का हल और इसके बायीं ओर व्यंजक के मूल या शून्य कहलाते हैं। एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो हल होते हैं। यदि केवल एक ही हल है, तो इसे डबल रूट कहता है। यदि सभी गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो दो वास्तविक हल हैं, या एक वास्तविक दोहरा मूल, या दो जटिल हल हैं। एक द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं, यदि मिश्रित मूल को शामिल किया जाए,तो एक डबल रूट दो के लिए गिना जाता है। एक द्विघात समीकरण को एक समान समीकरण में विभाजित किया जा सकता है

$$ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$$

जहाँ x के हल r और s हैं।

द्विघात सूत्र

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$$

a, b तथा c टर्म समाधान को व्यक्त करता है।कई तरीकों से वर्ग को पूरा किया जाता है।

2000 ईसा पूर्व से द्विघात समीकरणों को समस्याओं के समाधान के रूप में जाना जाता था।

इसे अविभाज्य कहा जाता है क्योंकि द्विघात समीकरण में केवल एक अज्ञात होता है।द्विघात समीकरण में केवल x की घात होती हैं जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और इसलिए यह एक बहुपद समीकरण है।विशेष रूप से, यह दूसरी मात्रा बहुपद समीकरण है क्योंकि सबसे बड़ी घात दो है।

द्विघात समीकरण को हल करना

igure 1. द्विघात फलन के प्लॉट y = ax² + bx + c, प्रत्येक गुणांक को अलग-अलग बदलते हैं जबकि अन्य गुणांक स्थिर होते हैं (मान a = 1, b = 0, c = 0)

वास्तविक या जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरण के दो हल होते हैं,जिन्हें मूल कहते हैं।इनके दो हल भिन्न और वास्तविक हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं।

निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग

द्विघात समीकरण को व्यक्त करना संभव हो सकता है ax² + bx + c = 0 एक उत्पाद के रूप में (px + q)(rx + s) = 0. कुछ मामलों में,सरल निरीक्षण द्वारा, p, q, r, और s के मानों को निर्धारित करना संभव है जो दो रूपों को एक दूसरे के बराबर बनाते हैं।यदि द्विघात समीकरण को px + q = 0 या rx + s = 0 रूप में लिखा जाता है तो "शून्य गुणनफल" बताता है कि द्विघात समीकरण ठीकहै।इन दो रैखिक समीकरणों को हल करने से द्विघात के मूल प्राप्त होते हैं।

अधिकांश छात्रों के लिए,निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग द्विघात समीकरणों को हल करने का पहला तरीका है।यदि किसी को दो संख्याएँ q और s ज्ञात करनी होती हैं और द्विघात समीकरण के रूप में दिया जाता है x² + bx + c = 0,माने गए गुणनखंड का रूप है(x + q)(x + s) जिनका योग b होता है,और जिसका उत्पाद है c (इसे कभी-कभी विएटा का नियम (Vieta's rule) कहा जाता हैऔर यह विएटा के सूत्रों से संबंधित है)। उदाहरण के तौर पे, x² + 5x + 6 कारक के रूप में (x + 3)(x + 2). सामान्य प्रश्न जहां a 1 के बराबर नही हैं,परीक्षण और त्रुटि अनुमान-और-जांच में काफी प्रयास की आवश्यकता हो सकती है,यह मानते हुए कि निरीक्षण द्वारा इसे भी शामिल किया जा सकता है।

विशेष प्रश्न को छोड़कर,जैसे कि b = 0 या c = 0,जहां निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग केवल परिमेय मूल वाले द्विघात समीकरणों के लिए काम करता है।इसका मतलब यह है कि आभ्यासिक अनुप्रयोगों में द्विघात समीकरणों का बड़ा हिस्सा निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग से हल नहीं किया जा सकता है।

वर्ग को पूरा करना

figure 2. द्विघात फलन के लिए y = x² - x - 2, वे बिंदु जहां ग्राफ़ x-अक्ष को पार करता है, x = −1 और x = 2, द्विघात समीकरण के हल हैं x² − एक्स -2 = 0।

वर्ग को पूरा करने की प्रक्रिया बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करती है:

$x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},$

जो सुपरिभाषित एल्गोरिथम (algorithm) का प्रतिनिधित्व करता है जिसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।मानक रूप में द्विघात समीकरण से शुरू करते हुए, ax² + bx + c = 0

1. प्रत्येक भुजा को वर्ग पद के गुणांक a से विभाजित करें ।
2. दोनों भुजा से c/a अचर पद घटातेे है।
3. दोनों भुजा में b/a के आधे का वर्ग, x का गुणांक जोड़ें। बाईं भुजा को एक पूर्ण वर्ग में परिवर्तित कर,यह वर्ग को पूरा करता है ।
4. यदि आवश्यक हो तो दाईं भुजा को सरल कर,बाईं भुजा को एक वर्ग के रूप में लिखें।
5. बाईं भुजा के वर्गमूल को दाईं भुजा के धनात्मक और ऋणात्मक वर्गमूल से बराबर करके दो रैखिक समीकरण तैयार करें।
6. दो रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक को हल करें।

हम 2x² + 4x - 4 = 0 को हल करके इस एल्गोरिथम (algorithm) के उपयोग का वर्णन करते हैं:

$1)\ x^{2}+2x-2=0$

$2)\ x^{2}+2x=2$

$3)\ x^{2}+2x+1=2+1$

$4)\ \left(x+1\right)^{2}=3$

$5)\ x+1=\pm {\sqrt {3}}$

$6)\ x=-1\pm {\sqrt {3}}$

धन-ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि दोनों x = −1 + √3 और x = -1 - √3 द्विघात समीकरण के समाधान हैं।

द्विघात सूत्र और उसकी व्युत्पत्ति

Main article: Quadratic formula

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करके एक सामान्य सूत्र प्राप्त किया जा सकता है,जिसे द्विघात सूत्र कहते है।गणितीय प्रमाण को अब संक्षेप में प्रस्तुत किया जाएगा। बहुपद विस्तार द्वारा यह आसानी से देखा जा सकता है कि निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण के बराबर है:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$

x को पृथक कर दोनों भुजा का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

विशेष रूप से पुराने वाले स्त्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक मापदंडों का उपयोग करते हैं जैसे कि ax² + 2bx + c = 0 या ax² - 2bx + c = 0 जहाँ विपरीत चिन्ह के साथ b का परिमाण सामान्य का आधा है। ये समाधान के लिए थोड़े अलग रूपों में परिणत होते हैं,लेकिन बराबर होते हैं।

कई वैकल्पिक व्युत्पत्तियां साहित्य में पाई जा सकती हैं।ये वर्ग विधि को पूरा करने वाले मानक की तुलना में सरल हैं, बीजगणित में उपयोग की जाने वाली अन्य तकनीकों के दिलचस्प अनुप्रयोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं और गणित के अन्य क्षेत्रों में पूरा ज्ञान प्रदान करते हैं।

एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र,समीकरण के माध्यम से समान मूल प्रदान करता है,जैसा कि मुलर की विधि(Muller's method)में प्रयोग किया जाता है,

$x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.$ इसे वियत के सूत्रों(Vieta's formulas)द्वारा मानक द्विघात सूत्र से निकाला जा सकता है, जो यह दिखाता है कि मूल का गुणनफल c/a है।

इस विधि का एक गुण यह है कि यह एक वैध मूल देता है क्योंकि जब एक मूल a = 0 होता है तो द्विघात समीकरण एक रैखिक समीकरण बन जाता है जबकि दूसरे मूल में शून्य से विभाजन होता है।इसके विपरीत सामान्य सूत्र में एक मूल के लिए शून्य से विभाजन होता है और दूसरे मूल के लिए 0/0 विधि।दूसरी ओर,जब c = 0 होता है,तब सामान्य सूत्र से दो सही मूल प्राप्त होते हैं जो इस प्रकार है: शून्य मूल और अनिश्चित मूल 0/0।

घटा हुआ द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण को संक्षिप्त करना कभी-कभी सुविधाजनक होता है ताकि इसका प्रमुख गुणांक एक हो।क्योंकि a गैर-शून्य है इसलिए हमेशा दोनों पक्षों को a से विभाजित करके किया जाता है। यह घटा हुआ गुणनफल द्विघात समीकरण है:

$x^{2}+px+q=0,$

जहां p = b/a और q = c/a हैं।यह मोनिक बहुपद समीकरण के मूल समाधान के समान है।

घटे हुए द्विघात समीकरण को हल करने लिए द्विघात सूत्र को गुणांकों के रूप में लिखा गया है:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right),$

या समकक्ष:

$x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

भेदभावपूर्ण

File:Quadratic eq discriminant.svg

चित्र 3. भेदभावपूर्ण संकेत

द्विघात सूत्र में,वर्गमूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को द्विघात समीकरण का विभेदक कहा जाता है और इसे अक्सर अपर केस D या अपर केस ग्रीक डेल्टा (Greek delta) का उपयोग करके दर्शाया जाता है:

$\Delta =b^{2}-4ac.$

वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण में एक या दो भिन्न वास्तविक मूल या जटिल मूल हो सकते हैं।विभेदक मूल की संख्या और प्रकृति को निर्धारित करता है। इसके तीन कारण हैं:

• यदि विभेदक धनात्मक है,तो दो भिन्न मूल हैं,

${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},$

दोनों वास्तविक संख्याएँ हैं।परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरणों में,यदि विभेदक एक वर्ग संख्या है,तो मूल परिमेय होते हैं—अन्य कारणो में वे द्विघात अपरिमेय हो सकते हैं।

• यदि विभेदक शून्य है,तो वास्तव में एक वास्तविक मूल है

$-{\frac {b}{2a}},$

कभी-कभी पुनरावर्ती या दोहरा मूल कहा जाता है।

• यदि विभेदक ऋणात्मक है,तो कोई वास्तविक मूल नहीं है।बल्कि दो अलग(गैर-वास्तविक)मिश्रित मूल हैं।$-{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},$

जो एक दूसरे के मिश्रित संयुग्म हैं।इन व्यंजक में i काल्पनिक इकाई है।

इस प्रकार मूल अलग होती हैं यदि अगर विभेदक गैर-शून्य है और मूल वास्तविक हैं या विभेदक गैर-नकारात्मक है।

ज्यामितीय व्याख्या

File:Quadratic function graph key values.svg

फलन f(x) = ax2 + bx + c एक द्विघात फलन है।किसी भी द्विघात फलन के ग्राफ का आकार समान होता है, जिसे परवलय कहते हैं। परवलय का स्थान, आकार और यह कैसे खुलता है a, b तथा c के मानों पर निर्भर करता है। जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है,यदि a > 0 है तो परवलय का एक बिंदु न्यूनतम होता है और ऊपर की ओर खुलता है। यदि a < 0 है तो परवलय का बिंदु अधिकतम होता है और नीचे की ओर खुलता है। परवलय का आख़िरी बिंदु, चाहे वह न्यूनतम हो या अधिकतम, इसके शीर्ष से मेल खाता है। x-शीर्ष का निर्देशांक हैं $\scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}$ और y इस एक्स(x) वैल्यू को फलन में प्रतिस्थापित करके कोणबिंदु पा सकता है।y-अवरोधन बिंदु(0, c)पर स्थित है।

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के हल फलन f(x) = ax² + bx + c के मूल के अनुरूप हैं, क्योंकि वे x के मान हैं जिनके लिए f(x) = 0 हैं। जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है, यदि a, b, तथा c वास्तविक संख्याएँ हैं और f का डोमेन(domain)वास्तविक संख्याओं का सेट है,तो f के मूल वास्तव में उन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जहां ग्राफ एक्स-एक्सिस(x-axis)को छूता है। जैसा कि चित्र 3 में दिखाया गया है, यदि विभेदक धनात्मक है तो ग्राफ दो बिंदुओं पर एक्स-एक्सिस को छूता है| यदि शून्य है, तो ग्राफ एक बिंदु पर छूता है और यदि ऋणात्मक है तो ग्राफ एक्स-एक्सिस को नहीं छूता है।

File:Quadratic function graph complex roots.svg

द्विघात गुणनखंड

पद

$x-r$

बहुपद का एक गुणनखंड है

$ax^{2}+bx+c$

और केवल r द्विघात समीकरण का मूल है

$ax^{2}+bx+c=0.$

यह द्विघात सूत्र से निम्नानुसार है कि

$ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).$

विशेष मामले में b² = 4ac जहां द्विघात का एक अलग मूल है (अर्थात विभेदक शून्य है), द्विघात बहुपद को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है

$ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.$

ग्राफिकल हल

File:Graphical calculation of root of quadratic equation.png

figure 4. द्विघात समीकरण 2x² + 4x − 4 = 0 के दो मूलों में से एक का रेखांकन कैलकुलेटर गणना। हालांकि प्रदर्शन सटीकता के केवल पांच महत्वपूर्ण आंकड़े दिखाता है, xc का पुनर्प्राप्त मूल्य 0.732050807569 है, जो बारह के लिए सटीक है

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वास्तविक मूल के बिना द्विघात फलन: y = (x - 5)² + 9। 3 x-अवरोधन का काल्पनिक भाग है। वास्तविक भाग शीर्ष का x-निर्देशांक है। इस प्रकार जड़ें हैं

द्विघात समीकरण के हल

$ax^{2}+bx+c=0$

द्विघात फलन के ग्राफ से निकाला जा सकता है

$y=ax^{2}+bx+c,$

जो एक परवलय है।

यदि परवलय दो बिंदुओं में एक्स-एक्सिस को काटता है तो दो वास्तविक मूल होते हैं,जो इन दो बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं(जिन्हें x-अवरोधन भी कहा जाता है)।

यदि परवलय एक्स-एक्सिस(x-axis)के लिए स्पर्शरेखा है,तो एक दोहरा मूल है, जो ग्राफ और परवलय के बीच संपर्क बिंदु का x-निर्देशांक है।

यदि परवलय एक्स-एक्सिस (x-axis)को नहीं काटता है तो दो मिश्रित संयुग्म मूल होते हैं। हालांकि इन मूल को ग्राफ पर नहीं देखा जा सकता है लेकिन इनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से हो सकते हैं।

मान लें कि h और k परवलय के शीर्ष के क्रमशः x-निर्देशांक और y-निर्देशांक हैं (जो कि अधिकतम या न्यूनतम y-निर्देशांक वाला बिंदु है)। द्विघात फलन को फिर से लिखा जा सकता है

$y=a(x-h)^{2}+k.$

मान लीजिए d परवलय की धुरी पर y-निर्देशांक 2k के बीच की दूरी है और समान y-निर्देशांक वाले परवलय पर एक बिंदु है(आकृति देखिए, परवलय की समरूपता के कारण दो ऐसे बिंदु हैं, जो समान दूरी देते हैं)।तब मूल का वास्तविक भाग h होता है और उनका काल्पनिक भाग ±d होता हैं। यानी मूल हैं

$h+id\quad {\text{and}}\quad x-id,$

या आकृति के उदाहरण के मामले में

$5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.$

महत्व के नुकसान से बचना

हालांकि द्विघात सूत्र एक सटीक समाधान प्रदान करता है,परिणाम सटीक नहीं है यदि गणना के दौरान वास्तविक संख्याओं का अनुमान लगाया जाता है, हमेशा की तरह संख्यात्मक विश्लेषण में,जहां वास्तविक संख्याओं को फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों (कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में वास्तविक ("reals") कहा जाता है) द्वारा अनुमानित किया जाता है। इस संदर्भ में द्विघात सूत्र पूरी तरह से स्थिर नहीं है।

यह तब होता है जब मूलो में परिमाण का अलग-अलग क्रम होता है या समान रूप से जब b2 और b2 - 4ac परिमाण में करीब होते हैं।इस मामले में,लगभग दो समान संख्याओं के घटाव से छोटे मूल में महत्व याआपाती

रद्द हो जाएगा।इससे बचने के लिए मूल जो परिमाण में छोटा होता है r की गणना $(c/a)/R$ के रूप में की जा सकती है,जहां R वह मूल है जो परिमाण में बड़ा है।

रद्दीकरण का दूसरा रूप विभेदक के पदों b² और 4ac के बीच हो सकता है अर्थात जब दो मूल बहुत करीब हों। इससे मूलो में आधे सही महत्वपूर्ण आंकड़ों का नुकसान हो सकता है।

उदाहरण और अनुप्रयोग

File:La Jolla Cove cliff diving - 02.jpg

वह चट्टान जम्पर का प्रक्षेपवक्र परवलयिक है क्योंकि क्षैतिज विस्थापन समय का एक रैखिक कार्य है $x=v_{x}t$, जबकि ऊर्ध्वाधर विस्थापन समय का एक द्विघात फलन है $y={\tfrac {1}{2}}^{2}+v_{y}t+h$ पर। परिणामस्वरूप, पथ द्विघात समीकरण $y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h$ का अनुसरण करता है, जहां Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "औ" found.in 1:28"): {\displaystyle v_x< /math> और <math>v_y} मूल वेग के क्षैतिज और लंबवत घटक हैं, a गुरुत्वाकर्षण त्वरण है और h मूल ऊंचाई है। a मान को यहां ऋणात्मक माना जाना चाहिए, क्योंकि इसकी दिशा (नीचे की ओर) h के विपरीत है।

स्वर्णिम अनुपात( golden ratio) $x^{2}-x-1=0.$ द्विघात समीकरण के धनात्मक हल के रूप में पाया जाता है।वृत्त और अन्य शंकु वर्गों के समीकरण- दीर्घवृत्त,परवलय और अतिपरवलय दो चरों में द्विघात समीकरण हैं।

किसी कोण की कोज्या(cosine)या चिहन को देखते हुए,आधे बड़े कोण की कोज्या या चिहन द्विघात समीकरण के द्वारा हल कर सकते है।

एक व्यंजक के वर्गमूल को सरल बनाने की प्रक्रिया में किसी अन्य व्यंजक के वर्गमूल और एक द्विघात समीकरण के दो हल खोजना शामिल है।

डेसकार्टेस के प्रमेय(Descartes' theorem)में कहा गया है कि प्रत्येक चार बिंदु(परस्पर स्पर्शरेखा)वृत्त के लिए,उनकी त्रिज्या एक विशेष द्विघात समीकरण को पूरा करती है।

फ्यूस के प्रमेय(Fuss' theorem)द्वारा दिए गए समीकरण में एक द्विकेन्द्रीय चतुर्भुज की त्रिज्या,परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या और उन वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को एक द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसके लिए उनकी त्रिज्या में दो वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी एक समाधान है। प्रासंगिक त्रिज्या के संदर्भ में समान समीकरण का दूसरा समाधान परिबद्ध वृत्त के केंद्र और एक पूर्व स्पर्शरेखा चतुर्भुज के वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी देता है।

एक द्विघात समीकरण को हल करके एक क्यूबिक फलन के महत्वपूर्ण बिंदु और एक क्वार्टिक फलन के विभक्ति बिंदु पाए जाते हैं।

इतिहास

बेबीलोन के गणितज्ञ, 2000 ईसा पूर्व(पुरानी बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर प्रदर्शित)आयतों के क्षेत्रों और किनारे से संबंधित समस्याओं को हल कर सकते थे। इस एल्गोरिथम को उर के तीसरे राजवंश(Third Dynasty of Ur)के रूप में डेटिंग(कालनिर्धारण)करने के प्रमाण हैं।आधुनिक संकेतन समस्याओं में आम तौर पर प्रपत्र के युगपत समीकरणों की एक जोड़ी को हल करना शामिल होता है:

$x+y=p,\ \ xy=q,$

जो इस कथन के समतुल्य है कि x तथा y समीकरण के मूल हैं:

$z^{2}+q=pz.$

उपरोक्त आयत समस्या को x और y के संदर्भ में हल करने के लिए बेबीलोन के शास्त्रियों द्वारा दिए गए नियम इस प्रकार थे:

1. आधे p की गणना करें।।
2. परिणाम का वर्ग करें।
3. qको घटाएँ।
4. वर्गों की तालिका का उपयोग करके (धनात्मक)वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
5. चरण (1) और (4) के परिणामों को मिलाकर x प्राप्त करें।

आधुनिक संकेतन में इसका अर्थ है गणना करना $x=\left({\frac {p}{2}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$, जो कि बड़े वास्तविक मूल (यदि कोई हो) के लिए आधुनिक द्विघात सूत्र के बराबर है $x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ साथ a = 1, b = −p, तथा c = q.

भारत में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय विधियों का उपयोग किया गया था।मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) में तिथ्यांकन करते हुए,दो-अवधि के द्विघात समीकरण का समाधान शामिल है।लगभग 400 ईसा पूर्व और 200 ईसा पूर्व गणितज्ञों ने सकारात्मक मूल वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए विच्छेदन के ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया।गणित पर एक ग्रंथ मे गणितीय कला पर नौ अध्यायों में द्विघात समीकरणों के लिए नियम दिए गए थे।ऐसा लगता है कि इन प्रारंभिक ज्यामितीय विधियों का कोई सामान्य सूत्र नहीं था।लगभग 300 ईसा पूर्व एक गणितज्ञ ने अमूर्त ज्यामितीय पद्धति का निर्माण किया।पूरी तरह से ज्यामितीय दृष्टिकोण के साथ गणितज्ञों ने द्विघात समीकरण के समाधान खोजने के लिए एक सामान्य प्रक्रिया बनाई।अपने काम में अंकगणित गणितज्ञ ने द्विघात समीकरण को हल किया लेकिन केवल एक मूल दिया,भले ही दोनों मूल सकारात्मक हों।

628 ईस्वी में,एक भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरण का पहला स्पष्ट(हालांकि अभी भी पूरी तरह से सामान्य नहीं)हल दिया। ax² + bx = c इस प्रकार है:पूर्ण संख्या में चार गुणा [वर्ग का अक्षम] वर्ग जोड़ें, उसी का वर्गमूल,कम [कम] मध्य शब्द,जो वर्ग के दो गुणा [कम सक्षम] के दोगुने से विभाजित होने का मान है।(ब्रह्मस्फुटसिद्धांत,कोलब्रुक अनुवाद, 1817, पृष्ठ 346) यह बराबर है

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.$

7 वीं शताब्दी ईस्वी में भारत में लिखी गई बख्शाली पांडुलिपि में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक बीजीय सूत्र के साथ-साथ द्विघात अनिश्चित समीकरण (मूल रूप से प्रकार ax/c = y यह रैखिक है, द्विघात नहीं)शामिल है।)संभवतः ब्रह्मगुप्त से प्रेरित,मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी(9वीं शताब्दी) ने , सकारात्मक समाधानों के लिए काम करने वाले सूत्रों का एक सेट विकसित किया।अल-ख्वारिज्मी सामान्य द्विघात समीकरण का पूर्ण समाधान प्रदान करने में आगे बढ़ता है,प्रक्रिया में ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करते हुए प्रत्येक द्विघात समीकरण के लिए एक या दो संख्यात्मक उत्तरों को स्वीकार करता है। उन्होंने वर्ग को पूरा करने की विधि का भी वर्णन किया और माना कि विवेचक सकारात्मक होना चाहिए, जो उनके समकालीन 'अब्द अल-हमीद इब्न तुर्क (मध्य एशिया, 9वीं शताब्दी) द्वारा सिद्ध किया गया था,जिन्होंने यह साबित करने के लिए ज्यामितीय आंकड़े दिए कि यदि विवेचक नकारात्मक है,तो द्विघात समीकरण का कोई समाधान नहीं है। जबकि अल-ख्वारिज्मी ने स्वयं नकारात्मक समाधानों को स्वीकार नहीं किया,बाद में उनके उत्तराधिकारी इस्लामी गणितज्ञों ने नकारात्मक समाधान स्वीकार किए,और साथ ही अपरिमेय संख्याओं को समाधान के रूप में स्वीकार किया।अबू कामिल शुजा इब्न असलम विशेष रूप से अपरिमेय संख्याओं(अक्सर वर्गमूल, घनमूल या चौथे मूल के रूप में)को द्विघात समीकरणों के समाधान के रूप में या किसी समीकरण में गुणांक के रूप में स्वीकार करने वाले पहले व्यक्ति थे।9वीं शताब्दी में भारतीय गणितज्ञ श्रीधर ने द्विघात समीकरणों को हल करने के नियम लिखे।

भारतीय गणितज्ञ ने सामान्य द्विघात समीकरण के पूर्ण समाधान को शामिल करने वाली पहली पुस्तक लिखी।उनका समाधान काफी हद तक अल-ख्वारिज्मी के काम पर आधारित था। पहला ज्ञात लेखन(1238-1298 ईस्वी)में है जिसमें 'x' के नकारात्मक गुणांक वाले द्विघात समीकरण दिखाई देते हैं।1545 तक द्विघात समीकरणों से संबंधित कार्यों को संकलित किया।सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में प्राप्त किया गया था।1637 में ला जियोमेट्री(La Géométrie)को प्रकाशित किया जिसमें द्विघात सूत्र उस रूप में था जिसे हम आज जानते हैं।

उन्नत विषय

मूल गणना के वैकल्पिक तरीके

द्विघात समीकरण x² + bx + c = 0 के सबसे छोटे मूल के लिए Vieta के सन्निकटन के बीच अंतर का रफ़ द्विघात सूत्र का उपयोग करके परिकलित मान की तुलना में

विएटा के सूत्र (Vieta's formulas)

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$ द्विघात बहुपद और उसके गुणांक के मूलो के बीच संबंध टर्म की तुलना करने के परिणामस्वरूप होते हैं

$\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0$

समीकरण के साथ

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

पहला विएटा का सूत्र द्विघात फलन को रेखांकन करने के लिए उपयोगी है।चूंकि ग्राफ शीर्ष के माध्यम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में सममित है,इसलिए शीर्ष का x-निर्देशांक मूलो(या अंतःक्षेपण) के औसत पर स्थित है।इस प्रकार x-शीर्ष का निर्देशांक है:

$x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.$

y-निर्देशांक उपरोक्त परिणाम को दिए गए द्विघात समीकरण में रखकर प्राप्त किया जा सकता है:

$y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.$

शीर्ष के लिए ये सीधे सूत्र से भी निकाले जा सकते हैं(वर्ग को पूरा करना देखें):

$ax^{2}+bx+c=a\left(\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right).$

संख्यात्मक गणना के लिए,विएटा के सूत्र उस स्थिति में द्विघात समीकरण के मूलो को हल करने की एक उपयोगी विधि हैं जहां एक मूल दूसरे की तुलना में बहुत छोटी होती है।यदि |x₂| << |x₁|, फिर x₁ + x₂ ≈ x₁, और हमारे पास अनुमान है:

$x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.$

दूसरा विएटा का सूत्र कहता है:

$x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.$

एक बड़ी और एक छोटी मूल की स्थिति में द्विघात सूत्र की तुलना में इन सूत्रों का मूल्यांकन करना बहुत आसान है,क्योंकि द्विघात सूत्र छोटे मूल का मूल्यांकन दो लगभग समान संख्याओं के अंतर के रूप में करता है(बड़े बी की स्थिति),जो एक संख्यात्मक मूल्यांकन में निकटन त्रुटि(round-off error)का कारण बनता है।आकडे के बीच का अंतर दिखाता है (i) द्विघात सूत्र का उपयोग करके एक प्रत्यक्ष मूल्यांकन (सटीक जब मूल और मान एक-दूसरे के समान होती हैं) और (ii) विएटा के सूत्रों के उपरोक्त अनुमान पर आधारित एक मूल्यांकन (सटीक जब मूल व्यापक रूप से दूरी पर होती हैं)।जैसे रैखिक गुणांक के रूप में b बढ़ता है, प्रारंभ में द्विघात सूत्र सटीक होता है और अनुमानित सूत्र सटीकता में सुधार करता है,जिससे b बढ़ने पर विधियों के बीच एक छोटा अंतर होता है।हालांकि कुछ बिंदु पर निकटन त्रुटि(round-off error) के कारण द्विघात सूत्र में सटीकता का अभाव होता है,जबकि अनुमानित विधि में सुधार होता है। नतीजतन विधियों के बीच का अंतर बढ़ने लगता है क्योंकि द्विघात सूत्र बदतर और बदतर होता जाता है।

यह स्थिति आमतौर पर एम्पलीफायर डिजाइन(amplifier design)में उत्पन्न होती है,जहां एक स्थिर संचालन सुनिश्चित करने के लिए व्यापक रूप से मूल को अलग किया जाता है(चरण प्रतिक्रिया देखें)।

त्रिकोणमितीय हल

कैलकुलेटर से पहले के दिनों में,लोग गणितीय तालिकाओं(गणना के परिणामों को अलग-अलग तर्कों के साथ दिखाने वाली संख्याओं की सूची - गणना को सरल और तेज करने के लिए) का उपयोग करते थे।गणित और विज्ञान की पाठ्यपुस्तकों में लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाएँ आम थीं।खगोल विज्ञान,आकाशीय नेविगेशन और सांख्यिकी जैसे अनुप्रयोगों के लिए विशिष्ट तालिकाओं को प्रकाशित किया गया था। संख्यात्मक सन्निकटन के तरीके मौजूद थे,जिन्हें प्रोस्थफेरेसिस(prosthaphaeresis)कहा जाता था जो समय लेने वाले कार्यों जैसे गुणा,घात और मूलो को लेने के लिए शॉर्टकट प्रदान करते थे। खगोलविद (Astronomers), विशेष रूप से उन तरीकों से चिंतित थे जो आकाशीय यांत्रिकी गणनाओं में शामिल गणनाओं की लंबी श्रृंखला को गति दे सकते थे।

इस संदर्भ में हम त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन की सहायता से द्विघात समीकरणों को हल करने के सुधार को समझ सकते हैं।द्विघात समीकरण के निम्नलिखित वैकल्पिक रूप पर विचार करें,

[1] $ax^{2}+bx\pm c=0,$

जहां ± प्रतीक का चिन्ह चुना जाता है ताकि प्रतिस्थापन द्वारा a तथा c दोनों सकारात्मक हो सकते हैं।

[2] $x={\sqrt {c/a}}\tan \theta$

और फिर से गुणा करके हमने cos²θ प्राप्त किया।

[3] $\sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.$

हम 2θ फलनों का परिचय और पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त करते हैं।

[4] $\tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$ [5]   $\sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},$

जहां सबस्क्रिप्ट n तथा p समीकरण [1] में ऋणात्मक या धनात्मक चिह्न के प्रयोग से क्रमशः मेल खाते हैं।समीकरणों से प्राप्त θ_n या θ_p के दो मानों को प्रतिस्थापित करने पर [4] या [5] से [2] में पाया जाता है, [1] आवश्यक मूल देता है। समीकरण के आधार पर समाधान में समिश्र मूले होती हैं [5] यदि निरपेक्ष मान sin 2θ_p इकाई से अधिक है। इस मिश्रित त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय तालिका लुक-अप रणनीति का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने में शामिल लघुगणकीय तालिकाओं का उपयोग दो-तिहाई मात्र था।समिश्र मूल की गणना के लिए एक अलग त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण के लिए,मान लें कि हमारे पास सात-स्थानीय लघुगणक और त्रिकोणमितीय तालिकाएँ उपलब्ध थीं और हम निम्नलिखित को छह-महत्वपूर्ण-अंक सटीकता के लिए हल करना चाहते थे:

$4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0$

1. सात-स्थान वाली लुकअप तालिका में केवल 100,000 प्रविष्टियाँ हो सकती हैं और सात स्थानों पर मध्यवर्ती परिणामों की गणना करने के लिए आम तौर पर आसन्न प्रविष्टियों के बीच प्रक्षेप की आवश्यकता होगी।
2. $\log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927$
3. $2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314$
4. $\theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }$
5. $\log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462$
6. $\log {\sqrt {c/a}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318$
7. $x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353$ (छह महत्वपूर्ण आंकड़ों तक गोल)

$x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943$

ध्रुवीय निर्देशांक में जटिल जड़ों के लिए समाधान

यदि द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ की वास्तविक गुणांक के साथ दो समिश्र मूल होती हैं, तो जिस स्थिति में $b^{2}-4ac<0,$जिसमें a और c का एक-दूसरे के समान चिह्न होना आवश्यक है तो मूलो के समाधान ध्रुवीय रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं।

$x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),$

जहां पे $r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}$ तथा $\theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).$

ज्यामितीय समाधान

File:LillsQuadratic.svg

figure 6. लिल की विधि का उपयोग करके ax² + bx + c = 0 का ज्यामितीय समाधान। समाधान हैं −AX1/SA, −AX2/SA

द्विघात समीकरण को कई तरीकों से ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है।एक तरीका लिल की विधि(Lill's method)के माध्यम से है। तीन गुणांक a, b, c उनके बीच समकोण के साथ चित्र 6 में SA, AB और BC के रूप में खींचे गए हैं। प्रारंभ और अंत बिंदु SC को व्यास के रूप में लेकर एक वृत्त खींचा गया है।यदि यह तीनों की मध्य रेखा AB को काटता है तो समीकरण का एक हल होता है और समाधान इस रेखा के साथ पहले गुणांक से विभाजित दूरी के ऋणात्मक द्वारा किया जाता है। यदि a 1 है तो गुणांकों को सीधे पढ़ा जा सकता है। इस प्रकार आरेख में समाधान −AX1/SA और −AX2/SA हैं।

कार्लाइल सर्कल(Carlyle circle)में द्विघात समीकरण के समाधान क्षैतिज अक्ष के साथ सर्कल के प्रतिच्छेदों के क्षैतिज निर्देशांक हैं।कार्लाइल सर्कल का उपयोग बहुभुजों के मापक और परिध् को विकसित करने के लिए किया गया है।

द्विघात समीकरण का सामान्यीकरण

सूत्र और इसकी व्युत्पत्ति सही रहती है यदि गुणांक a, b और c सम्मिश्र संख्याएँ हैं या अधिक सामान्यतः किसी भी आधार की इकाई हैं जिनकी विशेषता नहीं है।(विशेषता 2 के क्षेत्र में तत्व 2a शून्य है और इसे विभाजित करना असंभव है।)

चिन्ह

$\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$

जिसका वर्ग है b² − 4ac यदि ऐसे तत्व मौजूद हैं तो सूत्र में दो तत्वों में से किसी एक वर्ग को समझा जाना चाहिए।कुछ क्षेत्रों में, कुछ तत्वों के वर्गमूल नहीं होते और कुछ में दो होते हैं, विशेषता 2 के क्षेत्रों को छोड़कर, केवल शून्य का एक वर्गमूल होता है। भले ही किसी क्षेत्र में कुछ संख्या का वर्गमूल नहीं होता है,हमेशा एक द्विघात विस्तार क्षेत्र होता है,इसलिए द्विघात सूत्र हमेशा उस विस्तार क्षेत्र में एक सूत्र के रूप में समझ में आता है।

विशेषता 2

File:CarlyleCircle.svg

द्विघात समीकरण का अर्ली सर्कल x² − sx + p = 0.

विशेषता 2 के क्षेत्र में,द्विघात सूत्र जो एक इकाई होने पर 2 पर निर्भर करता है।द्विघात बहुपद पर विचार करें।

$x^{2}+bx+c$

विशेषता 2 के क्षेत्र पर यदि b = 0है तो समाधान एक वर्गमूल निकालने के लिए कम हो जाता है,इसलिए समाधान है

$x={\sqrt {c}}$

और तब से केवल एक ही मूल है

$-{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.$

सारांश,

$\displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.$

परिमित क्षेत्रों में वर्गमूल निकालने के बारे में अधिक जानकारी के लिए द्विघात अवशेष देखें।

अगर b ≠ 0 दो अलग-अलग मूल हैं,लेकिन यदि बहुपद अपरिवर्तनीय है तो उन्हें गुणांक क्षेत्र में संख्याओं के वर्गमूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।इसके बजाय, c के 2-रूट R(c) को बहुपद x² + x + c के मूल के रूप में परिभाषित करें, जो उस बहुपद के विभाजन क्षेत्र का एक तत्व है।जो सत्यापित करता है कि R(c) + 1 एक मूल भी है। 2-रूट ऑपरेशन के संदर्भ में,(गैर-मोनिक)द्विघात के दो मूल ax² + bx + c हैं।

${\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)$

तथा

${\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).$

उदाहरण के लिए,मान लीजिए कि F₄ की इकाइयों के समूह का एक गुणक जनरेटर है, क्रम चार का गैलोइस क्षेत्र(Galois field) (इस प्रकार a और a + 1 F₄ के ऊपर x² + x + 1 के मूल हैं)।इसलिये (a + 1)² = a, a + 1 द्विघात समीकरण x² + a = 0 का अद्वितीय हल है। दूसरी ओर बहुपद x² + ax + 1 F₄ पर अपरिवर्तनीय है, लेकिन यह F₁₆ पर विभाजित होता है जहां इसके दो मूल ab और ab + a हैं, जहां b F₁₆ में x² + x + a का मूल है।

यह आर्टिन-श्रेयर सिद्धांत(Artin–Schreier theory)का एक विशेष मामला है।

यह भी देखें

• निरंतर भिन्नों के साथ द्विघात समीकरणों को हल करना
• रेखीय समीकरण
• क्यूबिक फंक्शन
• चतुर्थक समीकरण
• क्विंटिक समीकरण
• बीजगणित की मौलिक प्रमेय

बाहरी संबंध

• "Quadratic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Quadratic equations". MathWorld.
• 101 uses of a quadratic equation
• 101 uses of a quadratic equation: Part II