घन फलन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:32, 27 October 2023

3 वास्तविक मूल के साथ एक घन फलन का लेखाचित्र (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यहाँ फलन f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4 है।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$ । दूसरे शब्दों में, यह उपाधि (डिग्री) तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

जिनके हल फलन के मूल (रूट्स) कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);^[1] सभी विषम-उपाधि बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफाइन रूपांतरण तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है।^[2] इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

3ax^{2}+2bx+c=0

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि $b 2 - 3 ac = 0$ , फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि $b 2 - 3 ac < 0$ , है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर $b 2 - 3 ac$ गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है।^[3] एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.

वर्गीकरण

प्रपत्र के घन फलन

y=x^{3}+cx.

किसी भी घन फलन का लेखाचित्र ऐसे वक्र के समान होता है।

घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, यद्यपि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।

यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फलन के लेखाचित्र के समान होता है

y=x^{3}+px.

इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (एकरूप शल्‍कन), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-एकरूप शल्‍कन लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है

{\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}

इसका मतलब यह है कि अफाइन रूपांतरण तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।

सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।

तब, चर x का परिवर्तन $x = x1 – .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/3a$ प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.

यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।

चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है

y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.

चर $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ का परिवर्तन एक एकरूप शल्‍कन से मेल खाता है, और ${\sqrt {a}},$ द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है

y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},

जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

फिर, यदि p ≠ 0, गैर-एकरूप शल्‍कन $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ देता है, $\textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},$ से विभाजन देने के बाद

y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),

जहां p के संकेत के आधार पर $\operatorname {sgn}(p)$ का मान 1 या -1 है। यदि कोई $\operatorname {sgn}(0)=0,$ परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है $x_{2}=x_{3}$ तथा $y_{2}=y_{3}$ )।

समरूपता

प्रपत्र $y=x^{3}+px,$ के घन फलन के लिए विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फलन एक विषम फलन है, इसका लेखाचित्र विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

एक घन फलन का लेखाचित्र अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

समरैखिकता

बिंदुओं P1, P2, और P3 (नीले रंग में) समरेख हैं और के लेखाचित्र से संबंधित हैं

x 3 + 3 / 2 x 2 - 5 / 2 x + 5 / 4

।बिंदु T1, T2, और T3 (लाल रंग में) लेखाचित्र के साथ इन चक्कियों पर लेखाचित्र के लिए (बिंदीदार) स्पर्श रेखा पर काम कर रहे हैं वे समरेख भी हैं।

तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के लेखाचित्र की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।^[4] इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फलन का रूप है

f(x)=x^{3}+px.

यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो बिंदु (α, f(α)) पर f के ग्राफ की स्पर्शरेखा रेखा है

{(x, f (α) + (x - α) f'(α)) : x \in R

}।

तो, इस रेखा और f के लेखाचित्र के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है $f (x) = f (α) + (x - α) f'(α)$ , वह है

x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,

और गुणनखंडित किया जा सकता है

(x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.

तो, स्पर्शरेखा घन का अवरोधन करती है

(-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).

तो, फलन जो लेखाचित्र के एक बिंदु (x, y) को दूसरे बिंदु पर मानचित्र करता है जहां स्पर्शरेखा लेखाचित्र का अवरोधन करती है

(x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).

यह एक अफाइन रूपांतरण है जो समरेख बिंदुओं को समरेख बिंदुओं में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।

घन प्रक्षेप

किसी फलन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक घन फलन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे घन हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।

इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फलन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फलन के साथ फलन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़ावार घन फलन है।

यदि किसी फलन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो फलन प्रक्षेप में निरंतर भिन्न होने वाले फलन द्वारा फलन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़ावार घन होता है। एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि समापन बिंदु पर व्युत्पन्न के मान, या समापन बिंदु पर शून्य वक्रता।

संदर्भ

↑ Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Chandler, F. S. (1979). शुद्ध गणित 2 (in English). Nelson Thornes. p. 462. ISBN 978-0-85950-097-5. इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...
↑ Weisstein, Eric W. "स्थिर बिंदु". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.
↑ Hughes-Hallett, Deborah; Lock, Patti Frazer; Gleason, Andrew M.; Flath, Daniel E.; Gordon, Sheldon P.; Lomen, David O.; Lovelock, David; McCallum, William G.; Osgood, Brad G. (2017-12-11). लागू कैलकुलस (in English). John Wiley & Sons. p. 181. ISBN 978-1-119-27556-5. एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F
↑ Whitworth, William Allen (1866), "Equations of the third degree", Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Cambridge: Deighton, Bell, and Co., p. 425, retrieved June 17, 2016

बाहरी संबंध

"Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.

[1] Bostock, Linda; Chandler, Suzanne; Chandler, F. S. (1979). शुद्ध गणित 2 (in English). Nelson Thornes. p. 462. ISBN 978-0-85950-097-5. इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...

[2] Weisstein, Eric W. "स्थिर बिंदु". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-07-27.

[3] Hughes-Hallett, Deborah; Lock, Patti Frazer; Gleason, Andrew M.; Flath, Daniel E.; Gordon, Sheldon P.; Lomen, David O.; Lovelock, David; McCallum, William G.; Osgood, Brad G. (2017-12-11). लागू कैलकुलस (in English). John Wiley & Sons. p. 181. ISBN 978-1-119-27556-5. एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F

[4] Whitworth, William Allen (1866), "Equations of the third degree", Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Cambridge: Deighton, Bell, and Co., p. 425, retrieved June 17, 2016

[1]

[2]

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[4]

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-{{distinguish|Cubic equation}}
 {{short description|Polynomial function  of degree 3}}
-{{one source|date=September 2019}}
+[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|3 वास्तविक मूल के साथ एक घन फलन का लेखाचित्र (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यहाँ फलन f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4 है।]]गणित में, एक '''घन फलन''' रूप का एक फलन है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
-[[Image:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|210px|किसी फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है—जहां {{math|''y'' {{=}} 0}}). दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं। यहाँ समारोह है {{math|''f''(''x'') {{=}} (''x''<sup>3</sup> + 3''x''<sup>2</sup> − 6''x'' − 8)/4}}.]]गणित में, घनीय फलन, रूप का फलन (गणित) होता है <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>
+जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और <math>a\neq 0</math>। दूसरे शब्दों में, यह उपाधि (डिग्री) तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।
-जहां गुणांक {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, तथा {{mvar|d}} सम्मिश्र संख्या और चर हैं {{mvar|x}} वास्तविक मूल्य लेता है, और <math>a\neq 0</math>. दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है। विशेष रूप से, किसी फलन का प्रांत और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
-स्थापना {{math|''f''(''x'') {{=}} 0}} रूप का एक घन समीकरण बनाता है
+f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है
 :<math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
-जिनके हल फलन के फलन का मूल कहलाते हैं।
+जिनके हल फलन के मूल (रूट्स) कहलाते हैं।
-एक घनीय फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक घन समीकरण के या तो तीन वास्तविक मूल होते हैं... या एक वास्तविक मूल...}}</ref> सभी विषम-डिग्री वाले बहुपदों का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
+एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);<ref>{{Cite book|last1=Bostock|first1=Linda|url=https://books.google.com/books?id=e2C3tFnAR-wC&q=A+cubic+function+has+either+one+or+three+real+roots&pg=PA462|title=शुद्ध गणित 2|last2=Chandler|first2=Suzanne|last3=Chandler|first3=F. S.|date=1979|publisher=Nelson Thornes|isbn=978-0-85950-097-5|pages=462|language=en|quote=इस प्रकार एक क्यूबिक समीकरण में या तो तीन वास्तविक जड़ें हैं ... या एक वास्तविक जड़ ...}} </ref> सभी विषम-उपाधि बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
-क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित), एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम हो सकते हैं। अन्यथा, एक घन कार्य मोनोटोनिक है। एक घन फलन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक affine परिवर्तन तक, क्यूबिक फ़ंक्शंस के लिए केवल तीन संभावित ग्राफ़ हैं।
+घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफाइन रूपांतरण तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।
-क्यूबिक इंटरपोलेशन के लिए क्यूबिक फ़ंक्शन मूलभूत हैं।
+घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।
 == इतिहास ==
-{{main|Cubic equation#History}}
+{{main|घन समीकरण § इतिहास}}
-== महत्वपूर्ण और विभक्ति बिंदु ==
+== महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक ==
 {{Cubic_graph_special_points.svg}}
-क्यूबिक फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) इसके स्थिर बिंदु हैं, यानी वे बिंदु जहां फ़ंक्शन का ढलान शून्य है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=स्थिर बिंदु|url=https://mathworld.wolfram.com/StationaryPoint.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> इस प्रकार एक घन कार्य के महत्वपूर्ण बिंदु {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित
+घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=स्थिर बिंदु|url=https://mathworld.wolfram.com/StationaryPoint.html|access-date=2020-07-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> इस प्रकार घन फलन ''f''  के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है
 :{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}},
-के मान पर होता है {{math|''x''}} ऐसा है कि व्युत्पन्न
+x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न
 :<math> 3ax^2 + 2bx + c = 0</math>
 घन फलन का शून्य है।
-इस समीकरण के समाधान हैं {{mvar|x}}महत्वपूर्ण बिंदुओं के -मान और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं <!-- Do not change 3ac into 4ac: here the of the cubic equation coefficients of the quadratic polynomial are not the same as the coefficients generally used for expressing the quadratic formula -->
+इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।
 :<math>x_\text{critical}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-3ac}}{3a}.</math>
-वर्गमूल के अंदर व्यंजक का चिह्न महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, तो केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} नॉनपोजिटिव है, क्यूबिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक है। मामले के उदाहरण के लिए चित्र देखें {{math|Δ<sub>0</sub> > 0}}.
+वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' {{=}} 0}}, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac'' < 0}}, है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर {{math|''b''{{sup|2}} – 3''ac''}} गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।
-किसी फ़ंक्शन का नति परिवर्तन बिंदु वह होता है, जहां वह फ़ंक्शन दूसरा डेरिवेटिव#Concavity बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=एप्लाइड कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन f का ग्राफ़ उत्तलता को बदलता है, उसे f का एक नति बिंदु कहा जाता है}}</ref> एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा अवकलज अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है
+किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है।<ref>{{Cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|url=https://books.google.com/books?id=8CeVDwAAQBAJ&q=inflection+point+of+a+function+is+where+that+function+changes+concavity&pg=PA181|title=लागू कैलकुलस|last2=Lock|first2=Patti Frazer|last3=Gleason|first3=Andrew M.|last4=Flath|first4=Daniel E.|last5=Gordon|first5=Sheldon P.|last6=Lomen|first6=David O.|last7=Lovelock|first7=David|last8=McCallum|first8=William G.|last9=Osgood|first9=Brad G.|date=2017-12-11|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-119-27556-5|pages=181|language=en|quote=एक बिंदु जिस पर फ़ंक्शन F का ग्राफ बदल जाता है, CONCAVITY को F}} </Ref> एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है  <math>f''(x) = 6ax + 2b, </math> शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है
 :<math>x_\text{inflection} = -\frac{b}{3a}.</math>
 == वर्गीकरण ==
-[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|प्रपत्र के घन कार्य <math>y=x^3+cx.</math><br/>किसी भी घन फलन का ग्राफ ऐसे वक्र के समान (ज्यामिति) होता है।]]क्यूबिक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक क्यूबिक वक्र है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र फ़ंक्शंस के ग्राफ़ नहीं हैं।
+[[File:Cubic function (different c).svg|thumb|प्रपत्र के घन फलन <math>y=x^3+cx.</math><br/>किसी भी घन फलन का लेखाचित्र ऐसे वक्र के समान होता है।]]घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, यद्यपि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।
-हालांकि क्यूबिक फ़ंक्शन चार पैरामीटर पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ़ में बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक क्यूबिक फंक्शन का ग्राफ फॉर्म के फंक्शन के ग्राफ के साथ हमेशा समानता (ज्यामिति) होता है
+यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फलन के लेखाचित्र के समान होता है
-:<math>y=x^3+px.</math> इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (समान स्केलिंग), और, संभवतः, एक प्रतिबिंब (गणित) (दर्पण छवि) के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस। एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ़ को तीन घन कार्यों में से एक के ग्राफ़ में बदल सकती है
+:<math>y=x^3+px.</math>
+:इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (एकरूप शल्‍कन), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-एकरूप शल्‍कन लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है
 :<math>\begin{align}
 y&=x^3+x\\
@@ Line 46: / Line 43: @@
 \end{align}
 </math>
-इसका मतलब यह है कि एक परिशोधन परिवर्तन तक घन कार्यों के केवल तीन ग्राफ़ हैं।
+इसका मतलब यह है कि अफाइन रूपांतरण तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।
-सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है
+सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है
   <math>y=ax^3+bx^2+cx+d.</math>
-सबसे पहले, अगर {{math|''a'' < 0}}, चर का परिवर्तन {{math|''x'' → –''x''}} मानने की अनुमति देता है {{math|''a'' > 0}}. चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले वाले की दर्पण छवि है, के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।
+सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।
-फिर, चर का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है
+तब, चर x का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है
 :<math>y=ax_1^3+px_1+q.</math>
-यह के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है {{mvar|x}}-एक्सिस।
+यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।
-चर का परिवर्तन {{math|1=''y'' = ''y''{{sub|1}} + ''q''}} के संबंध में एक अनुवाद के अनुरूप है {{mvar|y}}-एक्सिस, और फॉर्म का एक फंक्शन देता है
+चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_1=ax_1^3+px_1.</math>
-चर का परिवर्तन <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> एक समान स्केलिंग से मेल खाता है, और द्वारा गुणा करने के बाद देता है <math>\sqrt a,</math> फॉर्म का एक कार्य
+चर <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> का परिवर्तन एक एकरूप शल्‍कन से मेल खाता है, और <math>\sqrt a,</math> द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_2=x_2^3+px_2,</math>
 जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
-तो अगर {{math|''p'' ≠ 0}}, गैर-समान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> द्वारा विभाजन के बाद देता है <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math>
+फिर, यदि p ≠ 0, गैर-एकरूप शल्‍कन <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> देता है, <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math> से विभाजन देने के बाद
 :<math>y_3 =x_3^3 + x_3\sgn(p),</math>
-कहाँ पे <math>\sgn(p)</math> के चिह्न के आधार पर मान 1 या -1 है {{mvar|p}}. अगर कोई परिभाषित करता है <math>\sgn(0)=0,</math> फ़ंक्शन का बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है (के साथ <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>).
+जहां p के संकेत के आधार पर <math>\sgn(p)</math> का मान 1 या -1 है। यदि कोई <math>\sgn(0)=0,</math> परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।
 == समरूपता ==
-फॉर्म के क्यूबिक फंक्शन के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फ़ंक्शन एक विषम फ़ंक्शन है, इसका ग्राफ़ इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के संबंध में सममित है, और इन्फ़्लेक्शन पॉइंट के चारों ओर आधे मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, निम्नलिखित सभी घन कार्यों के लिए सत्य है।
+प्रपत्र <math>y=x^3+px,</math> के घन फलन के लिए विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फलन एक विषम फलन है, इसका लेखाचित्र विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
-एक घन फलन का ग्राफ अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
+एक घन फलन का लेखाचित्र अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।
-== संरेखता ==
+== समरैखिकता ==
-[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदु {{math|''P''<sub>1</sub>}}, {{math|''P''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''P''<sub>3</sub>}} (नीले रंग में) समरेख हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}. बिंदु {{math|''T''<sub>1</sub>}}, {{math|''T''<sub>2</sub>}}, तथा {{math|''T''<sub>3</sub>}} (लाल रंग में) ग्राफ़ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ़ की (बिंदीदार) स्पर्शरेखा रेखाओं के प्रतिच्छेदन हैं। वे संरेखी भी हैं।]]तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।
+[[File:Cubica colinear.png|thumb|बिंदुओं P1, P2, और P3 (नीले रंग में) समरेख हैं और के लेखाचित्र से संबंधित हैं {{math|''x''<sup>3</sup> + {{sfrac|3|2}}''x''<sup>2</sup> − {{sfrac|5|2}}''x'' + {{sfrac|5|4}}}}।बिंदु T1, T2, और T3 (लाल रंग में) लेखाचित्र के साथ इन चक्कियों पर लेखाचित्र के लिए (बिंदीदार) स्पर्श रेखा पर काम कर रहे हैं वे समरेख भी हैं।]]तीन समरेख बिंदुओं पर घन फलन के लेखाचित्र की स्पर्श रेखाएँ घन को फिर से संरेख बिंदुओं पर रोकती हैं।<ref>{{Citation|last = Whitworth|first = William Allen|author-link = William Allen Whitworth|title = Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher = Deighton, Bell, and Co.|year = 1866|place = Cambridge|page = 425|url = https://archive.org/details/trilinearcoordin00whit|chapter = Equations of the third degree|access-date = June 17, 2016}}</ref> इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।
-जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है
+जैसा कि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, कोई यह मान सकता है कि फलन का रूप है
 :<math>f(x)=x^3+px.</math>
-यदि {{mvar|α}} एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ की स्पर्शरेखा है {{mvar|f}} बिंदु पर {{math|(''α'', ''f''(''α''))}} रेखा है
+यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो बिंदु (α, ''f''(α)) पर ''f'' के ग्राफ की स्पर्शरेखा रेखा है
-:{{math|{(''x'', ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')) : ''x'' ∈ '''R'''}}}.
+:{{math|{(''x'', ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')) : ''x'' ∈ '''R'''}}}।
-तो, इस रेखा और के ग्राफ के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु {{mvar|f}} समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
+तो, इस रेखा और ''f'' के लेखाचित्र के बीच का प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है  {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f''(''α'') + (''x'' − ''α'')''f''&thinsp;′(''α'')}}, वह है
 :<math>x^3+px=\alpha^3+p\alpha+ (x-\alpha)(3\alpha^2+p),</math>
 जिसे फिर से लिखा जा सकता है
 :<math>x^3 - 3\alpha^2 x +2\alpha^3=0,</math>
-और के रूप में गुणनखंडित
+और गुणनखंडित किया जा सकता है
 :<math>(x-\alpha)^2(x+2\alpha)=0.</math>
-तो, स्पर्शरेखा क्यूबिक को इंटरसेप्ट करती है
+तो, स्पर्शरेखा घन का अवरोधन करती है
 :<math>(-2\alpha, -8\alpha^3-2p\alpha)=(-2\alpha, -8f(\alpha)+6p\alpha).</math>
-तो, वह फ़ंक्शन जो एक बिंदु को मैप करता है {{math|(''x'', ''y'')}} ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को इंटरसेप्ट करती है
+तो, फलन जो लेखाचित्र के एक बिंदु (x, y) को दूसरे बिंदु पर मानचित्र करता है जहां स्पर्शरेखा लेखाचित्र का अवरोधन करती है
 :<math>(x,y)\mapsto (-2x, -8y+6px).</math>
-यह एक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन है जो कोलीनियर पॉइंट्स को कोलीनियर पॉइंट्स में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।
+यह एक अफाइन रूपांतरण है जो समरेख बिंदुओं को समरेख बिंदुओं में बदल देता है। यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।
-== क्यूबिक इंटरपोलेशन ==
+== घन प्रक्षेप ==
-{{main|Spline interpolation}}
+{{main|स्प्लीन प्रक्षेप}}
-किसी फ़ंक्शन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे क्यूबिक हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।
+किसी फलन के मान और दो बिंदुओं पर उसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक घन फलन होता है जिसमें समान चार मान होते हैं, जिसे घन हर्मिट स्पलाइन कहा जाता है।
-इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप से, एक फ़ंक्शन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फ़ंक्शन के साथ फ़ंक्शन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक फ़ंक्शन है।
+इस तथ्य का उपयोग करने के दो मानक तरीके हैं। सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फलन के मान और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, एक निरंतर भिन्न फलन के साथ फलन को प्रक्षेपित कर सकता है, जो कि एक टुकड़ावार घन फलन है।
-यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में निरंतर भिन्न होने वाले फ़ंक्शन द्वारा फ़ंक्शन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़े-टुकड़े क्यूबिक होता है। विशिष्ट रूप से परिभाषित इंटरपोलेशन होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे अंत बिंदु पर डेरिवेटिव के मान, या अंत बिंदु पर शून्य वक्रता।
+यदि किसी फलन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो फलन प्रक्षेप में निरंतर भिन्न होने वाले फलन द्वारा फलन का अनुमान लगाया जाता है, जो कि टुकड़ावार घन होता है।  एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि समापन बिंदु पर व्युत्पन्न के मान, या समापन बिंदु पर शून्य वक्रता।
 == संदर्भ ==
 {{Reflist}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
 ==बाहरी संबंध==
-{{commons category|Cubic functions}}
 * {{springer|title=Cardano formula|id=p/c020350|ref=none}}
 *[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html History of quadratic, cubic and quartic equations] on [[MacTutor archive]].
@@ Line 112: / Line 105: @@
 {{Polynomials}}
-{{DEFAULTSORT:Cubic Function}}[[Category: कैलकुलस]]
+{{DEFAULTSORT:Cubic Function}}
-[[Category: बहुपद फलन]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Cubic Function]]
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+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates|Cubic Function]]
+[[Category:पथरी|Cubic Function]]
+[[Category:बहुपद कार्य|Cubic Function]]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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