डिरैक डेल्टा फलन: Difference between revisions
(TEXT) |
(TEXT) |
||
Line 88: | Line 88: | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(dx) = f(0)</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(dx) = f(0)</math> | ||
सभी सतत | सभी सतत सघन रूप से समर्थित फलन {{mvar|f}} को संतुष्ट करता है। माप {{mvar|δ}} [[लेब्सेग माप]] के संबंध में [[बिल्कुल निरंतर|बिल्कुल सतत]] नहीं है - वास्तव में, यह एक अद्वितीय माप है। परिणामस्वरूप, डेल्टा माप में कोई रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न नहीं है (लेबेस्ग माप के संबंध में) - कोई वास्तविक फलन नहीं जिसके लिए गुण धारण करती है।{{sfn|Hewitt|Stromberg|1963|loc=§19.61}} | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta(x)\, dx = f(0)</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta(x)\, dx = f(0)</math> | ||
Line 111: | Line 111: | ||
वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति <nowiki>''एकीकृत''</nowiki> किया जाता है।{{sfn|Hazewinkel|2011|p=[{{google books |plainurl=y |id=_YPtCAAAQBAJ|page=41}} 41]}} इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से <nowiki>''अच्छे''</nowiki> परीक्षण फलन {{mvar|φ}} के प्रति डेल्टा फलन का <nowiki>''समाकल''</nowiki> क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है। | वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति <nowiki>''एकीकृत''</nowiki> किया जाता है।{{sfn|Hazewinkel|2011|p=[{{google books |plainurl=y |id=_YPtCAAAQBAJ|page=41}} 41]}} इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से <nowiki>''अच्छे''</nowiki> परीक्षण फलन {{mvar|φ}} के प्रति डेल्टा फलन का <nowiki>''समाकल''</nowiki> क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है। | ||
परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] के साथ {{math|'''R'''}} पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है{{sfn|Strichartz|1994|loc=§2.2}} | परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि [[कॉम्पैक्ट समर्थन|सघन समर्थन]] के साथ {{math|'''R'''}} पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है{{sfn|Strichartz|1994|loc=§2.2}} | ||
{{NumBlk|:| <math>\delta[\varphi] = \varphi(0)</math>|{{EquationRef|1}}}} | {{NumBlk|:| <math>\delta[\varphi] = \varphi(0)</math>|{{EquationRef|1}}}} | ||
Line 120: | Line 120: | ||
<math display="block">\left|S[\varphi]\right| \le C_N \sum_{k=0}^{M_N}\sup_{x\in [-N,N]} \left|\varphi^{(k)}(x)\right|</math> | <math display="block">\left|S[\varphi]\right| \le C_N \sum_{k=0}^{M_N}\sup_{x\in [-N,N]} \left|\varphi^{(k)}(x)\right|</math> | ||
कहाँ {{math|sup}} [[सबसे निचला और उच्चतम|सर्वोच्च]] का प्रतिनिधित्व करता है। {{mvar|δ}} वितरण के साथ, सभी {{mvar|N}} के लिए {{math|1=''M''<sub>''N''</sub> = 0}} के साथ ऐसी असमानता ({{math|1=''C''<sub>''N''</sub> = 1}} के साथ) होती है। इस प्रकार {{mvar|δ}} क्रम शून्य का वितरण है। इसके अलावा, यह | कहाँ {{math|sup}} [[सबसे निचला और उच्चतम|सर्वोच्च]] का प्रतिनिधित्व करता है। {{mvar|δ}} वितरण के साथ, सभी {{mvar|N}} के लिए {{math|1=''M''<sub>''N''</sub> = 0}} के साथ ऐसी असमानता ({{math|1=''C''<sub>''N''</sub> = 1}} के साथ) होती है। इस प्रकार {{mvar|δ}} क्रम शून्य का वितरण है। इसके अलावा, यह सघन समर्थन वाला एक वितरण है (समर्थन{{math|{{brace|0}}}}है)। | ||
डेल्टा वितरण को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड सोपान फलन]] का [[वितरणात्मक व्युत्पन्न]] है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए {{mvar|φ}}, एक है | डेल्टा वितरण को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह [[हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन|हेविसाइड सोपान फलन]] का [[वितरणात्मक व्युत्पन्न]] है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए {{mvar|φ}}, एक है | ||
Line 131: | Line 131: | ||
<math display="block">-\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\, dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dH(x).</math> | <math display="block">-\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\, dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dH(x).</math> | ||
माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा वितरण को वृद्धि देता है। इसके विपरीत, समीकरण ({{EquationNote|1}}) सभी | माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा वितरण को वृद्धि देता है। इसके विपरीत, समीकरण ({{EquationNote|1}}) सभी सघन रूप से समर्थित सतत फलनों के समष्टि पर एक[[ डेनियल अभिन्न | डेनियल समाकल]] को परिभाषित करता है {{mvar|φ}} जिसे रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, कुछ [[रेडॉन माप]] के संबंध में {{mvar|φ}} के लेबेस्ग समाकल के रूप में दर्शाया जा सकता है। | ||
सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं। | सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं। | ||
Line 139: | Line 139: | ||
<math display="block">\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(d\mathbf{x}) = f(\mathbf{0})</math> | <math display="block">\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(d\mathbf{x}) = f(\mathbf{0})</math> | ||
प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन {{mvar|f}} के लिए है। एक माप के रूप में, {{mvar|n}}- | प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन {{mvar|f}} के लिए है। एक माप के रूप में, {{mvar|n}}-विमीय डेल्टा फलन प्रत्येक चर में अलग-अलग 1-विमीय डेल्टा फलन का [[उत्पाद माप]] है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से, {{math|1='''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} के साथ, किसी के पास है{{sfn|Bracewell|1986|loc=Chapter 5}} | ||
{{NumBlk|:|<math>\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\,\delta(x_2)\cdots\delta(x_n).</math>|{{EquationRef|2}}}} | {{NumBlk|:|<math>\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\,\delta(x_2)\cdots\delta(x_n).</math>|{{EquationRef|2}}}} | ||
डेल्टा फलन को एक- | डेल्टा फलन को एक-विमीय प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार वितरण के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है।{{sfn|Hörmander|1983|loc=§3.1}} हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बावजूद, ({{EquationNote|2}}) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि वितरण के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।{{sfn|Strichartz|1994|loc=§2.3}}{{sfn|Hörmander|1983|loc=§8.2}} | ||
डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है।{{sfn|Rudin |1966 |loc=§1.20}} इस प्रकार यदि {{mvar|X}} एक समुच्चय है, {{math|''x''<sub>0</sub> ∈ ''X''}} एक चिह्नित बिंदु है, और {{math|Σ}}, {{mvar|X}} के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय {{math|''A'' ∈ Σ}} पर परिभाषित माप | डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है।{{sfn|Rudin |1966 |loc=§1.20}} इस प्रकार यदि {{mvar|X}} एक समुच्चय है, {{math|''x''<sub>0</sub> ∈ ''X''}} एक चिह्नित बिंदु है, और {{math|Σ}}, {{mvar|X}} के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय {{math|''A'' ∈ Σ}} पर परिभाषित माप | ||
Line 157: | Line 157: | ||
{{NumBlk|:|<math>\delta_{x_0}[\varphi] = \varphi(x_0)</math>|{{EquationRef|3}}}} | {{NumBlk|:|<math>\delta_{x_0}[\varphi] = \varphi(x_0)</math>|{{EquationRef|3}}}} | ||
{{mvar|M}} पर सभी | {{mvar|M}} पर सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन {{mvar|φ}} के लिए हैं।{{sfn|Dieudonné|1972|loc=§17.3.3}} इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें {{mvar|M}} यूक्लिडियन समष्टि {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में एक [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] हैं। | ||
[[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान|स्थानीय रूप से | [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान|स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि]] {{mvar|X}} पर, एक बिंदु {{mvar|x}} पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, सघन रूप से समर्थित सतत फलन {{mvar|φ}} पर डेनियल समाकल ({{EquationNote|3}}) से जुड़ा रेडॉन माप हैं।<ref>{{Cite book|last1=Krantz|first1=Steven G.|url={{google books |plainurl=y |id=X_BKmVphIcsC&q }}|title=ज्यामितीय एकीकरण सिद्धांत|last2=Parks|first2=Harold R.|date=2008-12-15|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-8176-4679-0|language=en}}</ref> व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण <math>x_0\mapsto \delta_{x_0}</math>अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, {{mvar|X}} पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में {{mvar|X}} का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत {{mvar|X}} के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक {{mvar|X}} पर संभाव्यता माप के संभाव्यता माप के समष्टि में सघन हैं।{{sfn|Federer|1969|loc=§2.5.19}} | ||
==गुण== | ==गुण== | ||
=== | ===सोपान और समरूपता=== | ||
डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर {{mvar|α}} के लिए निम्नलिखित | डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर {{mvar|α}} के लिए निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है :{{sfn|Strichartz|1994|loc=Problem 2.6.2}} | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx | ||
Line 172: | Line 172: | ||
{{NumBlk|:|<math>\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.</math>|{{EquationRef|4}}}} | {{NumBlk|:|<math>\delta(\alpha x) = \frac{\delta(x)}{|\alpha|}.</math>|{{EquationRef|4}}}} | ||
सोपान गुण प्रमाण:<math display="block">\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{a}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') | |||
</math>जहां चर {{math|1=''x′'' = ''ax''}} में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। यदि {{mvar|a}} ऋणात्मक है, अर्थात्, {{math|1=''a'' = −{{!}}''a''{{!}}}}, तो | </math>जहां चर {{math|1=''x′'' = ''ax''}} में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। यदि {{mvar|a}} ऋणात्मक है, अर्थात्, {{math|1=''a'' = −{{!}}''a''{{!}}}}, तो | ||
<math display="block">\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{-\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}g(0). | <math display="block">\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{-\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}g(0). | ||
Line 209: | Line 209: | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \,dx = \delta(\eta-\xi).</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \,dx = \delta(\eta-\xi).</math> | ||
===फलन के साथ रचना=== | ===फलन के साथ रचना=== | ||
अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु | अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु फलन {{math|''g''(''x'')}} के साथ इस तरह से बनाया जा सकता है कि से कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन का मानना है कि | ||
<math display="block">\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,du</math> | <math display="block">\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,du</math> | ||
बशर्ते कि {{mvar|g}} एक सतत अवकलनीय फलन है जिसमें {{math|''g′''}} कहीं भी शून्य नहीं है।{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=Vol. 1, §II.2.5}}अर्थात, वितरण <math>\delta\circ g</math> को अर्थ निर्दिष्ट करने का एक अद्वितीय प्रकार है ताकि यह तत्समक सभी सघन रूप से समर्थित परीक्षण फलन {{mvar|f}} के लिए बना रहता है। इसलिए, {{math|1=''g′'' = 0}} बिंदु को बाहर करने के लिए डोमेन तोड़ा जाना चाहिए। यह वितरण {{math|1=''δ''(''g''(''x'')) = 0}} को संतुष्ट करता है यदि {{mvar|g}} कहीं भी शून्य नहीं है, और अन्यथा यदि {{mvar|g}} का वास्तविक मूल {{math|''x''<sub>0</sub>}} पर है, तो | |||
<math display="block">\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.</math> | <math display="block">\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.</math> | ||
इसलिए | इसलिए सतत भिन्न-भिन्न फलनों {{mvar|g}} के लिए संघटन {{math|''δ''(''g''(''x''))}} को परिभाषित करना स्वाभाविक है | ||
<math display="block">\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math> | <math display="block">\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}</math> | ||
जहां योग | जहां योग {{mvar|''g''(''x'')}} के सभी मूलों (अर्थात्, सभी अलग-अलग) पर विस्तारित होता है, जिन्हें सरल माना जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए | ||
<math display="block">\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big].</math> | <math display="block">\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big].</math> | ||
समाकल रूप में, सामान्यीकृत | समाकल रूप में, सामान्यीकृत सोपान गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है | ||
<math display="block"> \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}. </math> | <math display="block"> \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}. </math> | ||
===अनिश्चित समाकल=== | ===अनिश्चित समाकल=== | ||
एक स्थिरांक | एक स्थिरांक {{math|''a'' ∈ ℝ}} और एक "अच्छे व्यवहार वाले" स्वेच्छाचारी वास्तविक-मूल्यवान फलन {{math|''y''(''x'')}} के लिए यह सत्य है कि: | ||
<math display="block">\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + \mathbf{C}</math> | <math display="block">\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + \mathbf{C}</math> | ||
{{math|''H''(''x'')}} के साथ हेविसाइड सोपान फलन है और {{math|'''C'''}} पारंपरिक एकीकरण स्थिरांक है। | |||
=== | ===n आयामों में गुण=== | ||
{{mvar|n}}-विमीय समष्टि में डेल्टा वितरण इसके बदले निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है, | |||
<math display="block">\delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x}) ~,</math> | <math display="block">\delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x}) ~,</math> | ||
ताकि {{mvar|δ}} डिग्री | ताकि {{mvar|δ}} डिग्री {{math|−''n''}} का एक सजातीय वितरण है। | ||
किसी भी [[प्रतिबिंब (गणित)]] या [[घूर्णन (गणित)]] | किसी भी [[प्रतिबिंब (गणित)|प्रतिबिंब]] या [[घूर्णन (गणित)|घूर्णन]] {{mvar|ρ}} के अंतर्गत, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है, | ||
<math display="block">\delta(\rho \mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x})~.</math> | <math display="block">\delta(\rho \mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x})~.</math> | ||
जैसा कि एक-चर प्रकरण में, | जैसा कि एक-चर प्रकरण में, [[द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन]]<ref>Further refinement is possible, namely to [[submersion (mathematics)|submersions]], although these require a more involved change of variables formula.</ref> {{math|''g'': '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} के साथ {{mvar|δ}} की संरचना को विशिष्ट रूप से परिभाषित करना संभव है ताकि तत्समक | ||
<math display="block">\int_{\R^n} \delta(g(\mathbf{x}))\, f(g(\mathbf{x}))\left|\det g'(\mathbf{x})\right| d\mathbf{x} = \int_{g(\R^n)} \delta(\mathbf{u}) f(\mathbf{u})\,d\mathbf{u}</math> | <math display="block">\int_{\R^n} \delta(g(\mathbf{x}))\, f(g(\mathbf{x}))\left|\det g'(\mathbf{x})\right| d\mathbf{x} = \int_{g(\R^n)} \delta(\mathbf{u}) f(\mathbf{u})\,d\mathbf{u}</math> | ||
सभी | सभी सघन रूप से समर्थित फलन {{mvar|f}} के लिए है। | ||
[[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में | [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]] से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में निमज्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत विभेदक फलन {{math|''g'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''}} के विशेष प्रकरण में जैसे कि {{mvar|g}} का प्रवणता कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित तत्समक संचालित है{{sfn|Hörmander|1983|loc=§6.1}} | ||
<math display="block">\int_{\R^n} f(\mathbf{x}) \, \delta(g(\mathbf{x})) \,d\mathbf{x} = \int_{g^{-1}(0)}\frac{f(\mathbf{x})}{|\mathbf{\nabla}g|}\,d\sigma(\mathbf{x}) </math> | <math display="block">\int_{\R^n} f(\mathbf{x}) \, \delta(g(\mathbf{x})) \,d\mathbf{x} = \int_{g^{-1}(0)}\frac{f(\mathbf{x})}{|\mathbf{\nabla}g|}\,d\sigma(\mathbf{x}) </math> | ||
जहां दाहिनी ओर का समाकल | जहां दाहिनी ओर का समाकल {{math|''g''<sup>−1</sup>(0)}} से अधिक है, मिन्कोव्स्की विषय सूची माप के संबंध में {{math|(''n'' − 1)}}-विमीय सतह {{math|1=''g''('''x''') = 0}} द्वारा परिभाषित है। इसे सरल स्तर समाकल के रूप में जाना जाता है। | ||
|अधिक सामान्यतः, यदि {{mvar|S}} | |अधिक सामान्यतः, यदि {{mvar|S}}, {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} की एक सुचारू अधिपृष्ठ है, तो हम {{mvar|S}} से उस वितरण को संबद्ध कर सकते हैं जो {{mvar|S}} पर किसी भी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलन {{mvar|g}} को एकीकृत करता है: | ||
<math display="block">\delta_S[g] = \int_S g(\mathbf{s})\,d\sigma(\mathbf{s})</math> | <math display="block">\delta_S[g] = \int_S g(\mathbf{s})\,d\sigma(\mathbf{s})</math> | ||
जहां {{mvar|σ}} {{mvar|S}} से संबंधित अधिपृष्ठ माप है। यह सामान्यीकरण {{mvar|S}} पर सरल परत क्षमता के [[संभावित सिद्धांत]] से जुड़ा है। यदि {{mvar|D}} सुचारू सीमा {{mvar|S}} के साथ {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में एक [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)|डोमेन]] है, तो {{math|''δ''<sub>''S''</sub>}} वितरण अर्थ में {{mvar|D}} के संकेतक फलन के [[सामान्य व्युत्पन्न]] के समान है, | |||
<math display="block">-\int_{\R^n}g(\mathbf{x})\,\frac{\partial 1_D(\mathbf{x})}{\partial n}\,d\mathbf{x}=\int_S\,g(\mathbf{s})\, d\sigma(\mathbf{s}),</math> | <math display="block">-\int_{\R^n}g(\mathbf{x})\,\frac{\partial 1_D(\mathbf{x})}{\partial n}\,d\mathbf{x}=\int_S\,g(\mathbf{s})\, d\sigma(\mathbf{s}),</math> | ||
जहाँ {{mvar|n}} बाह्य सामान्य है।{{sfn|Lange|2012|loc=pp.29–30}}{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|p=212}} प्रमाण के लिए, उदाहरण देखें सतह डेल्टा फलन पर आलेख। | |||
तीन विमीय में, डेल्टा फलन को गोलाकार निर्देशांक में दर्शाया गया है: | |||
गोलाकार निर्देशांक में | |||
<math display="block">\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = | <math display="block">\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = | ||
Line 276: | Line 259: | ||
\displaystyle\frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0 | \displaystyle\frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
== | ==फूरिये रूपांतर== | ||
डेल्टा फलन एक | डेल्टा फलन एक टेम्पर्ड वितरण है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतर है। औपचारिक रूप से, कोई ढूँढ़ें<ref>The numerical factors depend on the [[Fourier transform#Other conventions|conventions]] for the Fourier transform.</ref> | ||
<math display="block">\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)dx = 1.</math> | <math display="block">\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)dx = 1.</math> | ||
उचित रूप से कहें तो, एक वितरण के फूरियर रूपांतरण को [[श्वार्ट्ज कार्य करता है|श्वार्ट्ज]] फलनों के साथ टेम्पर्ड वितरणों के द्वंद्व युग्मन <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> के अंतर्गत फूरियर रूपांतरण की स्व-संयुक्तता को उपयोजित करके परिभाषित किया गया है। इस प्रकार <math>\widehat{\delta}</math> को अद्वितीय टेम्पर्ड वितरण संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया गया है | |||
<math display="block">\langle\widehat{\delta},\varphi\rangle = \langle\delta,\widehat{\varphi}\rangle</math> | <math display="block">\langle\widehat{\delta},\varphi\rangle = \langle\delta,\widehat{\varphi}\rangle</math> | ||
सभी श्वार्ट्ज फलनों | सभी श्वार्ट्ज फलनों {{mvar|φ}} के लिए है। वास्तव में इससे <math>\widehat{\delta}=1</math> निष्कर्ष निकलता है। | ||
इस | |||
इस तत्समक के परिणामस्वरूप, किसी अन्य टेम्पर्ड वितरण {{mvar|S}} के साथ डेल्टा फलन का संवलन केवल {{mvar|S}} है : | |||
<math display="block">S*\delta = S.</math> | <math display="block">S*\delta = S.</math> | ||
यह तात्पर्य है कि टेम्पर्ड वितरण पर संवलन के लिए {{mvar|δ}} एक [[पहचान तत्व|तत्समक तत्व]] है, और वास्तव में, संवलन के अंतर्गत सघन रूप से समर्थित वितरण का समष्टि डेल्टा फलन की तत्समक के साथ एक सहयोगी बीजगणित है। यह गुण सिग्नल संसाधन में मौलिक है, क्योंकि टेम्पर्ड वितरण के साथ संवलन एक [[रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली]] है, और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को उपयोजित करने से इसकी [[आवेग प्रतिक्रिया|आवेग अनुक्रिया]] मापी जाती है। आवेग अनुक्रिया की गणना {{mvar|δ}} के लिए उपयुक्त सन्निकटन का चयन करके सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक की जा सकती है, और एक बार यह ज्ञात हो जाए तो यह प्रणाली को पूरी तरह से चित्रित करता है। {{section link | LTI प्रणाली सिद्धांत देखें|आवेग अनुक्रिया और संवलन।}} | |||
टेम्पर्ड वितरण | टेम्पर्ड वितरण {{math|1=''f''(''ξ'') = 1}} का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण डेल्टा फलन है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{2\pi i x\xi}\,d\xi = \delta(x)</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{2\pi i x\xi}\,d\xi = \delta(x)</math> | ||
और अधिक | और अधिक परिशुद्ध से, यह तब से अनुसरण करता है | ||
<math display="block">\langle 1, \widehat{f}\rangle = f(0) = \langle\delta,f\rangle</math> | <math display="block">\langle 1, \widehat{f}\rangle = f(0) = \langle\delta,f\rangle</math> | ||
सभी श्वार्ट्ज फलनों | सभी श्वार्ट्ज फलनों {{mvar|''f''}} के लिए है। | ||
इन शब्दों में, डेल्टा फलन | इन शब्दों में, डेल्टा फलन {{math|'''R'''}} फूरियर कर्नेल की लंबकोणीयता गुण का एक सांकेतिक विवरण प्रदान करता है। औपचारिक रूप से, किसी के पास है | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,dt = \delta(\xi_2 - \xi_1).</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty e^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,dt = \delta(\xi_2 - \xi_1).</math> | ||
निःसंदेह, यह इस | निःसंदेह, यह इस अभिकथन का आशुलिपि है कि फूरियर टेम्पर्ड वितरण का रूपांतरण करता है | ||
<math display="block">f(t) = e^{i2\pi\xi_1 t}</math> | <math display="block">f(t) = e^{i2\pi\xi_1 t}</math> | ||
है | है | ||
<math display="block">\widehat{f}(\xi_2) = \delta(\xi_1-\xi_2)</math> | <math display="block">\widehat{f}(\xi_2) = \delta(\xi_1-\xi_2)</math> | ||
जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को | जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को उपयोजित करके अनुसरण करता है। | ||
फूरियर | फूरियर रूपांतर की [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] से डेल्टा फलन का [[लाप्लास परिवर्तन]] पाया जाता है{{sfn|Bracewell|1986}} | ||
<math display="block"> \int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-st} \, dt=e^{-sa}.</math> | <math display="block"> \int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-st} \, dt=e^{-sa}.</math> | ||
==डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न== | ==डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न== | ||
डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, | डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, जिसे {{math|''δ′''}} दर्शाया गया है और इसे डिराक डेल्टा मूल या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि संकेतक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे सघन रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलन {{mvar|φ}} द्वारा परिभाषित किया गया है{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|p=26}} | ||
<math display="block">\delta'[\varphi] = -\delta[\varphi']=-\varphi'(0).</math> | <math display="block">\delta'[\varphi] = -\delta[\varphi']=-\varphi'(0).</math> | ||
यहां पहली समानता | यहां पहली समानता भागों द्वारा एक प्रकार का एकीकरण है, यदि {{mvar|δ}} तब एक सत्य फलन होता | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\varphi(x)\,dx | <math display="block">\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\varphi(x)\,dx | ||
= \delta(x)\varphi(x)|_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx | = \delta(x)\varphi(x)|_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx | ||
= -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx. | = -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx. | ||
= -\varphi'(0)</math> | = -\varphi'(0)</math>गणितीय प्रेरण द्वारा, {{mvar|δ}} के {{mvar|k|k}}-वें व्युत्पन्न को परीक्षण फलनों पर दिए गए वितरण के समान ही परिभाषित किया गया है<math display="block">\delta^{(k)}[\varphi] = (-1)^k \varphi^{(k)}(0).</math> | ||
विशेष रूप से, δ अनंततः भिन्न वितरण है। | |||
<math display="block">\delta^{(k)}[\varphi] = (-1)^k \varphi^{(k)}(0).</math> | |||
डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है:{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=§2.1}} | डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है:{{sfn|Gelfand|Shilov|1966–1968|loc=§2.1}} | ||
Line 323: | Line 303: | ||
अधिक ठीक से, किसी के पास है | अधिक ठीक से, किसी के पास है | ||
<math display="block">\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)</math> | <math display="block">\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)</math> | ||
जहां {{mvar|τ<sub>h</sub>}} अनुवाद प्रचालक है, जिसे {{math|1=''τ<sub>h</sub>φ''(''x'') = ''φ''(''x'' + ''h'')}} द्वारा फलन और वितरण {{mvar|S}} पर परिभाषित किया गया है | |||
<math display="block">(\tau_h S)[\varphi] = S[\tau_{-h}\varphi].</math> | <math display="block">(\tau_h S)[\varphi] = S[\tau_{-h}\varphi].</math> | ||
[[विद्युत]] चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। | [[विद्युत]] चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। परिस्थिति के अनुसार, इसे द्विध्रुव या द्विक फलन कहा जाता है।<ref>{{MathWorld|title=Doublet Function|urlname=DoubletFunction}}</ref> | ||
डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई | |||
डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई आधारिक गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं:{{sfn|Bracewell|2000|p=86}} | |||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
Line 333: | Line 314: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
जिसे परीक्षण फलन | जिसे परीक्षण फलन उपयोजित करके और भागों द्वारा एकीकृत करके दिखाया जा सकता है। | ||
इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को | इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को उपयोजित करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:<ref>{{Cite web|url=https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=62388&start=10#wrap|title=Gugo82's comment on the distributional derivative of Dirac's delta|date=12 September 2010|website=matematicamente.it}}</ref> | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
Line 346: | Line 327: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
इसके अलावा, | इसके अलावा, एक सघन रूप से समर्थित, सुचारू फलन {{mvar|f}} के साथ {{mvar|δ′}} का संवलन है | ||
<math display="block">\delta'*f = \delta*f' = f',</math> | <math display="block">\delta'*f = \delta*f' = f',</math> | ||
जो | जो संवलन के वितरणात्मक व्युत्पन्न के गुणों से अनुसरण करता है। | ||
=== | ===उच्चतर आयाम=== | ||
अधिक सामान्यतः, | अधिक सामान्यतः, {{mvar|n}}-विमीय यूक्लिडियन समष्टि {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} में विवृत समुच्चय {{mvar|U}} पर एक बिंदु पर केंद्रित डिराक डेल्टा वितरण {{math|''a'' ∈ ''U''}} को सभी है द्वारा परिभाषित किया गया है{{sfn|Hörmander|1983|p=56}} | ||
<math display="block">\delta_a[\varphi]=\varphi(a)</math> | <math display="block">\delta_a[\varphi]=\varphi(a)</math> | ||
<math>\varphi \in C_c^\infty(U)</math> के लिए परिभाषित किया गया है, {{mvar|U}} पर सघन समर्थन के साथ सभी सुचारू फलनों का समष्टि है। अगर <math>\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)</math> <math> |\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n</math> के साथ कोई बहु-सूचकांक है और <math>\partial^\alpha</math> संबद्ध मिश्रित [[आंशिक व्युत्पन्न]] प्रचालक को दर्शाता है, तो {{mvar|δ<sub>a</sub>}} का {{mvar|α}}-वां व्युत्पन्न {{mvar|∂<sup>α</sup>δ<sub>a</sub>}} द्वारा दिया जाता है।{{sfn|Hörmander|1983|p=56}} | |||
<math display="block">\left\langle \partial^\alpha \delta_{a}, \, \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \left\langle \delta_{a}, \partial^{\alpha} \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \partial^\alpha \varphi (x) \Big|_{x = a} \quad \text{ for all } \varphi \in C_c^\infty(U).</math> | <math display="block">\left\langle \partial^\alpha \delta_{a}, \, \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \left\langle \delta_{a}, \partial^{\alpha} \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \partial^\alpha \varphi (x) \Big|_{x = a} \quad \text{ for all } \varphi \in C_c^\infty(U).</math> | ||
अर्थात्, {{mvar|δ<sub>a</sub>}} का {{mvar|α}}-वां व्युत्पन्न वह वितरण है जिसका किसी भी परीक्षण फलन {{mvar|φ}} पर मान {{mvar|a}} (उचित धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न के साथ) पर {{mvar|φ}} का {{mvar|α}}-वां व्युत्पन्न है। | |||
डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय | डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय समतल के साथ [[दोहरी परत क्षमता|दोहरी परतों]] के रूप में माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी सतह पर समर्थित एक साधारण परत का सामान्य व्युत्पन्न उस सतह पर समर्थित एक दोहरी परत होती है और एक लामिना चुंबकीय मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करती है। डेल्टा फलन के उच्च व्युत्पन्न को भौतिकी में [[मल्टीपोल]] के रूप में जाना जाता है। | ||
उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ वितरण की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। | उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ वितरण की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। यदि {{mvar|S}} एकल बिंदु वाले समुच्चय {{math|{{brace|''a''}}}} पर समर्थित {{mvar|U}} पर कोई वितरण है, तब तो एक पूर्णांक {{mvar|m}} और गुणांक {{mvar|c<sub>α</sub>}} है जैसे कि{{sfn|Hörmander|1983|p=56}}{{sfn|Rudin|1991|loc=Theorem 6.25}} | ||
<math display="block">S = \sum_{|\alpha|\le m} c_\alpha \partial^\alpha\delta_a.</math> | <math display="block">S = \sum_{|\alpha|\le m} c_\alpha \partial^\alpha\delta_a.</math> | ||
==डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व== | ==डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व== | ||
Line 367: | Line 348: | ||
<math display="block">\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), </math> | <math display="block">\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), </math> | ||
जहां {{math|''η<sub>ε</sub>''(''x'')}} को कभी-कभी नया डेल्टा फलन कहा जाता हैं। इस सीमा का अर्थ कमजोर अर्थ में है: या तो वह | |||
{{NumBlk|:|<math> \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \eta_\varepsilon(x)f(x) \, dx = f(0) </math>|{{EquationRef|5}}}} | {{NumBlk|:|<math> \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty \eta_\varepsilon(x)f(x) \, dx = f(0) </math>|{{EquationRef|5}}}} | ||
सभी सतत फलन | सघन समर्थन वाले सभी सतत फलन {{mvar|f}} के लिए, या यह सीमा सघन समर्थन वाले सभी सुचारु फलन {{mvar|f}} के लिए है। दुर्बल अभिसरण के इन दो अलग-अलग प्रकार के मध्य का अंतर प्रायः सूक्ष्म होता है: पहला मापों की अस्पष्ट टोपोलॉजी में अभिसरण है, और दूसरा वितरण के अर्थ में अभिसरण है। | ||
=== | ===तत्समक का अनुमान=== | ||
सामान्यतः एक नवजात डेल्टा फलन {{mvar|η<sub>ε</sub>}} का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है। होने देना {{mvar|η}} एक बिल्कुल एकीकृत फलन बनें {{math|'''R'''}} कुल समाकल का {{math|1}}, और परिभाषित करें | '''सामान्यतः एक नवजात डेल्टा फलन''' {{mvar|η<sub>ε</sub>}} का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है। होने देना {{mvar|η}} एक बिल्कुल एकीकृत फलन बनें {{math|'''R'''}} कुल समाकल का {{math|1}}, और परिभाषित करें | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). </math> | <math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). </math> | ||
में {{mvar|n}} आयाम, कोई इसके बदले | में {{mvar|n}} आयाम, कोई इसके बदले सोपान का उपयोग करता है | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). </math> | <math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). </math> | ||
फिर चरों का एक साधारण परिवर्तन यह दर्शाता है {{mvar|η<sub>ε</sub>}} का भी समाकल | फिर चरों का एक साधारण परिवर्तन यह दर्शाता है {{mvar|η<sub>ε</sub>}} का भी समाकल है {{math|1}}. कोई यह दिखा सकता है कि ({{EquationNote|5}}) सभी सतत सघन रूप से समर्थित फलनों के लिए धारण करता है {{mvar|f}},{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=Theorem 1.18}} इसलिए {{mvar|η<sub>ε</sub>}} कमजोर रूप से अभिसरण करता है {{mvar|δ}} उपायों के अर्थ में. वह {{mvar|η<sub>ε</sub>}} इस तरह से निर्मित को तत्समक के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Rudin|1991|loc=§II.6.31}}<nowiki> यह शब्दावली समष्टि के कारण है {{math|</nowiki>''L''<sup>1</sup>('''R''')}पूर्णतया एकीकृत फलनों का } फलनों के संवलन के संचालन के अंतर्गत बंद है: {{math|''f'' ∗ ''g'' ∈ ''L''<sup>1</sup>('''R''')}} जब कभी भी {{mvar|f}} और {{mvar|g}} में हैं {{math|''L''<sup>1</sup>('''R''')}}. हालाँकि, इसमें कोई तत्समक नहीं है {{math|''L''<sup>1</sup>('''R''')}} संवलन उत्पाद के लिए: कोई तत्व नहीं {{mvar|h}} ऐसा है कि {{math|1=''f'' ∗ ''h'' = ''f''}} सभी के लिए {{mvar|f}}. फिर भी, क्रम {{mvar|η<sub>ε</sub>}} इस अर्थ में ऐसी तत्समक का अनुमान लगाता है | ||
<math display="block">f*\eta_\varepsilon \to f \quad \text{as }\varepsilon\to 0.</math> | <math display="block">f*\eta_\varepsilon \to f \quad \text{as }\varepsilon\to 0.</math> | ||
यह सीमा [[माध्य अभिसरण]] (कन्वर्जेन्स इन) के अर्थ में रखती है {{math|''L''<sup>1</sup>}}). पर आगे की शर्तें {{mvar|η<sub>ε</sub>}}, उदाहरण के लिए कि यह एक | यह सीमा [[माध्य अभिसरण]] (कन्वर्जेन्स इन) के अर्थ में रखती है {{math|''L''<sup>1</sup>}}). पर आगे की शर्तें {{mvar|η<sub>ε</sub>}}, उदाहरण के लिए कि यह एक सघन रूप से समर्थित फलन से जुड़ा एक मोलिफ़ायर है,<ref>More generally, one only needs {{math|1=''η'' = ''η''<sub>1</sub>}} to have an integrable radially symmetric decreasing rearrangement.</ref> लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण सुनिश्चित करने की आवश्यकता है। | ||
यदि प्रारंभिक {{math|1=''η'' = ''η''<sub>1</sub>}}स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को [[शांत करनेवाला]]<nowiki> कहा जाता है। मानक मोलिफ़ायर चुनकर प्राप्त किया जाता है {{mvar|η}उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत बम्प फलन होना</nowiki> | यदि प्रारंभिक {{math|1=''η'' = ''η''<sub>1</sub>}}स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को [[शांत करनेवाला]]<nowiki> कहा जाता है। मानक मोलिफ़ायर चुनकर प्राप्त किया जाता है {{mvar|η}उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत बम्प फलन होना</nowiki> | ||
Line 389: | Line 370: | ||
0 & \text{if } |x|\geq 1. | 0 & \text{if } |x|\geq 1. | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] जैसी कुछ स्थितियों में, | [[संख्यात्मक विश्लेषण]] जैसी कुछ स्थितियों में, तत्समक के लिए टुकड़े-टुकड़े रैखिक फलन सन्निकटन वांछनीय है। इसे लेकर प्राप्त किया जा सकता है {{math|''η''<sub>1</sub>}} एक [[टोपी समारोह]] होना। इस विकल्प के साथ {{math|''η''<sub>1</sub>}}, किसी के पास | ||
<math display="block"> \eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1}\max \left (1-\left|\frac{x}{\varepsilon}\right|,0 \right) </math> | <math display="block"> \eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1}\max \left (1-\left|\frac{x}{\varepsilon}\right|,0 \right) </math> | ||
Line 395: | Line 376: | ||
===संभाव्य विचार=== | ===संभाव्य विचार=== | ||
संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, प्रारंभिक की अतिरिक्त शर्त लगाना स्वाभाविक है {{math|''η''<sub>1</sub>}} | संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, प्रारंभिक की अतिरिक्त शर्त लगाना स्वाभाविक है {{math|''η''<sub>1</sub>}} तत्समक के सन्निकटन में धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसा फलन तब संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। संभाव्यता वितरण के साथ संवलन कभी-कभी अनुकूल होता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूप [[ ओवरशूट (संकेत) ]] या अंडरशूट नहीं होता है, क्योंकि आउटपुट इनपुट मानों का [[उत्तल संयोजन]] होता है, और इस प्रकार इनपुट फलन के अधिकतम और न्यूनतम के मध्य आता है। ले रहा {{math|''η''<sub>1</sub>}} किसी भी संभाव्यता वितरण होना, और देना {{math|1=''η<sub>ε</sub>''(''x'') = ''η''<sub>1</sub>(''x''/''ε'')/''ε''}}जैसा कि ऊपर बताया गया है, तत्समक के एक अनुमान को जन्म देगा। सामान्य रूप में यह अधिक तेजी से डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाता है, यदि, इसके अतिरिक्त, {{mvar|η}} का अर्थ है {{math|0}} और इसमें छोटे उच्चतर क्षण हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''η''<sub>1</sub>}} पर एकसमान वितरण (सतत) है {{nowrap|1=<math display="inline">\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]</math>,}} को आयताकार फलन के रूप में भी जाना जाता है, फिर:{{sfn|Saichev|Woyczyński|1997|loc=§1.1 The "delta function" as viewed by a physicist and an engineer, p. 3}} | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)= | \eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)= | ||
Line 410: | Line 391: | ||
===[[अर्धसमूह]]=== | ===[[अर्धसमूह]]=== | ||
नवजात डेल्टा फलन प्रायः | नवजात डेल्टा फलन प्रायः संवलन सेमीग्रुप के रूप में उत्पन्न होते हैं।<ref>{{Cite book|last1=Milovanović|first1=Gradimir V.|url={{google books |plainurl=y |id=4U-5BQAAQBAJ}}|title=Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions: In Honor of Hari M. Srivastava|last2=Rassias|first2=Michael Th|date=2014-07-08|publisher=Springer|isbn=978-1-4939-0258-3|language=en|page=[{{google books |plainurl=y |id=4U-5BQAAQBAJ|page=748 }} 748]}}</ref> यह आगे की बाधा के समान है जो कि संवलन है {{mvar|η<sub>ε</sub>}} साथ {{mvar|η<sub>δ</sub>}} संतुष्ट होना चाहिए | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon * \eta_\delta = \eta_{\varepsilon+\delta}</math> | <math display="block">\eta_\varepsilon * \eta_\delta = \eta_{\varepsilon+\delta}</math> | ||
सभी के लिए {{math|1=''ε'', ''δ'' > 0}}. | सभी के लिए {{math|1=''ε'', ''δ'' > 0}}. संवलन सेमीग्रुप्स में {{math|''L''<sup>1</sup>}} जो एक नवजात डेल्टा फलन बनाते हैं, वे हमेशा उपरोक्त अर्थ में तत्समक का एक अनुमान होते हैं, हालांकि सेमीग्रुप स्थिति अत्यन्त मजबूत प्रतिबंध है। | ||
व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित अण्डाकार [[आंशिक अंतर समीकरण]] या परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के लिए [[मौलिक समाधान]] या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के आउटपुट के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक | व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित अण्डाकार [[आंशिक अंतर समीकरण]] या परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के लिए [[मौलिक समाधान]] या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के आउटपुट के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक प्रचालक है जो x के फलनों पर कार्य करता है, तो [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] को हल करने से एक संवलन सेमीग्रुप उत्पन्न होता है | ||
<math display="block">\begin{cases} | <math display="block">\begin{cases} | ||
Line 422: | Line 403: | ||
जिसमें सीमा को हमेशा की तरह कमजोर अर्थ में समझा जाता है। समुच्चयिंग {{math|1=''η<sub>ε</sub>''(''x'') = ''η''(''ε'', ''x'')}}संबंधित नवजात डेल्टा फलन देता है। | जिसमें सीमा को हमेशा की तरह कमजोर अर्थ में समझा जाता है। समुच्चयिंग {{math|1=''η<sub>ε</sub>''(''x'') = ''η''(''ε'', ''x'')}}संबंधित नवजात डेल्टा फलन देता है। | ||
ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण | ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण संवलन सेमीग्रुप के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं। | ||
====[[गरम गिरी]]==== | ====[[गरम गिरी]]==== | ||
Line 428: | Line 409: | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\varepsilon}}</math> | <math display="block">\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\varepsilon}}</math> | ||
समय पर एक अनंत तार में तापमान का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''t'' > 0}}, यदि समय पर तार के मूल में ऊष्मा ऊर्जा की एक इकाई संग्रहीत होती है {{math|1=''t'' = 0}}. यह अर्धसमूह एक- | समय पर एक अनंत तार में तापमान का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''t'' > 0}}, यदि समय पर तार के मूल में ऊष्मा ऊर्जा की एक इकाई संग्रहीत होती है {{math|1=''t'' = 0}}. यह अर्धसमूह एक-विमीय [[ताप समीकरण]] के अनुसार विकसित होता है: | ||
<math display="block">\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.</math> | <math display="block">\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.</math> | ||
संभाव्यता सिद्धांत में, {{math|1=''η<sub>ε</sub>''(''x'')}} विचरण का एक सामान्य वितरण है {{mvar|ε}} और अर्थ {{math|0}}. यह समय पर संभाव्यता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''t'' = ''ε''}} एक मानक [[एक प्रकार कि गति]] के बाद मूल से शुरू होने वाले कण की स्थिति का। इस संदर्भ में, अर्धसमूह स्थिति ब्राउनियन गति की [[मार्कोव संपत्ति|मार्कोव गुण]] की अभिव्यक्ति है। | संभाव्यता सिद्धांत में, {{math|1=''η<sub>ε</sub>''(''x'')}} विचरण का एक सामान्य वितरण है {{mvar|ε}} और अर्थ {{math|0}}. यह समय पर संभाव्यता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''t'' = ''ε''}} एक मानक [[एक प्रकार कि गति]] के बाद मूल से शुरू होने वाले कण की स्थिति का। इस संदर्भ में, अर्धसमूह स्थिति ब्राउनियन गति की [[मार्कोव संपत्ति|मार्कोव गुण]] की अभिव्यक्ति है। | ||
उच्च- | उच्च-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, हीट कर्नेल है | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon = \frac{1}{(2\pi\varepsilon)^{n/2}}\mathrm{e}^{-\frac{x\cdot x}{2\varepsilon}},</math> | <math display="block">\eta_\varepsilon = \frac{1}{(2\pi\varepsilon)^{n/2}}\mathrm{e}^{-\frac{x\cdot x}{2\varepsilon}},</math> | ||
और उसकी वही भौतिक व्याख्या है, {{lang|la|[[mutatis mutandis]]}}. यह इस अर्थ में एक नवजात डेल्टा फलन का भी प्रतिनिधित्व करता है {{math|''η<sub>ε</sub>'' → ''δ''}} वितरण अर्थ में जैसे {{math|''ε'' → 0}}. | और उसकी वही भौतिक व्याख्या है, {{lang|la|[[mutatis mutandis]]}}. यह इस अर्थ में एक नवजात डेल्टा फलन का भी प्रतिनिधित्व करता है {{math|''η<sub>ε</sub>'' → ''δ''}} वितरण अर्थ में जैसे {{math|''ε'' → 0}}. | ||
Line 442: | Line 423: | ||
ऊपरी आधे तल में [[लाप्लास समीकरण]] का मूल समाधान है।{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=§I.1}} यह एक अर्ध-अनंत प्लेट में [[इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता]] का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी किनारे के साथ क्षमता डेल्टा फलन पर तय होती है। पॉइसन कर्नेल आम उपयोग के फलनों में कॉची वितरण और कर्नेल (सांख्यिकी)#कर्नेल फलन से भी निकटता से संबंधित है।<ref>{{Cite book|last=Mader|first=Heidy M.|url={{google books |plainurl=y |id=e5Y_RRPxdyYC}}|title=ज्वालामुखी विज्ञान में सांख्यिकी|date=2006|publisher=Geological Society of London|isbn=978-1-86239-208-3|language=en|editor-link=Heidy Mader|page=[{{google books |plainurl=y |id=e5Y_RRPxdyYC|page=81}} 81]}}</ref> यह अर्धसमूह समीकरण के अनुसार विकसित होता है | ऊपरी आधे तल में [[लाप्लास समीकरण]] का मूल समाधान है।{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=§I.1}} यह एक अर्ध-अनंत प्लेट में [[इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता]] का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी किनारे के साथ क्षमता डेल्टा फलन पर तय होती है। पॉइसन कर्नेल आम उपयोग के फलनों में कॉची वितरण और कर्नेल (सांख्यिकी)#कर्नेल फलन से भी निकटता से संबंधित है।<ref>{{Cite book|last=Mader|first=Heidy M.|url={{google books |plainurl=y |id=e5Y_RRPxdyYC}}|title=ज्वालामुखी विज्ञान में सांख्यिकी|date=2006|publisher=Geological Society of London|isbn=978-1-86239-208-3|language=en|editor-link=Heidy Mader|page=[{{google books |plainurl=y |id=e5Y_RRPxdyYC|page=81}} 81]}}</ref> यह अर्धसमूह समीकरण के अनुसार विकसित होता है | ||
<math display="block">\frac{\partial u}{\partial t} = -\left (-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}u(t,x)</math> | <math display="block">\frac{\partial u}{\partial t} = -\left (-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}u(t,x)</math> | ||
जहां | जहां प्रचालक को सख्ती से [[फूरियर गुणक]] के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">\mathcal{F}\left[\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}f\right](\xi) = |2\pi\xi|\mathcal{F}f(\xi).</math> | <math display="block">\mathcal{F}\left[\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}f\right](\xi) = |2\pi\xi|\mathcal{F}f(\xi).</math> | ||
===[[ऑसिलेटरी इंटीग्रल|ऑसिलेटरी समाकल]]्स=== | ===[[ऑसिलेटरी इंटीग्रल|ऑसिलेटरी समाकल]]्स=== | ||
तरंग प्रसार और तरंग जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, सम्मिलित समीकरण [[अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण]] हैं और इसलिए अधिक एकल समाधान हो सकते हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित [[कॉची समस्या]]ओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवजात डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल | तरंग प्रसार और तरंग जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, सम्मिलित समीकरण [[अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण]] हैं और इसलिए अधिक एकल समाधान हो सकते हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित [[कॉची समस्या]]ओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवजात डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल होते हैं। एक उदाहरण, जो ट्रांसोनिक गैस गतिशीलता के यूलर-ट्राइकोमी समीकरण के समाधान से आता है,{{sfn|Vallée|Soares|2004|loc=§7.2}} पुनर्स्केल्ड [[हवादार कार्य]] है | ||
<math display="block">\varepsilon^{-1/3}\operatorname{Ai}\left (x\varepsilon^{-1/3} \right). </math> | <math display="block">\varepsilon^{-1/3}\operatorname{Ai}\left (x\varepsilon^{-1/3} \right). </math> | ||
यद्यपि फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, यह देखना आसान है कि यह कुछ अर्थों में एक अर्धसमूह उत्पन्न करता है - यह बिल्कुल एकीकृत नहीं है और इसलिए उपरोक्त मजबूत अर्थों में एक अर्धसमूह को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऑसिलेटरी समाकल्स के रूप में निर्मित कई नवजात डेल्टा फलन उपायों के अर्थ के बदले केवल वितरण के अर्थ में अभिसरण करते हैं (एक उदाहरण नीचे [[डिरिचलेट कर्नेल]] है)। | यद्यपि फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, यह देखना आसान है कि यह कुछ अर्थों में एक अर्धसमूह उत्पन्न करता है - यह बिल्कुल एकीकृत नहीं है और इसलिए उपरोक्त मजबूत अर्थों में एक अर्धसमूह को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऑसिलेटरी समाकल्स के रूप में निर्मित कई नवजात डेल्टा फलन उपायों के अर्थ के बदले केवल वितरण के अर्थ में अभिसरण करते हैं (एक उदाहरण नीचे [[डिरिचलेट कर्नेल]] है)। | ||
Line 456: | Line 437: | ||
समाधान {{mvar|u}} मूल पर प्रारंभिक गड़बड़ी के साथ, एक अनंत लोचदार स्ट्रिंग के संतुलन से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है। | समाधान {{mvar|u}} मूल पर प्रारंभिक गड़बड़ी के साथ, एक अनंत लोचदार स्ट्रिंग के संतुलन से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है। | ||
इस प्रकार की | इस प्रकार की तत्समक के अन्य अनुमानों में सिनक फलन (इलेक्ट्रॉनिक्स और दूरसंचार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सम्मिलित है। | ||
<math display="block">\eta_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{\varepsilon}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \cos(kx)\,dk </math> | <math display="block">\eta_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{\varepsilon}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \cos(kx)\,dk </math> | ||
और [[बेसेल फ़ंक्शन|बेसेल फलन]] | और [[बेसेल फ़ंक्शन|बेसेल फलन]] | ||
Line 463: | Line 444: | ||
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण | रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण | ||
<math display="block">L[u]=f,</math> | <math display="block">L[u]=f,</math> | ||
कहाँ {{mvar|L}} एक [[ विभेदक ऑपरेटर ]] है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, पहले एक मौलिक समाधान खोजना है, जो समीकरण का एक समाधान है | कहाँ {{mvar|L}} एक [[ विभेदक ऑपरेटर | विभेदक प्रचालक]] है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, पहले एक मौलिक समाधान खोजना है, जो समीकरण का एक समाधान है | ||
<math display="block">L[u]=\delta.</math> | <math display="block">L[u]=\delta.</math> | ||
कब {{mvar|L}} विशेष रूप से सरल है, इस समस्या को प्रायः सीधे फूरियर | कब {{mvar|L}} विशेष रूप से सरल है, इस समस्या को प्रायः सीधे फूरियर रूपांतर का उपयोग करके हल किया जा सकता है (जैसा कि पॉइसन कर्नेल और हीट कर्नेल के प्रकरण में पहले ही उल्लेख किया गया है)। अधिक जटिल प्रचालकों के लिए, पहले फॉर्म के समीकरण पर विचार करना कभी-कभी आसान होता है | ||
<math display="block">L[u]=h</math> | <math display="block">L[u]=h</math> | ||
कहाँ {{mvar|h}} एक समतल तरंग फलन है, जिसका अर्थ है कि इसका रूप है | कहाँ {{mvar|h}} एक समतल तरंग फलन है, जिसका अर्थ है कि इसका रूप है | ||
Line 477: | Line 458: | ||
-\frac{|s|^k\log|s|}{k!(2\pi i)^n}&n \text{ even.} | -\frac{|s|^k\log|s|}{k!(2\pi i)^n}&n \text{ even.} | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
तब {{mvar|δ}} इकाई क्षेत्र माप के संबंध में [[लाप्लासियन]] की शक्ति को समाकल | तब {{mvar|δ}} इकाई क्षेत्र माप के संबंध में [[लाप्लासियन]] की शक्ति को समाकल पर उपयोजित करके प्राप्त किया जाता है {{mvar|dω}} का {{math|''g''(''x'' · ''ξ'')}} के लिए {{mvar|ξ}} इकाई क्षेत्र में {{math|''S''<sup>''n''−1</sup>}}: | ||
<math display="block">\delta(x) = \Delta_x^{(n+k)/2} \int_{S^{n-1}} g(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi.</math> | <math display="block">\delta(x) = \Delta_x^{(n+k)/2} \int_{S^{n-1}} g(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi.</math> | ||
यहां लाप्लासियन की व्याख्या एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में की गई है, ताकि इस समीकरण का अर्थ यह निकाला जा सके कि, किसी भी परीक्षण फलन के लिए {{mvar|φ}}, | यहां लाप्लासियन की व्याख्या एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में की गई है, ताकि इस समीकरण का अर्थ यह निकाला जा सके कि, किसी भी परीक्षण फलन के लिए {{mvar|φ}}, | ||
<math display="block">\varphi(x) = \int_{\mathbf{R}^n}\varphi(y)\,dy\,\Delta_x^{\frac{n+k}{2}} \int_{S^{n-1}} g((x-y)\cdot\xi)\,d\omega_\xi.</math> | <math display="block">\varphi(x) = \int_{\mathbf{R}^n}\varphi(y)\,dy\,\Delta_x^{\frac{n+k}{2}} \int_{S^{n-1}} g((x-y)\cdot\xi)\,d\omega_\xi.</math> | ||
परिणाम [[न्यूटोनियन क्षमता]] (पॉइसन समीकरण का मौलिक समाधान) के सूत्र से होता है। यह मूल रूप से [[रेडॉन परिवर्तन]] के व्युत्क्रम सूत्र का एक रूप है क्योंकि यह का मान पुनर्प्राप्त करता है {{math|''φ''(''x'')}} हाइपरप्लेन पर इसके समाकल्स से। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|n}} विषम है और {{math|1=''k'' = 1}}, तो दाहिनी ओर का समाकल | परिणाम [[न्यूटोनियन क्षमता]] (पॉइसन समीकरण का मौलिक समाधान) के सूत्र से होता है। यह मूल रूप से [[रेडॉन परिवर्तन]] के व्युत्क्रम सूत्र का एक रूप है क्योंकि यह का मान पुनर्प्राप्त करता है {{math|''φ''(''x'')}} हाइपरप्लेन पर इसके समाकल्स से। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|n}} विषम है और {{math|1=''k'' = 1}}, तो दाहिनी ओर का समाकल है | ||
<math display="block"> | <math display="block"> | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
Line 497: | Line 478: | ||
===फूरियर गुठली=== | ===फूरियर गुठली=== | ||
{{See also|Convergence of Fourier series}} | {{See also|Convergence of Fourier series}} | ||
फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। वह {{mvar|n}}-किसी फलन की फूरियर श्रृंखला का आंशिक योग {{mvar|f}} अवधि का {{math|2π}} को | फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। वह {{mvar|n}}-किसी फलन की फूरियर श्रृंखला का आंशिक योग {{mvar|f}} अवधि का {{math|2π}} को संवलन (अंतराल पर) द्वारा परिभाषित किया गया है {{closed-closed|−π,π}}) डिरिचलेट कर्नेल के साथ: | ||
<math display="block">D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math> | <math display="block">D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math> | ||
इस प्रकार, | इस प्रकार, | ||
Line 505: | Line 486: | ||
प्राथमिक फूरियर श्रृंखला का एक मौलिक परिणाम बताता है कि डिरिचलेट कर्नेल अंतराल तक सीमित है{{closed-closed|−π,π}} डेल्टा फलन के गुणज की ओर प्रवृत्त होता है {{math|''N'' → ∞}}. इसकी व्याख्या वितरण अर्थ में की जाती है | प्राथमिक फूरियर श्रृंखला का एक मौलिक परिणाम बताता है कि डिरिचलेट कर्नेल अंतराल तक सीमित है{{closed-closed|−π,π}} डेल्टा फलन के गुणज की ओर प्रवृत्त होता है {{math|''N'' → ∞}}. इसकी व्याख्या वितरण अर्थ में की जाती है | ||
<math display="block">s_N(f)(0) = \int_{-\pi}^{\pi} D_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)</math> | <math display="block">s_N(f)(0) = \int_{-\pi}^{\pi} D_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)</math> | ||
प्रत्येक | प्रत्येक सघन रूप से समर्थित के लिए {{em|smooth}} समारोह {{mvar|f}}. इस प्रकार, औपचारिक रूप से किसी के पास है | ||
<math display="block">\delta(x) = \frac1{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}</math> | <math display="block">\delta(x) = \frac1{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}</math> | ||
अंतराल पर {{closed-closed|−π,π}}. | अंतराल पर {{closed-closed|−π,π}}. | ||
इसके बावजूद, परिणाम सभी | इसके बावजूद, परिणाम सभी सघन रूप से समर्थित नहीं है {{em|continuous}} फलन: अर्थात् {{math|''D<sub>N</sub>''}} उपायों के अर्थ में कमजोर रूप से अभिसरण नहीं करता है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की कमी के कारण अभिसरण उत्पन्न करने के लिए विभिन्न प्रकार की योग्यता विधियों की शुरूआत हुई है। सेसरो योग की विधि फेजर कर्नेल की ओर ले जाती है{{sfn|Lang|1997|p=312}} | ||
<math display="block">F_N(x) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} D_n(x) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin \frac{Nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2.</math> | <math display="block">F_N(x) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} D_n(x) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin \frac{Nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2.</math> | ||
Line 515: | Line 496: | ||
<math display="block">\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)</math> | <math display="block">\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)</math> | ||
प्रत्येक | प्रत्येक सघन रूप से समर्थित के लिए {{em|continuous}} समारोह {{mvar|f}}. निहितार्थ यह है कि किसी भी सतत फलन की फूरियर श्रृंखला प्रत्येक बिंदु पर फलन के मूल्य के लिए योग योग्य है। | ||
===हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत=== | ===हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत=== | ||
डिराक डेल्टा वितरण [[ हिल्बर्ट स्थान | हिल्बर्ट समष्टि]] एलपी स्पेस|एल पर एक [[सघन रूप से परिभाषित]] अनबाउंड | डिराक डेल्टा वितरण [[ हिल्बर्ट स्थान | हिल्बर्ट समष्टि]] एलपी स्पेस|एल पर एक [[सघन रूप से परिभाषित]] अनबाउंड प्रचालक रैखिक कार्यात्मक है<sup>2</sup>वर्ग-समाकल फलनों का। वास्तव में, सुचारु रूप से समर्थित फलन सघन रूप से समुच्चय होते हैं {{math|''L''<sup>2</sup>}}, और ऐसे फलनों पर डेल्टा वितरण की कार्रवाई अच्छी तरह से परिभाषित है। कई अनुप्रयोगों में, के उप-समष्टिों की तत्समक करना संभव है {{math|''L''<sup>2</sup>}} और एक मजबूत टोपोलॉजी देने के लिए जिस पर डेल्टा फलन एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है। | ||
====सोबोलेव रिक्त समष्टि==== | ====सोबोलेव रिक्त समष्टि==== | ||
Line 530: | Line 511: | ||
====होलोमोर्फिक फलन के समष्टि==== | ====होलोमोर्फिक फलन के समष्टि==== | ||
[[जटिल विश्लेषण]] में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दावा करता है कि यदि {{mvar|D}} तो, | [[जटिल विश्लेषण]] में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दावा करता है कि यदि {{mvar|D}} तो, सुचारू सीमा के साथ [[जटिल विमान]] में एक डोमेन है | ||
<math display="block">f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z},\quad z\in D</math> | <math display="block">f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z},\quad z\in D</math> | ||
Line 536: | Line 517: | ||
<math display="block">\delta_z[f] = f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z}.</math> | <math display="block">\delta_z[f] = f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z}.</math> | ||
इसके अलावा, चलो {{math|''H''<sup>2</sup>(∂''D'')}} [[हार्डी स्पेस]] हो जिसमें क्लोजर सम्मिलित हो {{math|''L''<sup>2</sup>(∂''D'')}} सभी होलोमोर्फिक फलन में {{mvar|D}} की सीमा तक सतत {{mvar|D}}. फिर कार्य करता है {{math|''H''<sup>2</sup>(∂''D'')}} विशिष्ट रूप से होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होता है {{mvar|D}}, और कॉची समाकल फॉर्मूला | इसके अलावा, चलो {{math|''H''<sup>2</sup>(∂''D'')}} [[हार्डी स्पेस]] हो जिसमें क्लोजर सम्मिलित हो {{math|''L''<sup>2</sup>(∂''D'')}} सभी होलोमोर्फिक फलन में {{mvar|D}} की सीमा तक सतत {{mvar|D}}. फिर कार्य करता है {{math|''H''<sup>2</sup>(∂''D'')}} विशिष्ट रूप से होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होता है {{mvar|D}}, और कॉची समाकल फॉर्मूला संचालित है। विशेष रूप से के लिए {{math|''z'' ∈ ''D''}}, डेल्टा फलन {{mvar|δ<sub>z</sub>}} एक सतत रैखिक कार्यात्मक है {{math|''H''<sup>2</sup>(∂''D'')}}. यह [[कई जटिल चर]]ों में स्थिति का एक विशेष प्रकरण है, जिसमें सुचारू डोमेन के लिए {{mvar|D}}, स्ज़ेगो कर्नेल कॉची समाकल की भूमिका निभाता है।{{sfn|Hazewinkel|1995|p=[{{google books |plainurl=y |id=PE1a-EIG22kC|page=357}} 357]}} | ||
==== | ====तत्समक के संकल्प==== | ||
फलनों का एक पूर्ण [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] समुच्चय दिया गया है {{math|{{brace|''φ''<sub>''n''</sub>}}}} एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्पेस में, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस#स्पेक्ट्रल प्रमेय| | फलनों का एक पूर्ण [[ऑर्थोनॉर्मल आधार]] समुच्चय दिया गया है {{math|{{brace|''φ''<sub>''n''</sub>}}}} एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्पेस में, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस#स्पेक्ट्रल प्रमेय|सघन सेल्फ-एडजॉइंट प्रचालक, किसी भी वेक्टर पर एक सघन प्रचालक के सामान्यीकृत [[आइजन्वेक्टर]] {{mvar|f}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है | ||
<math display="block">f = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \varphi_n. </math> | <math display="block">f = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \varphi_n. </math> | ||
गुणांक {α<sub>n</sub>} के रूप में पाए जाते हैं | गुणांक {α<sub>n</sub>} के रूप में पाए जाते हैं | ||
Line 550: | Line 531: | ||
<math display="block">f = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \left ( \varphi_n^\dagger f \right). </math> | <math display="block">f = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \left ( \varphi_n^\dagger f \right). </math> | ||
दे {{mvar|I}} हिल्बर्ट स्पेस पर | दे {{mvar|I}} हिल्बर्ट स्पेस पर तत्समक प्रचालक को निरूपित करें, अभिव्यक्ति | ||
<math display="block">I = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \varphi_n^\dagger, </math> | <math display="block">I = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \varphi_n^\dagger, </math> | ||
इसे बोरेल फंक्शनल कैलकुलस# | इसे बोरेल फंक्शनल कैलकुलस#तत्समक का संकल्प कहा जाता है। जब हिल्बर्ट समष्टि ही समष्टि है {{math|''L''<sup>2</sup>(''D'')}} किसी डोमेन पर वर्ग-समाकल फलनों का {{mvar|D}}, मात्रा: | ||
<math display="block">\varphi_n \varphi_n^\dagger, </math> | <math display="block">\varphi_n \varphi_n^\dagger, </math> | ||
एक समाकल | एक समाकल प्रचालक है, और के लिए अभिव्यक्ति है {{mvar|f}} पुनः लिखा जा सकता है | ||
<math display="block">f(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_D\, \left( \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi)\right) f(\xi) \, d \xi.</math> | <math display="block">f(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_D\, \left( \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi)\right) f(\xi) \, d \xi.</math> | ||
Line 565: | Line 546: | ||
<math display="block">\delta(x-\xi) = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi). </math> | <math display="block">\delta(x-\xi) = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi). </math> | ||
उपयुक्त कठोर हिल्बर्ट समष्टि के साथ {{math|(Φ, ''L''<sup>2</sup>(''D''), Φ*)}} कहाँ {{math|Φ ⊂ ''L''<sup>2</sup>(''D'')}} में सभी | उपयुक्त कठोर हिल्बर्ट समष्टि के साथ {{math|(Φ, ''L''<sup>2</sup>(''D''), Φ*)}} कहाँ {{math|Φ ⊂ ''L''<sup>2</sup>(''D'')}} में सभी सघन रूप से समर्थित सुचारु कार्य सम्मिलित हैं, यह सारांश इसमें परिवर्तित हो सकता है {{math|Φ*}}, आधार के गुणों पर निर्भर करता है {{math|''φ''<sub>''n''</sub>}}. व्यावहारिक रुचि के अधिकांश मामलों में, ऑर्थोनॉर्मल आधार एक समाकल या विभेदक प्रचालक से आता है, जिस स्थिति में श्रृंखला वितरण (गणित)#वितरण अर्थ में परिवर्तित हो जाती है।{{sfn|de la Madrid|Bohm|Gadella|2002}} | ||
===इनफिनिटेसिमल डेल्टा फलन=== | ===इनफिनिटेसिमल डेल्टा फलन=== | ||
Line 574: | Line 555: | ||
==डिराक कंघी== | ==डिराक कंघी== | ||
{{Main|Dirac comb}} | {{Main|Dirac comb}} | ||
[[File:Dirac comb.svg|thumb|एक डिराक कंघी, के अंतराल पर स्थित डिराक डेल्टा फलनों की एक अनंत श्रृंखला है {{mvar|T}}]]डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान पल्स ट्रेन, जिसे [[डिराक कंघी]] के रूप में जाना जाता है, या [[शा (सिरिलिक)]] वितरण के रूप में जाना जाता है, एक नमूना (सिग्नल | [[File:Dirac comb.svg|thumb|एक डिराक कंघी, के अंतराल पर स्थित डिराक डेल्टा फलनों की एक अनंत श्रृंखला है {{mvar|T}}]]डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान पल्स ट्रेन, जिसे [[डिराक कंघी]] के रूप में जाना जाता है, या [[शा (सिरिलिक)]] वितरण के रूप में जाना जाता है, एक नमूना (सिग्नल संसाधन) फलन बनाता है, जिसे प्रायः [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] (डीएसपी) और अलग समय में उपयोग किया जाता है। संकेत विश्लेषण. डिराक कंघी को अनंत योग के रूप में दिया गया है, जिसकी सीमा वितरण अर्थ में समझी जाती है, | ||
<math display="block">\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n),</math> | <math display="block">\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n),</math> | ||
जो प्रत्येक पूर्णांक पर बिंदु द्रव्यमान का एक क्रम है। | जो प्रत्येक पूर्णांक पर बिंदु द्रव्यमान का एक क्रम है। | ||
समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कंघी अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि {{mvar|f}} कोई [[श्वार्ट्ज स्थान|श्वार्ट्ज समष्टि]] है, तो रैप्ड वितरण {{mvar|f}} | समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कंघी अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि {{mvar|f}} कोई [[श्वार्ट्ज स्थान|श्वार्ट्ज समष्टि]] है, तो रैप्ड वितरण {{mvar|f}} संवलन द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block">(f * \operatorname{III})(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n).</math> | <math display="block">(f * \operatorname{III})(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n).</math> | ||
विशेष रूप से, | विशेष रूप से, | ||
Line 593: | Line 574: | ||
<math display="block">\lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{x\pm i\varepsilon} = \operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math> | <math display="block">\lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{x\pm i\varepsilon} = \operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),</math> | ||
यहां सीमा को वितरण अर्थ में समझा जाता है, जो कि सभी | यहां सीमा को वितरण अर्थ में समझा जाता है, जो कि सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलनों के लिए है {{mvar|f}}, | ||
<math display="block">\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\frac{f(x)}{x\pm i\varepsilon}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{f(x)}{x}\,dx.</math> | <math display="block">\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\frac{f(x)}{x\pm i\varepsilon}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{f(x)}{x}\,dx.</math> | ||
Line 626: | Line 607: | ||
कहाँ <math>\mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}</math> अंतराल का सूचक कार्य है <math>[x-\varepsilon,x+\varepsilon].</math> | कहाँ <math>\mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}</math> अंतराल का सूचक कार्य है <math>[x-\varepsilon,x+\varepsilon].</math> | ||
===[[क्वांटम यांत्रिकी]]=== | ===[[क्वांटम यांत्रिकी]]=== | ||
क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन समीचीन है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के भीतर एक कण को खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि के तत्व माना जाता है {{math|''L''<sup>2</sup>}} वर्ग-समाकल फलनों का, और किसी दिए गए अंतराल के भीतर एक कण को खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल | क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन समीचीन है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के भीतर एक कण को खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि के तत्व माना जाता है {{math|''L''<sup>2</sup>}} वर्ग-समाकल फलनों का, और किसी दिए गए अंतराल के भीतर एक कण को खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल है। एक समुच्चय {{math|{{brace|{{ket|''φ<sub>n</sub>''}}}}}}तरंग फलनों का ऑर्थोनॉर्मल है यदि उन्हें सामान्यीकृत किया जाता है | ||
<math display="block">\langle\varphi_n \mid \varphi_m\rangle = \delta_{nm}</math> | <math display="block">\langle\varphi_n \mid \varphi_m\rangle = \delta_{nm}</math> | ||
Line 632: | Line 613: | ||
<math display="block"> \psi = \sum c_n \varphi_n, </math> | <math display="block"> \psi = \sum c_n \varphi_n, </math> | ||
साथ {{math|1=''c<sub>n</sub>'' = {{bra-ket|''φ<sub>n</sub>''|''ψ''}}}}. तरंग फलनों की पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी में [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] (एक [[बाध्य अवस्था]] के) के [[eigenfunction]] के रूप में दिखाई देती हैं जो ऊर्जा के स्तर को मापती हैं, जिन्हें आइगेनवैल्यू कहा जाता है। इस प्रकरण में, eigenvalues के समुच्चय को हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। ब्रा-केट नोटेशन में, # | साथ {{math|1=''c<sub>n</sub>'' = {{bra-ket|''φ<sub>n</sub>''|''ψ''}}}}. तरंग फलनों की पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी में [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] (एक [[बाध्य अवस्था]] के) के [[eigenfunction]] के रूप में दिखाई देती हैं जो ऊर्जा के स्तर को मापती हैं, जिन्हें आइगेनवैल्यू कहा जाता है। इस प्रकरण में, eigenvalues के समुच्चय को हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। ब्रा-केट नोटेशन में, #तत्समक के संकल्प के रूप में, यह समानता तत्समक के संकल्प को दर्शाती है: | ||
<math display="block">I = \sum |\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|.</math> | <math display="block">I = \sum |\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|.</math> | ||
यहां eigenvalues को असतत माना जाता है, लेकिन एक अवलोकन के eigenvalues का समुच्चय असतत के बदले सतत हो सकता है। एक उदाहरण स्थिति | यहां eigenvalues को असतत माना जाता है, लेकिन एक अवलोकन के eigenvalues का समुच्चय असतत के बदले सतत हो सकता है। एक उदाहरण स्थिति प्रचालक है, {{math|1=''Qψ''(''x'') = ''x''ψ(''x'')}}. स्थिति का स्पेक्ट्रम (एक आयाम में) संपूर्ण वास्तविक रेखा है और इसे [[सतत स्पेक्ट्रम]] कहा जाता है। हालाँकि, हैमिल्टनियन के विपरीत, स्थिति प्रचालक में उचित eigenfunctions का अभाव है। इस कमी को दूर करने का पारंपरिक प्रकार वितरण की अनुमति देकर उपलब्ध फलनों के वर्ग को चौड़ा करना है: अर्थात्, क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट स्पेस को उचित रिग्ड हिल्बर्ट स्पेस के साथ प्रतिस्थापित करना है।{{sfn|Isham|1995|loc=§6.2}} इस संदर्भ में, स्थिति प्रचालक के पास बिंदुओं द्वारा लेबल किए गए ईजेन-वितरण का एक पूरा समुच्चय होता है {{mvar|y}} वास्तविक रेखा का, द्वारा दिया गया | ||
<math display="block">\varphi_y(x) = \delta(x-y).</math> | <math display="block">\varphi_y(x) = \delta(x-y).</math> | ||
स्थिति के eigenfunctions को निरूपित किया जाता है {{math|1=''φ<sub>y</sub>'' = {{ket|''y''}}}} डिराक नोटेशन में, और स्थिति आइजेनस्टेट्स के रूप में जाना जाता है। | स्थिति के eigenfunctions को निरूपित किया जाता है {{math|1=''φ<sub>y</sub>'' = {{ket|''y''}}}} डिराक नोटेशन में, और स्थिति आइजेनस्टेट्स के रूप में जाना जाता है। | ||
इसी तरह के विचार संवेग संचालिका, या वास्तव में किसी अन्य स्व-सहायक अनबाउंड | इसी तरह के विचार संवेग संचालिका, या वास्तव में किसी अन्य स्व-सहायक अनबाउंड प्रचालक के आइजेनस्टेट्स पर उपयोजित होते हैं {{mvar|P}} हिल्बर्ट समष्टि पर, का स्पेक्ट्रम प्रदान किया गया {{mvar|P}} सतत है और कोई विकृत स्वदेशीमान नहीं हैं। उस स्थिति में, एक समुच्चय है {{math|Ω}} वास्तविक संख्याओं का (स्पेक्ट्रम), और एक संग्रह {{mvar|φ<sub>y</sub>}} के तत्वों द्वारा अनुक्रमित वितरण का {{math|Ω}}, ऐसा है कि | ||
<math display="block">P\varphi_y = y\varphi_y.</math> | <math display="block">P\varphi_y = y\varphi_y.</math> | ||
Line 649: | Line 630: | ||
<math display="block"> \psi(x) = \int_\Omega c(y) \varphi_y(x) \, dy</math> | <math display="block"> \psi(x) = \int_\Omega c(y) \varphi_y(x) \, dy</math> | ||
कहाँ {{math|1= ''c''(''y'') = {{angbr|''ψ'', ''φ<sub>y</sub>''}}}}. अर्थात्, असतत प्रकरण की तरह, | कहाँ {{math|1= ''c''(''y'') = {{angbr|''ψ'', ''φ<sub>y</sub>''}}}}. अर्थात्, असतत प्रकरण की तरह, तत्समक का एक समाधान है | ||
<math display="block">I = \int_\Omega |\varphi_y\rangle\, \langle\varphi_y|\,dy</math> | <math display="block">I = \int_\Omega |\varphi_y\rangle\, \langle\varphi_y|\,dy</math> | ||
जहां | जहां प्रचालक-मूल्यवान समाकल को फिर से कमजोर अर्थ में समझा जाता है। यदि का स्पेक्ट्रम {{mvar|P}} में सतत और असतत दोनों भाग होते हैं, तो तत्समक के समाधान में असतत स्पेक्ट्रम पर एक योग सम्मिलित होता है {{em|and}} सतत स्पेक्ट्रम पर एक समाकल। | ||
डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरे संभावित कुएं के लिए डेल्टा संभावित प्रतिरूप। | डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरे संभावित कुएं के लिए डेल्टा संभावित प्रतिरूप। |
Revision as of 20:00, 10 August 2023
अंतर समीकरण |
---|
दायरा |
वर्गीकरण |
समाधान |
लोग |
गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा वितरण (δ वितरण), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है,[1] वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या वितरण (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल समाकल एक के समान है।[2][3][4]
इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलनक के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, ) को उसके डोमेन ) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है,[5][6] या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, ), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी ''अनुमानित'' या ''उदीयमान'' डेल्टा वितरण कहा जाता है।
डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा अवस्था सदिश के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। संभाव्यता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने वितरण के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।
क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।
प्रेरणा और समीक्षा
डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है।[7]: 174 डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।
विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इसे इकाई kg⋅m⋅s−1 के साथ संवेग P प्रदान होती है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना सुविधाजनक है। इसलिए बल P δ(t) है; δ(t) की इकाइयाँ s−1 है।
इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,
डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटनों की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए
व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन वितरणों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।
डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं f(x) = δ(x) और g(x) = 0, x = 0 को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल हैं जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि f और g ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह f = g है, तब f पूर्णांक है यदि और केवल यदि g पूर्णांक है और f और g के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या वितरण (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।
इतिहास
जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:[8]
जैसा कि वितरण के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है
- शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। वितरणों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।
यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है, ''प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L2-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के फलनों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के वितरण के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ...,[15] और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।
एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची वितरण का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। [16] सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था।[17] डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था[18] और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था।[3] इसे ''डेल्टा फलन'' कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।
परिभाषाएँ
डिराक डेल्टा फलन को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,
डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: एक फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है
मापक के रूप में
डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार एक माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा R के उपसमुच्चय A को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि 0 ∈ A है तो δ(A) = 1 देता है, और अन्यथा δ(A) = 0 देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब δ(A) समुच्चय A में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान वितरण के प्रति किसी फलन के समाकल वितरण के रूप में δ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप δ के संबंध में लेब्सेग समाकल
R पर संभाव्यता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी वितरण फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।[23]
वितरण के रूप में
वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति ''एकीकृत'' किया जाता है।[25] इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से ''अच्छे'' परीक्षण फलन φ के प्रति डेल्टा फलन का ''समाकल'' क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।
परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि सघन समर्थन के साथ R पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है[26]
-
(1)
प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए है।
δ के उचित वितरण के लिए, इसे परीक्षण फलन के समष्टि पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होना चाहिए। सामान्य रूप में, वितरण को परिभाषित करने के लिए परीक्षण फलनों के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक S के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक N के लिए एक पूर्णांक MN और एक स्थिर CN होता है, जिससे प्रत्येक परीक्षण फलन φ के लिए असमानता होती है।[27]
डेल्टा वितरण को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड सोपान फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ, एक है
सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।
सामान्यीकरण
डेल्टा फलन को n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि Rn में इस तरह के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
-
(2)
डेल्टा फलन को एक-विमीय प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार वितरण के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है।[29] हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बावजूद, (2) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि वितरण के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।[30][31]
डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है।[32] इस प्रकार यदि X एक समुच्चय है, x0 ∈ X एक चिह्नित बिंदु है, और Σ, X के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय A ∈ Σ पर परिभाषित माप
डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक बहुरूपता है जहां वितरण के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण पराक्रम किया जा सकता है। बिंदु x0 ∈ M पर केन्द्रित बहुरूपता M पर डेल्टा फलन को निम्नलिखित वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:
-
(3)
M पर सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन φ के लिए हैं।[33] इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें M यूक्लिडियन समष्टि Rn में एक विवृत समुच्चय हैं।
स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि X पर, एक बिंदु x पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, सघन रूप से समर्थित सतत फलन φ पर डेनियल समाकल (3) से जुड़ा रेडॉन माप हैं।[34] व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, X पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में X का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत X के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक X पर संभाव्यता माप के संभाव्यता माप के समष्टि में सघन हैं।[35]
गुण
सोपान और समरूपता
डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर α के लिए निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है :[36]
-
(4)
सोपान गुण प्रमाण:
विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक समान वितरण (समरूपता) है, इस अर्थ में
बीजगणितीय गुण
x के साथ δ का वितरणात्मक उत्पाद शून्य के समान है:
अनुवाद
समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल है[38]
इसका तात्पर्य यह है कि किसी फलन f(t) को समय-विलंबित डिराक डेल्टा के साथ संयोजित करने का प्रभाव f(t) को समान मात्रा में समय-विलंबित करना है:
फलन के साथ रचना
अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु फलन g(x) के साथ इस तरह से बनाया जा सकता है कि से कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन का मानना है कि
अनिश्चित समाकल
एक स्थिरांक a ∈ ℝ और एक "अच्छे व्यवहार वाले" स्वेच्छाचारी वास्तविक-मूल्यवान फलन y(x) के लिए यह सत्य है कि:
n आयामों में गुण
n-विमीय समष्टि में डेल्टा वितरण इसके बदले निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है,
किसी भी प्रतिबिंब या घूर्णन ρ के अंतर्गत, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है,
ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में निमज्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत विभेदक फलन g : Rn → R के विशेष प्रकरण में जैसे कि g का प्रवणता कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित तत्समक संचालित है[44]
|अधिक सामान्यतः, यदि S, Rn की एक सुचारू अधिपृष्ठ है, तो हम S से उस वितरण को संबद्ध कर सकते हैं जो S पर किसी भी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलन g को एकीकृत करता है:
तीन विमीय में, डेल्टा फलन को गोलाकार निर्देशांक में दर्शाया गया है:
फूरिये रूपांतर
डेल्टा फलन एक टेम्पर्ड वितरण है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतर है। औपचारिक रूप से, कोई ढूँढ़ें[47]
इस तत्समक के परिणामस्वरूप, किसी अन्य टेम्पर्ड वितरण S के साथ डेल्टा फलन का संवलन केवल S है :
टेम्पर्ड वितरण f(ξ) = 1 का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण डेल्टा फलन है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
इन शब्दों में, डेल्टा फलन R फूरियर कर्नेल की लंबकोणीयता गुण का एक सांकेतिक विवरण प्रदान करता है। औपचारिक रूप से, किसी के पास है
फूरियर रूपांतर की विश्लेषणात्मक निरंतरता से डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है[48]
डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न
डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, जिसे δ′ दर्शाया गया है और इसे डिराक डेल्टा मूल या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि संकेतक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे सघन रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलन φ द्वारा परिभाषित किया गया है[49]
डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है:[50]
डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई आधारिक गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं:[52]
इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को उपयोजित करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:[53]
उच्चतर आयाम
अधिक सामान्यतः, n-विमीय यूक्लिडियन समष्टि ℝn में विवृत समुच्चय U पर एक बिंदु पर केंद्रित डिराक डेल्टा वितरण a ∈ U को सभी है द्वारा परिभाषित किया गया है[54]
डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय समतल के साथ दोहरी परतों के रूप में माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी सतह पर समर्थित एक साधारण परत का सामान्य व्युत्पन्न उस सतह पर समर्थित एक दोहरी परत होती है और एक लामिना चुंबकीय मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करती है। डेल्टा फलन के उच्च व्युत्पन्न को भौतिकी में मल्टीपोल के रूप में जाना जाता है।
उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ वितरण की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। यदि S एकल बिंदु वाले समुच्चय {a} पर समर्थित U पर कोई वितरण है, तब तो एक पूर्णांक m और गुणांक cα है जैसे कि[54][55]
डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व
डेल्टा फलन को फलनों के अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है
-
(5)
सघन समर्थन वाले सभी सतत फलन f के लिए, या यह सीमा सघन समर्थन वाले सभी सुचारु फलन f के लिए है। दुर्बल अभिसरण के इन दो अलग-अलग प्रकार के मध्य का अंतर प्रायः सूक्ष्म होता है: पहला मापों की अस्पष्ट टोपोलॉजी में अभिसरण है, और दूसरा वितरण के अर्थ में अभिसरण है।
तत्समक का अनुमान
सामान्यतः एक नवजात डेल्टा फलन ηε का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है। होने देना η एक बिल्कुल एकीकृत फलन बनें R कुल समाकल का 1, और परिभाषित करें
यदि प्रारंभिक η = η1स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को शांत करनेवाला कहा जाता है। मानक मोलिफ़ायर चुनकर प्राप्त किया जाता है {{mvar|η}उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत बम्प फलन होना
संभाव्य विचार
संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, प्रारंभिक की अतिरिक्त शर्त लगाना स्वाभाविक है η1 तत्समक के सन्निकटन में धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसा फलन तब संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। संभाव्यता वितरण के साथ संवलन कभी-कभी अनुकूल होता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूप ओवरशूट (संकेत) या अंडरशूट नहीं होता है, क्योंकि आउटपुट इनपुट मानों का उत्तल संयोजन होता है, और इस प्रकार इनपुट फलन के अधिकतम और न्यूनतम के मध्य आता है। ले रहा η1 किसी भी संभाव्यता वितरण होना, और देना ηε(x) = η1(x/ε)/εजैसा कि ऊपर बताया गया है, तत्समक के एक अनुमान को जन्म देगा। सामान्य रूप में यह अधिक तेजी से डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाता है, यदि, इसके अतिरिक्त, η का अर्थ है 0 और इसमें छोटे उच्चतर क्षण हैं। उदाहरण के लिए, यदि η1 पर एकसमान वितरण (सतत) है , को आयताकार फलन के रूप में भी जाना जाता है, फिर:[59]
अर्धसमूह
नवजात डेल्टा फलन प्रायः संवलन सेमीग्रुप के रूप में उत्पन्न होते हैं।[60] यह आगे की बाधा के समान है जो कि संवलन है ηε साथ ηδ संतुष्ट होना चाहिए
व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण या परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के लिए मौलिक समाधान या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के आउटपुट के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक प्रचालक है जो x के फलनों पर कार्य करता है, तो प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने से एक संवलन सेमीग्रुप उत्पन्न होता है
ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण संवलन सेमीग्रुप के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं।
गरम गिरी
हीट कर्नेल, द्वारा परिभाषित
उच्च-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में Rn, हीट कर्नेल है
पॉइसन कर्नेल
पॉइसन कर्नेल
ऑसिलेटरी समाकल्स
तरंग प्रसार और तरंग जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, सम्मिलित समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण हैं और इसलिए अधिक एकल समाधान हो सकते हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित कॉची समस्याओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवजात डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल होते हैं। एक उदाहरण, जो ट्रांसोनिक गैस गतिशीलता के यूलर-ट्राइकोमी समीकरण के समाधान से आता है,[63] पुनर्स्केल्ड हवादार कार्य है
एक अन्य उदाहरण तरंग समीकरण के लिए कॉची समस्या है R1+1:[64]
इस प्रकार की तत्समक के अन्य अनुमानों में सिनक फलन (इलेक्ट्रॉनिक्स और दूरसंचार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सम्मिलित है।
विमान तरंग अपघटन
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण
डेल्टा फलन का समतल तरंगों में इस तरह का अपघटन एक सामान्य तकनीक का हिस्सा था जिसे पहले अनिवार्य रूप से जोहान रेडॉन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और फिर फ़्रिट्ज़ जॉन (#CITEREFJohn1955) द्वारा इस रूप में विकसित किया गया था।[65] चुनना k ताकि n + k एक सम पूर्णांक है, और एक वास्तविक संख्या के लिए s, रखना
फूरियर गुठली
फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। वह n-किसी फलन की फूरियर श्रृंखला का आंशिक योग f अवधि का 2π को संवलन (अंतराल पर) द्वारा परिभाषित किया गया है [−π,π]) डिरिचलेट कर्नेल के साथ:
इसके बावजूद, परिणाम सभी सघन रूप से समर्थित नहीं है continuous फलन: अर्थात् DN उपायों के अर्थ में कमजोर रूप से अभिसरण नहीं करता है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की कमी के कारण अभिसरण उत्पन्न करने के लिए विभिन्न प्रकार की योग्यता विधियों की शुरूआत हुई है। सेसरो योग की विधि फेजर कर्नेल की ओर ले जाती है[67]
हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत
डिराक डेल्टा वितरण हिल्बर्ट समष्टि एलपी स्पेस|एल पर एक सघन रूप से परिभाषित अनबाउंड प्रचालक रैखिक कार्यात्मक है2वर्ग-समाकल फलनों का। वास्तव में, सुचारु रूप से समर्थित फलन सघन रूप से समुच्चय होते हैं L2, और ऐसे फलनों पर डेल्टा वितरण की कार्रवाई अच्छी तरह से परिभाषित है। कई अनुप्रयोगों में, के उप-समष्टिों की तत्समक करना संभव है L2 और एक मजबूत टोपोलॉजी देने के लिए जिस पर डेल्टा फलन एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है।
सोबोलेव रिक्त समष्टि
वास्तविक रेखा पर सोबोलेव रिक्त समष्टि के लिए सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय R तात्पर्य यह है कि कोई भी वर्ग-समाकल फलन f ऐसा है कि
होलोमोर्फिक फलन के समष्टि
जटिल विश्लेषण में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दावा करता है कि यदि D तो, सुचारू सीमा के साथ जटिल विमान में एक डोमेन है
तत्समक के संकल्प
फलनों का एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार समुच्चय दिया गया है {φn} एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्पेस में, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस#स्पेक्ट्रल प्रमेय|सघन सेल्फ-एडजॉइंट प्रचालक, किसी भी वेक्टर पर एक सघन प्रचालक के सामान्यीकृत आइजन्वेक्टर f के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
इनफिनिटेसिमल डेल्टा फलन
कॉची ने एक इनफिनिटसिमल का उपयोग किया α एक इकाई आवेग, असीम रूप से लंबा और संकीर्ण डायराक-प्रकार डेल्टा फलन लिखने के लिए δα संतुष्टि देने वाला 1827 में कई लेखों में।[74] कॉची ने शून्य की ओर प्रवृत्त अनुक्रम के संदर्भ में कौर्स डी'एनालिसिस (1827) में एक अतिसूक्ष्म को परिभाषित किया। अर्थात्, कॉची और लज़ारे कार्नोट की शब्दावली में ऐसा शून्य अनुक्रम एक अत्यंत छोटा अनुक्रम बन जाता है।
गैर-मानक विश्लेषण किसी को अति सूक्ष्म जीवों के साथ कठोरता से व्यवहार करने की अनुमति देता है। लेख द्वारा Yamashita (2007) में हाइपररियल संख्या द्वारा प्रदान किए गए एक अनंत-समृद्ध सातत्य के संदर्भ में आधुनिक डिराक डेल्टा फलन पर एक ग्रंथ सूची सम्मिलित है। यहां डिराक डेल्टा को एक वास्तविक फलन द्वारा दिया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक वास्तविक फलन के लिए गुण होती है F किसी के पास जैसा कि फूरियर और कॉची ने अनुमान लगाया था।
डिराक कंघी
डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान पल्स ट्रेन, जिसे डिराक कंघी के रूप में जाना जाता है, या शा (सिरिलिक) वितरण के रूप में जाना जाता है, एक नमूना (सिग्नल संसाधन) फलन बनाता है, जिसे प्रायः अंकीय संकेत प्रक्रिया (डीएसपी) और अलग समय में उपयोग किया जाता है। संकेत विश्लेषण. डिराक कंघी को अनंत योग के रूप में दिया गया है, जिसकी सीमा वितरण अर्थ में समझी जाती है,
समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कंघी अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि f कोई श्वार्ट्ज समष्टि है, तो रैप्ड वितरण f संवलन द्वारा दिया गया है
सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय
क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय, डेल्टा फलन को वितरण से संबंधित करता है p.v. 1/x, फलन का कॉची प्रमुख मूल्य 1/x, द्वारा परिभाषित
क्रोनकर डेल्टा से संबंध
क्रोनकर डेल्टा δij द्वारा परिभाषित मात्रा है
अनुप्रयोग
संभावना सिद्धांत
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग प्रायिकता घनत्व फलन (जो सामान्यतः बिल्कुल सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है) का उपयोग करके असतत वितरण, या आंशिक रूप से असतत, आंशिक रूप से सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, संभाव्यता घनत्व फलन f(x)अंकों से युक्त एक पृथक वितरण का x = {x1, ..., xn}, संगत संभावनाओं के साथ p1, ..., pn, के रूप में लिखा जा सकता है
क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन समीचीन है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के भीतर एक कण को खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि के तत्व माना जाता है L2 वर्ग-समाकल फलनों का, और किसी दिए गए अंतराल के भीतर एक कण को खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल है। एक समुच्चय {|φn⟩}तरंग फलनों का ऑर्थोनॉर्मल है यदि उन्हें सामान्यीकृत किया जाता है
इसी तरह के विचार संवेग संचालिका, या वास्तव में किसी अन्य स्व-सहायक अनबाउंड प्रचालक के आइजेनस्टेट्स पर उपयोजित होते हैं P हिल्बर्ट समष्टि पर, का स्पेक्ट्रम प्रदान किया गया P सतत है और कोई विकृत स्वदेशीमान नहीं हैं। उस स्थिति में, एक समुच्चय है Ω वास्तविक संख्याओं का (स्पेक्ट्रम), और एक संग्रह φy के तत्वों द्वारा अनुक्रमित वितरण का Ω, ऐसा है कि
डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरे संभावित कुएं के लिए डेल्टा संभावित प्रतिरूप।
संरचनात्मक यांत्रिकी
डेल्टा फलन का उपयोग संरचनात्मक यांत्रिकी में संरचनाओं पर अभिनय करने वाले क्षणिक भार या बिंदु भार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अचानक बल आवेग से उत्तेजित एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला | द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का गवर्निंग समीकरण (भौतिकी) I समय पर t = 0 लिखा जा सकता है
एक अन्य उदाहरण के रूप में, यूलर-बर्नौली बीम समीकरण|यूलर-बर्नौली सिद्धांत के अनुसार, एक पतली बीम (संरचना) के स्थिर विक्षेपण को नियंत्रित करने वाला समीकरण है,
साथ ही, बीम पर कार्य करने वाले एक बिंदु झुकने वाले क्षण को डेल्टा फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। दो विरोधी बिंदु बलों पर विचार करें F दूरी पर d अलग। फिर वे एक क्षण उत्पन्न करते हैं M = Fd किरण पर कार्य करना। अब चलो दूरियां d किसी फलन की सीमा शून्य तक पहुंचें, जबकि M स्थिर रखा गया है. भार वितरण, एक दक्षिणावर्त क्षण पर कार्य करते हुए x = 0, लिखा है
यह भी देखें
- परमाणु (माप सिद्धांत)
- सूचक का लाप्लासियन
टिप्पणियाँ
- ↑ atis 2013, unit impulse.
- ↑ Arfken & Weber 2000, p. 84.
- ↑ 3.0 3.1 Dirac 1930, §22 The δ function.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.1.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.3.
- ↑ Schwartz 1950, p. 3.
- ↑ Zhao, Ji-Cheng (2011-05-05). चरण आरेख निर्धारण के तरीके (in English). Elsevier. ISBN 978-0-08-054996-5.
- ↑ Fourier, JB (1822). ऊष्मा का विश्लेषणात्मक सिद्धांत (English translation by Alexander Freeman, 1878 ed.). The University Press. p. [1]., cf. https://books.google.com/books?id=-N8EAAAAYAAJ&pg=PA449 and pp. 546–551. Original French text.
- ↑ Komatsu, Hikosaburo (2002). "Fourier's hyperfunctions and Heaviside's pseudodifferential operators". In Takahiro Kawai; Keiko Fujita (eds.). माइक्रोलोकल विश्लेषण और जटिल फूरियर विश्लेषण. World Scientific. p. [2]. ISBN 978-981-238-161-3.
- ↑ Myint-U., Tyn; Debnath, Lokenath (2007). वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए रैखिक आंशिक विभेदक समीकरण (4th ed.). Springer. p. [3]. ISBN 978-0-8176-4393-5.
- ↑ Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). इंटीग्रल ट्रांसफ़ॉर्म और उनके अनुप्रयोग (2nd ed.). CRC Press. p. [4]. ISBN 978-1-58488-575-7.
- ↑ Grattan-Guinness, Ivor (2009). Convolutions in French Mathematics, 1800–1840: From the Calculus and Mechanics to Mathematical Analysis and Mathematical Physics, Volume 2. Birkhäuser. p. 653. ISBN 978-3-7643-2238-0.
- ↑ See, for example, Cauchy, Augustin-Louis (1789-1857) Auteur du texte (1882–1974). "Des intégrales doubles qui se présentent sous une forme indéterminèe". Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy. Série 1, tome 1 / publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique... (in English).
- ↑ Mitrović, Dragiša; Žubrinić, Darko (1998). अनुप्रयुक्त कार्यात्मक विश्लेषण के मूल सिद्धांत: वितरण, सोबोलेव स्पेस. CRC Press. p. 62. ISBN 978-0-582-24694-2.
- ↑ Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1989). "On singular integral operators and generalizations". In Themistocles M. Rassias (ed.). Topics in Mathematical Analysis: A Volume Dedicated to the Memory of A.L. Cauchy. World Scientific. p. https://books.google.com/books?id=xIsPrSiDlZIC&pg=PA553 553]. ISBN 978-9971-5-0666-7.
- ↑ Laugwitz 1989, p. 230.
- ↑ A more complete historical account can be found in van der Pol & Bremmer 1987, §V.4.
- ↑ Dirac, P. A. M. (January 1927). "क्वांटम गतिकी की भौतिक व्याख्या". Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character (in English). 113 (765): 621–641. Bibcode:1927RSPSA.113..621D. doi:10.1098/rspa.1927.0012. ISSN 0950-1207. S2CID 122855515.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, Volume I, §1.1, p. 1.
- ↑ Dirac 1930, p. 63.
- ↑ Arfken, George B.; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013). "1.11 Dirac Delta Function". भौतिकविदों के लिए गणितीय विधियाँ - एक व्यापक मार्गदर्शिका (7th ed.). Elsevier Inc. p. 75. ISBN 978-0-12-384654-9.
- ↑ Hewitt & Stromberg 1963, §19.61.
- ↑ Driggers 2003, p. 2321 See also Bracewell 1986, Chapter 5 for a different interpretation. Other conventions for the assigning the value of the Heaviside function at zero exist, and some of these are not consistent with what follows.
- ↑ Hewitt & Stromberg 1963, §9.19.
- ↑ Hazewinkel 2011, p. 41.
- ↑ Strichartz 1994, §2.2.
- ↑ Hörmander 1983, Theorem 2.1.5.
- ↑ Bracewell 1986, Chapter 5.
- ↑ Hörmander 1983, §3.1.
- ↑ Strichartz 1994, §2.3.
- ↑ Hörmander 1983, §8.2.
- ↑ Rudin 1966, §1.20.
- ↑ Dieudonné 1972, §17.3.3.
- ↑ Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2008-12-15). ज्यामितीय एकीकरण सिद्धांत (in English). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4679-0.
- ↑ Federer 1969, §2.5.19.
- ↑ Strichartz 1994, Problem 2.6.2.
- ↑ Vladimirov 1971, Chapter 2, Example 3(d).
- ↑ Rottwitt, Karsten; Tidemand-Lichtenberg, Peter (2014-12-11). Nonlinear Optics: Principles and Applications (in English). CRC Press. p. [5] 276. ISBN 978-1-4665-6583-8.
- ↑ Karris, Steven T. (2003). MATLAB अनुप्रयोगों के साथ सिग्नल और सिस्टम (in English). Orchard Publications. p. 15. ISBN 978-0-9709511-6-8.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Sifting Property". MathWorld.
- ↑ Roden, Martin S. (2014-05-17). संचार सिद्धांत का परिचय (in English). Elsevier. p. [6]. ISBN 978-1-4831-4556-3.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, Vol. 1, §II.2.5.
- ↑ Further refinement is possible, namely to submersions, although these require a more involved change of variables formula.
- ↑ Hörmander 1983, §6.1.
- ↑ Lange 2012, pp.29–30.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, p. 212.
- ↑ The numerical factors depend on the conventions for the Fourier transform.
- ↑ Bracewell 1986.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, p. 26.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, §2.1.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Doublet Function". MathWorld.
- ↑ Bracewell 2000, p. 86.
- ↑ "Gugo82's comment on the distributional derivative of Dirac's delta". matematicamente.it. 12 September 2010.
- ↑ 54.0 54.1 54.2 Hörmander 1983, p. 56.
- ↑ Rudin 1991, Theorem 6.25.
- ↑ Stein & Weiss 1971, Theorem 1.18.
- ↑ Rudin 1991, §II.6.31.
- ↑ More generally, one only needs η = η1 to have an integrable radially symmetric decreasing rearrangement.
- ↑ Saichev & Woyczyński 1997, §1.1 The "delta function" as viewed by a physicist and an engineer, p. 3.
- ↑ Milovanović, Gradimir V.; Rassias, Michael Th (2014-07-08). Analytic Number Theory, Approximation Theory, and Special Functions: In Honor of Hari M. Srivastava (in English). Springer. p. 748. ISBN 978-1-4939-0258-3.
- ↑ Stein & Weiss 1971, §I.1.
- ↑ Mader, Heidy M. (2006). ज्वालामुखी विज्ञान में सांख्यिकी (in English). Geological Society of London. p. 81. ISBN 978-1-86239-208-3.
- ↑ Vallée & Soares 2004, §7.2.
- ↑ Hörmander 1983, §7.8.
- ↑ Courant & Hilbert 1962, §14.
- ↑ Gelfand & Shilov 1966–1968, I, §3.10.
- ↑ Lang 1997, p. 312.
- ↑ In the terminology of Lang (1997), the Fejér kernel is a Dirac sequence, whereas the Dirichlet kernel is not.
- ↑ Hazewinkel 1995, p. 357.
- ↑ The development of this section in bra–ket notation is found in (Levin 2002, Coordinate-space wave functions and completeness, pp.=109ff)
- ↑ Davis & Thomson 2000, Perfect operators, p.344.
- ↑ Davis & Thomson 2000, Equation 8.9.11, p. 344.
- ↑ de la Madrid, Bohm & Gadella 2002.
- ↑ Laugwitz 1989.
- ↑ Córdoba 1988.
- ↑ Hörmander 1983, §7.2.
- ↑ Vladimirov 1971, §5.7.
- ↑ Hartmann 1997, pp. 154–155.
- ↑ Isham 1995, §6.2.
संदर्भ
- Aratyn, Henrik; Rasinariu, Constantin (2006), A short course in mathematical methods with Maple, World Scientific, ISBN 978-981-256-461-0.
- Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th ed.), Boston, Massachusetts: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0.
- atis (2013), ATIS Telecom Glossary, archived from the original on 2013-03-13
- Bracewell, R. N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (2nd ed.), McGraw-Hill.
- Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), McGraw-Hill.
- Córdoba, A. (1988), "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306: 373–376.
- Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience.
- Davis, Howard Ted; Thomson, Kendall T (2000), Linear algebra and linear operators in engineering with applications in Mathematica, Academic Press, ISBN 978-0-12-206349-7
- Dieudonné, Jean (1976), Treatise on analysis. Vol. II, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-215502-4, MR 0530406.
- Dieudonné, Jean (1972), Treatise on analysis. Vol. III, Boston, Massachusetts: Academic Press, MR 0350769
- Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics (1st ed.), Oxford University Press.
- Driggers, Ronald G. (2003), Encyclopedia of Optical Engineering, CRC Press, Bibcode:2003eoe..book.....D, ISBN 978-0-8247-0940-2.
- Duistermaat, Hans; Kolk (2010), Distributions: Theory and applications, Springer.
- Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
- Gannon, Terry (2008), "Vertex operator algebras", Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-1400830398.
- Gelfand, I. M.; Shilov, G. E. (1966–1968), Generalized functions, vol. 1–5, Academic Press, ISBN 9781483262246.
- Hartmann, William M. (1997), Signals, sound, and sensation, Springer, ISBN 978-1-56396-283-7.
- Hazewinkel, Michiel (1995). Encyclopaedia of Mathematics (set) (in English). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Hazewinkel, Michiel (2011). Encyclopaedia of mathematics. Vol. 10. Springer. ISBN 978-90-481-4896-7. OCLC 751862625.
- Hewitt, E; Stromberg, K (1963), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
- Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi:10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 978-3-540-12104-6, MR 0717035.
- Isham, C. J. (1995), Lectures on quantum theory: mathematical and structural foundations, Imperial College Press, ISBN 978-81-7764-190-5.
- John, Fritz (1955), Plane waves and spherical means applied to partial differential equations, Interscience Publishers, New York-London, ISBN 9780486438047, MR 0075429.
- Lang, Serge (1997), Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, MR 1476913.
- Lange, Rutger-Jan (2012), "Potential theory, path integrals and the Laplacian of the indicator", Journal of High Energy Physics, 2012 (11): 29–30, arXiv:1302.0864, Bibcode:2012JHEP...11..032L, doi:10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID 56188533.
- Laugwitz, D. (1989), "Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820", Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195–245, doi:10.1007/BF00329867, S2CID 120890300.
- Levin, Frank S. (2002), "Coordinate-space wave functions and completeness", An introduction to quantum theory, Cambridge University Press, pp. 109ff, ISBN 978-0-521-59841-5
- Li, Y. T.; Wong, R. (2008), "Integral and series representations of the Dirac delta function", Commun. Pure Appl. Anal., 7 (2): 229–247, arXiv:1303.1943, doi:10.3934/cpaa.2008.7.229, MR 2373214, S2CID 119319140.
- de la Madrid, R.; Bohm, A.; Gadella, M. (2002), "Rigged Hilbert Space Treatment of Continuous Spectrum", Fortschr. Phys., 50 (2): 185–216, arXiv:quant-ph/0109154, Bibcode:2002ForPh..50..185D, doi:10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S, S2CID 9407651.
- McMahon, D. (2005-11-22), "An Introduction to State Space" (PDF), Quantum Mechanics Demystified, A Self-Teaching Guide, Demystified Series, New York: McGraw-Hill, p. 108, ISBN 978-0-07-145546-6, retrieved 2008-03-17.
- van der Pol, Balth.; Bremmer, H. (1987), Operational calculus (3rd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0327-6, MR 0904873.
- Rudin, Walter (1966). Devine, Peter R. (ed.). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill (published 1987). ISBN 0-07-100276-6.
- Rudin, Walter (1991), Functional Analysis (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054236-5.
- Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Airy functions and applications to physics, London: Imperial College Press, ISBN 9781911299486.
- Saichev, A I; Woyczyński, Wojbor Andrzej (1997), "Chapter1: Basic definitions and operations", Distributions in the Physical and Engineering Sciences: Distributional and fractal calculus, integral transforms, and wavelets, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3924-2
- Schwartz, L. (1950), Théorie des distributions, vol. 1, Hermann.
- Schwartz, L. (1951), Théorie des distributions, vol. 2, Hermann.
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8273-4.
- Vladimirov, V. S. (1971), Equations of mathematical physics, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-1713-1.
- Weisstein, Eric W. "Delta Function". MathWorld.
- Yamashita, H. (2006), "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach", Journal of Mathematical Physics, 47 (9): 092301, Bibcode:2006JMP....47i2301Y, doi:10.1063/1.2339017
- Yamashita, H. (2007), "Comment on "Pointwise analysis of scalar fields: A nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]", Journal of Mathematical Physics, 48 (8): 084101, Bibcode:2007JMP....48h4101Y, doi:10.1063/1.2771422
बाहरी संबंध
- Media related to डिरैक डेल्टा फलन at Wikimedia Commons
- "Delta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- KhanAcademy.org video lesson
- The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
- Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
- The Dirac delta measure is a hyperfunction
- We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
- Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure. Archived 2008-03-07 at the Wayback Machine