नेवियर-स्टोक्स समीकरण

Claude-Louis Navier

George Gabriel Stokes

भौतिकी में, नेवियर-स्टोक्स समीकरण (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) आंशिक विभेदक समीकरण हैं जो श्यान द्रव पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं, जिसका नाम फ्रांसीसी इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी क्लॉड-लुई नेवियर और एंग्लो-आयरिश भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट के नाम पर रखा गया है। वे 1822 (नेवियर) से 1842-1850 (स्टोक्स) तक उत्तरोत्तर सिद्धांतों के निर्माण के अनेक दशकों में विकसित हुए थे।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण गणितीय रूप से गति के संरक्षण और न्यूटोनियन तरल पदार्थों के द्रव्यमान के संरक्षण को व्यक्त करते हैं। वे कभी-कभी दबाव, तापमान और घनत्व से संबंधित अवस्था के समीकरण के साथ होते हैं। वे न्यूटन के दूसरे नियम को प्रयुक्त करने से उत्पन्न होते हैं। इसहाक न्यूटन का द्रव गतिकी का दूसरा नियम, साथ में इस धारणा के साथ कि द्रव में तनाव (यांत्रिकी) प्रसार श्यानता शब्द (वेग के अनुपात के अनुपात में) और दबाव शब्द का योग है- इसलिए श्यान प्रवाह का वर्णन। उनके और निकटता से संबंधित यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) के मध्य का अंतर यह है कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण श्यानता को ध्यान में रखते हैं जबकि यूलर समीकरण केवल अदृश्य प्रवाह को मॉडल करते हैं। परिणाम स्वरुप , नेवियर-स्टोक्स परवलयिक समीकरण हैं और इसलिए कम गणितीय संरचना होने की मूल्य पर उत्तम विश्लेषणात्मक गुण हैं (जैसे वे कभी पूरी तरह से पूर्णांक नहीं होते हैं)।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण उपयोगी हैं क्योंकि वे वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग हित की अनेक घटनाओं के भौतिकी का वर्णन करते हैं। उनका उपयोग मौसम, समुद्र की धाराओं, जल प्रवाह कंडीशनिंग और एयरफ़ॉइल के चारों ओर वायु प्रवाह को मॉडल (सार) करने के लिए किया जा सकता है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण, अपने पूर्ण और सरलीकृत रूपों में, विमान और कारों के डिजाइन, रक्त प्रवाह के अध्ययन, विद्युत स्टेशनों के डिजाइन, प्रदूषण के विश्लेषण और अनेक अन्य चीजों में सहायता करते हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के साथ युग्मित, उनका उपयोग मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स के मॉडल और अध्ययन के लिए किया जा सकता है।

नवियर-स्टोक्स समीकरण विशुद्ध रूप से गणितीय अर्थ में भी बहुत रुचि रखते हैं। व्यावहारिक उपयोगों की विस्तृत श्रृंखला के अतिरिक्त , यह अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है कि क्या सहज समाधान सदैव तीन आयामों में अस्तित्व प्रमेय है- अथार्त , क्या वे डोमेन (गणितीय विश्लेषण) में सभी बिंदुओं पर असीम रूप से भिन्न (या यहां तक ​​​​कि केवल बंधे हुए) हैं। इसे नेवियर-स्टोक्स अस्तित्व और सहजता समस्या कहा जाता है। क्ले मैथेमेटिक्स इंस्टीट्यूट ने इसे मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से कहा है और समाधान या प्रति उदाहरण के लिए US$1 मिलियन पुरस्कार की प्रस्तुति की है।

प्रवाह वेग

समीकरणों का समाधान प्रवाह वेग है। यह सदिश क्षेत्र है - तरल पदार्थ में हर बिंदु पर, समय अंतराल में किसी भी समय, यह सदिश देता है जिसकी दिशा और परिमाण अंतरिक्ष में उस बिंदु पर और उस समय के तरल पदार्थ के वेग के होते हैं। यह समान्य रूप से तीन स्थानिक आयामों और समय के आयाम में अध्ययन किया जाता है, चूँकि दो (स्थानिक) आयामी और स्थिर-स्थिति के स्थिति को अधिकांशत: मॉडल के रूप में उपयोग किया जाता है, और उच्च-आयामी एनालॉग्स का अध्ययन शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित दोनों में किया जाता है। एक बार वेग क्षेत्र की गणना हो जाने के पश्चात् , गतिशील समीकरणों और संबंधों का उपयोग करके ब्याज की अन्य मात्रा जैसे दबाव या तापमान पाया जा सकता है। यह मौलिक यांत्रिकी में सामान्य रूप से देखे जाने वाले से अलग है, जहां समाधान समान्य रूप से कण की स्थिति या सातत्य (सिद्धांत) के विक्षेपण के प्रक्षेपवक्र होते हैं। स्थिति के अतिरिक्त वेग का अध्ययन द्रव के लिए अधिक समझ में आता है, चूँकि विज़ुअलाइज़ेशन उद्देश्यों के लिए कोई भी विभिन्न स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन की गणना कर सकता है। विशेष रूप से, प्रवाह वेग के रूप में व्याख्या किए गए सदिश क्षेत्र की स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन, वे पथ हैं जिनके साथ द्रव्यमान रहित द्रव कण यात्रा करेगा। ये पथ अभिन्न वक्र हैं जिनका व्युत्पन्न प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के समान है, और वे समय में सदिश क्षेत्र के व्यवहार को नेत्रहीन रूप से दर्शा सकते हैं।

सामान्य सातत्य समीकरण

Main article: नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की व्युत्पत्ति

See also: कॉची संवेग समीकरण या संरक्षण प्रपत्र

नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण को कौशी संवेग समीकरण के विशेष रूप के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जिसका सामान्य संवहन रूप है

$${\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g} .$$

कॉची स्ट्रेस टेंसर σ को श्यानता पद τ (विचलन तनाव) और दबाव पद −pI (वॉल्यूमेट्रिक तनाव) के योग के रूप में सेट करके, हम इस पर पहुंचते हैं

Cauchy momentum equation (convective form)

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

जहाँ

• ${\frac {\mathrm {D} \mathbf {} }{\mathrm {D} t}}$सामग्री व्युत्पन्न है , जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है ,
• ρ (द्रव्यमान) घनत्व है,
• u प्रवाह वेग है,
• $\nabla$ विचलन है ,
• p दबाव है ,
• t यह समय है ,
• τ डिएएटोरिक स्ट्रेस टेंसर है , जिसका क्रम 2 है,
• g सातत्य पर कार्य करने वाले निकाय के त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है , उदाहरण के लिए गुरुत्वाकर्षण , जड़त्वीय त्वरण , इलेक्ट्रोस्टैटिक त्वरण , इत्यादि।

इस रूप में, यह स्पष्ट है कि एक अदृश्य तरल पदार्थ की धारणा में - कोई विचलन तनाव नहीं - कॉची समीकरण यूलर समीकरणों में कम हो जाते हैं ।

द्रव्यमान के संरक्षण को मानते हुए हम द्रव्यमान सातत्य समीकरण (या बस सातत्य समीकरण) का उपयोग कर सकते हैं,

सामग्री व्युत्पन्न है। नेवियर-स्टोक्स संवेग समीकरण के संरक्षण रूप में बाईं ओर परिवर्तन:

Navier–Stokes momentum equation (conservation form)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} .$

जहाँ बाहरी उत्पाद है :

समीकरण का बायाँ भाग त्वरण का वर्णन करता है, और यह समय-निर्भर और संवहन घटकों से बना हो सकता है (यदि उपस्थित हो तो गैर-जड़त्वीय निर्देशांक के प्रभाव भी)। समीकरण का दाहिना भाग वास्तव में हाइड्रोस्टैटिक प्रभावों, विचलनकारी तनाव और निकाय की शक्ति (जैसे गुरुत्वाकर्षण) का विचलन है।

सभी गैर-सापेक्षतावादी संतुलन समीकरण, जैसे कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची समीकरणों से प्रारंभ करके और एक संवैधानिक संबंध के माध्यम से तनाव टेंसर को निर्दिष्ट करके प्राप्त किए जा सकते हैं । श्यान और द्रव वेग प्रवणता के संदर्भ में विचलन (कतरनी) तनाव टेंसर को व्यक्त करके , और निरंतर श्यान मानकर, उपरोक्त कॉची समीकरण नीचे दिए गए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को जन्म देंगे।

संवहन त्वरणसंपादन करना

यह भी देखें: कॉची संवेग समीकरण § संवहन त्वरण

कॉची समीकरण और परिणामस्वरूप अन्य सभी सातत्य समीकरणों (यूलर और नेवियर-स्टोक्स सहित) की एक महत्वपूर्ण विशेषता संवहनी त्वरण की उपस्थिति है: अंतरिक्ष के संबंध में प्रवाह के त्वरण का प्रभाव। जबकि व्यक्तिगत द्रव कण वास्तव में समय-निर्भर त्वरण का अनुभव करते हैं, प्रवाह क्षेत्र का संवहनी त्वरण एक स्थानिक प्रभाव है, एक उदाहरण नोजल में तरल पदार्थ की गति है।

असंपीड्य प्रवाह

असम्पीडित संवेग नेवियर-स्टोक्स समीकरण, कॉची तनाव टेन्सर पर निम्नलिखित मान्यताओं से उत्पन्न होता है:

तनाव गैलिलियन इनवेरियन है: यह सीधे प्रवाह वेग पर निर्भर नहीं करता है, किन्तु केवल प्रवाह वेग के स्थानिक डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। तो तनाव वेरिएबल टेंसर ग्रेडिएंट ∇u है ।

• इस वेरिएबल में तनाव रैखिक है: , जहाँ चौथे क्रम का टेंसर आनुपातिकता के स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे श्यानता या लोच टेंसर कहा जाता है , और: डबल-डॉट उत्पाद है ।

द्रव को आइसोट्रोपिक माना जाता है, जैसा कि गैसों और सरल तरल पदार्थों के साथ होता है, और परिणामस्वरूप V एक आइसोट्रोपिक टेंसर है; इसके अतिरिक्त , चूंकि तनाव टेंसर सममित है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन द्वारा इसे दो मापदंड लैम पैरामीटर, दूसरी श्यानता τ और गतिशील श्यानता μ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि यह रैखिक लोच में सामान्य है:

Stokes' stress constitutive equation (expression used for incompressible elastic solids)

${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$

जहाँ

$${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)$$

रेट-ऑफ-स्ट्रेन टेंसर है। तो इस अपघटन को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है:

Stokes's stress constitutive equation (expression used for incompressible viscous fluids)

${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)$

डायनेमिक श्यानता μ स्थिर होने की आवश्यकता नहीं है - असंपीड्य प्रवाह में यह घनत्व और दबाव पर निर्भर हो सकता है। कोई भी समीकरण जो रूढ़िवादी वेरिएबल में इन परिवहन गुणांकों में से को स्पष्ट करता है, उसे अवस्था का समीकरण कहा जाता है।

विचलित तनाव का विचलन इसके द्वारा दिया गया है:

$$\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u}$$

चूंकि $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$ असंपीड्य तरल पदार्थ के लिए। असंपीड्यता ध्वनि या आघात तरंगों जैसे घनत्व और दबाव तरंगों को नियंत्रित करती है, इसलिए यदि ये घटनाएँ रुचि की हैं तो यह सरलीकरण उपयोगी नहीं है। असंपीड्य प्रवाह धारणा समान्य रूप से कम मच संख्या (लगभग मच 0.3 तक) पर सभी तरल पदार्थों के साथ अच्छी तरह से रखती है, जैसे कि सामान्य तापमान पर हवा की मॉडलिंग के लिए। असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को घनत्व के लिए विभाजित करके सर्वोत्तम रूप से देखा जा सकता है: यदि घनत्व पूरे द्रव क्षेत्र में स्थिर है, या, दूसरे शब्दों में, यदि सभी द्रव तत्वों का घनत्व समान है, जहाँ 𝜈 = μ/ρ₀ गतिज श्यानता कहलाती है।

एक लामिना प्रवाह उदाहरण

वेग प्रोफ़ाइल (लैमिनर प्रवाह):

$$u_{x}=u(y),\quad u_{y}=0,\quad u_{z}=0$$

for the x-direction, simplify the Navier–Stokes समीकरण:

$$0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)$$

सीमा स्थितियों के साथ वेग प्रोफ़ाइल खोजने के लिए दो बार एकीकृत करें y = h, u = 0, y = −h, u = 0:

$$u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B$$

इस समीकरण से, दो समीकरण प्राप्त करने के लिए दो सीमा स्थितियों में स्थानापन्न करें:

$${\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}$$

जोड़ें और हल करें B:

$$B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}$$

प्रतिस्थापित करें और हल करेंA:

$$A=0$$

अंततः यह वेग प्रोफ़ाइल देता है:

$$u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)$$

यह प्रत्येक शब्द के अर्थ को देखने योग्य है (कॉची संवेग समीकरण की तुलना में):

$$\overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.$$

उच्च-क्रम शब्द, अर्थात् कतरनी तनाव विचलन ∇ ⋅ τ बस सदिश लाप्लासियन शब्द μ∇²u तक कम हो गया है। इस लाप्लासियन शब्द की व्याख्या एक बिंदु पर वेग और एक छोटे आसपास के आयतन में औसत वेग के बीच अंतर के रूप में की जा सकती है। इसका तात्पर्य यह है कि - न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए - श्यान गति के प्रसार के रूप में कार्य करती है, ठीक उसी तरह जैसे ऊष्मा चालन। वास्तव में संवहन शब्द की उपेक्षा करते हुए, असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण एक सदिश प्रसार समीकरण (अर्थात् स्टोक्स समीकरण) की ओर ले जाते हैं, किन्तु सामान्य रूप से संवहन शब्द उपस्थित होता है, इसलिए असंपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरण संवहन-प्रसार समीकरणों के वर्ग से संबंधित होते हैं।

बाहरी क्षेत्र के रूढ़िवादी क्षेत्र होने के सामान्य स्थिति में:

$$\mathbf {g} =-\nabla \varphi$$

हाइड्रोलिक हेड को परिभाषित करके:

$$h\equiv w+\varphi$$

रूढ़िवादी बाहरी क्षेत्र के साथ असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण तक पहुंचने के लिए अंत में शब्द में पूरे स्रोत को संघनित किया जा सकता है:

$${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.$$

रूढ़िवादी बाहरी क्षेत्र के साथ असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण जलगति विज्ञान का मौलिक समीकरण है। इन समीकरणों के लिए डोमेन समान्य रूप से 3 या उससे कम आयामी यूक्लिडियन स्थान है, जिसके लिए ऑर्थोगोनल समन्वय संदर्भ फ्रेम समान्य रूप से हल करने के लिए मापदंड आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली को स्पष्ट करने के लिए सेट किया जाता है। 3-आयामी ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली में 3 हैं: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली, बेलनाकार समन्वय प्रणाली और गोलाकार समन्वय प्रणाली। कार्टेसियन निर्देशांक में नेवियर-स्टोक्स सदिश समीकरण को व्यक्त करना अधिक सीधा है और नियोजित यूक्लिडियन अंतरिक्ष के आयामों की संख्या से बहुत अधिक प्रभावित नहीं है, और यह पहले-क्रम की नियमो (जैसे भिन्नता और संवहन वाले) के लिए भी स्थिति है। गैर-कार्टेशियन ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली। किन्तु उच्च क्रम की नियमो के लिए (दो विचलित तनाव के विचलन से आ रहे हैं जो नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को यूलर समीकरणों से अलग करते हैं) गैर-कार्टेशियन ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणालियों में अभिव्यक्ति को कम करने के लिए कुछ टेंसर कैलकुलस की आवश्यकता होती है।

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरण समग्र है, दो ऑर्थोगोनल समीकरणों का योग,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}$$

जहाँ Π^S और Π^I सोलेनोइडल और कंजर्वेटिव सदिश फील्ड प्रोजेक्शन ऑपरेटर संतोषजनक हैं जो कि Π^S + Π^I = 1 और f^S और f^I निकाय बल के गैर-रूढ़िवादी और रूढ़िवादी भाग हैं। यह परिणाम हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन (सदिश कलन के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) से आता है। पहला समीकरण वेग के लिए दबाव रहित शासी समीकरण है, जबकि दबाव के लिए दूसरा समीकरण वेग का कार्यात्मक है और दबाव पॉइसन समीकरण से संबंधित है।

3डी में प्रोजेक्शन ऑपरेटर का स्पष्ट कार्यात्मक रूप हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय से पाया जाता है:

$$\Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}$$

2डी में समान संरचना के साथ। इस प्रकार शासी समीकरण कूलम्ब के नियम और बायोट-सावर्ट नियम के समान पूर्णांक-अंतर समीकरण है, जो संख्यात्मक गणना के लिए सुविधाजनक नहीं है।

समीकरण का समतुल्य अशक्त या परिवर्तनशील रूप, नेवियर-स्टोक्स समीकरण के समान वेग समाधान का उत्पादन करने के लिए सिद्ध हुआ, द्वारा दिया गया है,

$$\left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)$$

विचलन मुक्त परीक्षण कार्यों के लिए w उपयुक्त सीमा नियमो को पूरा करना है। यहाँ, अनुमानों को सोलनॉइडल और इरोटेशनल फंक्शन स्पेस की ऑर्थोगोनलिटी द्वारा पूरा किया जाता है। इसका असतत रूप अपसरण-मुक्त प्रवाह की परिमित तत्व गणना के लिए विशेष रूप से अनुकूल है, जैसा कि हम अगले भाग में देखेंगे। वहां कोई इस प्रश्न का समाधान करने में सक्षम होगा कि कोई दबाव-संचालित (पॉइज़्यूइल) समस्याओं को दबाव रहित शासकीय समीकरण के साथ कैसे निर्दिष्ट करता है? .

शासी वेग समीकरण से दबाव बलों की अनुपस्थिति दर्शाती है कि समीकरण गतिशील नहीं है, किन्तु काइनेमेटिक समीकरण है जहां विचलन-मुक्त स्थिति संरक्षण समीकरण की भूमिका निभाती है। यह सब निरंतर कथनों का खंडन करता प्रतीत होता है कि असंगत दबाव विचलन-मुक्त स्थिति को प्रयुक्त करता है।

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का अशक्त रूप

शसक्त रूप

एक डोमेन में स्थिर घनत्व ρ के न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरणों पर विचार करें

$$\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)$$

सीमा के साथ

$$\partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},$$

प्राणी Γ_D और Γ_N सीमा के भाग जहां क्रमशः डिरिचलेट सीमा नियम और न्यूमैन सीमा नियम Γ_D ∩ Γ_N = ∅ प्रयुक्त होती है ():

$${\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}$$

u द्रव वेग है, p द्रव दबाव, f दिया गया विवश शब्द, n̂ जावक निर्देशित इकाई सामान्य सदिश करने के लिए Γ_N, और σ(u, p) विस्कस स्ट्रेस टेन्सर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$${\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}).$$

मान लीजिये μ द्रव की गतिशील श्यान हो, I दूसरे क्रम की पहचान मैट्रिक्स और ε(u) तनाव-दर टेन्सर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})={\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right).$$

कार्य g और h डिरिचलेट और न्यूमैन सीमा डेटा दिए गए हैं, जबकि u₀ प्रारम्भिक स्थिति है। पहला समीकरण संवेग संतुलन समीकरण है, जबकि दूसरा द्रव्यमान के संरक्षण, अर्थात् निरंतरता समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

सदिश पहचान का उपयोग करते हुए निरंतर गतिशील श्यान मानते हुए

$$\nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {f}}\right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})$$

और बड़े मापदंड पर संरक्षण का शोषण, गति समीकरण में कुल तनाव टेन्सर का विचलन भी इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)&=\nabla \cdot {\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\[5pt]&=-\nabla p+\mu \left(\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta {\boldsymbol {u}}.\end{aligned}}$$

इसके अतिरिक्त , ध्यान दें कि न्यूमैन सीमा की स्थिति को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}{\boldsymbol {\hat {n}}}=-p{\boldsymbol {\hat {n}}}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}.$$

अशक्त रूप

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अशक्त रूप को खोजने के लिए, सबसे पहले गति समीकरण पर विचार करें

$$\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}-\mu \Delta {\boldsymbol {u}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}+\nabla p={\boldsymbol {f}}$$

परीक्षण फ़ंक्शन v के लिए इसे गुणा करें, उपयुक्त स्थान V में परिभाषित करें, और डोमेन Ω के संबंध में दोनों सदस्यों को एकीकृत करें।

$$\int _{\Omega }\rho {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}$$

गॉस प्रमेय का उपयोग करके विसारक और दबाव की नियमो को भागों द्वारा प्रति-एकीकृत करना:

$${\begin{aligned}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}-\int _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\[5pt]\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}&=-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }p{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\hat {n}}}\end{aligned}}$$

इन संबंधों का उपयोग करते हुए, व्यक्ति प्राप्त करता है:

$$\int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V.$$

उसी तरह, निरंतरता समीकरण को एक परीक्षण फ़ंक्शन q के लिए गुणा किया जाता है जो एक स्थान Q से संबंधित होता है और डोमेन Ω में एकीकृत होता है।

$$\int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0.\quad \forall q\in Q.$$

अंतरिक्ष कार्यों को निम्नानुसार चुना जाता है:

$${\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{{\boldsymbol {v}}\in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\[5pt]Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}$$

परीक्षण फ़ंक्शनको ध्यान में रखते हुए v डिरिचलेट सीमा पर विलुप्त हो जाता है और न्यूमैन की स्थिति पर विचार करते हुए, सीमा पर अभिन्न को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

$$\int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}=\underbrace {\int _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}} _{{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int _{\Gamma _{N}}\underbrace {\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)} _{={\boldsymbol {h}}{\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}.$$

इसे ध्यान में रखते हुए, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अशक्त सूत्रीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$${\begin{aligned}&{\text{find }}{\boldsymbol {u}}\in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V,\\\displaystyle \int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}$$

असतत वेग

समस्या डोमेन के विभाजन और विभाजित डोमेन पर आधार कार्यों को परिभाषित करने के साथ, गवर्निंग समीकरण का असतत रूप है

$$\left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).$$

आधार कार्यों का चयन करना वांछनीय है जो असंगत प्रवाह की आवश्यक विशेषता को दर्शाता है - तत्वों को विचलन मुक्त होना चाहिए। जबकि वेग रुचि का वेरिएबल है, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय द्वारा धारा फ़ंक्शन या सदिश क्षमता का अस्तित्व आवश्यक है। इसके अतिरिक्त , दबाव प्रवणता की अनुपस्थिति में द्रव प्रवाह का निर्धारण करने के लिए, कोई भी 2डी चैनल में स्ट्रीम फ़ंक्शन वैल्यू के अंतर को निर्दिष्ट कर सकता है, या 3डी में चैनल के चारों ओर सदिश क्षमता के स्पर्शरेखा घटक के लाइन इंटीग्रल, प्रवाह दिया जा रहा है स्टोक्स के प्रमेय द्वारा। निम्नलिखित में विचार 2डी तक सीमित रहेगी।

हम विचार को निरंतर हर्मिट परिमित तत्वों तक सीमित रखते हैं जिनके पास कम से कम प्रथम-व्युत्पन्न-स्वतंत्रता की डिग्री है। इससे प्लेटों के मुड़ने वाले साहित्य से बड़ी संख्या में उम्मीदवार त्रिकोणीय और आयताकार तत्वों को आकर्षित किया जा सकता है। इन तत्वों में ग्रेडिएंट के घटकों के रूप में डेरिवेटिव हैं। 2डी में, मापदंड का ग्रेडिएंट और कर्ल स्पष्ट रूप से ऑर्थोगोनल हैं, जो भावों द्वारा दिए गए हैं,

$${\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$$

निरंतर प्लेट-झुकने वाले तत्वों को अपनाना, व्युत्पन्न डिग्री-ऑफ़-फ्रीडम को बदलना और उपयुक्त के चिन्ह को बदलना, स्ट्रीम फ़ंक्शन तत्वों के अनेक वर्ग देता है।

मापदंड स्ट्रीम फंक्शन एलिमेंट्स के कर्ल लेने से डाइवर्जेंस-फ्री वेलोसिटी एलिमेंट्स मिलते हैं। आवश्यकता है कि स्ट्रीम फ़ंक्शन तत्व निरंतर हों, यह आश्वासन देता है कि वेग का सामान्य घटक तत्व इंटरफेस में निरंतर है, जो इन इंटरफेस पर विचलन को विलुप्त करने के लिए आवश्यक है।

सीमा नियमो को प्रयुक्त करना सरल है। सतहों पर नो-स्लिप वेलोसिटी की स्थिति के साथ, स्ट्रीम फ़ंक्शन नो-फ्लो सतहों पर स्थिर है। खुले चैनलों में स्ट्रीम फ़ंक्शन के अंतर प्रवाह को निर्धारित करते हैं। खुली सीमाओं पर कोई सीमा नियम जरूरी नहीं हैं, चूँकि कुछ समस्याओं के साथ निरंतर मूल्यों का उपयोग किया जा सकता है। ये सभी डिरिक्लेट स्थितियां हैं।

हल किए जाने वाले बीजगणितीय समीकरणों को स्थापित करना सरल है, किन्तु निश्चित रूप से अरैखिकता या गैर-रैखिक हैं, जिनके लिए रैखिक समीकरणों की पुनरावृत्ति की आवश्यकता होती है।

इसी तरह के विचार तीन-आयामों पर प्रयुक्त होते हैं, किन्तु क्षमता की सदिश प्रकृति के कारण 2डी से विस्तार तत्काल नहीं है, और ग्रेडिएंट और कर्ल के मध्य कोई सरल संबंध उपस्थित नहीं है जैसा कि 2डी में था।

दबाव पुनर्प्राप्त

वेग क्षेत्र से दबाव पुनर्प्राप्त करना सरल है। दबाव प्रवणता के लिए असतत अशक्त समीकरण है,

$$(\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)$$

जहाँ परीक्षण/भार फलन अघूर्णी होते हैं। किसी भी अनुरूप अदिश परिमित तत्व का उपयोग किया जा सकता है। चूँकि , दबाव ढाल क्षेत्र भी रुचि का हो सकता है। इस स्थिति में, दबाव के लिए मापदंड हर्मिट तत्वों का उपयोग किया जा सकता है। परीक्षण/वजन कार्यों के लिए g_i कोई दबाव तत्व के ढाल से प्राप्त अघूर्णी सदिश तत्वों का चयन करेगा।

संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम

संदर्भ का घूमता हुआ ढांचा सामग्री व्युत्पन्न शब्द के माध्यम से समीकरणों में कुछ रौचक छद्म शक्ति का परिचय देता है। एक स्थिर जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम K और एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम K′ पर विचार करें, जो वेग U(t) के साथ अनुवाद कर रहा है और स्थिर फ्रेम के संबंध में कोणीय वेग Ω(t)के साथ घूम रहा है। गैर-जड़त्वीय फ्रेम से देखा गया नेवियर-स्टोक्स समीकरण तब बन जाता है

यहां x और u को गैर-जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है। कोष्ठक में पहला पद कोरिओलिस त्वरण को दर्शाता है, दूसरा पद केन्द्रापसारक त्वरण के कारण है, तीसरा पद K′ के संबंध में K के रैखिक त्वरण के कारण है और चौथा पद K′ के K के संबंध में कोणीय त्वरण के कारण है ।

अन्य समीकरण

नेवियर-स्टोक्स समीकरण सख्ती से संवेग संतुलन का कथन है। द्रव प्रवाह का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, अधिक जानकारी की आवश्यकता है, कितनी धारणाओं पर निर्भर करता है। इस अतिरिक्त जानकारी में सीमा डेटा (नो-स्लिप कंडीशन|नो-स्लिप, केशिका सतह, आदि), द्रव्यमान का संरक्षण, ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम (द्रव यांत्रिकी), और/या अवस्था का समीकरण सम्मिलित हो सकते हैं।

असंपीड्य द्रव के लिए निरंतरता समीकरण

Main article: सातत्य समीकरण

प्रवाह मान्यताओं के अतिरिक्त , द्रव्यमान के संरक्षण का कथन समान्य रूप से आवश्यक होता है। यह द्रव्यमान निरंतरता समीकरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जो इसके सबसे सामान्य रूप में दिया गया है:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

या, मूल व्युत्पन्न का उपयोग करना:

$${\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )=0.$$

असंपीड्य द्रव के लिए, प्रवाह की रेखा के साथ घनत्व समय के साथ स्थिर रहता है,

$${\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0.$$

इसलिए वेग का विचलन सदैव शून्य होता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$$

असंपीड्य 2D तरल पदार्थ के लिए स्ट्रीम फ़ंक्शन

असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरण का कर्ल लेने से दबाव समाप्त हो जाता है। यह देखना विशेष रूप से आसान है कि क्या 2D कार्टेशियन प्रवाह को मान लिया गया है (जैसे कि विकृत 3D स्थिति में u_z = 0 और z पर किसी भी चीज़ की कोई निर्भरता नहीं है), जहां समीकरण कम हो जाते हैं:

$${\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}$$

पहले को y के संबंध में, दूसरे को x के संबंध में विभेदित करने और परिणामी समीकरणों को घटाने से दबाव और कोई भी रूढ़िवादी बल समाप्त हो जाएगा। असम्पीडित प्रवाह के लिए, स्ट्रीम फ़ंक्शन को परिभाषित करना ψ के माध्यम से है

$$u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$$

बड़े मापदंड पर निरंतरता बिना नियम संतुष्ट हो जाती है (स्ट्रीम फ़ंक्शन निरंतर है), और फिर असम्पीडित न्यूटोनियन 2D गति और बड़े मापदंड पर संरक्षण समीकरण में संघनित होता है:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi$$

जहाँ ∇⁴ 2D बिहारमोनिक ऑपरेटर है और ν कीनेमेटिक श्यान है, जो कि ν = μ/ρ. हम इसे जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक का उपयोग करके भी व्यक्त कर सकते हैं:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .$$

उपयुक्त सीमा स्थितियों के साथ यह एकल समीकरण 2डी द्रव प्रवाह का वर्णन करता है, केवल पैरामीटर के रूप में कीनेमेटिक श्यान लेता है। ध्यान दें कि रेंगने वाले प्रवाह का समीकरण तब होता है जब बाईं ओर शून्य मान लिया जाता है। एक्सिसिमेट्रिक फ्लो में अन्य स्ट्रीम फ़ंक्शन सूत्रीकरण , जिसे स्टोक्स स्ट्रीम फ़ंक्शन कहा जाता है, का उपयोग मापदंड (गणित) फ़ंक्शन के साथ असंगत प्रवाह के वेग घटकों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। असम्पीडित नेवियर-स्टोक्स समीकरण अंतर बीजगणितीय समीकरण है, जिसमें असुविधाजनक विशेषता है कि समय में दबाव को आगे बढ़ाने के लिए कोई स्पष्ट तंत्र नहीं है। परिणाम स्वरुप , कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के सभी या भाग से दबाव को समाप्त करने के लिए बहुत प्रयास किए गए हैं। स्ट्रीम फ़ंक्शन सूत्रीकरण दबाव को समाप्त करता है किन्तु केवल दो आयामों में और उच्च डेरिवेटिव्स को प्रारंभ करने और वेग के उन्मूलन की मूल्य पर, जो कि ब्याज का प्राथमिक वेरिएबल है।

गुण

अरैखिकता

नेवियर-स्टोक्स समीकरण सामान्य स्थिति में अरैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं और इसलिए लगभग हर वास्तविक स्थिति में बने रहते हैं। कुछ स्थिति में, जैसे आयामी प्रवाह और स्टोक्स प्रवाह (या रेंगने वाला प्रवाह), समीकरणों को रैखिक समीकरणों में सरल बनाया जा सकता है। ग़ैर-रैखिकता अधिकांश समस्याओं को हल करना कठिन या असंभव बना देती है और समीकरण मॉडल की अशांति के लिए मुख्य योगदानकर्ता है।

गैर-रैखिकता संवहन त्वरण के कारण होती है, जो स्थिति में वेग में परिवर्तन से जुड़ा त्वरण है। इसलिए, किसी भी संवहन प्रवाह, चाहे अशांत हो या न हो, में गैर-रैखिकता सम्मिलित होगी। संवहनी किन्तु लामिनार प्रवाह (अशांत) प्रवाह का उदाहरण छोटे अभिसरण नोजल के माध्यम से श्यान द्रव (उदाहरण के लिए, तेल) का मार्ग होगा। इस तरह के प्रवाह, चाहे ठीक से हल करने योग्य हों या नहीं, अधिकांशत: अच्छी तरह से अध्ययन और समझा जा सकता है।

अशांति

विक्षोभ समय-निर्भर कैओस सिद्धांत व्यवहार है जो अनेक तरल प्रवाहों में देखा जाता है। समान्य रूप से यह माना जाता है कि यह समग्र रूप से द्रव की जड़ता के कारण होता है: समय-निर्भर और संवहन त्वरण की परिणति; इसलिए प्रवाह होता है जहां जड़त्वीय प्रभाव छोटे होते हैं लामिनार होते हैं (रेनॉल्ड्स संख्या यह निर्धारित करती है कि प्रवाह जड़ता से कितना प्रभावित होता है)। यह माना जाता है, चूँकि निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है, कि नेवियर-स्टोक्स समीकरण विक्षोभ का ठीक से वर्णन करते हैं।

अशांत प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का संख्यात्मक समाधान अधिक कठिन है, और अशांत प्रवाह में सम्मिलित मिश्रण-लंबाई के मापदंड के अधिक भिन्न होने के कारण, इसके स्थिर समाधान के लिए ऐसे महीन जाल रिज़ॉल्यूशन की आवश्यकता होती है कि कम्प्यूटेशनल समय अधिक बढ़ जाता है गणना या प्रत्यक्ष संख्यात्मक अनुकरण के लिए अव्यवहार्य। लैमिनर सॉल्वर का उपयोग करके अशांत प्रवाह को हल करने का प्रयास समान्य रूप से समय-अस्थिर समाधान में परिणत होता है, जो उचित रूप से अभिसरण करने में विफल रहता है। इसका सामना करने के लिए, अशांति मॉडल के साथ पूरक, रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण (आरएएनएस) जैसे समय-औसत समीकरणों का उपयोग व्यावहारिक कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) अनुप्रयोगों में किया जाता है जब अशांत प्रवाह मॉडलिंग करते हैं। कुछ मॉडलों में स्पालार्ट-ऑलमारस, k-ω, k-ε, और एसएसटी मॉडल सम्मिलित हैं, जो रान्स समीकरणों को पूरा करने के लिए विभिन्न प्रकार के अतिरिक्त समीकरण जोड़ते हैं। इन समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए बड़े एड़ी सिमुलेशन (एलईएस) का भी उपयोग किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक मूल्यवान है - समय और कंप्यूटर मेमोरी में - रान्स की तुलना में, किन्तु उत्तम परिणाम देता है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से बड़े अशांत मापदंडो को हल करता है।

प्रयोज्यता

Further information: नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का विवेकीकरण

पूरक समीकरणों (उदाहरण के लिए, द्रव्यमान का संरक्षण) और अच्छी तरह से तैयार की गई सीमा स्थितियों के साथ, नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्रव गति को स्पष्ट रूप से मॉडल करते हैं; यहां तक ​​कि अशांत प्रवाह भी (औसतन) वास्तविक दुनिया के अवलोकनों से सहमत प्रतीत होते हैं।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण मानते हैं कि जिस द्रव का अध्ययन किया जा रहा है वह सातत्य यांत्रिकी है (यह असीम रूप से विभाज्य है और परमाणुओं या अणुओं जैसे कणों से बना नहीं है), और विशेष सापेक्षता या सापेक्ष यांत्रिकी पर नहीं चल रहा है। बहुत छोटे मापदंड पर या अत्यधिक परिस्थितियों में, असतत अणुओं से बने वास्तविक तरल पदार्थ नेवियर-स्टोक्स समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित निरंतर तरल पदार्थों से भिन्न परिणाम उत्पन्न करेंगे। उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ में आंतरिक परतों की केशिकात्व उच्च ढाल वाले प्रवाह के लिए प्रकट होता है। समस्या की बड़ी नुडसेन संख्या के लिए, बोल्ट्जमैन समीकरण उपयुक्त प्रतिस्थापन हो सकता है। विफल होने पर, किसी को आणविक गतिशीलता या विभिन्न संकर विधियों का सहारा लेना पड़ सकता है।

एक और सीमा समीकरणों की जटिल प्रकृति है। सामान्य द्रव परिवारों के लिए समय-परीक्षण सूत्रीकरण उपस्थित हैं, किन्तु कम सामान्य परिवारों के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग बहुत जटिल योगों के परिणामस्वरूप होता है और अधिकांशत: अनुसंधान समस्याओं को खोलने के लिए होता है। इस कारण से, ये समीकरण समान्य रूप से न्यूटोनियन तरल पदार्थों के लिए लिखे जाते हैं जहां श्यानता मॉडल रैखिक होता है; अन्य प्रकार के तरल पदार्थों (जैसे रक्त) के प्रवाह के लिए वास्तव में सामान्य मॉडल उपस्थित नहीं हैं।

विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन

नवियर-स्टोक्स समीकरण, विशिष्ट तरल पदार्थों के लिए स्पष्ट रूप से लिखे जाने पर भी, प्रकृति में सामान्य हैं और विशिष्ट समस्याओं के लिए उनका उचित अनुप्रयोग बहुत विविध हो सकता है। यह आंशिक रूप से है क्योंकि समस्याओं की विशाल विविधता है जिसे मॉडल किया जा सकता है, स्थिर दबाव के वितरण के रूप में सरल से लेकर सतह तनाव द्वारा संचालित मल्टीफ़ेज़ प्रवाह के रूप में जटिल तक है ।

समान्य रूप से , विशिष्ट समस्याओं के लिए आवेदन कुछ प्रवाह मान्यताओं और प्रारंभिक/सीमा स्थिति निर्माण के साथ प्रारंभ होता है, इसके पश्चात् समस्या को और सरल बनाने के लिए स्केल विश्लेषण (गणित) किया जा सकता है।

(ए) समानांतर प्रवाह और (बी) रेडियल प्रवाह का दृश्य।

समानांतर प्रवाह

समानांतर प्लेटों के मध्य स्थिर, समानांतर, एक-आयामी, गैर-संवहनी दबाव-संचालित प्रवाह मान लें, परिणामी स्केल्ड (आयाम रहित) सीमा मान समस्या है:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.$$

बाउंड्री कंडीशन नो स्लिप कंडीशन है। प्रवाह क्षेत्र के लिए यह समस्या आसानी से हल हो जाती है:

$$u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.$$

इस बिंदु से आगे, अधिक मात्रा में ब्याज आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे श्यान ड्रैग बल या शुद्ध प्रवाह दर है।

रेडियल प्रवाह

समस्या थोड़ी अधिक जटिल हो जाने पर कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं। ऊपर समानांतर प्रवाह पर सामान्य मोड़ समानांतर प्लेटों के मध्य रेडियल प्रवाह होगा; इसमें संवहन और इस प्रकार गैर-रैखिकता सम्मिलित है। वेग क्षेत्र को f(z) फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है जो संतुष्ट होना चाहिए:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.$$

यह साधारण अंतर समीकरण वह है जो तब प्राप्त होता है जब नेवियर-स्टोक्स समीकरण लिखे जाते हैं और प्रवाह मान्यताओं को प्रयुक्त किया जाता है (इसके अतिरिक्त, दबाव प्रवणता को हल किया जाता है)। अरेखीय शब्द इसे विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के लिए एक बहुत ही कठिन समस्या बनाता है (एक लंबा अंतर्निहित समाधान पाया जा सकता है जिसमें वृत्ताकार अभिन्न अंग और घन बहुपद की जड़ें सम्मिलित हैं)। समाधानों के वास्तविक अस्तित्व के उद्देश्य R > 1.41 (लगभग; यह √2 नहीं है) के लिए उत्पन्न होते हैं, पैरामीटर R उचित रूप से चुने गए मापदंडो के साथ रेनॉल्ड्स संख्या है। यह प्रवाह धारणाओं की प्रयोज्यता खोने का एक उदाहरण है, और "उच्च" रेनॉल्ड्स संख्या प्रवाह में कठिनाई का एक उदाहरण है।

संवहन

रेले-बेनार्ड संवहन प्रकार का प्राकृतिक संवहन है जिसे नेवियर-स्टोक्स समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इसकी विश्लेषणात्मक और प्रायोगिक पहुंच के कारण यह सबसे अधिक अध्ययन की जाने वाली संवहन घटनाओं में से है।

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के स्पष्ट समाधान

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के कुछ स्पष्ट समाधान उपस्थित हैं। पतित स्थिति के उदाहरण- शून्य के समान नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में गैर-रैखिक शब्दों के साथ- हेगन-पॉइज़्यूइल समीकरण, कुएट प्रवाह और ऑसिलेटरी स्टोक्स सीमा परत हैं। किन्तु इसके अतिरिक्त , अधिक रौचक उदाहरण, पूर्ण गैर-रैखिक समीकरणों के समाधान उपस्थित हैं, जैसे जेफरी-हैमेल प्रवाह, वॉन कर्मन घुमावदार प्रवाह, स्थिरता बिंदु प्रवाह, लैंडौ-स्क्वायर जेट और टेलर-ग्रीन वोर्टेक्स। ध्यान दें कि इन स्पष्ट समाधानों के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि वे स्थिर हैं: उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में अशांति विकसित हो सकती है।

अतिरिक्त मान्यताओं के अनुसार , घटक भागों को अलग किया जा सकता है।

A three-dimensional example

For example, in the case of an unbounded Euclidean domain with three-dimensional — incompressible, stationary and with zero viscosity (ν = 0) — radial flow in Cartesian coordinates (x,y,z), the velocity vector v and pressure p are:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}$$

There is a singularity at x = y = z = 0.

एक त्रि-आयामी स्थिर-अवस्था भंवर समाधान

हॉफ फिब्रेशन के साथ प्रवाह लाइनों का वायर मॉडल।

हॉफ फिब्रेशन की तर्ज पर प्रवाह पर विचार करने से कोई विलक्षणता वाला स्थिर-अवस्था उदाहरण नहीं आता है। होने देना r आंतरिक कुंडल की स्थिर त्रिज्या हो। समाधान का सेट इसके द्वारा दिया गया है:

$${\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}$$

इच्छित स्थिरांकों के लिए A और B यह एक गैर-चिपचिपी गैस (संपीड़ित द्रव) में एक घोल है जिसका घनत्व, वेग और दबाव मूल बिंदु से दूर शून्य हो जाता है। (ध्यान दें कि यह क्ले मिलेनियम समस्या का समाधान नहीं है क्योंकि यह असम्पीडित तरल पदार्थों को संदर्भित करता है जहां ρ एक स्थिरांक है, और न ही यह किसी भी अशांति गुणों के संबंध में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों की विशिष्टता से संबंधित है। ) यह भी निरुपित करने योग्य है कि वेग वेक्टर के घटक बिल्कुल पायथागॉरियन चतुर्भुज पैरामीट्रिज़ेशन से हैं। समान वेग क्षेत्र के साथ घनत्व और दबाव के अन्य विकल्प संभव हैं:

Other choices of density and pressure

Another choice of pressure and density with the same velocity vector above is one where the pressure and density fall to zero at the origin and are highest in the central loop at z = 0, x² + y² = r²:

$${\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}$$

In fact in general there are simple solutions for any polynomial function f where the density is:

$$\rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).$$

श्यान त्रि-आयामी आवधिक समाधान

आवधिक पूर्ण-त्रि-आयामी श्यान समाधान के दो उदाहरण वर्णित हैं। इन समाधानों को त्रि-आयामी टोरस $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ पर परिभाषित किया गया है और क्रमशः सकारात्मक और ऋणात्मक हेलीसिटी की विशेषता है। सकारात्मक हेलीसिटी वाला समाधान इस प्रकार दिया गया है:

जहाँ $k=2\pi /L$ तरंग संख्या है और वेग घटकों को सामान्यीकृत किया जाता है जिससे द्रव्यमान की प्रति इकाई औसत गतिज ऊर्जा हो $U_{0}^{2}/2$ पर $t=0$. दबाव क्षेत्र को वेग क्षेत्र से प्राप्त किया जाता है $p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2$ (जहाँ $p_{0}$ और $\rho _{0}$ क्रमशः दबाव और घनत्व क्षेत्रों के संदर्भ मान हैं)। चूंकि दोनों समाधान बेल्ट्रामी प्रवाह की श्रेणी से संबंधित हैं, वर्टिसिटी क्षेत्र वेग के समानांतर है और, सकारात्मक हेलिसिटी वाले स्थिति के लिए, द्वारा दिया गया है $\omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}$. इन समाधानों को क्लासिक द्वि-आयामी टेलर-ग्रीन टेलर-ग्रीन भंवर के तीन आयामों में सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

वाईल्ड आरेख

वायल्ड डायग्राम बहीखाता ग्राफ (असतत गणित) हैं जो मौलिक सातत्य यांत्रिकी के गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अनुरूप हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फेनमैन आरेखों के समान, ये आरेख द्रव गतिकी में गैर-संतुलन प्रक्रियाओं के लिए मस्टीस्लाव क्लेडीश की तकनीक का विस्तार हैं। दूसरे शब्दों में, ये आरेख संभाव्यता वितरण में छद्म-यादृच्छिक कार्य (गणित) से जुड़े स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं का पालन करने के लिए सहसंबंध फ़ंक्शनकी अनुमति देकर और द्रव कणों को परस्पर क्रिया करके अशांत तरल पदार्थों में (अक्सर) अशांति की घटनाओं के लिए ग्राफ सिद्धांत प्रदान करते हैं।

3D में प्रतिनिधित्व

ध्यान दें कि इस अनुभाग के सूत्र आंशिक व्युत्पन्नों के लिए एकल-पंक्ति संकेतन का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए $\partial _{x}u$ का अर्थ है x के संबंध में u का आंशिक व्युत्पन्न, और $\partial _{y}^{2}f_{\theta }$ का अर्थ है y के संबंध में f_θ का दूसरे क्रम का आंशिक व्युत्पन्न।

2022 का पेपर 3डी अशांत द्रव प्रवाह के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरण का कम व्यय , गतिशील और आवर्तक समाधान प्रदान करता है। उपयुक्त रूप से कम समय के मापदंड पर, विक्षोभ की गतिशीलता नियतात्मक होती है।

कार्तीय निर्देशांक

नेवियर-स्टोक्स के सामान्य रूप से, वेग सदिश के रूप में विस्तारित हुआ u = (u_x, u_y, u_z), कभी-कभी क्रमशः नामित u, v, w, हम सदिश समीकरण को स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं,

$${\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण को निकाय बल के रूप में और के मूल्यों के रूप में माना गया है जो कि g_x, g_y, g_z निर्देशांक के चुने हुए सेट के संबंध में गुरुत्वाकर्षण के उन्मुखीकरण पर निर्भर करेगा।

निरंतरता समीकरण पढ़ता है:

$$\partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.$$

जब प्रवाह असम्पीडित होता है, तो ρ किसी भी द्रव कण के लिए नहीं बदलता है, और इसकी सामग्री व्युत्पन्न गायब हो जाती है: Dρ/Dt = 0 निरंतरता समीकरण कम हो जाता है:

$$\partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.$$

इस प्रकार, नेवियर-स्टोक्स समीकरण के असम्पीडित संस्करण के लिए श्यान शब्दों का दूसरा भाग दूर हो जाता है (असम्पीडित प्रवाह देखें)।

चार समीकरणों की इस प्रणाली में सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला और अध्ययन किया गया रूप सम्मिलित है। चूँकि अन्य अभ्यावेदन की तुलना में तुलनात्मक रूप से अधिक कॉम्पैक्ट, यह अभी भी आंशिक अंतर समीकरणों की अरैखिक प्रणाली है जिसके लिए समाधान प्राप्त करना कठिन है।

बेलनाकार निर्देशांक

कार्टेशियन समीकरणों पर वेरिएबल के परिवर्तन से r, φ, और z के लिए निम्नलिखित गति समीकरण प्राप्त होंगे।

$${\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}$$

गुरुत्वाकर्षण घटक समान्य रूप से स्थिर नहीं होंगे, चूँकि अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए या तो निर्देशांक चुने जाते हैं जिससे गुरुत्वाकर्षण घटक स्थिर हों या फिर यह माना जाता है कि दबाव क्षेत्र द्वारा गुरुत्वाकर्षण का प्रतिकार किया जाता है (उदाहरण के लिए, क्षैतिज पाइप में प्रवाह बिना सामान्य रूप से व्यवहार किया जाता है) गुरुत्वाकर्षण और ऊर्ध्वाधर दबाव प्रवणता के बिना)। निरंतरता समीकरण है:

$${\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.$$

असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का यह बेलनाकार प्रतिनिधित्व दूसरा सबसे अधिक देखा जाने वाला है (पहला ऊपर कार्टेशियन है)। समरूपता का लाभ उठाने के लिए बेलनाकार निर्देशांक चुने जाते हैं, जिससे वेग घटक गायब हो सके। एक बहुत ही सामान्य मामला बिना किसी स्पर्शरेखीय वेग (u_φ = 0) की धारणा के साथ अक्षीय प्रवाह है, और शेष मात्राएँ φ से स्वतंत्र हैं।

$${\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}$$

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार निर्देशांक में, r, φ, और θ संवेग समीकरण हैं (प्रयुक्त परिपाटी पर ध्यान दें: θ ध्रुवीय कोण है, या अक्षांश 0 ≤ θ ≤ π है।

$${\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.$$