डिरैक डेल्टा फलन: Difference between revisions
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[[गणितीय भौतिकी]] में, '''डिराक डेल्टा फलन''' ('''{{mvar|δ}} फलन'''), जिसे '''इकाई आवेग''' के रूप में भी जाना जाता है,{{sfn|atis|2013|loc=unit impulse}} [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] पर एक सामान्यीकृत फलन या फलन (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर [[अभिन्न|समाकल]] एक के समान है।{{sfn|Arfken|Weber|2000|p=84}}{{sfn|Dirac|1930|loc=§22 The ''δ'' function}}{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Volume I, §1.1}} | [[गणितीय भौतिकी]] में, '''डिराक डेल्टा फलन''' ('''{{mvar|δ}} फलन'''), जिसे '''इकाई आवेग''' के रूप में भी जाना जाता है,{{sfn|atis|2013|loc=unit impulse}} [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] पर एक सामान्यीकृत फलन या फलन (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर [[अभिन्न|समाकल]] एक के समान है।{{sfn|Arfken|Weber|2000|p=84}}{{sfn|Dirac|1930|loc=§22 The ''δ'' function}}{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Volume I, §1.1}} | ||
इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक [[रैखिक कार्यात्मक|रैखिकफलन]] के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, <math>f(x)</math>) को उसके डोमेन <math>f(0)</math>) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है,{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Volume I, §1.3}}{{sfn|Schwartz|1950|p=3}} या बम्प फलन के [[अनुक्रम]] की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, <math>\delta(x) = \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(x/b)^2}</math>), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी <nowiki>''</nowiki>अनुमानित<nowiki>''</nowiki> या <nowiki>''</nowiki>उदीयमान<nowiki>''</nowiki> डेल्टा फलन कहा जाता है। | इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक [[रैखिक कार्यात्मक|रैखिकफलन]] के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, <math>f(x)</math>) को उसके डोमेन <math>f(0)</math>) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है,{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Volume I, §1.3}}{{sfn|Schwartz|1950|p=3}} या बम्प फलन के [[अनुक्रम]] की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, <math>\delta(x) = \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(x/b)^2}</math>), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी <nowiki>''</nowiki>अनुमानित<nowiki>''</nowiki> या <nowiki>''</nowiki>उदीयमान<nowiki>''</nowiki> डेल्टा फलन कहा जाता है। |
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दायरा |
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समाधान |
लोग |
गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा फलन (δ फलन), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है,[1] वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या फलन (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल एक के समान है।[2][3][4]
इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलन के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, ) को उसके डोमेन ) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है,[5][6] या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, ), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी ''अनुमानित'' या ''उदीयमान'' डेल्टा फलन कहा जाता है।
डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा सदिश अवस्था के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। प्रायिकता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने फलन के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।
प्रेरणा और समीक्षा
डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है।[7]: 174 डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।
विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इकाई kg⋅m⋅s−1 के साथ संवेग P प्रदान होता है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना सुविधाजनक है। इसलिए बल P δ(t) है; δ(t) की इकाइयाँ s−1 है।
इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,
डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटन की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए
व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन फलनों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।
डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं f(x) = δ(x) और g(x) = 0, x = 0 को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि f और g ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह f = g है, तब f पूर्णांक है यदि और केवल यदि g पूर्णांक है और f और g के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या फलन (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।
इतिहास
जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:[8]
जैसा कि फलन के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है
- शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। फलनों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।
यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है, ''प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L2-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के फलनों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के फलन के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ...,[15] और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।
एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची फलन का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। [16] सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था।[17] डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था[18] और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था।[3] इसे ''डेल्टा फलन'' कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।
परिभाषाएँ
डिराक डेल्टा फलन को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,
डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है
मापक के रूप में
डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा R के उपसमुच्चय A को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि 0 ∈ A है तो δ(A) = 1 देता है, और अन्यथा δ(A) = 0 देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब δ(A) समुच्चय A में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान फलन के प्रति किसी फलन के समाकल फलन के रूप में δ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप δ के संबंध में लेब्सेग समाकल
R पर प्रायिकता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी फलन फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।[23]
फलन के रूप में
फलन (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति ''एकीकृत'' किया जाता है।[25] इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से ''अच्छे'' परीक्षण फलन φ के प्रति डेल्टा फलन का ''समाकल'' क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।
परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि सघन समर्थन के साथ R पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। फलन के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है।[26]
-
(1)
प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए है।
δ के उचित फलन के लिए, इसे परीक्षण फलन के समष्टि पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होता है। सामान्य रूप में, फलन को परिभाषित करने के लिए परीक्षण फलनों के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक S के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक N के लिए एक पूर्णांक MN और एक स्थिर CN होता है, जिससे प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए असमानता होती है।[27]
डेल्टा फलन को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड सोपान फलन का फलनात्मक व्युत्पन्न है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ, एक है।
सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले फलन के अर्थ में होता है, डिराक माप, माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा फलन शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।
सामान्यीकरण
डेल्टा फलन को n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि Rn में इस तरह के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
-
(2)
डेल्टा फलन को एक-विमीय प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार फलन के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है।[29] हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बदले, (2) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि फलन के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।[30][31]
डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है।[32] इस प्रकार यदि X एक समुच्चय है, x0 ∈ X एक चिह्नित बिंदु है, और Σ, X के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय A ∈ Σ पर परिभाषित माप
डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक बहुरूप है जहां फलन के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण पराक्रम किया जा सकता है। बिंदु x0 ∈ M पर केन्द्रित बहुरूपता M पर डेल्टा फलन को निम्नलिखित फलन के रूप में परिभाषित किया गया है:
-
(3)
M पर सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन φ के लिए हैं।[33] इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें M यूक्लिडियन समष्टि Rn में एक विवृत समुच्चय हैं।
स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि X पर, एक बिंदु x पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, सघन रूप से समर्थित सतत फलन φ पर डेनियल समाकल (3) से जुड़ा रेडॉन माप हैं।[34] व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, X पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में X का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत X के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक X पर प्रायिकता माप के प्रायिकता माप के समष्टि में सघन हैं।[35]
गुण
सोपान और समरूपता
डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर α के लिए निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है :[36]
-
(4)
सोपान गुण प्रमाण:
विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक समान फलन (समरूपता) है, इस अर्थ में
बीजगणितीय गुण
x के साथ δ का फलनात्मक उत्पाद शून्य के समान है:
अनुवाद
समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल है[38]
इसका तात्पर्य यह है कि किसी फलन f(t) को समय-विलंबित डिराक डेल्टा के साथ संयोजित करने का प्रभाव f(t) को समान मात्रा में समय-विलंबित करना है:
फलन के साथ रचना
अधिक सामान्यतः, डेल्टा फलन एक सुचारु फलन g(x) के साथ इस तरह से बनाया जा सकता है कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन का मानना है कि
अनिश्चित समाकल
एक स्थिरांक a ∈ ℝ और एक "अच्छे व्यवहार वाले" स्वेच्छाचारी वास्तविक-मूल्यवान फलन y(x) के लिए यह सत्य है कि:
n आयामों में गुण
n-विमीय समष्टि में डेल्टा फलन इसके बदले निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है,
किसी भी प्रतिबिंब या घूर्णन ρ के अंतर्गत, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है,
ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में निमज्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत विभेदक फलन g : Rn → R के विशेष प्रकरण में जैसे कि g का प्रवणता कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित तत्समक संचालित है।[44]
अधिक सामान्यतः, यदि S, Rn की एक सुचारू अधिपृष्ठ है, तो हम S से उस फलन को संबद्ध कर सकते हैं जो S पर किसी भी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलन g को एकीकृत करता है:
तीन विमीय में, डेल्टा फलन को गोलाकार निर्देशांक में दर्शाया गया है:
फूरिये रूपांतर
डेल्टा फलन एक टेम्पर्ड फलन है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतर है। औपचारिक रूप से, कोई ढूँढ़ें[47]
इस तत्समक के परिणामस्वरूप, किसी अन्य टेम्पर्ड फलन S के साथ डेल्टा फलन का संवलन केवल S है:
टेम्पर्ड फलन f(ξ) = 1 का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण डेल्टा फलन है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
इन शब्दों में, डेल्टा फलन R फूरियर कर्नेल की लंबकोणीयता गुण का एक सांकेतिक विवरण प्रदान करता है। औपचारिक रूप से, किसी के पास है
फूरियर रूपांतर की विश्लेषणात्मक निरंतरता से डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है।[48]
डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न
डिराक डेल्टा फलन का व्युत्पन्न, जिसे δ′ दर्शाया गया है और इसे डिराक डेल्टा मूल या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि संकेतक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे सघन रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलन φ द्वारा परिभाषित किया गया है[49]
डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की फलन सीमा है:[50]
डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई आधारिक गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं:[52]
इन गुणों में से बाद वाले को फलनात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को उपयोजित करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:[53]
उच्चतर आयाम
अधिक सामान्यतः, n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि ℝn में विवृत समुच्चय U पर एक बिंदु पर केंद्रित डिराक डेल्टा फलन a ∈ U को सभी द्वारा परिभाषित किया गया है।[54]
डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय समतल के साथ दोहरी परतों के रूप में माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी सतह पर समर्थित एक साधारण परत का सामान्य व्युत्पन्न उस सतह पर समर्थित एक दोहरी परत होती है और एक लामिना चुंबकीय मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करता है। डेल्टा फलन के उच्च व्युत्पन्न को भौतिकी में मल्टीपोल के रूप में जाना जाता है।
उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ फलन की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। यदि S एकल बिंदु वाले समुच्चय{a} पर समर्थित U पर कोई फलन है, तब तो एक पूर्णांक m और गुणांक cα है जैसे कि[54][55]
डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व
डेल्टा फलन को फलनों के अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है
-
(5)
सघन समर्थन वाले सभी सतत फलन f के लिए, या यह सीमा सघन समर्थन वाले सभी सुचारु फलन f के लिए है। दुर्बल अभिसरण के इन दो अलग-अलग प्रकार के मध्य का अंतर प्रायः सूक्ष्म होता है: पहला मापों की अस्पष्ट टोपोलॉजी में अभिसरण है, और दूसरा फलन के अर्थ में अभिसरण है।
तत्समक का अनुमान
सामान्यतः एक नवागत डेल्टा फलन ηε का निर्माण निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है। मान लीजिए η कुल समाकल 1 के R पर एक पूर्णतया समाकलनीय फलन है, और
इस तरह से निर्मित ηε को तत्समक के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।[57] यह शब्दावली इसलिए है क्योंकि पूर्णतः समाकलनीय फलनों का समष्टि L1(R) फलनों के संवलन के अंतर्गत बंद है: f ∗ g ∈ L1(R) जब भी f और g L1(R) में होता हैं। हालाँकि, संवलन उत्पाद के लिए L1(R) में कोई तत्समक नहीं है: कोई तत्व h ऐसा नहीं है कि सभी f के लिए f ∗ h = f हैं। फिर भी, अनुक्रम ηε इस अर्थ में ऐसी तत्समक का अनुमान लगाता है
यदि प्रारंभिक η = η1स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को मोलिफ़ायर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त सामान्यीकृत बम्प फलन के रूप में η का चयन करके मानक मोलिफ़ायर प्राप्त किया जाता है।
संभाव्य विचार
प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में, अतिरिक्त प्रतिबंध लगाना स्वाभाविक है कि तत्समक के सन्निकटन में प्रारंभिक η1 धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसा फलन तब प्रायिकता फलन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रायिकता फलन के साथ संवलन कभी-कभी अनुकूल होता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूपओवरशूट (संकेत) या अंडरशूट नहीं होता है, क्योंकि निर्गत निवेश मानों का उत्तल संयोजन होता है, और इस प्रकार निवेश फलन के अधिकतम और न्यूनतम के मध्य आता है। η1 को किसी भी प्रायिकता फलन के रूप में लेना, और उपरोक्त के अनुसार ηε(x) = η1(x/ε)/ε देने से तत्समक का अनुमान लगाया जा सकता है। सामान्य रूप में यह अधिक तेजी से डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाता है, यदि, इसके अतिरिक्त, η का अर्थ 0 है और इसमें छोटे उच्च क्षण हैं। उदाहरण के लिए, यदि η1 पर एक समान फलन है, जिसे आयताकार फलन भी कहा जाता है, फिर:[59]
अर्धसमूह
नवागत डेल्टा फलन प्रायः संवलन अर्धसमूह के रूप में उत्पन्न होता हैं।[60] यह आगे के प्रतिबंध के समान है जो कि ηδ के साथ ηε का संवलन सभी
व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित दीर्घवृत्तीय या परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के लिए मौलिक समाधान या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के निर्गत के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक प्रचालक है जो x के फलनों पर कार्य करता है, तो प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान करने से एक संवलन अर्धसमूह उत्पन्न होता है
ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण संवलन अर्धसमूह के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं।
हीट कर्नेल
हीट कर्नेल, द्वारा परिभाषित
प्रायिकता सिद्धांत में, ηε(x) विचरण ε और माध्य 0 का एक सामान्य फलन है। यह एक मानक ब्राउनियन गति के बाद मूल से आरंभिक होने वाले कण की स्थिति के समय t = ε पर प्रायिकता घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। इस संदर्भ में, अर्धसमूह स्थिति ब्राउनियन गति की मार्कोव गुण की अभिव्यक्ति है।
उच्च-विमीय यूक्लिडियन समष्टि Rn में, हीट कर्नेल है
पॉइसन कर्नेल
पॉइसन कर्नेल
ऑसिलेटरी समाकल
तरंग संचरण और तरंग यांत्रिकी जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, इसमें सम्मिलित समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण हैं और इसलिए उनके अधिक अद्वितीय समाधान होता हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित कॉची समस्याओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवागत डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल होते हैं। एक उदाहरण, जो ट्रांसोनिक गैस गतिशीलता के यूलर-ट्राइकोमी समीकरण के समाधान से आता है,[63] पुन: स्केल किया गया एयरी फलन है
एक अन्य उदाहरण R1+1 तरंग समीकरण के लिए कॉची समस्या है:[64]
इस प्रकार की तत्समक के अन्य अनुमानों में सिनक फलन (इलेक्ट्रॉनिक्स और दूरसंचार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सम्मिलित है।
समतल तरंग अपघटन
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण
डेल्टा फलन का समतल तरंगों में इस तरह का अपघटन एक सामान्य तकनीक का भाग था जिसे पहले अनिवार्य रूप से जोहान रेडॉन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और फिर फ़्रिट्ज़ जॉन (1955) द्वारा इस रूप में विकसित किया गया था।[65] k का चयन करे ताकि n + k एक सम पूर्णांक है, और एक वास्तविक संख्या s के लिए, लगाएं
फूरियर कर्नेल
फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। अवधि 2π के फलन f की फूरियर श्रृंखला का n-वां आंशिक योग डिरिचलेट कर्नेल के साथ संवलन (अंतराल [−π,π] पर) द्वारा परिभाषित किया गया है:
इसके बदले, परिणाम सभी सघन रूप से समर्थित सतत फलन के लिए मान्य नहीं है: अर्थात् DN मापक के अर्थ में कमजोर रूप से अभिसरण नहीं करती है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की कमी के कारण अभिसरण उत्पन्न करने के लिए विभिन्न प्रकार की योग्यता विधियों का प्रारंभ हुआ है। सेसरो योग की विधि फेजर कर्नेल की ओर ले जाती है।[67]
हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत
डिराक डेल्टा फलन वर्ग-समाकल फलनों के हिल्बर्ट समष्टि L2 पर एक सघन रूप से परिभाषित असीमित रैखिक कार्यात्मक है। वास्तव में, सुचारु रूप से समर्थित फलन L2 में सघन हैं, और ऐसे फलनों पर डेल्टा फलन की कार्रवाई अच्छी तरह से परिभाषित है। कई अनुप्रयोगों में, L2 के उपसमष्टि की तत्समक करना संभव है और एक मजबूत टोपोलॉजी देना संभव है, जिस पर डेल्टा फलन एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है।
सोबोलेव समष्टि
वास्तविक रेखा R पर सोबोलेव समष्टि के लिए सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का तात्पर्य यह है कि कोई भी वर्ग-समाकल फलन f जैसे कि
होलोमोर्फिक फलन के समष्टि
सम्मिश्र विश्लेषण में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दृढतापूर्वक कहता है कि यदि D सुचारू सीमा के साथ सम्मिश्र समतल में एक डोमेन है, तो
तत्समक के संकल्प
एक अलग हिल्बर्ट समष्टि में फलन{φn} के पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार समुच्चय को देखते हुए, उदाहरण के लिए, सघन स्वयं-एडजॉइंट प्रचालक के सामान्यीकृत आइजन्सदिश, किसी भी सदिश f को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
अत्युणु डेल्टा फलन
कॉची ने 1827 में कई लेखों में एक इकाई आवेग, अपरिमित लंबा और संकीर्ण डायराक-प्रकार डेल्टा फलन δα को संतुष्ट करने वाले को लिखने के लिए एक अपरिमित छोटे α का उपयोग किया है।[74] कॉची ने कौर्स d'विश्लेशण (1827) में शून्य की ओर प्रवृत्त अनुक्रम के संदर्भ में एक अतिसूक्ष्म को परिभाषित करता है। अर्थात्, कॉची और लज़ारे कार्नोट की शब्दावली में ऐसा शून्य अनुक्रम एक अत्यंत छोटा अनुक्रम बन जाता है।
गैर-मानक विश्लेषण किसी को अतिसूक्ष्म के साथ कठोरता से व्यवहार करने की अनुमति देता है। यामाशिता (2007) के लेख में हाइपररियल द्वारा प्रदान किए गए एक अनंत-समृद्ध सातत्य के संदर्भ में आधुनिक डिराक डेल्टा फलन पर एक ग्रंथ सूची सम्मिलित है। यहां डिराक डेल्टा को एक वास्तविक फलन द्वारा दिया जा सकता है, जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक वास्तविक फलन F के लिए होता है, जैसा कि फूरियर और कॉची द्वारा प्रत्याशित होता है।
डिराक कॉम्ब
डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान ''पल्स ट्रेन'', जिसे डिराक कॉम्ब या शा फलन के रूप में जाना जाता है, एक प्रतिदर्श (सिग्नल संसाधन) फलन बनाता है, जिसका उपयोग प्रायः डिजिटल सिग्नल प्रसंस्करण (डीएसपी) और असतत समय सिग्नल विश्लेषण में किया जाता है। डिराक कॉम्ब को अनंत योग के रूप में दिया गया है, जिसकी सीमा फलन अर्थ में समझी जाती है,
समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कॉम्ब अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि f कोई श्वार्ट्ज फलन है, तो f की अवधि संवलन द्वारा दी गई है
सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय
क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय, डेल्टा फलन को फलन p.v. 1/x से संबंधित करता है, फलन 1/x का कॉची प्रमुख मूल्य, द्वारा परिभाषित
क्रोनकर डेल्टा से संबंध
क्रोनकर डेल्टा δij द्वारा परिभाषित मात्रा है
अनुप्रयोग
प्रायिकता सिद्धांत
प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग प्रायिकता घनत्व फलन (जो सामान्यतः यथार्थतः सतत फलन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है) का उपयोग करके असतत फलन, या आंशिक रूप से असतत, आंशिक रूप से सतत फलन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक असतत फलन की प्रायिकता घनत्व फलन f(x) जिसमें बिंदु x = {x1, ..., xn} सम्मिलित है, संबंधित संभावनाओं p1, ..., pn के साथ, इस प्रकार लिखा जा सकता है
क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन योग्य है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के अंतर्गत एक कण को खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि L2 के तत्व माना जाता है, और किसी दिए गए अंतराल के अंतर्गत एक कण को खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल है। तरंग फलनों का एक समुच्चय {|φn⟩} लंबात्मक होता है यदि उन्हें इसके द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है
इसी तरह के विचार संवेग संचालक के अभिलक्षणिक अवस्था, या वास्तव में हिल्बर्ट समष्टि पर किसी अन्य स्व-सहायक अपरिबद्धि प्रचालक P पर उपयोजित होते हैं, बशर्ते कि P का स्पेक्ट्रम सतत है और कोई विकृत अभिलक्षणिक मान नहीं हैं। उस स्थिति में, वास्तविक संख्याओं (स्पेक्ट्रम) का एक समुच्चय Ω है, और Ω के तत्वों द्वारा अनुक्रमित फलन का एक संग्रह φy है, जैसे कि
डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरी क्षमता वाले डेल्टा संभावित प्रतिरूप भी है।
संरचनात्मक यांत्रिकी
डेल्टा फलन का उपयोग संरचनात्मक यांत्रिकी में संरचनाओं पर अभिनय करने वाले क्षणिक भार या बिंदु भार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। समय t = 0 पर आकस्मिक बल आवेग I से उत्तेजित एक सरल द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का गवर्निंग समीकरण (भौतिकी) लिखा जा सकता है।
एक अन्य उदाहरण के रूप में, यूलर-बर्नौली सिद्धांत के अनुसार, एक तनु बीम (संरचना) के स्थिर विक्षेपण को नियंत्रित करने वाला समीकरण है,
साथ ही, बीम पर कार्य करने वाले एक बिंदु क्षण को डेल्टा फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। दूरी d पर दो विरोधी बिंदु बलों F पर विचार किया जा सकता है। फिर वे बीम पर कार्य करते हुए एक क्षण M = Fd उत्पन्न करते हैं। अब दूरी d को सीमा शून्य तक पहुंचने दें, जबकि M स्थिर रखा गया हैं। भार फलन, x = 0 पर कार्य करने वाले दक्षिणावर्त क्षण को मानते हुए लिखा जाता है।
यह भी देखें
- परमाणु (माप सिद्धांत)
- सूचक का लाप्लासियन
टिप्पणियाँ
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बाहरी संबंध
- Media related to डिरैक डेल्टा फलन at Wikimedia Commons
- "Delta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- KhanAcademy.org video lesson
- The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
- Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
- The Dirac delta measure is a hyperfunction
- We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
- Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. Archived 2008-03-07 at the Wayback Machine