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'''गणना''' वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)|आकार]]  निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट|परिमित संयोजक]]  या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।
{{for|संगीत के लिए इसका अनुप्रयोग
|गिनती (संगीत)
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गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के [[तत्व (गणित)|तत्वों]] की [[संख्या]] निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का [[आकार (गणित)|आकार]]  निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द ''[[गणना]]'' प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक [[परिमित सेट|परिमित संयोजक]]  [[सेट (गणित)|(गणित)]] या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।


गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).
गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).


पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं।<ref>''An Introduction to the History of Mathematics'' (6th Edition) by [[Howard Eves]] (1990) p.9</ref> गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक जानकारी जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण (अर्थात्, [[लेखाकर्म]]) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका की सीमावर्ती गुफाओं में भी नुकीली हड्डियाँ पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व से ही ज्ञात थी।<ref>{{Cite web|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण|website=Math Timeline|access-date=2018-04-26}}</ref> गिनती के विकास से [[गणितीय अंकन]], [[अंक प्रणाली]] और लेखन का विकास हुआ।
पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं।<ref>''An Introduction to the History of Mathematics'' (6th Edition) by [[Howard Eves]] (1990) p.9</ref> गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक जानकारी जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण ([[लेखाकर्म]]) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका की सीमावर्ती गुफाओं में भी नुकीली हड्डियाँ पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व से ही ज्ञात थी।<ref>{{Cite web|url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html|title=प्रारंभिक मानव गणना उपकरण|website=Math Timeline|access-date=2018-04-26}}</ref> गिनती के विकास से [[गणितीय अंकन]], [[अंक प्रणाली]] और लेखन का विकास हुआ।


== गिनती के रूप ==
== गिनती के रूप ==
[[File:Hanakapiai Beach Warning Sign Only.jpg|thumb|right|हनाकापियाई समुद्र तट पर मिलान चिह्नों का उपयोग करते हुए गिनती]]
{{further|प्रागैतिहासिक अंक
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गिनती विभिन्न रूपों में हो सकती है।
गिनती विभिन्न रूपों में हो सकती है।


गिनती मौखिक हो सकती है; यानी प्रगति पर नज़र रखने के लिए हर नंबर ज़ोर से (या मानसिक रूप से) बोलना। यह अक्सर उन वस्तुओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है जो समय के साथ विभिन्न प्रकार की चीजों को गिनने के बजाय पहले से मौजूद हैं।
गिनती मौखिक हो सकती है; प्रगति पर नज़र रखने के लिए हर नंबर ज़ोर से (या मानसिक रूप से) बोलना। यह प्रायः उन वस्तुओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है जो समय के साथ विभिन्न प्रकार की चीजों को गिनने के अतिरिक्त पहले से सम्मलित हैं।


गिनती मिलान चिह्नों के रूप में भी हो सकती है, प्रत्येक संख्या के लिए एक चिह्न बनाना और फिर मिलान किए जाने पर सभी चिह्नों को गिनना। समय के साथ वस्तुओं की गिनती करते समय यह उपयोगी होता है, जैसे कि एक दिन के दौरान कितनी बार कुछ होता है। मिलान करना आधार 1 गिनती है; सामान्य गणना बेस 10 में की जाती है। कंप्यूटर बेस [[उंगली की गिनती]] (0s और 1s) का उपयोग करते हैं, जिसे [[बूलियन बीजगणित]] भी कहा जाता है।
गिनती मिलान चिह्नों के रूप में भी हो सकती है, प्रत्येक संख्या के लिए एक चिह्न बनाना और फिर मिलान किए जाने पर सभी चिह्नों को गिनना। समय के साथ वस्तुओं की गिनती करते समय यह उपयोगी होता है, जैसे कि एक दिन के दौरान कितनी बार कुछ होता है। मिलान करना आधार 1 गिनती है; सामान्य गणना आधार 10 में की जाती है। संगणक आधार [[उंगली की गिनती]] (0 और 1)का उपयोग करते हैं, जिसे [[बूलियन बीजगणित]] भी कहा जाता है।


गिनती अंगुलियों की गिनती के रूप में भी हो सकती है, विशेषकर छोटी संख्याओं की गिनती करते समय। यह अक्सर बच्चों द्वारा गिनती और सरल गणितीय कार्यों को सुविधाजनक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।<!--Um, are you kidding? Your sentence above contains circular logic: "Counting is often used ... to facilitate counting..."--> अंगुलियों की गिनती एकात्मक संकेतन (एक उंगली = एक इकाई) का उपयोग करती है, और इस प्रकार 10 की गिनती तक सीमित है (जब तक कि आप अपने पैर की उंगलियों से शुरू नहीं करते)। बारह की संख्या तक गिनने के लिए पुरानी अंगुलियों की गिनती में चार अंगुलियों और प्रत्येक अंगुली (फलांगों) में तीन हड्डियों का उपयोग किया जाता था।<ref name=Macey>{{cite book |last=Macey |first=Samuel L. |title=प्रगति की गतिशीलता: समय, विधि और माप|year=1989 |publisher=University of Georgia Press |location=Atlanta, Georgia |isbn=978-0-8203-3796-8 |pages=92 |url=https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92}}</ref> अन्य हाथ-संकेत प्रणालियां भी उपयोग में हैं, उदाहरण के लिए चीनी प्रणाली जिसके द्वारा एक हाथ के केवल इशारों का उपयोग करके 10 तक गिनती की जा सकती है। [[फिंगर बाइनरी]] (बेस 2 काउंटिंग) का उपयोग करके, उंगली की गिनती तक रखना संभव है {{nowrap|1=1023 = 2<sup>10</sup> − 1}}.
गिनती अंगुलियों की गिनती के रूप में भी हो सकती है, विशेषकर छोटी संख्याओं की गिनती करते समय। यह प्रायः बच्चों द्वारा गिनती और सरल गणितीय कार्यों को सुविधाजनक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।<!--Um, are you kidding? Your sentence above contains circular logic: "Counting is often used ... to facilitate counting..."--> अंगुलियों की गिनती एकात्मक संकेतन (एक उंगली = एक इकाई) का उपयोग करती है, और इस प्रकार 10 की गिनती तक सीमित है| बारह की संख्या तक गिनने के लिए पुरानी अंगुलियों की गिनती में चार अंगुलियों और प्रत्येक अंगुलियों  की तीन हड्डियों का उपयोग किया जाता था।<ref name=Macey>{{cite book |last=Macey |first=Samuel L. |title=प्रगति की गतिशीलता: समय, विधि और माप|year=1989 |publisher=University of Georgia Press |location=Atlanta, Georgia |isbn=978-0-8203-3796-8 |pages=92 |url=https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92}}</ref> अन्य हाथ-संकेत प्रणालियां भी उपयोग में हैं, उदाहरण के लिए चीनी प्रणाली जिसके द्वारा एक हाथ के केवल संकेत का उपयोग करके 10 तक गिनती की जा सकती है। [[फिंगर बाइनरी]] (आधार 2 गिनना) का उपयोग करके, उंगली की गिनती तक रखना संभव है {{nowrap|1=1023 = 2<sup>10</sup> − 1}}.


गिनती की सुविधा के लिए विभिन्न उपकरणों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे हाथ से मिलान काउंटर और [[अबेकस]]।
गिनती की सुविधा के लिए विभिन्न उपकरणों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे हाथ से मिलान गिनना और [[अबेकस]]।


== समावेशी गिनती ==
== समावेशी गिनती ==
[[रोमन कैलेंडर]] और [[रोमांस भाषा]]ओं में समय के साथ व्यवहार करते समय आम तौर पर समावेशी गिनती का सामना करना पड़ता है।<ref name=Evans>{{cite book |first=James |last=Evans |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LVp_gkwyvC8C&pg=PA164 |title=प्राचीन खगोल विज्ञान का इतिहास और अभ्यास|publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=019987445X|chapter=4 |page=164}}</ref> सम्मिलित रूप से गिनने पर, रविवार (प्रारंभिक दिन) पहला दिन होगा और इसलिए अगला रविवार आठवां दिन होगा। उदाहरण के लिए, पखवाड़े के लिए फ्रांसीसी वाक्यांश क्विनज़ाइन (15 [दिन]) है, और इसी तरह के शब्द ग्रीक (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero), स्पैनिश (quincena) और पुर्तगाली (quinzena) में मौजूद हैं। इसके विपरीत, अंग्रेजी शब्द पखवाड़े चौदह-रात्रि से व्युत्पन्न होता है, जैसा कि पुरातन शब्द: सेननाइट सात-रात्रि से करता है; अंग्रेजी शब्द समावेशी गिनती के उदाहरण नहीं हैं। अंग्रेजी जैसी विशेष गिनती वाली भाषाओं में, जब रविवार से आठ दिनों की गिनती की जाती है, तो सोमवार पहला दिन, मंगलवार दूसरा दिन और अगला सोमवार आठवां दिन होगा।{{citation needed |date=April 2021 |reason=I am unaware of any firm basis for this assertion. It is highly culturally dependent.}} कई वर्षों के लिए यह यूनाइटेड किंगडम में कराधान का इतिहास था #वाक्यांश के लिए एक तारीख से मतलब उस तारीख के बाद के दिन से शुरू करने के लिए कानूनी नियम: गलतफहमी के उच्च जोखिम के कारण अब इस प्रथा को हटा दिया गया है।<ref>{{Cite web |title=संसद के लिए विधेयकों का मसौदा तैयार करना|url=https://www.gov.uk/government/publications/drafting-bills-for-parliament |website=gov.uk |publisher=Office of the Parliamentary Counsel}} See heading 8.</ref>
[[रोमन कैलेंडर]] और [[रोमांस भाषा]]ओं में समय के साथ व्यवहार करते समय सामान्यतः समावेशी गिनती का सामना करना पड़ता है।<ref name=Evans>{{cite book |first=James |last=Evans |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LVp_gkwyvC8C&pg=PA164 |title=प्राचीन खगोल विज्ञान का इतिहास और अभ्यास|publisher=Oxford University Press |year=1998 |isbn=019987445X|chapter=4 |page=164}}</ref> जब "सम्मिलित रूप से" गिनती की जाती है, तो रविवार (प्रारंभिक दिन) पहला दिन होगा और इसलिए अगला रविवार आठवां दिन होगा। उदाहरण के लिए, पखवाड़े के लिए फ्रांसीसी वाक्यांश क्विनज़ाइन (15 [दिन]) है, और इसी प्रकार के शब्द ग्रीक, स्पैनिश और पुर्तगाली में सम्मलित हैं। इसके विपरीत, अंग्रेजी शब्द पखवाड़े "एक चौदह-रात्रि" से निकला है, जैसा कि पुरातन सेननाइट एक सात-रात्रि" से करता है; अंग्रेजी शब्द समावेशी गिनती के उदाहरण नहीं हैं। अंग्रेजी जैसी विशेष गिनती वाली भाषाओं में, जब "रविवार से" आठ दिनों की गिनती की जाती है, तो सोमवार पहला दिन, मंगलवार दूसरा दिन और अगला सोमवार आठवां दिन होगा।{{citation needed |date=April 2021 |reason=I am unaware of any firm basis for this assertion. It is highly culturally dependent.}}  
रोमन कैलेंडर में, नोन्स (मतलब नौ) आइड्स से 8 दिन पहले का है; अधिक आम तौर पर, तारीखों को अगले नामित दिन तक समावेशी रूप से गिने जाने वाले दिनों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।<ref name=Evans />  ईसाई कैलेंडर में, [[Quinquagesima]] (मतलब 50) ईस्टर रविवार से 49 दिन पहले आता है।


संगीत शब्दावली भी मानक पैमाने के नोटों के बीच [[अंतराल (संगीत)]] की समावेशी गिनती का उपयोग करती है: एक नोट ऊपर जाना दूसरा अंतराल है, दो नोट ऊपर जाना तीसरा अंतराल है, आदि, और सात नोट ऊपर जाना एक सप्तक है।
कई वर्षों तक यह "तिथि से" वाक्यांश के लिए अंग्रेजी कानून में एक मानक अभ्यास था जिसका अर्थ है "उस तिथि के बाद के दिन की शुरुआत": यह अभ्यास अब भ्रम के उच्च जोखिम के कारण बहिष्कृत है|<ref>{{Cite web |title=संसद के लिए विधेयकों का मसौदा तैयार करना|url=https://www.gov.uk/government/publications/drafting-bills-for-parliament |website=gov.uk |publisher=Office of the Parliamentary Counsel}} See heading 8.</ref>
 
रोमन कैलेंडर में, नोन्स (जिसका अर्थ है नौ) आइड्स से 8 दिन पहले का है; सामान्य, तिथियों को अगले नामित दिन तक समावेशी रूप से गिने जाने वाले दिनों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।<ref name="Evans" />  ईसाई कैलेंडर में, [[Quinquagesima|क्विंकागेसीमा]]  ईस्टर रविवार से 49 दिन पहले आता है।
 
संगीत शब्दावली भी मानक पैमाने के टिप्पणियाँ के बीच [[अंतराल (संगीत)|अंतराल]] की समावेशी गिनती का उपयोग करती है: एक टिप्पणी ऊपर जाना दूसरा अंतराल है, दो टिप्पणी ऊपर जाना तीसरा अंतराल है, आदि, और सात टिप्पणी ऊपर जाना एक सप्तक है।


== शिक्षा और विकास ==
== शिक्षा और विकास ==
{{Main|पूर्व-गणित कौशल
{{Main|पूर्व-गणित कौशल
}}
}}
दुनिया की अधिकांश संस्कृतियों में गिनना सीखना एक महत्वपूर्ण शैक्षिक/विकासात्मक मील का पत्थर है। गिनना सीखना बच्चे का गणित में पहला कदम है, और उस अनुशासन का सबसे मौलिक विचार है। हालाँकि, अमेज़ोनिया और ऑस्ट्रेलियाई आउटबैक में कुछ संस्कृतियों की गिनती नहीं है,<ref>[[Brian Butterworth|Butterworth, B.]], Reeve, R., Reynolds, F., & Lloyd, D. (2008). Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(35), 13179–13184.</ref><ref>Gordon, P. (2004). Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 306, 496–499.</ref> और उनकी भाषाओं में संख्या शब्द नहीं हैं।
दुनिया की अधिकांश संस्कृतियों में गिनना सीखना एक महत्वपूर्ण शैक्षिक/विकासात्मक मील का पत्थर है। गिनना सीखना बच्चे का गणित में पहला कदम है, और उस अनुशासन का सबसे मौलिक विचार है। चूंकि, अमेज़ोनिया और ऑस्ट्रेलियाई आउटबैक में कुछ संस्कृतियों की गिनती नहीं है, और उनकी भाषाओं में संख्या शब्द नहीं हैं।<ref>[[Brian Butterworth|Butterworth, B.]], Reeve, R., Reynolds, F., & Lloyd, D. (2008). Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(35), 13179–13184.</ref><ref>Gordon, P. (2004). Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 306, 496–499.</ref>


बहुत से बच्चे मात्र 2 वर्ष की आयु में ही गिनती सूची (अर्थात् एक, दो, तीन, ... कह कर) सुनाने में कुछ निपुण हो जाते हैं। वे छोटी संख्याओं के लिए क्रमसूचकता के प्रश्नों का उत्तर भी दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, तीन के बाद क्या आता है? . वे एक सेट में प्रत्येक वस्तु को इंगित करने और एक के बाद एक शब्दों को पढ़ने में कुशल भी हो सकते हैं। यह कई माता-पिता और शिक्षकों को इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि बच्चा जानता है कि सेट के आकार को निर्धारित करने के लिए गिनती का उपयोग कैसे करना है।<ref>Fuson, K.C. (1988). Children's counting and concepts of number. New York: Springer–Verlag.</ref> शोध से पता चलता है कि इन कौशलों को सीखने के बाद एक बच्चे को यह समझने में लगभग एक साल लग जाता है कि उनका क्या मतलब है और प्रक्रियाओं को क्यों किया जाता है।<ref>Le Corre, M., & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105, 395–438.</ref><ref>Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E. M., Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52(2), 130–169.</ref> इस बीच, बच्चे सीखते हैं कि कार्डिनैलिटी का नाम कैसे देना है, जिसे वे [[subitize]] कर सकते हैं।
केवल 2 वर्ष की आयु के बहुत से बच्चों में गिनती सूची (अर्थात् "एक, दो, तीन,..." कहना) का उच्चारण करने का कौशल होता है।वे छोटी संख्याओं के लिए क्रमसूचकता के प्रश्नों का उत्तर भी दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, "तीन के बाद क्या आता है?" वे एक समूह में प्रत्येक वस्तु को संकेत करने और एक के बाद एक शब्दों को पढ़ने में कुशल भी हो सकते हैं। यह कई माता-पिता और शिक्षकों को इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि बच्चा जानता है कि समूह के आकार को निर्धारित करने के लिए गिनती का उपयोग कैसे करना है| <ref>Fuson, K.C. (1988). Children's counting and concepts of number. New York: Springer–Verlag.</ref> शोध से पता चलता है कि इन कौशलों को सीखने के बाद एक बच्चे को यह समझने में लगभग एक वर्ष लग जाता है कि उनका क्या अर्थ है और प्रक्रियाओं को क्यों किया जाता है। इस बीच, बच्चे सीखते हैं कि कार्डिनैलिटी का नाम कैसे देना है, जिसे वे [[subitize|सबिटाइज]] कर सकते हैं।<ref>Le Corre, M., & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105, 395–438.</ref><ref>Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E. M., Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52(2), 130–169.</ref>


== गणित में गिनती ==
== गणित में गिनती ==
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{{see also|गणनीय सेट
{{see also|गणनीय सेट
}}
}}
गणित में, एक समुच्चय की गिनती करने और परिणाम n खोजने का सार यह है कि यह धनात्मक पूर्णांक {1, 2, ..., n} के उपसमुच्चय के साथ समुच्चय का एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) स्थापित करता है। . एक मौलिक तथ्य, जिसे गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, वह यह है कि कोई भी आक्षेप {1, 2, ..., n} और {1, 2, ..., m} के बीच तब तक मौजूद नहीं हो सकता जब तक कि {{nowrap|1=''n'' = ''m''}}; यह तथ्य (इस तथ्य के साथ कि दो आक्षेप एक और आक्षेप देने के लिए कार्य रचना हो सकते हैं) यह सुनिश्चित करता है कि एक ही सेट को अलग-अलग तरीकों से गिनने से कभी भी अलग-अलग संख्याएँ नहीं हो सकती हैं (जब तक कि कोई त्रुटि न हो)। यह मूलभूत गणितीय प्रमेय है जो गिनती को उसका उद्देश्य बताता है; हालाँकि आप एक (परिमित) सेट की गिनती करते हैं, उत्तर समान है। एक व्यापक संदर्भ में, प्रमेय (परिमित) [[साहचर्य]] के गणितीय क्षेत्र में एक प्रमेय का एक उदाहरण है - इसलिए (परिमित) कॉम्बिनेटरिक्स को कभी-कभी गिनती के गणित के रूप में जाना जाता है।
गणित में, एक समुच्चय को गिनने और परिणाम n खोजने का सार यह है कि यह धनात्मक पूर्णांक {1, 2, ..., n} के उपसमुच्चय के साथ समुच्चय का एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) स्थापित करता है। एक मूलभूत तथ्य, जिसे गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, वह यह है कि कोई भी आक्षेप {1, 2, ..., n} और {1, 2, ..., m} के बीच तब तक सम्मलित नहीं हो सकता जब तक कि {{nowrap|1=''n'' = ''m''}}; यह तथ्य (इस तथ्य के साथ कि दो आक्षेप एक और आक्षेप देने के लिए कार्य रचना हो सकते हैं) यह सुनिश्चित करता है कि एक ही समूह को भिन्न -भिन्न उपाय से गिनने से कभी भी भिन्न -भिन्न संख्याएँ नहीं हो सकती हैं| यह मूलभूत गणितीय प्रमेय है जो गिनती को उसका उद्देश्य बताता है; चूंकि आप एक समूह की गिनती करते हैं, उत्तर समान है। एक व्यापक संदर्भ में, प्रमेय [[साहचर्य]] के गणितीय क्षेत्र में एक प्रमेय का एक उदाहरण है - इसलिए (परिमित) साहचर्य को कभी-कभी "गिनती का गणित" कहा जाता है।


गणित में उत्पन्न होने वाले कई समुच्चय किसी प्राकृत संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के साथ एक आक्षेप स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं; इन्हें अपरिमित समुच्चय कहा जाता है, जबकि वे समुच्चय जिनके लिए ऐसा आक्षेप मौजूद होता है (कुछ n के लिए) परिमित समुच्चय कहलाते हैं। [[अनंत सेट]]ों को सामान्य अर्थों में नहीं गिना जा सकता है; एक बात के लिए, गणितीय प्रमेय जो परिमित समुच्चयों के लिए इस सामान्य अर्थ को रेखांकित करते हैं, अनंत समुच्चयों के लिए झूठे हैं। इसके अलावा, अवधारणाओं की विभिन्न परिभाषाएँ जिनके संदर्भ में इन प्रमेयों को कहा गया है, जबकि परिमित समुच्चयों के समतुल्य, अनंत समुच्चयों के संदर्भ में असमान हैं।
गणित में उत्पन्न होने वाले कई समुच्चय किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के साथ एक आक्षेप स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं; इन्हें अपरिमित समुच्चय कहा जाता है, जबकि वे समुच्चय जिनके लिए ऐसा आक्षेप सम्मलित होता है (कुछ n के लिए) परिमित समुच्चय कहलाते हैं। [[अनंत सेट|अनंत समूहों]] को सामान्य अर्थों में नहीं गिना जा सकता है; एक बात के लिए, गणितीय प्रमेय जो परिमित समुच्चयों के लिए इस सामान्य अर्थ को रेखांकित करते हैं, अनंत समुच्चयों के लिए झूठे हैं। इसके अतिरिक्त, अवधारणाओं की विभिन्न परिभाषाएँ जिनके संदर्भ में इन प्रमेयों को कहा गया है, जबकि परिमित समुच्चयों के समतुल्य, अनंत समुच्चयों के संदर्भ में असमान हैं।


कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने (अस्तित्व) के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे [[गणनीय रूप से अनंत]] कहा जाता है। इस तरह की गिनती मौलिक रूप से परिमित सेटों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक सेट में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल सेट के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी [[पूर्णांक]]ों (ऋणात्मक संख्याओं सहित) के सेट को प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े सेट अभी भी (केवल) अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन सेटों के लिए उनके बीच एक आक्षेप मौजूद है, उन्हें एक ही [[प्रमुखता]] कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक सेट की गणना करने के लिए इसकी कार्डिनैलिटी का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई कार्डिनैलिटी से परे, अनंत कार्डिनैलिटी का एक अनंत पदानुक्रम है, हालांकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी कार्डिनैलिटी होती है (अर्थात, सेट सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव कार्डिनैलिटी का अध्ययन करता है)।
कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे [[गणनीय रूप से अनंत]] कहा जाता है। इस प्रकार की गिनती मौलिक रूप से परिमित समूहों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक समूह में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल समूह के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के समूह को प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े समूह अभी भी अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन समूहों के लिए उनके बीच एक आक्षेप सम्मलित है, उन्हें एक ही [[प्रमुखता]] कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक समूह की गणना करने के लिए इसकी प्रमुखता का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई प्रमुखता से परे, अनंत प्रमुखता का एक अनंत पदानुक्रम है, चूंकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी प्रमुखता होती है | (अर्थात, समूह सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव प्रमुखता का अध्ययन करता है)।


गिनती, ज्यादातर परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो {{nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} [[इंजेक्शन]] के रूप में जाना जाता है, तो यह [[विशेषण]] भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो सेट X और Y में n और m तत्वों की परिमित संख्या है {{nowrap|''n'' > ''m''}}, फिर कोई नक्शा {{nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} इंजेक्शन नहीं है (इसलिए एक्स के दो अलग-अलग तत्व मौजूद हैं जो एफ वाई के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि एफ इंजेक्शन थे, तो इसका कार्य (गणित) # एम तत्वों के साथ एक्स के एक सख्त उपसमुच्चय एस के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि एक्स में S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को साबित कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के मामले में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है।{{Citation needed|date=June 2016}}
गिनती,अधिकतम परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो {{nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} को [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपी]] के रूप में जाना जाता है, तो यह [[विशेषण]] भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो समुच्चय  X और Y में {{nowrap|''n'' > ''m''}} के साथ तत्वों की परिमित संख्या  n और m है , फिर कोई नक्शा {{nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} अंतःक्षेपी नहीं है (इसलिए एक्स के दो भिन्न -भिन्न तत्व सम्मलित हैं जो ''f  Y'' के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि ''f''  अंतःक्षेपी थे, तो एम तत्वों के साथ ''X''  के एक कठोर उपसमुच्चय ''S'' के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि Xमें S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के स्थिति में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है।{{Citation needed|date=June 2016}}
[[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स]] का डोमेन परिमित सेट के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध आमतौर पर असंभव होता है क्योंकि परिमित सेट के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रम[[परिवर्तन]] का सेट।
[[गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स|गणनात्मक साहचर्य]] का डोमेन परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध प्रायः पर असंभव होता है क्योंकि परिमित समुच्चय के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रम [[परिवर्तन]] का समुच्चय ।


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Latest revision as of 12:34, 27 October 2023

गणना वस्तुओं के परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या निर्धारित करने की प्रक्रिया है, अर्थात, एक समुच्चय का आकार निर्धारित करना। गिनती के पारंपरिक उपाय में समूह के प्रत्येक तत्व के लिए एक (मानसिक या मौखिक) विरोध को लगातार से बढ़ाना, कुछ क्रम में, उन तत्वों को चिह्नित करना ,एक ही तत्व को एक से अधिक बार जाने से बचने के लिए, जब तक कोई नहीं अचिह्नित तत्व छोड़े गए हैं; यदि विरोध को पहले वस्तु के बाद एक पर सेट किया गया था, तो अंतिम वस्तु पर जाने के बाद का मान वांछित तत्वों की संख्या देता है। संबंधित शब्द गणना प्रत्येक तत्व को एक संख्या निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से एक परिमित संयोजक या अनंत संयोजक के तत्वों की पहचान करने के लिए संदर्भित करता है।

गिनती में कभी-कभी एक के अतिरिक्त अन्य संख्याएँ सम्मलित होती हैं; उदाहरण के लिए, पैसे की गिनती करते समय, परिवर्तन की गिनती करते समय, "दो से गिनना" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...), या "पांच से गिनना" (5, 10, 15, 20, 25) , ...).

पुरातात्विक साक्ष्य हैं जो बताते हैं कि मनुष्य कम से कम 50,000 वर्षों से गिन रहे हैं।[1] गिनती का उपयोग प्राचीन संस्कृतियों द्वारा मुख्य रूप से सामाजिक और आर्थिक जानकारी जैसे कि समूह के सदस्यों की संख्या, शिकार जानवरों, संपत्ति, या ऋण (लेखाकर्म) का ट्रैक रखने के लिए किया जाता था। दक्षिण अफ्रीका की सीमावर्ती गुफाओं में भी नुकीली हड्डियाँ पाई गई हैं जो यह सुझाव दे सकती हैं कि गिनती की अवधारणा मनुष्यों को 44,000 ईसा पूर्व से ही ज्ञात थी।[2] गिनती के विकास से गणितीय अंकन, अंक प्रणाली और लेखन का विकास हुआ।

गिनती के रूप

Further information: प्रागैतिहासिक अंक and संख्यात्मक अंक

गिनती विभिन्न रूपों में हो सकती है।

गिनती मौखिक हो सकती है; प्रगति पर नज़र रखने के लिए हर नंबर ज़ोर से (या मानसिक रूप से) बोलना। यह प्रायः उन वस्तुओं की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है जो समय के साथ विभिन्न प्रकार की चीजों को गिनने के अतिरिक्त पहले से सम्मलित हैं।

गिनती मिलान चिह्नों के रूप में भी हो सकती है, प्रत्येक संख्या के लिए एक चिह्न बनाना और फिर मिलान किए जाने पर सभी चिह्नों को गिनना। समय के साथ वस्तुओं की गिनती करते समय यह उपयोगी होता है, जैसे कि एक दिन के दौरान कितनी बार कुछ होता है। मिलान करना आधार 1 गिनती है; सामान्य गणना आधार 10 में की जाती है। संगणक आधार उंगली की गिनती (0 और 1)का उपयोग करते हैं, जिसे बूलियन बीजगणित भी कहा जाता है।

गिनती अंगुलियों की गिनती के रूप में भी हो सकती है, विशेषकर छोटी संख्याओं की गिनती करते समय। यह प्रायः बच्चों द्वारा गिनती और सरल गणितीय कार्यों को सुविधाजनक बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। अंगुलियों की गिनती एकात्मक संकेतन (एक उंगली = एक इकाई) का उपयोग करती है, और इस प्रकार 10 की गिनती तक सीमित है| बारह की संख्या तक गिनने के लिए पुरानी अंगुलियों की गिनती में चार अंगुलियों और प्रत्येक अंगुलियों की तीन हड्डियों का उपयोग किया जाता था।[3] अन्य हाथ-संकेत प्रणालियां भी उपयोग में हैं, उदाहरण के लिए चीनी प्रणाली जिसके द्वारा एक हाथ के केवल संकेत का उपयोग करके 10 तक गिनती की जा सकती है। फिंगर बाइनरी (आधार 2 गिनना) का उपयोग करके, उंगली की गिनती तक रखना संभव है 1023 = 210 − 1.

गिनती की सुविधा के लिए विभिन्न उपकरणों का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे हाथ से मिलान गिनना और अबेकस।

समावेशी गिनती

रोमन कैलेंडर और रोमांस भाषाओं में समय के साथ व्यवहार करते समय सामान्यतः समावेशी गिनती का सामना करना पड़ता है।[4] जब "सम्मिलित रूप से" गिनती की जाती है, तो रविवार (प्रारंभिक दिन) पहला दिन होगा और इसलिए अगला रविवार आठवां दिन होगा। उदाहरण के लिए, पखवाड़े के लिए फ्रांसीसी वाक्यांश क्विनज़ाइन (15 [दिन]) है, और इसी प्रकार के शब्द ग्रीक, स्पैनिश और पुर्तगाली में सम्मलित हैं। इसके विपरीत, अंग्रेजी शब्द पखवाड़े "एक चौदह-रात्रि" से निकला है, जैसा कि पुरातन सेननाइट एक सात-रात्रि" से करता है; अंग्रेजी शब्द समावेशी गिनती के उदाहरण नहीं हैं। अंग्रेजी जैसी विशेष गिनती वाली भाषाओं में, जब "रविवार से" आठ दिनों की गिनती की जाती है, तो सोमवार पहला दिन, मंगलवार दूसरा दिन और अगला सोमवार आठवां दिन होगा।[citation needed]

कई वर्षों तक यह "तिथि से" वाक्यांश के लिए अंग्रेजी कानून में एक मानक अभ्यास था जिसका अर्थ है "उस तिथि के बाद के दिन की शुरुआत": यह अभ्यास अब भ्रम के उच्च जोखिम के कारण बहिष्कृत है|[5]

रोमन कैलेंडर में, नोन्स (जिसका अर्थ है नौ) आइड्स से 8 दिन पहले का है; सामान्य, तिथियों को अगले नामित दिन तक समावेशी रूप से गिने जाने वाले दिनों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।[4] ईसाई कैलेंडर में, क्विंकागेसीमा ईस्टर रविवार से 49 दिन पहले आता है।

संगीत शब्दावली भी मानक पैमाने के टिप्पणियाँ के बीच अंतराल की समावेशी गिनती का उपयोग करती है: एक टिप्पणी ऊपर जाना दूसरा अंतराल है, दो टिप्पणी ऊपर जाना तीसरा अंतराल है, आदि, और सात टिप्पणी ऊपर जाना एक सप्तक है।

शिक्षा और विकास

Main article: पूर्व-गणित कौशल

दुनिया की अधिकांश संस्कृतियों में गिनना सीखना एक महत्वपूर्ण शैक्षिक/विकासात्मक मील का पत्थर है। गिनना सीखना बच्चे का गणित में पहला कदम है, और उस अनुशासन का सबसे मौलिक विचार है। चूंकि, अमेज़ोनिया और ऑस्ट्रेलियाई आउटबैक में कुछ संस्कृतियों की गिनती नहीं है, और उनकी भाषाओं में संख्या शब्द नहीं हैं।[6][7]

केवल 2 वर्ष की आयु के बहुत से बच्चों में गिनती सूची (अर्थात् "एक, दो, तीन,..." कहना) का उच्चारण करने का कौशल होता है।वे छोटी संख्याओं के लिए क्रमसूचकता के प्रश्नों का उत्तर भी दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, "तीन के बाद क्या आता है?" वे एक समूह में प्रत्येक वस्तु को संकेत करने और एक के बाद एक शब्दों को पढ़ने में कुशल भी हो सकते हैं। यह कई माता-पिता और शिक्षकों को इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि बच्चा जानता है कि समूह के आकार को निर्धारित करने के लिए गिनती का उपयोग कैसे करना है| [8] शोध से पता चलता है कि इन कौशलों को सीखने के बाद एक बच्चे को यह समझने में लगभग एक वर्ष लग जाता है कि उनका क्या अर्थ है और प्रक्रियाओं को क्यों किया जाता है। इस बीच, बच्चे सीखते हैं कि कार्डिनैलिटी का नाम कैसे देना है, जिसे वे सबिटाइज कर सकते हैं।[9][10]

गणित में गिनती

Main article: साहचर्य
See also: गणनीय सेट

गणित में, एक समुच्चय को गिनने और परिणाम n खोजने का सार यह है कि यह धनात्मक पूर्णांक {1, 2, ..., n} के उपसमुच्चय के साथ समुच्चय का एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) स्थापित करता है। एक मूलभूत तथ्य, जिसे गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, वह यह है कि कोई भी आक्षेप {1, 2, ..., n} और {1, 2, ..., m} के बीच तब तक सम्मलित नहीं हो सकता जब तक कि n = m; यह तथ्य (इस तथ्य के साथ कि दो आक्षेप एक और आक्षेप देने के लिए कार्य रचना हो सकते हैं) यह सुनिश्चित करता है कि एक ही समूह को भिन्न -भिन्न उपाय से गिनने से कभी भी भिन्न -भिन्न संख्याएँ नहीं हो सकती हैं| यह मूलभूत गणितीय प्रमेय है जो गिनती को उसका उद्देश्य बताता है; चूंकि आप एक समूह की गिनती करते हैं, उत्तर समान है। एक व्यापक संदर्भ में, प्रमेय साहचर्य के गणितीय क्षेत्र में एक प्रमेय का एक उदाहरण है - इसलिए (परिमित) साहचर्य को कभी-कभी "गिनती का गणित" कहा जाता है।

गणित में उत्पन्न होने वाले कई समुच्चय किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के साथ एक आक्षेप स्थापित करने की अनुमति नहीं देते हैं; इन्हें अपरिमित समुच्चय कहा जाता है, जबकि वे समुच्चय जिनके लिए ऐसा आक्षेप सम्मलित होता है (कुछ n के लिए) परिमित समुच्चय कहलाते हैं। अनंत समूहों को सामान्य अर्थों में नहीं गिना जा सकता है; एक बात के लिए, गणितीय प्रमेय जो परिमित समुच्चयों के लिए इस सामान्य अर्थ को रेखांकित करते हैं, अनंत समुच्चयों के लिए झूठे हैं। इसके अतिरिक्त, अवधारणाओं की विभिन्न परिभाषाएँ जिनके संदर्भ में इन प्रमेयों को कहा गया है, जबकि परिमित समुच्चयों के समतुल्य, अनंत समुच्चयों के संदर्भ में असमान हैं।

कुछ सुविचारित समुच्चय के साथ एक आपत्ति स्थापित करने के अर्थ में गिनती की धारणा को उनके लिए विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक समुच्चय को सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ आपत्ति में लाया जा सकता है, तो इसे गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है। इस प्रकार की गिनती मौलिक रूप से परिमित समूहों की गिनती से भिन्न होती है, जिसमें एक समूह में नए तत्वों को जोड़ना आवश्यक रूप से इसके आकार में वृद्धि नहीं करता है, क्योंकि मूल समूह के साथ आपत्ति की संभावना को बाहर नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, सभी पूर्णांकों के समूह को प्राकृतिक संख्याओं के समूह के साथ आक्षेप में लाया जा सकता है, और तर्कसंगत संख्याओं के सभी परिमित अनुक्रमों की तरह प्रतीत होने वाले बहुत बड़े समूह अभी भी अनगिनत रूप से अनंत हैं। फिर भी, ऐसे समुच्चय हैं, जैसे कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, जो प्राकृतिक संख्याओं के साथ आपत्ति स्वीकार करने के लिए बहुत बड़ा दिखाया जा सकता है, और इन समुच्चयों को अगणनीय समुच्चय कहा जाता है। जिन समूहों के लिए उनके बीच एक आक्षेप सम्मलित है, उन्हें एक ही प्रमुखता कहा जाता है, और सबसे सामान्य अर्थों में एक समूह की गणना करने के लिए इसकी प्रमुखता का निर्धारण करने के लिए लिया जा सकता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या द्वारा दी गई प्रमुखता से परे, अनंत प्रमुखता का एक अनंत पदानुक्रम है, चूंकि साधारण गणित में बहुत कम ऐसी प्रमुखता होती है | (अर्थात, समूह सिद्धांत के बाहर जो स्पष्ट रूप से संभव प्रमुखता का अध्ययन करता है)।

गिनती,अधिकतम परिमित समुच्चय, के गणित में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। एक महत्वपूर्ण सिद्धांत यह है कि यदि दो समुच्चय X और Y में तत्वों की समान परिमित संख्या और एक फलन हो f: X → Y को अंतःक्षेपी के रूप में जाना जाता है, तो यह विशेषण भी है, और इसके विपरीत। एक संबंधित तथ्य को कबूतर सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि यदि दो समुच्चय X और Y में n > m के साथ तत्वों की परिमित संख्या n और m है , फिर कोई नक्शा f: X → Y अंतःक्षेपी नहीं है (इसलिए एक्स के दो भिन्न -भिन्न तत्व सम्मलित हैं जो f Y के समान तत्व को भेजता है); यह पूर्व सिद्धांत से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि f अंतःक्षेपी थे, तो एम तत्वों के साथ X के एक कठोर उपसमुच्चय S के लिए प्रतिबंध और विस्तार होगा, जो प्रतिबंध तब विशेषण होगा, इस तथ्य का खंडन करता है कि Xमें S के बाहर X, f(x) प्रतिबंध की छवि में नहीं हो सकता। समान गिनती के तर्क स्पष्ट रूप से उदाहरण प्रदान किए बिना कुछ वस्तुओं के अस्तित्व को सिद्ध कर सकते हैं। अपरिमित समुच्चयों के स्थिति में यह उन स्थितियों में भी लागू हो सकता है जहां उदाहरण देना असंभव है।[citation needed] गणनात्मक साहचर्य का डोमेन परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या की गणना करने से संबंधित है, वास्तव में उन्हें गिनने के बिना; उत्तरार्द्ध प्रायः पर असंभव होता है क्योंकि परिमित समुच्चय के अनंत परिवारों को एक ही बार में माना जाता है, जैसे किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए {1, 2, ..., n} के क्रम परिवर्तन का समुच्चय ।

यह भी देखें


संदर्भ

  1. ↑ An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition) by Howard Eves (1990) p.9
  2. ↑ "प्रारंभिक मानव गणना उपकरण". Math Timeline. Retrieved 2018-04-26.
  3. ↑ Macey, Samuel L. (1989). प्रगति की गतिशीलता: समय, विधि और माप. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. p. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8.
  4. ↑ 4.0 4.1 Evans, James (1998). "4". प्राचीन खगोल विज्ञान का इतिहास और अभ्यास. Oxford University Press. p. 164. ISBN 019987445X.
  5. ↑ "संसद के लिए विधेयकों का मसौदा तैयार करना". gov.uk. Office of the Parliamentary Counsel. See heading 8.
  6. ↑ Butterworth, B., Reeve, R., Reynolds, F., & Lloyd, D. (2008). Numerical thought with and without words: Evidence from indigenous Australian children. Proceedings of the National Academy of Sciences, 105(35), 13179–13184.
  7. ↑ Gordon, P. (2004). Numerical cognition without words: Evidence from Amazonia. Science, 306, 496–499.
  8. ↑ Fuson, K.C. (1988). Children's counting and concepts of number. New York: Springer–Verlag.
  9. ↑ Le Corre, M., & Carey, S. (2007). One, two, three, four, nothing more: An investigation of the conceptual sources of the verbal counting principles. Cognition, 105, 395–438.
  10. ↑ Le Corre, M., Van de Walle, G., Brannon, E. M., Carey, S. (2006). Re-visiting the competence/performance debate in the acquisition of the counting principles. Cognitive Psychology, 52(2), 130–169.
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