डिरैक डेल्टा फलन

"डेल्टा फलन" redirects here. For अन्य उपयोग, see डेल्टा फलन (बहुविकल्पी).

एक तीर के ऊपर एक रेखा द्वारा डिराक डेल्टा फलन का योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व। तीर की ऊंचाई सामान्यतः किसी भी गुणक स्थिरांक का मान निर्दिष्ट करने के लिए होती है, जो फलन के अंतर्गत क्षेत्र देगी। दूसरी परिपाटी तीर के शीर्ष के आगे का क्षेत्र लिखने की है।

सीमा के रूप में डिराक डेल्टा $a\to 0$ (वितरण (गणित) के अर्थ में) शून्य-केंद्रित सामान्य वितरण के अनुक्रम का $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$

गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा वितरण (δ वितरण), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या वितरण (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल समाकल एक के समान है।

इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलनक के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, $f(x)$) को उसके डोमेन $f(0)$) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है, या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, $\delta (x)=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}$), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी ''अनुमानित'' या ''उदीयमान'' डेल्टा वितरण कहा जाता है।

डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा अवस्था सदिश के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। संभाव्यता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने वितरण के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।

क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।

प्रेरणा और समीक्षा

डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और सकारात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है। डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।

विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय $t=0$ पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इसे इकाई kg⋅m⋅s⁻¹ के साथ संवेग P प्रदान होती है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना ​​​​सुविधाजनक है। इसलिए बल P δ(t) है; δ(t) की इकाइयाँ s⁻¹ है।

इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल $\Delta t=[0,T]$ पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,

$$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

फिर किसी भी समय t का संवेग एकीकरण द्वारा पाया जाता है:

$$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

अब, संवेग के तात्कालिक स्थानांतरण की प्रतिरूप स्थिति में सीमा को Δt → 0 के रूप में लेने की आवश्यकता होती है, जिससे 0 को छोड़कर हर जगह परिणाम मिलता है:

$$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$$

यहाँ फलन $F_{\Delta t}$ को संवेग के तात्क्षणिक स्थानांतरण के विचार के लिए उपयोगी सन्निकटन के रूप में माना जाता है।

डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटनों की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$ हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,$$

जो सभी $\Delta t>0$ के लिए है, उसे सीमा में बनाए रखना चाहिए। तो, समीकरण ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$ में, यह समझा जाता है कि सीमा को हमेशा समाकल के बाहर लिया जाता है।

व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन वितरणों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।

डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं f(x) = δ(x) और g(x) = 0, x = 0 को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल हैं जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि f और g ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह f = g है, तब f पूर्णांक है यदि और केवल यदि g पूर्णांक है और f और g के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या वितरण (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

इतिहास

जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$$

जो विधि में δ-फलन की प्रास्ताविक के समान है:

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$$

बाद में, ऑगस्टिन कॉची ने घातांक का उपयोग करके प्रमेय व्यक्त किया:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$$

कॉची ने बताया कि कुछ परिस्थितियों में एकीकरण का क्रम इस परिणाम में महत्वपूर्ण है (फुबिनी के प्रमेय के विपरीत)।

जैसा कि वितरण के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$$

जहां δ-फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$$

घातीय रूप की परिशुद्ध व्याख्या और इसके अनुप्रयोग के लिए आवश्यक फलन f की विभिन्न सीमाएं कई सदियों तक विस्तारित है। शास्त्रीय व्याख्या की समस्याओं को इस प्रकार समझाया गया है:

शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। वितरणों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।

यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है, ''प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L²-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के कार्यों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के वितरण के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ..., और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।

एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची वितरण का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था। इसे ''डेल्टा फलन'' कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।

परिभाषाएँ

डिराक डेल्टा फलन $\delta (x)$ को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,

$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$

और जो तत्समक को संतुष्ट करने के लिए भी सीमित है

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

यह केवल एक अनुमानी लक्षण वर्णन है। डिराक डेल्टा पारंपरिक अर्थों में एक फलन नहीं है क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित किसी भी फलन में ये गुण नहीं होते हैं।

डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: $\delta (x)$ एक फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1,\ \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)g(x)dx=g(0)$$

जहां g(x) एक सुव्यवस्थित फलन है। इस परिभाषा में दूसरी प्रतिबंध उपरोक्त पहली परिभाषा से प्राप्त की जा सकती है:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)g(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)g(x)dx=g(0)\lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)dx=g(0).$$

डिराक डेल्टा फलन को या तो वितरण के रूप में या नीचे वर्णित माप के रूप में यथार्थ रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

मापक के रूप में

डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार एक माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा R के उपसमुच्चय A को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि 0 ∈ A है तो δ(A) = 1 देता है, और अन्यथा δ(A) = 0 देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब δ(A) समुच्चय A में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान वितरण के प्रति किसी फलन के समाकल वितरण के रूप में δ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप δ के संबंध में लेब्सेग समाकल

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$

सभी सतत कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन f को संतुष्ट करता है। माप δ लेब्सेग माप के संबंध में बिल्कुल सतत नहीं है - वास्तव में, यह एक अद्वितीय माप है। परिणामस्वरूप, डेल्टा माप में कोई रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न नहीं है (लेबेस्ग माप के संबंध में) - कोई वास्तविक फलन नहीं जिसके लिए गुण धारण करती है।

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$

परिणामस्वरूप, बाद वाला संकेतन संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग है, और एक मानक (रीमैन या लेबेस्ग) समाकल नहीं है।

R पर संभाव्यता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी वितरण फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।

$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

इसका अर्थ यह है कि H(x) माप δ के संबंध में संचयी संकेतक फलन 1_{(−∞, x]} का समाकल है; बुद्धि के लिए,

$$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta (-\infty ,x],$$

अनुवर्ती इस अंतराल का माप है; अधिक औपचारिक रूप से, δ((−∞, x]) है। इस प्रकार विशेष रूप से एक सतत फलन के प्रति डेल्टा फलन के एकीकरण को रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल के रूप में ठीक से समझा जा सकता है:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$$

δ के सभी उच्चतर क्षण (गणित) शून्य हैं। विशेष रूप से, विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन दोनों एक के समान हैं।

वितरण के रूप में

वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल यह माना जाता है कि यह अन्य कार्यों को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति एकीकृत किया जाता है। इस दर्शन को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से अच्छे परीक्षण फलन के प्रति डेल्टा फलन का समाकल अंग क्या है φ. परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।

परीक्षण कार्यों के एक विशिष्ट स्थान में सभी सुचारू कार्य सम्मिलित होते हैं R कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ जिसमें आवश्यकतानुसार कई डेरिवेटिव हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण कार्यों के स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$

(1)

प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ.

के लिए δ उचित रूप से एक वितरण होने के लिए, इसे परीक्षण कार्यों के स्थान पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होना चाहिए। सामान्य तौर पर, एक रैखिक कार्यात्मक के लिए S वितरण को परिभाषित करने के लिए परीक्षण कार्यों के स्थान पर, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है N एक पूर्णांक है M_N और एक स्थिरांक C_N ऐसा कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ, एक में असमानता है

$$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$

कहाँ sup सबसे निचला और उच्चतम का प्रतिनिधित्व करता है। साथ δ वितरण, एक ऐसी असमानता है (के साथ)। C_N = 1) साथ M_N = 0 सभी के लिए N. इस प्रकार δ ऑर्डर शून्य का वितरण है। इसके अलावा, यह कॉम्पैक्ट सपोर्ट (समर्थन (गणित)) वाला एक वितरण है {0}).

डेल्टा वितरण को कई समान तरीकों से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड स्टेप फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न है। इसका मतलब है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए φ, किसी के पास

$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

सहज रूप से, यदि भागों द्वारा एकीकरण की अनुमति दी गई थी, तो बाद वाले समाकल को सरल बनाना चाहिए

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$

और वास्तव में, स्टिल्टजेस समाकल के लिए भागों द्वारा एकीकरण के एक रूप की अनुमति है, और उस स्थिति में, किसी के पास

$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा वितरण को जन्म देता है। इसके विपरीत, समीकरण (1) सभी सघन रूप से समर्थित सतत कार्यों के स्थान पर डेनियल समाकल को परिभाषित करता है φ जिसे, रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, लेबेस्ग समाकल के रूप में दर्शाया जा सकता है φ कुछ रेडॉन माप के संबंध में।

आम तौर पर, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह उपायों के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।

सामान्यीकरण

डेल्टा फलन को परिभाषित किया जा सकता है n-आयामी यूक्लिडियन स्थान Rⁿ उपाय के रूप में ऐसा है कि

$$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$$

प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन के लिए f. एक उपाय के रूप में, n-आयामी डेल्टा फलन प्रत्येक चर में अलग-अलग 1-आयामी डेल्टा फलन का उत्पाद माप है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से, साथ x = (x₁, x₂, ..., x_n), किसी के पास

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$

(2)

डेल्टा फलन को एक-आयामी मामले में ऊपर बताए अनुसार वितरण के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बावजूद, (2) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि वितरण के उत्पाद को केवल काफी संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।

डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है। इस प्रकार यदि X एक समुच्चय है, x₀ ∈ X एक चिह्नित बिंदु है, और Σ के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है X, फिर समुच्चय पर परिभाषित माप A ∈ Σ द्वारा

$$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$$

डेल्टा माप या इकाई द्रव्यमान पर केंद्रित है x₀.

डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक मैनिफोल्ड है जहां वितरण के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण शोषण किया जा सकता है। डेल्टा अनेक गुना पर कार्य करता है M बिंदु पर केन्द्रित x₀ ∈ M को निम्नलिखित वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$

(3)

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए φ पर M. इस निर्माण का एक सामान्य विशेष मामला एक मामला है M यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक खुला समुच्चय है Rⁿ.

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान पर X, डिराक डेल्टा माप एक बिंदु पर केंद्रित है x डेनियल समाकल से जुड़ा रेडॉन माप है (3) सघन रूप से समर्थित सतत कार्यों पर φ. व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रिंग $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$ का एक सतत एम्बेडिंग है X परिमित रेडॉन के अंतरिक्ष में मापता है X, अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित। इसके अलावा, की छवि का उत्तल पतवार X इस एम्बेडिंग के अंतर्गत संभाव्यता माप के स्थान में सघन समुच्चय किया गया है X.

गुण

स्केलिंग और समरूपता

डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर के लिए निम्नलिखित स्केलिंग संपत्ति को संतुष्ट करता है α:

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$$

इसलिए

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$

(4)

स्केलिंग संपत्ति प्रमाण:

$${\begin{aligned}\delta (\alpha x)&=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/b)^{2}}\qquad {\text{since }}b{\text{ is a dummy variable, we set }}b=\alpha c\\&=\lim _{c\to 0}{\frac {1}{|\alpha c|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(\alpha x/(\alpha c))^{2}}\\&=\lim _{c\to 0}{\frac {1}{|\alpha |}}{\frac {1}{|c|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/c)^{2}}={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)\end{aligned}}$$

इस प्रमाण में, डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व शून्य-केंद्रित सामान्य वितरण के अनुक्रम की सीमा के रूप में होता है $\delta (x)=\lim _{b\to 0}{\frac {1}{|b|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/b)^{2}}$ प्रयोग किया जाता है। यह प्रमाण अन्य डेल्टा फलन अभ्यावेदन का उपयोग करके कार्यों के अनुक्रम की सीमा के रूप में किया जा सकता है, जब तक कि ये सम कार्य हों।

एक अन्य प्रमाण निम्नलिखित है:

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')$$

जहां परिवर्तनशील परिवर्तन होता है x′ = ax प्रयोग किया जाता है। अगर a नकारात्मक है, यानी, a = −|a|, तब

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g({\frac {x'}{a}})\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).$$

इस प्रकार, $\delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)$.

विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक सम फलन वितरण (समरूपता) है, इस अर्थ में

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

जो डिग्री का सजातीय कार्य है −1.

बीजगणितीय गुण

का वितरण (गणित) δ साथ x शून्य के समान है:

$$x\,\delta (x)=0.$$

इसके विपरीत, यदि xf(x) = xg(x), कहाँ f और g तो वितरण हैं

$$f(x)=g(x)+c\delta (x)$$

कुछ स्थिरांक के लिए c.

अनुवाद

समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल अंग है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

इसे कभी-कभी छनाई संपत्ति के रूप में जाना जाता है या नमूना संपत्ति. कहा जाता है कि डेल्टा फलन t = T पर f(t) का मान निकालता है। इससे यह पता चलता है कि कनवल्शन का प्रभाव एक फलन है f(t) समय-विलंबित डिराक डेल्टा के साथ $\delta _{T}(t)=\delta (t-T)$ समय-विलंब करना है f(t) समान राशि से. इसे कभी-कभी स्थानांतरण संपत्ति के रूप में जाना जाता है (स्थानांतरण संपत्ति के साथ भ्रमित न हों):

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि sifting संपत्ति पर केंद्रित फलन का मान ढूंढती है T जहांकि shifting संपत्ति विलंबित फलन लौटाती है। स्थानांतरण संपत्ति सटीक स्थिति में रहती है f एक डिस्ट्रीब्यूशन (गणित)#टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन और फूरियर ट्रांसफॉर्म बनें (फूरियर ट्रांसफॉर्म #फूरियर ट्रांसफॉर्म की चर्चा देखें)। उदाहरण के लिए, एक विशेष मामले के रूप में, हमारे पास पहचान है (वितरण अर्थ में समझी गई)

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).$$

अनुवाद गुण में (जिसे छनाई या नमूनाकरण गुण भी कहा जाता है), यदि T के लिए असंततता का एक बिंदु है f(t), तो संपत्ति बाएँ और दाएँ सीमा का औसत देती है f(t) की ओर T:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt={\frac {1}{2}}(f(T_{-})+f(T_{+})).$$

इसे सिद्ध करने के लिए, डिराक डेल्टा फलन के आयताकार फलन प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है; $\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to \infty }\eta _{\varepsilon }(x)$ कहाँ

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

साथ T के लिए असंततता के बिंदु के रूप में f(t), अनुवाद गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=\int _{-\infty }^{T}f(t)\,\delta (t-T)\,dt+\int _{T}^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=\lim _{\varepsilon \to \infty }(\int _{-\infty }^{T}f(t)\,\eta _{\varepsilon }(t-T)\,dt+\int _{T}^{\infty }f(t)\,\eta _{\varepsilon }(t-T)\,dt).$$

इसे ऐसे भी लिखा जा सकता है

$$\lim _{\varepsilon \to \infty }{\frac {1}{\varepsilon }}(\int _{T-\varepsilon /2}^{T}f(t)\,dt+\int _{T}^{T+\varepsilon /2}f(t)\,dt)=\lim _{\varepsilon \to \infty }{\frac {1}{2}}({\frac {2}{\varepsilon }}\int _{T-\varepsilon /2}^{T}f(t)\,dt+{\frac {2}{\varepsilon }}\int _{T}^{T+\varepsilon /2}f(t)\,dt).$$

अंतिम पक्ष में प्रथम पद का औसत है f(t) आयताकार फलन के आधे से अधिक बाईं ओर और अंतिम पद का औसत है f(t) आयताकार फलन के आधे दाईं ओर। जैसा $\varepsilon \to \infty$, यह बनता है

$${\frac {1}{2}}(f(t)_{T_{-}}+f(t)_{T_{+}}).$$

फलन के साथ रचना

अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु कार्य के साथ एक सुचारु कार्य के साथ वितरण (गणित)#संरचना हो सकता है g(x) इस तरह से कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन कायम रहे

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

उसे उपलब्ध कराया g एक सतत् अवकलनीय फलन है g′कहीं भी शून्य नहीं।अर्थात, वितरण को अर्थ बताने का एक अनोखा प्रकार है $\delta \circ g$ ताकि यह पहचान सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित परीक्षण कार्यों के लिए बनी रहे f. इसलिए, को बाहर करने के लिए डोमेन को तोड़ना होगा g′ = 0 बिंदु। यह वितरण संतुष्ट करता है δ(g(x)) = 0 अगर g कहीं भी शून्य नहीं है, और अन्यथा यदि g में किसी फलन का वास्तविक मूल होता है x₀, तब

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

इसलिए यह स्वाभाविक है define रचना δ(g(x)) लगातार भिन्न कार्यों के लिए g द्वारा

$$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$$

जहां योग सभी जड़ों (यानी, सभी अलग-अलग) पर विस्तारित होता है g(x), जिन्हें सरल जड़ माना जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए

$$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$$

समाकल रूप में, सामान्यीकृत स्केलिंग संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$$

अनिश्चित समाकल

एक स्थिरांक के लिए a ∈ ℝ और एक अच्छा व्यवहार वाला मनमाना वास्तविक-मूल्यवान फलन y(x) यह सच है कि:

$$\displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+\mathbf {C}$$

साथ H(x) हेविसाइड स्टेप फलन है और C पारंपरिक एकीकरण स्थिरांक।

एन आयामों में गुण

ए में डेल्टा वितरण n-आयामी स्थान इसके बदले निम्नलिखित स्केलिंग संपत्ति को संतुष्ट करता है,

$$\delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,$$

ताकि δ डिग्री का एक सजातीय कार्य वितरण है −n.

किसी भी प्रतिबिंब (गणित) या घूर्णन (गणित) के अंतर्गत ρ, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है,

$$\delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.$$

जैसा कि एक-चर मामले में, इसकी संरचना को परिभाषित करना संभव है δ लिप्सचिट्ज़ फलन के साथ|द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन g: Rⁿ → Rⁿ विशिष्ट रूप से ताकि पहचान हो

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'(\mathbf {x} )\right|d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,d\mathbf {u}$$

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों के लिए f.

ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन स्थान से दूसरे विभिन्न आयामों में विसर्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत अवकलनीय फलन के विशेष मामले में g : Rⁿ → R ऐसा कि ढाल g कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित पहचान कायम है

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )$$

जहां दाहिनी ओर का समाकल अंग समाप्त हो गया है g⁻¹(0), द (n − 1)-आयामी सतह द्वारा परिभाषित g(x) = 0मिन्कोव्स्की सामग्री माप के संबंध में। इसे सरल परत समाकल के रूप में जाना जाता है।

|अधिक सामान्यतः, यदि S की एक चिकनी हाइपरसतह है Rⁿ, तो हम इससे जुड़ सकते हैं S वह वितरण जो किसी भी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू फलन को एकीकृत करता है g ऊपर S:

$$\delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )$$

कहाँ σ हाइपरसरफेस माप से संबंधित है S. यह सामान्यीकरण सरल परत क्षमता के संभावित सिद्धांत से जुड़ा है S. अगर D में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है Rⁿ चिकनी सीमा के साथ S, तब δ_S के सूचक फलन के सामान्य व्युत्पन्न के समान है D वितरण अर्थ में,

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),$$

कहाँ n जावक सामान्य है. प्रमाण के लिए, उदाहरण देखें। सूचक#डिराक सतह डेल्टा फलन के लाप्लासियन पर लेख।

संपत्तियों का सारांश

इन गुणों को समीकरणों के दोनों पक्षों को एक सुव्यवस्थित फलन द्वारा गुणा करके सिद्ध किया जा सकता है f(x) और एक निश्चित एकीकरण लागू करना, यह ध्यान में रखते हुए कि डेल्टा फलन अंतिम परिणाम का हिस्सा नहीं हो सकता है, सिवाय इसके कि जब यह एक समाकल अंग के अंदर हो।

• $\delta (x)=\delta (-x)\,\!$
• $f(x)\delta '(x)=-f'(x)\delta (x)\,\!$ जो ये दर्शाता हे $x\delta '(x)=-\delta (x)\,\!$
• $\delta '(x)=-\delta '(-x)\,\!$
• $x^{n}\delta (x)=0\qquad \forall n>0,x\in \mathbb {R} \,\!$
• $(x-a)^{n}\delta (x-a)=0\qquad \forall n>0\,\!$
• $\delta (ax-b)=|a|^{-1}\delta (x-(b/a))\qquad \forall a\neq 0\,\!$
• $h(x)\delta (x-a)=h(a)\delta (x-a)\,\!$
• $h(x)\delta '(x-a)=h(a)\delta '(x-a)-h'(a)\delta (x-a)\,$
• $\delta (f(x))=\sum _{n}|f'(x_{n})|^{-1}\delta (x-x_{n}),\quad {\mbox{with}}\ f(x_{n})=0,\ f'(x_{n})\neq 0$
• $\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}$
• $\delta (\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega t}dt$ * $\delta (x)$ यह वर्ग है $C^{-2}(\mathbb {R} )$
• $a\in \mathbb {R} :\,\int h(x)\delta (x-a)dx=h(a)\ H(x-a)+\mathbf {C}$ साथ $H(x)$ हेविसाइड स्टेप फलन और $\mathbf {C}$ यह एकीकरण स्थिरांक है।

गोलाकार निर्देशांक में प्रतिनिधित्व है:

$$\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}$$

फूरियर रूपांतरण

डेल्टा फलन एक डिस्ट्रीब्यूशन (गणित)#टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन और फूरियर ट्रांसफॉर्म है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर ट्रांसफॉर्म है। औपचारिक रूप से, कोई पाता है

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

ठीक से कहें तो, किसी वितरण के फूरियर रूपांतरण को द्वैत युग्मन के तहत फूरियर रूपांतरण की स्व-संयुक्तता को लागू करके परिभाषित किया गया है। $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ श्वार्ट्ज कार्य करता है के साथ टेम्पर्ड वितरण। इस प्रकार ${\widehat {\delta }}$ अद्वितीय टेम्पर्ड वितरण संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$$

सभी श्वार्ट्ज कार्यों के लिए φ. और वास्तव में इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ${\widehat {\delta }}=1.$ इस पहचान के परिणामस्वरूप, डेल्टा का कनवल्शन किसी अन्य टेम्पर्ड वितरण के साथ कार्य करता है S सादा है S:

$$S*\delta =S.$$

यही कहना है δ टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन पर कनवल्शन के लिए एक पहचान तत्व है, और वास्तव में, कनवल्शन के तहत कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित वितरण का स्थान डेल्टा फलन की पहचान के साथ एक सहयोगी बीजगणित है। यह संपत्ति सिग्नल प्रोसेसिंग में मौलिक है, क्योंकि टेम्पर्ड वितरण के साथ कनवल्शन एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को लागू करने से इसकी आवेग प्रतिक्रिया मापी जाती है। आवेग प्रतिक्रिया की गणना उपयुक्त सन्निकटन का चयन करके सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक की जा सकती है δ, और एक बार यह ज्ञात हो जाए, तो यह सिस्टम को पूरी तरह से चित्रित करता है। देखना LTI system theory § Impulse response and convolution.

टेम्पर्ड वितरण का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण f(ξ) = 1 डेल्टा फलन है. औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)$$

और अधिक कठोरता से, यह तब से अनुसरण करता है

$$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$

सभी श्वार्ट्ज कार्यों के लिए f.

इन शब्दों में, डेल्टा फलन फूरियर कर्नेल की ऑर्थोगोनैलिटी संपत्ति का एक विचारोत्तेजक विवरण प्रदान करता है R. औपचारिक रूप से, किसी के पास है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$$

निःसंदेह, यह इस दावे का आशुलिपि है कि फूरियर टेम्पर्ड वितरण का रूपांतरण करता है

$$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$$

है

$${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$$

जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को लागू करके अनुसरण करता है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म की विश्लेषणात्मक सततता से, डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है

$$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$$

डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न

डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, दर्शाया गया δ′ और इसे डिराक डेल्टा प्राइम या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि सूचक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण कार्यों पर परिभाषित किया गया है φ द्वारा

$$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

यहां पहली समानता, यदि के लिए, भागों द्वारा एक प्रकार का एकीकरण है δ तब एक सच्चा कार्य था

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.=-\varphi '(0)$$

k}-वें का व्युत्पन्न δ को परीक्षण कार्यों पर दिए गए वितरण के समान ही परिभाषित किया गया है

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

इसे दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके सिद्ध किया जा सकता है δ⁽²⁾[φ] पहले व्युत्पन्न, तीसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके δ⁽²⁾[φ] दूसरे व्युत्पन्न इत्यादि का उपयोग करके। (भागों द्वारा एकीकरण और ${\textstyle \left.{\frac {{{d}^{k}}\delta (x)}{d{{x}^{k}}}}\right|_{-\infty }^{\infty }=0}$ सभी के लिए k = 0, 1, 2, ..., प्रत्येक गणना में उपयोग किया जाता है)। विशेष रूप से, δ एक असीम रूप से भिन्न वितरण है।

डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है:

$$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$$

अधिक ठीक से, किसी के पास है

$$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$$

कहाँ τ_h अनुवाद ऑपरेटर है, जिसे फलन द्वारा परिभाषित किया गया है τ_hφ(x) = φ(x + h), और वितरण पर S द्वारा

$$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$$

विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। तदनुसार, इसे द्विध्रुव या इकाई द्विध्रुव कहा जाता है। डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई बुनियादी गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं:

$${\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}$$

जिसे परीक्षण फलन लागू करके और भागों द्वारा एकीकृत करके दिखाया जा सकता है।

इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को लागू करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$$\delta '*f=\delta *f'=f',$$