एटलस (टोपोलॉजी)

For other uses, see Fiber bundle and Atlas (disambiguation).

गणित में, विशेष रूप से टोपोलॉजी में, एक एटलस का उपयोग करते हुए कई गुना वर्णन करता है। एक एटलस में अलग-अलग चार्ट होते हैं, जो मोटे तौर पर बोलते हैं, कई गुना अलग-अलग क्षेत्रों का वर्णन करते हैं। यदि कई गुना पृथ्वी की सतह है, तो एटलस का अधिक सामान्य अर्थ है। सामान्य तौर पर, एटलस की धारणा कई गुना और संबंधित संरचनाओं जैसे वेक्टर बंडलों और अन्य फाइबर बंडलों की औपचारिक परिभाषा को रेखांकित करती है।

चार्ट

"Coordinate patch" redirects here. Not to be confused with Surface patch.

See also: Topological manifold § Coordinate charts

एटलस की परिभाषा चार्ट की धारणा पर निर्भर करती है। टोपोलॉजिकल स्पेस एम के लिए एक 'चार्ट' (जिसे 'समन्वय चार्ट', 'समन्वय पैच', 'समन्वय मानचित्र', या 'स्थानीय फ्रेम' भी कहा जाता है) एक होमियोमोर्फिज्म है $\varphi$ एम के खुले सेट यू से यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय तक। चार्ट पारंपरिक रूप से आदेशित जोड़ी के रूप में दर्ज किया गया है $(U,\varphi )$.

== एटलस == की औपचारिक परिभाषा टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एटलस $M$ एक अनुक्रमित परिवार है $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}$ चार्ट पर $M$ कौन सा कवर (टोपोलॉजी) $M$ (वह है, ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$). यदि प्रत्येक चार्ट का कोडोमेन एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस है, तो $M$ एक एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड कहा जाता है।

एटलस का बहुवचन एटलस है, हालांकि कुछ लेखक एटलेंट का उपयोग करते हैं। एक एटलस $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ एक पर $n$-आयामी कई गुना $M$ पर्याप्त एटलस कहा जाता है यदि प्रत्येक चार्ट की छवि (गणित) या तो है $\mathbb {R} ^{n}$ या $\mathbb {R} _{+}^{n}$, $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ एक स्थानीय रूप से परिमित संग्रह का खुला आवरण है $M$, तथा ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, कहाँ पे $B_{1}$ त्रिज्या 1 की खुली गेंद मूल बिंदु पर केंद्रित है और $\mathbb {R} _{+}^{n}$ बंद आधा स्थान है। हर दूसरा गणनीय कई गुना पर्याप्त एटलस स्वीकार करता है। इसके अलावा, अगर ${\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}$ दूसरे गणनीय कई गुना का खुला आवरण है $M$ तो एक पर्याप्त एटलस है $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}$ पर $M$ ऐसा है कि $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ का शोधन है ${\mathcal {V}}$.

संक्रमण मानचित्र

$M$

$U_{\alpha }$

$U_{\beta }$

$\varphi _{\alpha }$

$\varphi _{\beta }$

$\tau _{\alpha ,\beta }$

$\tau _{\beta ,\alpha }$

$\mathbf {R} ^{n}$

$\mathbf {R} ^{n}$

Two charts on a manifold, and their respective transition map

ट्रांज़िशन मैप एक एटलस के दो चार्ट की तुलना करने का एक तरीका प्रदान करता है। यह तुलना करने के लिए, हम एक चार्ट की रचना को दूसरे के व्युत्क्रम समारोह के साथ मानते हैं। यह रचना तब तक अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है जब तक कि हम दोनों चार्टों को परिभाषा के एक कार्य के उनके डोमेन के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) तक सीमित नहीं करते। (उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास यूरोप का एक चार्ट है और रूस का एक चार्ट है, तो हम इन दो चार्टों की तुलना उनके ओवरलैप, अर्थात् रूस के यूरोपीय भाग पर कर सकते हैं।)

अधिक सटीक होने के लिए, मान लीजिए $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ तथा $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ कई गुना एम के लिए दो चार्ट हैं जैसे कि $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ खाली सेट है | गैर-खाली। संक्रमण मानचित्र $\tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ मानचित्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.$$

ध्यान दें कि जब से $\varphi _{\alpha }$ तथा $\varphi _{\beta }$ दोनों होमोमोर्फिज्म हैं, संक्रमण मानचित्र $\tau _{\alpha ,\beta }$ एक होमियोमॉर्फिज्म भी है।

अधिक संरचना

एक अक्सर सामयिक संरचना की तुलना में कई गुना अधिक संरचना की इच्छा रखता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई कई गुना पर कार्यों के विभेदन (गणित) की एक स्पष्ट धारणा चाहता है, तो एक एटलस का निर्माण करना आवश्यक है, जिसके संक्रमण कार्य अलग-अलग कार्य हैं। इस तरह के कई गुना को अलग करने योग्य कई गुना कहा जाता है। एक अलग-अलग कई गुना दिया गया है, कोई स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा वैक्टर और फिर दिशात्मक डेरिवेटिव की धारणा को परिभाषित कर सकता है।

यदि प्रत्येक ट्रांज़िशन फ़ंक्शन एक चिकना नक्शा है, तो एटलस को एक चिकनी संरचना कहा जाता है, और मैनिफोल्ड को डिफरेंशियल मैनिफोल्ड # डेफिनिशन कहा जाता है। वैकल्पिक रूप से, किसी को आवश्यकता हो सकती है कि संक्रमण मानचित्रों में केवल k निरंतर डेरिवेटिव हों, जिस स्थिति में एटलस कहा जाता है $C^{k}$.

आम तौर पर, यदि प्रत्येक ट्रांज़िशन फ़ंक्शन एक छद्मसमूह से संबंधित होता है ${\mathcal {G}}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के होमोमोर्फिज्म, फिर एटलस को a कहा जाता है ${\mathcal {G}}$-एटलस। यदि एक एटलस के चार्ट के बीच संक्रमण मानचित्र एक स्थानीय तुच्छीकरण को संरक्षित करता है, तो एटलस एक फाइबर बंडल की संरचना को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

• चिकना एटलस
• चिकना फ्रेम

संदर्भ

• Dieudonné, Jean (1972). "XVI. Differential manifolds". Treatise on Analysis. Pure and Applied Mathematics. Vol. III. Translated by Ian G. Macdonald. Academic Press. MR 0350769.
• Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Loomis, Lynn; Sternberg, Shlomo (2014). "Differentiable manifolds". Advanced Calculus (Revised ed.). World Scientific. pp. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. MR 3222280.
• Sepanski, Mark R. (2007). Compact Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Husemoller, D (1994), Fibre bundles, Springer, Chapter 5 "Local coordinate description of fibre bundles".

बाहरी संबंध

• Atlas by Rowland, Todd