अदिश वक्रता: Difference between revisions

Revision as of 21:37, 27 November 2023

रीमैनियन ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का एक माप है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार सतहों की अवकल ज्यामिति के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को दर्शाती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता रीमैन वक्रता टेंसर के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है।

आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण होता है, जहां लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक की अदिश वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं।

धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किए गए धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद एडवर्ड विटेन द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ और ब्लेन लॉसन ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, ग्रिगोरी पेरेलमैन द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है।

परिभाषा

एक रीमैनियन मीट्रिक दिया गया $g$ , अदिश वक्रता S सामान्यता R या Sc को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है^[1]

S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .

अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भीआइंस्टीन संकेतन कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:^[2]

S=g^{ij}R_{ij}

जहाँ $R ij = Ric(\partial i, \partial j)$ समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ $g ij$ मीट्रिक टेंसर घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक $g ij = g (\partial i, \partial j)$ . रिक्की वक्रता अनुभागीय वक्रता के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है^[3]

S(p)=\sum _{i\neq j}\operatorname {sec} (e_{i},e_{j})

जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और $e 1, ..., e n$ p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम होता है। इसी तरह के उपपत्ति के अनुसार अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।^[4] वैकल्पिक रूप से क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,

S = g^{μ ν} ({Γ^{λ}}_{μ ν, λ} - {Γ^{λ}}_{μ λ, ν}

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 जहाँ {{math|''R''<sub>''ij''</sub> {{=}} Ric(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}} समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ {{math|''g''<sup>''ij''</sup>}} [[मीट्रिक टेंसर]] घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक {{math|''g''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''g''(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}}. रिक्की वक्रता [[अनुभागीय वक्रता]] के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 3.1.5}}
 :<math>S(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{sec}(e_i,e_j)</math>
-जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}}  p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम है। इसी तरह के तर्क के अनुसार, अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 3.1.5}} वैकल्पिक रूप से, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,
+जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}}  p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम होता है। इसी तरह के उपपत्ति  के अनुसार अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 3.1.5}} वैकल्पिक रूप से क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है,
 :<math>
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 जहाँ <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}</math> का आंशिक व्युत्पन्न <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> है और σ-समन्वय दिशा में है।
-उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण]] में मौलिक शब्द के रूप में है।
+उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण]] में मौलिक शब्द के रूप में होती है।
-चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि,  अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं, जिनमें [[फिन्सलर ज्यामिति]] भी सम्मिलित है।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}}
+चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि, अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं जो [[फिन्सलर ज्यामिति]] के रूप में सम्मिलित होते हैं।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}}
 ===पारंपरिक संकेतन===
-[[टेंसर इंडेक्स नोटेशन]] के संदर्भ में, अक्षर का उपयोग करना आम है {{mvar|R}} तीन अलग-अलग चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए:{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 1.22|2a1=Jost|2y=2017|2p=200|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Remark 3.1.7}}
+[[टेंसर इंडेक्स नोटेशन|टेंसर इंडेक्स अंकन]] के संदर्भ में अक्षर का उपयोग करना सामान्य है {{mvar|R}} तीन भिन्न -भिन्न  चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस रूप में होते है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 1.22|2a1=Jost|2y=2017|2p=200|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Remark 3.1.7}}
 # रीमैन वक्रता टेंसर: {{math|''R''<sub>''ijk''</sub><sup>''l''</sup>}} या {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub>}}
 # रिक्की टेंसर: {{math|''R''<sub>''ij''</sub>}}
 # अदिश वक्रता: {{mvar|R}}
-फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से अलग किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की  अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में सम्मिलित हैं {{math|scal}},{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1p=135|2a1=Petersen|2y=2016|2p=30}} {{math|&kappa;}},{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1p=160}} {{math|K}},{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} {{math|r}},{{sfnm|1a1=Berline|1a2=Getzler|1a3=Vergne|1y=2004|1p=34}} {{math|s}} या {{math|S}},{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1p=10|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2p=135|3a1=O'Neill|3y=1983|3p=88}} और {{math|&tau;}}.{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1p=144}}
+फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से भिन्न  किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की  अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में सम्मिलित हैं {{math|scal}},{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1p=135|2a1=Petersen|2y=2016|2p=30}} {{math|&kappa;}},{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1p=160}} {{math|K}},{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} {{math|r}},{{sfnm|1a1=Berline|1a2=Getzler|1a3=Vergne|1y=2004|1p=34}} {{math|s}} या {{math|S}},{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1p=10|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2p=135|3a1=O'Neill|3y=1983|3p=88}} और {{math|&tau;}}.{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1p=144}}
-जो लोग इंडेक्स नोटेशन का उपयोग नहीं करते हैं वे सामान्यता पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए आर आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय-मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम, रिक्की टेंसर के लिए रिक और  अदिश वक्रता के लिए आर का उपयोग कर सकता है।
+जो लोग इंडेक्स अंकन  का उपयोग नहीं करते हैं वे सामान्यता पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए R आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम का उपयोग कर सकता है, रिक्की टेंसर के लिए रिक और अदिश वक्रता के लिए R का उपयोग कर सकता है।
-इसके बजाय कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}}
+इसके अतिरिक्त कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं जिससे कि {{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}}
 :<math>R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.</math>
-इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और  अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान (योग के बजाय) बन जाएं।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}}
+इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और  अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान योग के अतिरिक्त बन जाती है।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}}
 ==बुनियादी गुण==
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 एक (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक दिया गया {{mvar|g}} आयाम के एक स्थान पर {{mvar|n}}, रीमैन वक्रता टेंसर का अदिश वक्रता भाग (0,4)-टेंसर क्षेत्र है
 :<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math>
-(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>&Gamma;<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो  अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। अलग ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर क्षेत्र रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो  अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}}
+(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>&Gamma;<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो  अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। भिन्न  ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर क्षेत्र रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो  अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}}
 ===मूल सूत्र===
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 इसके अलावा रैखिककृत अदिश वक्रता संचालिका का जोड़ है
 :<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math>
-और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार ऑपरेटर है। यह पहले भिन्नता सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक रिक्की-फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि या तो धनात्मक या नकारात्मक  अदिश वक्रता हो। इसके अलावा पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के तहत विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि  अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सके।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}}
+और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार ऑपरेटर है। यह पहले भिन्नता सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक रिक्की-फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि  या तो धनात्मक या नकारात्मक  अदिश वक्रता हो। इसके अलावा पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के तहत विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि   अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सके।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}}
 ==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध==
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 ===उत्पाद===
-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान]] एम × एन की अदिश वक्रता एम और एन के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड बंद मैनिफोल्ड एम, एम × एस के लिए<sup>2</sup>में धनात्मक अदिश वक्रता का एक मीट्रिक है, बस 2-गोले को एम की तुलना में छोटा मानकर (ताकि इसकी वक्रता बड़ी हो)। यह उदाहरण सुझाव दे सकता है कि अदिश वक्रता का मैनिफोल्ड की वैश्विक ज्यामिति से बहुत कम संबंध है। वास्तव में, इसका कुछ वैश्विक महत्व है, जैसा कि चर्चा की गई अदिश वक्रता#धनात्मक अदिश वक्रता।
+रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान]] एम × एन की अदिश वक्रता एम और एन के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड बंद मैनिफोल्ड एम, एम × एस के लिए<sup>2</sup>में धनात्मक अदिश वक्रता का एक मीट्रिक है, बस 2-गोले को एम की तुलना में छोटा मानकर (जिससे कि  इसकी वक्रता बड़ी हो)। यह उदाहरण सुझाव दे सकता है कि अदिश वक्रता का मैनिफोल्ड की वैश्विक ज्यामिति से बहुत कम संबंध है। वास्तव में, इसका कुछ वैश्विक महत्व है, जैसा कि चर्चा की गई अदिश वक्रता#धनात्मक अदिश वक्रता।
 गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत उत्पाद मेट्रिक्स उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य फ्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक|रॉबर्टसन-वॉकर स्पेसटाइम, [[ब्रह्मांड विज्ञान]] के लिए महत्वपूर्ण, लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है
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 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[ कई गुना घूमना ]] पर, [[डिराक ऑपरेटर]] और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है)  अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप, यदि एक बंद मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक  अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] मौजूद नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि, चार से विभाज्य और धनात्मक  अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी बंद स्पिन के लिए, जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}}
-डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के तर्क को एक सहायक [[वेक्टर बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स. ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया। उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक  अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में, गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड, जैसे [[ टोरस्र्स ]], में धनात्मक  अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी बंद स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह (सटीक सूत्रीकरण में) बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] का एक विशेष स्थिति होगा, जो सी*-बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत]]|के-सिद्धांत से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान का एक विशेष स्थिति है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}}
+डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के उपपत्ति  को एक सहायक [[वेक्टर बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स. ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया। उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक  अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में, गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड, जैसे [[ टोरस्र्स ]], में धनात्मक  अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी बंद स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह (सटीक सूत्रीकरण में) बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] का एक विशेष स्थिति होगा, जो सी*-बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत]]|के-सिद्धांत से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान का एक विशेष स्थिति है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}}
 चार-आयामी मैनिफोल्ड्स के विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को  अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान, कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि  अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान तुच्छ होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। [[क्लाउड लेब्रून]] ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया।{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=Section 11.2}}

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