घन फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:32, 27 October 2023

3 वास्तविक मूल के साथ एक घन फलन का लेखाचित्र (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यहाँ फलन f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4 है।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$ । दूसरे शब्दों में, यह उपाधि (डिग्री) तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

जिनके हल फलन के मूल (रूट्स) कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);^[1] सभी विषम-उपाधि बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफाइन रूपांतरण तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है।^[2] इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

3ax^{2}+2bx+c=0

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि $b 2 - 3 ac = 0$ , फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि $b 2 - 3 ac < 0$ , है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर $b 2 - 3 ac$ गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है।^[3] एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.

वर्गीकरण

प्रपत्र के घन फलन

y=x^{3}+cx.

किसी भी घन फलन का लेखाचित्र ऐसे वक्र के समान होता है।

घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, यद्यपि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।

यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फलन के लेखाचित्र के समान होता है

y=x^{3}+px.

इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (एकरूप शल्‍कन), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-एकरूप शल्‍कन लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है

{\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}

इसका मतलब यह है कि अफाइन रूपांतरण तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।

सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।

तब, चर x का परिवर्तन $x = x1 – .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/3a$ प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.

यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।

चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है

y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.

चर $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ का परिवर्तन एक एकरूप शल्‍कन से मेल खाता है, और ${\sqrt {a}},$ द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है

y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},

जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

फिर, यदि p ≠ 0, गैर-एकरूप शल्‍कन $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ देता है, $\textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},$ से विभाजन देने के बाद

y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),

जहां p के संकेत के आधार पर $\operatorname {sgn}(p)$ का मान 1 या -1 है। यदि कोई $\operatorname {sgn}(0)=0,$ परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है $x_{2}=x_{3}$ तथा $y_{2}=y_{3}$ )।

समरूपता

प्रपत्र $y=x^{3}+px,$ के घन फलन के लिए विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फलन एक विषम फलन है, इसका लेखाचित्र विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

एक घन फलन का लेखाचित्र अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

समरैखिकता

बिंदुओं P1, P2, और P3 (नीले रंग में) समरेख हैं और के लेखाचित्र से संबंधित हैं

x 3 + 3 / 2 x 2 - 5 / 2 x + 5 / 4

।बिंदु T1, T2, और T3 (लाल रंग में) लेखाचित्र के साथ इन चक्कियों पर लेखाचित्र के लिए (बिंदीदार) स्पर्श रेखा पर काम कर रहे हैं वे समरेख भी हैं।

तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के लेखाचित्र की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।^[4] इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फलन का रूप है

f(x)=x^{3}+px.

यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो बिंदु (α, f(α)) पर f के ग्राफ की स्पर्शरेखा रेखा है

{(x, f (α) + (x - α) f'(α)) : x \in R

}।

तो, इस रेखा और f के लेखाचित्र के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है $f (x) = f (α) + (x - α) f'(α)$ , वह है

x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,

और गुणनखंडित किया जा सकता है

(x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.

तो, स्पर्शरेखा घन का अवरोधन करती है

(-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).

तो, फलन जो लेखाचित्र के एक बिंदु (x, y) को दूसरे बिंदु पर मानचित्र करता है जहां स्पर्शरेखा लेखाचित्र का अवरोधन करती है

(x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).

यह एक अफाइन रूपांतरण है जो समरेख बिंदुओं को समरेख बिंदुओं में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।

घन प्रक्षेप

किसी फलन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक घन फलन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे घन हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।

इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फलन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फलन के साथ फलन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़ावार घन फलन है।

यदि किसी फलन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो फलन प्रक्षेप में निरंतर भिन्न होने वाले फलन द्वारा फलन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़ावार घन होता है। एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि समापन बिंदु पर व्युत्पन्न के मान, या समापन बिंदु पर शून्य वक्रता।

संदर्भ

↑ Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Chandler, F. S. (1979). शुद्ध गणित 2 (in English). Nelson Thornes. p. 462. ISBN 978-0-85950-097-5. इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...
↑ Weisstein, Eric W. "स्थिर बिंदु". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
↑ Hughes-Hallett, Deborah; Lock, Patti Frazer; Gleason, Andrew M.; Flath, Daniel E.; Gordon, Sheldon P.; Lomen, David O.; Lovelock, David; McCallum, William G.; Osgood, Brad G. (2017-12-11). लागू कैलकुलस (in English). John Wiley & Sons. p. 181. ISBN 978-1-119-27556-5. एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F
↑ Whitworth, William Allen (1866), "Equations of the third degree", Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Cambridge: Deighton, Bell, and Co., p. 425, retrieved June 17, 2016

बाहरी संबंध

"Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.

[1] Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Chandler, F. S. (1979). शुद्ध गणित 2 (in English). Nelson Thornes. p. 462. ISBN 978-0-85950-097-5. इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...

[2] Weisstein, Eric W. "स्थिर बिंदु". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.

[3] Hughes-Hallett, Deborah; Lock, Patti Frazer; Gleason, Andrew M.; Flath, Daniel E.; Gordon, Sheldon P.; Lomen, David O.; Lovelock, David; McCallum, William G.; Osgood, Brad G. (2017-12-11). लागू कैलकुलस (in English). John Wiley & Sons. p. 181. ISBN 978-1-119-27556-5. एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F

[4] Whitworth, William Allen (1866), "Equations of the third degree", Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Cambridge: Deighton, Bell, and Co., p. 425, retrieved June 17, 2016

[1]

[2]

[3]

[4]

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-{{distinguish|Cubic equation}}
 {{short description|Polynomial function  of degree 3}}
-{{one source|date=September 2019}}
+[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|3 वास्तविक मूल के साथ एक घन फलन का लेखाचित्र (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यहाँ फलन f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4 है।]]गणित में, एक '''घन फलन''' रूप का एक फलन है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
-[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|एक फ़ंक्शन के 3 [[ वास्तविक संख्या ]] रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां {{math|''y'' {{=}} 0}})।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 6''x'' − 8)/4}}।]]गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
+जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और <math>a\neq 0</math>। दूसरे शब्दों में, यह उपाधि (डिग्री) तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।
-जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और <math>a\neq 0</math>। दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।
 f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है
 :<math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
-जिनके हल फलन के रूट्स कहलाते हैं।
+जिनके हल फलन के मूल (रूट्स) कहलाते हैं।
-एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक रूट्स होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...}} </ref> सभी विषम-डिग्री बहुपद का कम से कम एक वास्तविक रूट होता है।
+एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...}} </ref> सभी विषम-उपाधि बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
-घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफ़िन परिवर्तन तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।
+घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफाइन रूपांतरण तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।
 घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।
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 घन फलन का शून्य है।
-इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं। <!-- Do not change 3ac into 4ac: here the of the cubic equation coefficients of the quadratic polynomial are not the same as the coefficients generally used for expressing the quadratic formula -->
+इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।
 :<math>x_\text{critical}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}.</math>
-वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। '''यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, फिर केवल''' एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है।यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, फिर कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।दो बाद के मामलों में, अर्थात्, अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन कड़ाई से मोनोटोनिक है।मामले के एक उदाहरण के लिए आंकड़ा देखें {{math|Δ<sub>0</sub> > 0}}।
+वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।
-एक फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु वह जगह है जहां वह फ़ंक्शन दूसरे व्युत्पन्न#concavity को बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=लागू कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F}} </Ref> का विभक्ति बिंदु कहा जाता है एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न नॉनज़ेरो है।इस प्रकार एक क्यूबिक फ़ंक्शन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो होता है
+किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=लागू कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F}} </Ref> एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है  <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है
 :<math>x_\text{inflection} = -\frac{b}{3a}.</math>
 == वर्गीकरण ==
-[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|रूप के घन कार्य <math>y=x^3+cx.</math><br/> किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए [[ समानता (ज्यामिति) ]] है।]]क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक [[ क्यूबिक वक्र ]] है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र कार्यों के ग्राफ़ नहीं हैं।
+[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|प्रपत्र के घन फलन <math>y=x^3+cx.</math><br/>किसी भी घन फलन का लेखाचित्र ऐसे वक्र के समान होता है।]]घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, यद्यपि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।
-यद्यपि क्यूबिक फ़ंक्शन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं।वास्तव में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा फॉर्म के फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए समानता (ज्यामिति) होता है
+यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फलन के लेखाचित्र के समान होता है
-:<math>y=x^3+px.</math> इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर [[ अनुवाद ]]ों की संरचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक [[ एक प्रकार का ]] (एक [[ समान स्केलिंग ]]), और, संभवतः, एक [[ प्रतिबिंब (गणित) ]] (मिरर छवि) के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ को तीन क्यूबिक कार्यों में से एक के ग्राफ में बदल सकता है
+:<math>y=x^3+px.</math>
+:इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (एकरूप शल्‍कन), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-एकरूप शल्‍कन लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है
 :<math>\begin{align}
 y&=x^3+x\\
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 \end{align}
 </math>
-इसका मतलब यह है कि क्यूबिक कार्यों के केवल तीन रेखांकन एक एफाइन परिवर्तन तक हैं।
+इसका मतलब यह है कि अफाइन रूपांतरण तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।
-उपरोक्त [[ ज्यामितीय परिवर्तन ]]ों को निम्नलिखित तरीके से बनाया जा सकता है, जब एक सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होता है
+सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है
   <math>y=ax^3+bx^2+cx+d.</math>
-सबसे पहले, अगर {{math|''a'' < 0}}, [[ चर का परिवर्तन ]] {{math|''x'' → –''x''}} दमन करने की अनुमति देता है {{math|''a'' > 0}}।चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले एक की दर्पण छवि है, के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।
+सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।
-फिर, चर का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} फॉर्म का एक कार्य प्रदान करता है
+तब, चर x का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है
 :<math>y=ax_1^3+px_1+q.</math>
-यह एक अनुवाद के समानांतर से मेल खाता है {{mvar|x}}-एक्सिस।
+यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।
-चर का परिवर्तन {{math|1=''y'' = ''y''{{sub|1}} + ''q''}} के संबंध में एक अनुवाद से मेल खाती है {{mvar|y}}-एक्सिस, और फॉर्म का एक कार्य देता है
+चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_1=ax_1^3+px_1.</math>
-चर का परिवर्तन <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> एक समान स्केलिंग से मेल खाती है, और द्वारा गुणन के बाद देता है <math>\sqrt a,</math> प्रपत्र का एक कार्य
+चर <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> का परिवर्तन एक एकरूप शल्‍कन से मेल खाता है, और <math>\sqrt a,</math> द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_2=x_2^3+px_2,</math>
-जो सबसे सरल रूप है जिसे एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
+जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
-तो अगर {{math|''p'' ≠ 0}}, गैर-समान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> द्वारा विभाजन के बाद देता है <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math>
+फिर, यदि p ≠ 0, गैर-एकरूप शल्‍कन <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> देता है, <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math> से विभाजन देने के बाद
 :<math>y_3 =x_3^3 + x_3\sgn(p),</math>
-कहाँ पे <math>\sgn(p)</math> के संकेत के आधार पर मूल्य 1 या -1 है {{mvar|p}}।यदि कोई परिभाषित करता है <math>\sgn(0)=0,</math> फ़ंक्शन का उत्तरार्द्ध का रूप सभी मामलों पर लागू होता है) <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।
+जहां p के संकेत के आधार पर <math>\sgn(p)</math> का मान 1 या -1 है। यदि कोई <math>\sgn(0)=0,</math> परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।
 == समरूपता ==
-प्रपत्र के एक घन समारोह के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है।जैसा कि एक फ़ंक्शन एक विषम कार्य है, इसका ग्राफ विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सभी क्यूबिक कार्यों के लिए निम्नलिखित सही है।
+प्रपत्र <math>y=x^3+px,</math> के घन फलन के लिए विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फलन एक विषम फलन है, इसका लेखाचित्र विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
-एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।
+एक घन फलन का लेखाचित्र अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
-== collinearities ==
+== समरैखिकता ==
-[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदु {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''P''<sub>3</sub>}} (नीले रंग में) कोलेनियर हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}।बिंदु {{math|''T''<sub>1</sub>}}, {{math|''T''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''T''<sub>3</sub>}} (लाल रंग में) ग्राफ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ के लिए (बिंदीदार) स्पर्शरेखा लाइनों के चौराहे हैं।वे कोलेनियर भी हैं।]]तीन कोलिनियर बिंदुओं पर एक क्यूबिक फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा रेखाएं क्यूबिक को फिर से कोलीनियर बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।
+[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदुओं P1, P2, और P3 (नीले रंग में) समरेख हैं और के लेखाचित्र से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}।बिंदु T1, T2, और T3 (लाल रंग में) लेखाचित्र के साथ इन चक्कियों पर लेखाचित्र के लिए (बिंदीदार) स्पर्श रेखा पर काम कर रहे हैं वे समरेख भी हैं।]]तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के लेखाचित्र की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।
-चूंकि यह संपत्ति एक [[ कठोर गति ]] के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है
+जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फलन का रूप है
 :<math>f(x)=x^3+px.</math>
-यदि {{mvar|α}} एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा {{mvar|f}} बिंदु पर {{math|(''α'', ''f''(''α''))}} लाइन है
+यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो बिंदु (α, ''f''(α)) पर ''f'' के ग्राफ की स्पर्शरेखा रेखा है
 :{{math|{(''x'', ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')) : ''x'' ∈ '''R'''}}}।
-तो, इस लाइन और ग्राफ के बीच का चौराहा बिंदु {{mvar|f}} समीकरण को हल करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
+तो, इस रेखा और ''f'' के लेखाचित्र के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
 :<math>x^3+px=\alpha^3+p\alpha+ (x-\alpha)(3\alpha^2+p),</math>
 जिसे फिर से लिखा जा सकता है
 :<math>x^3 - 3\alpha^2 x +2\alpha^3=0,</math>
-और के रूप में कारक
+और गुणनखंडित किया जा सकता है
 :<math>(x-\alpha)^2(x+2\alpha)=0.</math>
-तो, स्पर्शरेखा पर क्यूबिक को रोकता है
+तो, स्पर्शरेखा घन का अवरोधन करती है
 :<math>(-2\alpha, -8\alpha^3-2p\alpha)=(-2\alpha, -8f(\alpha)+6p\alpha).</math>
-तो, वह कार्य जो एक बिंदु को मैप करता है {{math|(''x'', ''y'')}} ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को रोकती है
+तो, फलन जो लेखाचित्र के एक बिंदु (x, y) को दूसरे बिंदु पर मानचित्र करता है जहां स्पर्शरेखा लेखाचित्र का अवरोधन करती है
 :<math>(x,y)\mapsto (-2x, -8y+6px).</math>
-यह एक affine परिवर्तन है जो कोलिनियर पॉइंट्स को Collinear बिंदुओं में बदल देता है।यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।
+यह एक अफाइन रूपांतरण है जो समरेख बिंदुओं को समरेख बिंदुओं में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।
-== क्यूबिक प्रक्षेप ==
+== घन प्रक्षेप ==
-{{main|Spline interpolation}}
+{{main|स्प्लीन प्रक्षेप}}
-एक फ़ंक्शन के मूल्यों और दो बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन है जिसमें समान चार मान हैं, जिसे [[ क्यूबिक हरमाइट स्पलाइन ]] कहा जाता है।
+किसी फलन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक घन फलन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे घन हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।
-इस तथ्य का उपयोग करने के लिए दो मानक तरीके हैं।सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फ़ंक्शन के मूल्यों और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, कोई भी फ़ंक्शन को निरंतर रूप से भिन्न कार्य के साथ प्रक्षेपित कर सकता है, जो एक टुकड़ाज क्यूबिक फ़ंक्शन है।
+इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फलन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फलन के साथ फलन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़ावार घन फलन है।
-यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में फ़ंक्शन को लगातार अलग -अलग फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जाता है, जो कि टुकड़ा क्यूबिक है।एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि एंडपॉइंट पर डेरिवेटिव के मान, या एंडपॉइंट पर एक शून्य [[ वक्रता ]]।
+यदि किसी फलन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो फलन प्रक्षेप में निरंतर भिन्न होने वाले फलन द्वारा फलन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़ावार घन होता है।  एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि समापन बिंदु पर व्युत्पन्न के मान, या समापन बिंदु पर शून्य वक्रता।
 == संदर्भ ==
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-==इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची==
-*एक समारोह की जड़
-*आलोचनात्मक बिंदु (गणित)
-*अंक शास्त्र
-*समारोह (गणित)
-*एक फ़ंक्शन का डोमेन
-*बहुपदीय फलन
-*एक फ़ंक्शन का ग्राफ
-*असंबद्ध परिवर्तन
-*संक्रमण का बिन्दु
-*घन प्रक्षेप
-*यौगिक
-*द्वितीय व्युत्पन्न
-*दर्पण छवि
-*पुराना फंक्शन
-*कोलेनियर पॉइंट्स
-*लगातार अलग -अलग कार्य
-*खंड अनुसार
 ==बाहरी संबंध==
-{{commons category|Cubic functions}}
 * {{springer|title=Cardano formula|id=p/c020350|ref=none}}
 *[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html History of quadratic, cubic and quartic equations] on [[MacTutor archive]].
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 {{Polynomials}}
-{{DEFAULTSORT:Cubic Function}}[[Category: पथरी]]
+{{DEFAULTSORT:Cubic Function}}
-[[Category: बहुपद कार्य]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Cubic Function]]
-[[Category:Created On 27/11/2022]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:Collapse templates|Cubic Function]]
+[[Category:Commons category link is locally defined|Cubic Function]]
+[[Category:Created On 27/11/2022|Cubic Function]]
+[[Category:Lua-based templates|Cubic Function]]
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+[[Category:Templates using TemplateData|Cubic Function]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates|Cubic Function]]
+[[Category:पथरी|Cubic Function]]
+[[Category:बहुपद कार्य|Cubic Function]]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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