आपेक्षिकीय यांत्रिकी: Difference between revisions

Latest revision as of 15:05, 5 September 2023

भौतिकी में, आपेक्षिकीय यांत्रिकी विशेष आपेक्षिकता (एसआर) और सामान्य सापेक्षता (जीआर) के साथ संयोज्य यांत्रिकी को संदर्भित करता है। यह उन स्थितियों में कणों या द्रव की एक प्रणाली का गैर-क्वांटम यांत्रिकी विवरण प्रदान करता है, जहां गतिशील वस्तुओं की गति प्रकाश की गति c प्रकाश चाल के समान होती है। फलस्वरूप, चिरसम्मत यांत्रिकी उच्च वेग और ऊर्जा पर यात्रा करने वाले कणों के सटीकता से विस्तारण करता है और कणों के यांत्रिकी के साथ विद्युत चुंबकत्व का निरंतर समाविष्ट प्रदान करती है। गैलिलियन सापेक्षता में यह संभव नहीं था, जहां कणों और प्रकाश को प्रकाश से तेज सहित, किसी भी गति से यात्रा करने की अनुमति होगी। आपेक्षिकीय यांत्रिकी का आधार विशिष्ट आपेक्षिकता और सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत हैं। क्वांटम यांत्रिकी के साथ एसआर का एकीकरण आपेक्षिकीय क्वांटम यांत्रिकी है, यद्यपि जीआर के लिए यह प्रयास क्वांटम गुरुत्व है, जो भौतिकी में एक न सुलझने वाली समस्या है।

चिरसम्मत यांत्रिकी के समान, विषय को "शुद्धगतिकी (कीनेमेटीक्स)" में विभाजित किया जा सकता है; स्थिति वेक्टर, वेग और त्वरण, और गतिशीलता (यांत्रिकी) निर्दिष्ट करके गति का विवरण; ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग और उनके संरक्षण नियम (भौतिकी) और कणों पर कार्य करने वाले या कणों द्वारा लगाए गए बलों पर विचार करके एक पूर्ण विवरण। यद्यपि एक जटिलता है; क्या प्रगामी प्रतीत होता है और क्या स्थिर है - जिसे चिरसम्मत यांत्रिकी में "स्थैतिकी" कहा जाता है - पर्यवेक्षक (भौतिकी) आपेक्षिक गति पर निर्भर करता है जो संदर्भ विन्यास में परिगणना करता है।

यद्यपि चिरसम्मत यांत्रिकी से कुछ परिभाषाएं और अवधारणाएं एसआर तक ले जाती हैं, जैसे संवेग के काल व्युत्पन्न के रूप में बल (न्यूटन का द्वितीय नियम), एक पथ में कण द्वारा किया गया कार्य कण पर प्रयुक्त बल के रेखा समाकलन के रूप में होता है और किए गए कार्य के काल व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा, शेष परिभाषाओं और सूत्रों में कई महत्वपूर्ण संशोधन हैं। एसआर व्यक्त करते है कि गति सापेक्ष है और जड़त्वीय संदर्भ विन्यास के अलावा, भौतिकी के नियम सभी प्रयोगकर्ताओं के लिए समान हैं। समष्टि और काल के धारणाओं को संशोधित करने के अतिरिक्त, एसआर द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के अवधारणाओं पर पुनर्विचार करने के लिए विवश करता है जो सभी न्यूटनी यांत्रिकी में महत्वपूर्ण निर्माण हैं। एसआर दर्शाता है कि ये अवधारणाएं एक ही भौतिक मात्रा के सभी विभिन्न दृष्टिकोण हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि यह समष्टि और काल को परस्पर संबंधित दिखाता है। फलस्वरूप, अन्य संशोधन एक प्रणाली के द्रव्यमान केन्द्र की अवधारणा है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी में स्पष्टतः परिभाषित है किन्तु सापेक्षता में अस्पष्ट है - विवरण के लिए आपेक्षिकीय द्रव्यमान केंद्र देखें।

लोरेंत्ज़ कारक में गैर-रैखिकता के कारण समीकरण अधिक परिचित त्रिविम सदिश कलन नियमानुरूप में अधिक जटिल हो जाते हैं, जो आपेक्षिकीय वेग निर्भरता और सभी कणों और क्षेत्रों की गति सीमा के लिए सटीक रूप से उत्तरदयी होते है। यद्यपि, चतुर्विम समष्टिकाल समष्टिकाल में एक सरलतम और सुरुचिपूर्ण रूप है, जिसमें समतल मिन्कोवस्की समष्टि (एसआर) और वक्रदिक्काल (जीआर) सम्मिलित हैं, क्योंकि समष्टि से व्युत्पन्न त्रिविम सदिश और काल से व्युत्पन्न अदिश को चार सदिश या चतुर्विम प्रदिश में एकत्र किया जा सकता है। यद्यपि, छह घटक कोणीय संवेग प्रदिश को कभी-कभी बायवेक्टर कहा जाता है क्योंकि 3डी दृष्टिकोण में यह दो सदिश हैं (इनमें से एक,अक्षीय सदिश होने के कारण पारंपरिक कोणीय संवेग है)।

आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी

आपेक्षिकीय चार-वेग, जो सापेक्षता में वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला चार-सदिश है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

{\boldsymbol {\mathbf {U} }}={\frac {d{\boldsymbol {\mathbf {X} }}}{d\tau }}=\left({\frac {cdt}{d\tau }},{\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}\right)

ऊपरोक्त में, ${\tau }$ समष्टिकाल के माध्यम से पथ का उचित समय है, जिसे विश्व-रेखा कहा जाता है, साथ में उपरोक्त वस्तु वेग का प्रतिनिधित्व करता है, और

{\boldsymbol {\mathbf {X} }}=(ct,\mathbf {x} )

चार-स्थिति है; एक परिघटना (सापेक्षता) के निर्देशांक। काल वृद्धि उचित काल संदर्भ विन्यास में दो परिघटनाओं के मध्य का समय होता है जहां वे एक ही स्थान पर होते हैं। उचित काल समन्वय समय t से निम्न द्वारा संबंधित है::

{\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )}}

जहाँ ${\gamma }(\mathbf {v} )$ लोरेंत्ज़ कारक है:

\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} /c^{2}}}}\,\rightleftharpoons \,\gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}.

(कोई एक संस्करण उद्धृत किया जा सकता है) तो यह इस प्रकार है:

{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=\gamma (\mathbf {v} )(c,\mathbf {v} )

${\gamma (\mathbf {v} )}$ के कारक के अतिरिक्त प्रथम तीन पद, वेग है जैसा कि पर्यवेक्षक ने अपने संदर्भ विन्यास में देखा है। ${\gamma (\mathbf {v} )}$ पर्यवेक्षक के संदर्भ विन्यास और वस्तु के विन्यास के मध्य वेग $\mathbf {v}$ से निर्धारित किया जाता है, जो कि वह फ्रेम है जिसमें इसका उचित काल मापा जाता है। यह मात्रा लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए यह देखने के लिए कि विभिन्न संदर्भ विन्यास में पर्यवेक्षक क्या देखता है, दो संदर्भ विन्यास के मध्य लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह द्वारा वेग चार-सदिश को गुणा किया जाता है।

आपेक्षिकीय गतिकी

विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान

किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके संदर्भ विन्यास में मापा जाता है, उसे उसका विराम द्रव्यमान या निश्चर द्रव्यमान कहा जाता है और प्रायः $m_{0}$ लिखा जाता है। यदि कोई वस्तु किसी अन्य संदर्भ विन्यास में वेग $\mathbf {v}$ से चलती है, तो मात्रा $m=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}$ उसी विन्यास में प्रायः वस्तु का "आपेक्षिकीय द्रव्यमान" कहा जाता है।^[1]कुछ लेखक विराम द्रव्यमान को निरूपित करने के लिए $m$ उपयोग करते हैं, लेकिन स्पष्टता के लिए यह लेख आपेक्षिकीय द्रव्यमान के लिए $m$ और विराम द्रव्यमान के लिए $m_{0}$ उपयोग करने की परिपाटी का अनुसरण करेगा।^[2]

लेव ओकुन सुझाव दिया कि आपेक्षिकीय द्रव्यमान की अवधारणा में "वर्तमान कोई तर्कसंगत औचित्य नहीं है" और अब इसे सिखाया नहीं जाना चाहिए।^[3] वोल्फगैंग रिंडलर और टी. आर. सैंडिन सहित अन्य भौतिकविदों ने विरोध किया कि यह अवधारणा उपयोगी है।^[4]इस वाद-विवाद पर अधिक जानकारी के लिए विशिष्ट आपेक्षिकता में द्रव्यमान देखें।

जिस कण का विराम द्रव्यमान शून्य होता है उसे द्रव्यमानहीन कहते हैं। फोटॉन और ग्रेविटॉन द्रव्यमानहीन माना जाता है और न्युट्रीनो को प्रायः ऐसा ही माना जाता है।

आपेक्षिकीय ऊर्जा और संवेग

एसआर में संवेग और ऊर्जा को परिभाषित करने के कुछ (समतुल्य) प्रकार हैं। एक विधि संरक्षण नियम का उपयोग करती है। यदि इन नियम को एसआर में वैध रखना है तो उन्हें प्रति संभव संदर्भ विन्यास में सत्य होना आवश्यक है। यद्यपि, यदि संवेग और ऊर्जा की न्यूटनी परिभाषाओं का उपयोग करते हुए कुछ सरल विचार प्रयोग किया जाता है, तो देखा जाता है कि ये मात्राएँ एसआर में संरक्षित नहीं हैं। आपेक्षिकीय वेगों के उत्तरदयी में परिभाषाओं में कुछ छोटे संशोधन करके संरक्षण के विचार को उद्धार किया जा सकता है। यह नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें एसआर में संवेग और ऊर्जा के लिए सही माना जाता है।

किसी वस्तु का चार-संवेग सरल है, चिरसम्मत संवेग के रूप में समान है, लेकिन 3-सदिश को 4-सदिश से प्रतिस्थापित कर देता है:

{\boldsymbol {\mathbf {P} }}=m_{0}{\boldsymbol {\mathbf {U} }}=(E/c,\mathbf {p} )

वेग $\mathbf {v}$ से गतिशील, निश्चर द्रव्यमान $m_{0}$ वाली किसी वस्तु की ऊर्जा और संवेग के दिए गए संदर्भ विन्यास के संबंध में क्रमशः द्वारा दिए गए हैं

{\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}c^{2}\\\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}

कारक $\gamma$ ऊपरोक्त वर्णित चार-वेग की परिभाषा से आया है। $\gamma$ का प्रकटन वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी व्याख्या अगले भाग में की जाएगी।

गतिज ऊर्जा, $K$ इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

K=(\gamma -1)m_{0}c^{2}=E-m_{0}c^{2}\,,

और गतिज ऊर्जा के फलन के रूप में गति निम्न द्वारा दिया जाता है

v=c{\sqrt {1-\left({\frac {m_{0}c^{2}}{K+m_{0}c^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {c{\sqrt {K(K+2m_{0}c^{2})}}}{K+m_{0}c^{2}}}={\frac {c{\sqrt {(E-m_{0}c^{2})(E+m_{0}c^{2})}}}{E}}={\frac {pc^{2}}{E}}\,.

न्यूटनी द्रव्यमान के स्थान पर आपेक्षिकीय द्रव्यमान के साथ न्यूटनी यांत्रिकी से प्रारूप का संरक्षण करने के लिए स्थानिक गति को $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यद्यपि, यह प्रतिस्थापन बल और गतिज ऊर्जा सहित कुछ मात्राओं के लिए विफल रहा है। इसके अतिरिक्त लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत आपेक्षिकीय द्रव्यमान निश्चर नहीं है, जबकि शेष विराम द्रव्यमान है। इस कारण, अधिकतर लोग विराम द्रव्यमान का अधिक उपयोग करते हैं और स्पष्टतया से समन्वयित काल या 4-वेग के माध्यम से $\gamma$ के लिए उत्तरदयी होते है।

ऊर्जा, संवेग और वेग के मध्य एक सरल संबंध ऊर्जा और संवेग की परिभाषाओं से ऊर्जा को $\mathbf {v}$ से और संवेग को $c^{2}$ से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है और टिप्पण करें कि दो व्यंजक समान हैं। यह प्रदान करता है

\mathbf {p} c^{2}=E\mathbf {v}

तब इस समीकरण को $c$ द्वारा विभाजित और वर्ग करके $\mathbf {v}$ को निराकरण किया जा सकता है

(pc)^{2}=E^{2}(v/c)^{2}

ऊर्जा की परिभाषा को $\gamma$ से विभाजित और वर्ग करके,

E^{2}\left(1-(v/c)^{2}\right)=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}

और प्रतिस्थापन करके:

E^{2}-(pc)^{2}=\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}

यह आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग संबंध है।

जबकि ऊर्जा $E$ और संवेग $\mathbf {p}$ उस संदर्भ विन्यास पर निर्भर करता है जिसमें उन्हें मापा जाता है, मात्रा $E^{2}-(pc)^{2}$ निश्चर है। इसका मान 4-संवेग सदिश के वर्ग परिमाण का $-c^{2}$ गुना है।

एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को इस रूप में लिखा जा सकता है

{m_{0}}_{\text{tot}}={\frac {\sqrt {E_{\text{tot}}^{2}-(p_{\text{tot}}c)^{2}}}{c^{2}}}

गतिज ऊर्जा और बंधन ऊर्जा के कारण, यह मात्रा उन कणों के विराम द्रव्यमानों के योग से भिन्न होती है जिनसे प्रणाली संघटित है। न्यूटनी भौतिकी की स्थिति के विपरीत, विशिष्ट सापेक्षता में विराम द्रव्यमान एक संरक्षित मात्रा नहीं है। यद्यपि, यदि कोई वस्तु आंतरिक रूप से परिवर्तित हो रही है, जब तक कि वह अपने परिवेश के साथ ऊर्जा या संवेग का आदान-प्रदान नहीं करती है, तब तक इसका विराम द्रव्यमान परिवर्तन नहीं होगा और किसी भी संदर्भ विन्यास में उसी परिणाम के साथ गणना की जा सकती है।

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता

आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण सभी कणों पर प्रयुक्त होता है, द्रव्यमानहीन कणों के लिए भी , जिसके लिए m₀ = 0 है। इस स्थिति में:

E=pc

Ev = c²p में प्रतिस्थापित करने पर v = c प्राप्त होता है: द्रव्यमानहीन कण (जैसे फोटॉन) सदैव प्रकाश चाल से यात्रा करते हैं।

ध्यान दें कि समग्र प्रणाली का विराम द्रव्यमान सामान्यतः इसके अंशों के विराम द्रव्यमानों के योग से कुछ भिन्न होगा, क्योंकि इसके शेष विन्यास में, उनकी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान को बढ़ाएगी और उनकी (ऋणात्मक) बंधन ऊर्जा इसके द्रव्यमान को कम कर देगी। विशेष रूप से, एक काल्पनिक "प्रकाश पेटी" में विराम द्रव्यमान होगा, चाहे वह कणों से बना हो जो ऐसा नहीं करते क्योंकि उनका संवेग रद्द हो जाएगा।

एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान के लिए उपरोक्त सूत्र पर ध्यान देते हुए, यह देखा जाता है कि, जब एकल विशाल वस्तु विराम ('v' = '0', 'p' = '0') पर है, तो एक गैर-शून्य द्रव्यमान: m₀ = E/c² शेष रहता है। संबंधित ऊर्जा कुल ऊर्जा भी होती है जब एकल कण विराम पर होता है, उसे "विराम ऊर्जा" कहा जाता है। गतिमान जड़त्वीय विन्यास से देखे जाने वाले कणों की प्रणालियों में, कुल ऊर्जा और संवेग बढ़ता है। यद्यपि, एकल कणों के लिए विराम द्रव्यमान स्थिर रहता है और कणों की प्रणालियों के लिए निश्चर द्रव्यमान स्थिर रहता है, क्योंकि दोनों स्थितियों में, ऊर्जा और संवेग वृद्धि एक दूसरे से घटते हैं और रद्द हो जाते हैं। इस प्रकार, कणों की प्रणालियों का निश्चर द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए एक परिकलित स्थिरांक है, जैसा कि एकल कण का विराम द्रव्यमान है।

प्रणालियों का द्रव्यमान और निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण

कणों की प्रणालियों के लिए, ऊर्जा-संवेग समीकरण को कणों के संवेग सदिशों के योग की आवश्यकता होती है:

E^{2}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}

जड़त्वीय विन्यास जिसमें सभी कणों के संवेग का योग शून्य होता है, उसे संवेग विन्यास का केंद्र कहलाता है। इस विशेष विन्यास में, आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण में p = 0 है, और इस प्रकार प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को प्रणाली के सभी भागों की कुल ऊर्जा के रूप में देता है, जिसे c² से विभाजित किया जाता है।

m_{0,\,{\rm {system}}}=\sum _{n}E_{n}/c^{2}

यह किसी भी प्रणाली का निश्चर द्रव्यमान है जिसे एक विन्यास में मापा जाता है जहां इसका कुल संवेग शून्य होता है, जैसे कि एक पैमाने पर तप्त गैस की बोतल। ऐसी प्रणाली में, द्रव्यमान जिसका पैमाना वजन करता है वह निश्चर द्रव्यमान होता है, और यह प्रणाली की कुल ऊर्जा पर निर्भर करता है। इस प्रकार यह अणुओं के विराम द्रव्यमानों के योग से अधिक है, लेकिन इसमें प्रणाली की सभी कुल ऊर्जा भी सम्मिलित है। ऊर्जा और संवेग के समान, पृथक प्रणालियों के निश्चर द्रव्यमान को तब तक नहीं परिवर्तित किया जा सकता जब तक कि प्रणाली संपूर्णतया से संवृत रहता है (किसी द्रव्यमान या ऊर्जा को प्रवेश या निकास की अनुमति नहीं है), क्योंकि प्रणाली की कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कुछ भी प्रवेश या निकास नहीं कर सकता।

ऐसी प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि जो प्रणाली को एक जड़त्वीय विन्यास में अनुवाद करने के कारण होती है, जो संवेग विन्यास का केंद्र नहीं है, निश्चर द्रव्यमान में वृद्धि के बिना ऊर्जा और संवेग में वृद्धि का कारण बनता है। यद्यपि E = m₀c², उनके संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर ही प्रयुक्त होता है, जहां संवेग का योग शून्य होता है।

इस सूत्र के अंकित मूल्य पर देखा जाता हैं कि सापेक्षता में, द्रव्यमान अन्य नाम से केवल ऊर्जा है (और विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है)। 1927 में आइंस्टीन ने विशिष्ट सापेक्षता के बारे में टिप्पणी की, "इस सिद्धांत के अंतर्गत द्रव्यमान एक अपरिवर्तनीय परिमाण नहीं है, लेकिन ऊर्जा की मात्रा पर निर्भर (और वास्तव में, समान) एक परिमाण है।"^[5]

संवृत (पृथक) प्रणाली

एक "संपूर्णतया से संवृत" प्रणाली (यानी, पृथक प्रणाली ) में कुल ऊर्जा, कुल संवेग, और इसलिए कुल निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण किया जाता है। द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए आइंस्टीन का सूत्र अपने सरलतम ΔE = Δmc² रूप में अनुवाद करता है, यद्यपि, केवल गैर-संवृत प्रणालियों में जिसमें ऊर्जा के निकास की अनुमति है (उदाहरण के लिए, ऊष्मा और प्रकाश के रूप में), और इस प्रकार निश्चर द्रव्यमान न्यूनीकृत हो जाता है। आइंस्टीन के समीकरण दर्शाता है कि इस प्रकार के प्रणाली को द्रव्यमान व्यय करना चाहिए, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, ऊर्जा के अनुपात में वे परिवेश में व्यय कर देते हैं। इसके विपरीत यदि प्रतिक्रिया से पूर्व प्रणाली के मध्य द्रव्यमान में अंतर को मापा जा सकता है जो ताप और प्रकाश अवमुक्त करता है और प्रणाली जो प्रतिक्रिया के पश्चात जब ताप और प्रकाश मुक्त हो जाते हैं, तो ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगाया जा सकता है, जो प्रणाली से मुक्त होती है।

रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ

परमाणु और रासायनिक दोनों प्रतिक्रियाओं में, ऐसी ऊर्जा परमाणुओं (रसायन विज्ञान के लिए) या नाभिक में न्यूक्लियंस (परमाणु प्रतिक्रियाओं में) के मध्य इलेक्ट्रॉनों की बंधन ऊर्जा में अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। दोनों स्थितियों में, अभिकारकों और (ठंडा) उत्पादों के मध्य द्रव्यमान अंतर ऊष्मा और प्रकाश के द्रव्यमान को मापता है जो प्रतिक्रिया से मुक्त हो जाएगा, और इस प्रकार (समीकरण का उपयोग करके) ऊष्मा और प्रकाश की समतुल्य ऊर्जा देता है जो प्रतिक्रिया निरंतर चलने पर उत्सर्जित हो सकती है।

रसायन विज्ञान में, उत्सर्जित ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान अंतर आणविक द्रव्यमान के प्रायः 10⁻⁹ होते हैं।।^[6] यद्यपि, यदि उत्पादों और अभिकारकों को तौला गया हो (परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करके परमाणुओं को अप्रत्यक्ष रूप से तौला जा सकता है, जो सदैव प्रत्येक न्यूक्लाइड के लिए समान है), तो परमाणु प्रतिक्रियाओं में ऊर्जा इतनी विशाल होती है कि वे द्रव्यमान अंतर से संबद्ध होती हैं, जिसका निश्चित समय से पूर्व अनुमान लगाया जा सकता है। इस प्रकार, आइंस्टीन का सूत्र महत्वपूर्ण हो जाता है, जब विभिन्न परमाणु नाभिकों के द्रव्यमान को मापा जाता है। द्रव्यमान में अंतर को देखकर, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि किस नाभिक ने ऊर्जा संग्रहीत की है, जो कुछ परमाणु प्रतिक्रियाओं द्वारा मुक्त किया जा सकता है, जो महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है तथा परमाणु ऊर्जा के विकास में उपयोगी थी जिसके परिणामस्वरूप परमाणु बम विकसित हुआ। ऐतिहासिक रूप से, उदाहरण के लिए, लिसे मीटनर नाभिक में द्रव्यमान अंतर का अनुमान लगाने में सक्षम था कि परमाणु विखंडन को एक अनुकूल प्रक्रिया बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उपलब्ध थी। इस प्रकार आइंस्टीन के सूत्र के इस विशेष रूप के निहितार्थों ने इसे संपूर्ण विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक बना दिया है।

संवेग विन्यास का केंद्र

समीकरण E = m₀c² केवल संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है। यह जनसाधारण द्वारा मिथ्याबोध हुआ है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसके पश्चात द्रव्यमान लुप्त हो जाता है। यद्यपि, प्रणाली पर प्रयुक्त समीकरण के लोकप्रिय स्पष्टीकरण में विवृत (गैर-पृथक) प्रणालियां सम्मिलित हैं, जिनके लिए ऊष्मा और प्रकाश को विमुक्त किया जाता है अन्यथा जब वे प्रणाली के द्रव्यमान (निश्चर द्रव्यमान) में योगदान करते।

ऐतिहासिक रूप से, द्रव्यमान के ऊर्जा में "रूपांतरित" होने के बारे में भ्रम को द्रव्यमान और " पदार्थ " के बीच भ्रम से सहायता मिली है, जहां पदार्थ को फर्मियन कणों के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी परिभाषा में, विद्युत चुम्बकीय विकिरण और गतिज ऊर्जा (या ऊष्मा) को "पदार्थ" नहीं माना जाता है। कुछ स्थितियों में, वास्तव में पदार्थ को ऊर्जा के गैर-पदार्थों में रूपांतरित किया जा सकता है (ऊपर देखें), लेकिन इन सभी स्थितियों में, ऊर्जा के पदार्थ और गैर-पदार्थ रूप अपने मूल द्रव्यमान को प्रतिधारित रखते हैं।

पृथक प्रणालियों के लिए (सभी द्रव्यमान और ऊर्जा विनिमय के लिए संवृत), संवेग विन्यास के केंद्र में द्रव्यमान कभी अदृश्य नहीं होता, क्योंकि ऊर्जा लुप्त नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, संदर्भ में, इस समीकरण का अर्थ केवल यह है कि जब किसी भी ऊर्जा को वर्धित किया जाता है, या मुक्त किया जाता है, संवेग विन्यास के केंद्र में एक प्रणाली, ऊर्जा के वर्धित या घटाने के अनुपात में प्रणाली को द्रव्यमान प्राप्त या ह्रास के रूप में मापा जाएगा। इस प्रकार सिद्धांत में, यदि एक परमाणु बम को उसके विस्फोट को नियंत्रित रखने के लिए पर्याप्त शक्तिशालि पेटी में रखा जाता है और एक पैमाने पर विस्फोट किया जाता है, तो इस संवृत प्रणाली का द्रव्यमान परिवर्तित नहीं होगा और पैमाना स्थानांतरित नहीं होगा। केवल जब अति-शक्तिशालि प्लाज्मा युक्त पेटी में एक पारदर्शी "गवाक्ष" विविक्त की गई और प्रकाश और ऊष्मा को किरण में प्रसारित की गई और बम घटकों को ठंडा किया गया, क्या प्रणाली में विस्फोट की ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान ह्रास होगा। उदाहरण के लिए, 21 किलोटन के बम में, प्रायः एक ग्राम प्रकाश और ऊष्मा उत्पन्न होती है। यदि इस ऊष्मा और प्रकाश को मुक्त किया गया, तो बम के अवशेष में ठंडा होने पर एक ग्राम के द्रव्यमान का ह्रास होगा। इस विचार-प्रयोग में, प्रकाश और ऊष्मा द्रव्यमान के ग्राम को ले जाते हैं और इसलिए इस ग्राम द्रव्यमान को उन वस्तुओं में निक्षेप कर देंगे जो उन्हें अवशोषित करती हैं।^[7]

कोणीय संवेग

आपेक्षिकीय यांत्रिकी में, समय-परिवर्ती द्रव्यमान आघूर्ण

\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {v} \right)

और कक्षीय 3-कोणीय संवेग

\mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p}

कण के 4-स्थिति X और 4-संवेग P के संदर्भ में एक बिंदु-समान कण को चतुर्विम द्विसदिश (बाइवेक्टर) में संयोजित किया जाता है:^[8]^[9]

\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}

जहां ∧ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है। यह प्रदिश योज्य है: किसी प्रणाली का कुल कोणीय संवेग, प्रणाली के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग प्रदिश का योग होता है। इसलिए, असतत कणों के समुच्चय के लिए कणों पर कोणीय संवेग प्रदिश का योग किया जाता है, या निरंतर द्रव्यमान वितरण की सीमा पर कोणीय संवेग के घनत्व को समाकलित किया जाता है।

अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक संरक्षित मात्रा बनाता है।

बल

विशिष्ट आपेक्षिकता में, न्यूटन का द्वितीय नियम F = ma के रूप में मान्य नहीं है, लेकिन यदि इसे इस रूप में व्यक्त किया जाए तो यह मान्य होता है

\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}

जहाँ p = γ(v)m₀v संवेग है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है और m₀ निश्चर द्रव्यमान है। इसलिए, बल इस प्रकार दिया जाता है

\mathbf {F} =\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }

Derivation

Starting from

\mathbf {F} =m_{0}{\frac {d(\gamma (\mathbf {v} )\,\mathbf {v} )}{dt}}=m_{0}\left({\frac {d\gamma (\mathbf {v} )}{dt}}\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} ){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right).

Carrying out the derivatives gives

\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} \right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} .

If the acceleration is separated into the part parallel to the velocity (a_∥) and the part perpendicular to it (a_⊥), so that:

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\perp }=0\,,\quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\,,

one gets

\mathbf {F} ={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel }\right)\,\mathbf {v} +\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\perp }+\mathbf {a} _{\parallel })\,.

By construction a_∥ and v are parallel, so (v·a_∥)v is a vector with magnitude v²a_∥ in the direction of v (and hence a_∥) which allows the replacement:

(\mathbf {v} \cdot \mathbf {a} _{\parallel })\mathbf {v} =v^{2}\mathbf {a} _{\parallel }

then

{\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}v^{2}}{c^{2}}}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,(\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp })\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {1}{\gamma (\mathbf {v} )^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}+1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\\&=\gamma (\mathbf {v} )^{3}m_{0}\,\mathbf {a} _{\parallel }+\gamma (\mathbf {v} )m_{0}\,\mathbf {a} _{\perp }\end{aligned}}\,

परिणामस्वरूप, कुछ पुराने पाठ्य पुस्तकों में, γ(v)³m₀ को अनुदैर्ध्य द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, और γ(v)m₀ को अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से आपेक्षिकीय द्रव्यमान के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में द्रव्यमान देखें।

यदि बल से त्वरण की गणना करने के लिए इसे अंतर्वर्त किया जाता है, तो निम्न प्राप्त होता है

\mathbf {a} ={\frac {1}{m_{0}\gamma (\mathbf {v} )}}\left(\mathbf {F} -{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\,.

इस खंड में वर्णित बल चिरसम्मत 3-डी बल है जो चतुर्विम-सदिश नहीं है। यह 3-डी बल बल की उपयुक्त अवधारणा है क्योंकि यह वह बल है जो न्यूटन के गति के तृतीय नियम का पालन करता है। इसे तथाकथित चार-बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो रूपांतरित वस्तु के सहचलित विन्यास में केवल 3-डी बल है, जैसे कि यह चार-सदिश थे। यद्यपि, 3-डी बल का घनत्व (रैखिक संवेग प्रति इकाई चार-आयतन में स्थानांतरित) चार-सदिश (वजन का घनत्व +1) है जब स्थानांतरित शक्ति के घनत्व के ऋणात्मक के साथ संयोजित किया जाता है।

आघूर्ण बल (टॉर्क)

एक बिंदु समान कण पर कार्य करने वाले आघूर्ण बल को उचित काल के संबंध में ऊपरोक्त कोणीय संवेग प्रदिश के व्युत्पादित के रूप में परिभाषित किया गया है:^[10]^[11]

{\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}

या प्रदिश घटकों में:

\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }

जहाँ F घटना X पर कण पर कार्य करने वाला 4डी बल है। जैसे कोणीय संवेग के साथ आघूर्ण बल योगात्मक है, इसलिए एक विस्तारित वस्तु के लिए द्रव्यमान के वितरण पर योग या समाकलित होता है।

गतिज ऊर्जा

कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताता है ^[12] गतिज ऊर्जा में परिवर्तन तत्व पर किए गए कार्य के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में:

{\begin{aligned}\Delta K=W=[\gamma _{1}-\gamma _{0}]m_{0}c^{2}.\end{aligned}}

Derivation

\begin{aligned} Δ K = W & = \int_{x_{0}}^{x_{1}} F \cdot d x \\ = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d}{d t} (γ m_{0} v) \cdot v d t \\ = {γ m_{0} v \cdot v |}_{t_{0}}^{t_{1}} - \int_{t_{0}}^{t_{1}} γ m_{0} v \cdot \frac{d v}{d t} d t \\ = {γ m_{0} v^{2} |}_{t_{0}}^{t_{1}} - m_{0} \int_{v_{0}}^{v_{1}} γ v d v \\ = m_{0} ({γ v^{2} |}_{t_{0}}^{t_{1}} - c^{2} \int_{v_{0}}^{v_{1}} \frac{2 v / c^{2}}{2 \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} d v) \\ = {m_{0} (\frac{v^{2}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} + c^{2} \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}) |}_{t_{0}}^{t_{1}} \\ = \frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1 -}} \end{aligned}

यदि प्रारंभिक अवस्था में तत्व विराम पर था, तो v₀ = 0 और γ₀(v₀) = 1, और अंतिम अवस्था में इसकी गति v₁ = v, समायोजन γ₁(v₁) = γ(v) होती है, तब गतिज ऊर्जा है;

K=[\gamma (v)-1]m_{0}c^{2}\,,

एक परिणाम जिसे कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा γ(v)m₀c² से विराम ऊर्जा m₀c² घटाकर प्रत्यक्ष प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन सीमा

लोरेंत्ज़ कारक γ(v) को (v/c)² < 1 के लिए टेलर श्रृंखला या द्विपद श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, निम्न प्राप्त करने हेतु::

\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)=1+{\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}+{\dfrac {3}{8}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{4}+{\dfrac {5}{16}}\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{6}+\cdots

और इसके परिणामस्वरूप

E-m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}}{c^{2}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}}{c^{4}}}+\cdots ;

\mathbf {p} =m_{0}\mathbf {v} +{\frac {1}{2}}{\frac {m_{0}v^{2}\mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {m_{0}v^{4}\mathbf {v} }{c^{4}}}+{\frac {5}{16}}{\frac {m_{0}v^{6}\mathbf {v} }{c^{6}}}+\cdots .

प्रकाश की गति से न्यूनतम गति के लिए c² और उच्च भाजक वाले पदों की उपेक्षा की जा सकती है। ये सूत्र तब न्यूटनी गतिज ऊर्जा और संवेग की मानक परिभाषाओं में संक्षिप्त करते हैं। यह वैसा ही है जैसा होना चाहिए, विशिष्ट सापेक्षता के लिए निम्न वेग पर न्यूटनी यांत्रिकी के साथ सहमत होना चाहिए।

यह भी देखें

विशिष्ट आपेक्षिकता का परिचय
जुड़वां विरोधाभास
आपेक्षिकीय समीकरण
आपेक्षिकीय ऊष्मा चालन
चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व और विशिष्ट आपेक्षिकता
आपेक्षिकीय प्रणाली (गणित)
आपेक्षिकीय लग्रांजी यांत्रिकी

संदर्भ

↑ Philip Gibbs, Jim Carr & Don Koks (2008). "What is relativistic mass?". Usenet Physics FAQ. Retrieved 2008-09-19. Note that in 2008 the last editor, Don Koks, rewrote a significant portion of the page, changing it from a view extremely dismissive of the usefulness of relativistic mass to one which hardly questions it. The previous version was: Philip Gibbs & Jim Carr (1998). "Does mass change with speed?". Usenet Physics FAQ. Archived from the original on 2007-06-30.
↑ See, for example: Feynman, Richard (1998). "The special theory of relativity". Six Not-So-Easy Pieces. Cambridge, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-201-32842-9.
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↑ S. Aranoff (1972). "विशेष सापेक्षता में संतुलन" (PDF). Nuovo Cimento. 10 (1): 159. Bibcode:1972NCimB..10..155A. doi:10.1007/BF02911417. S2CID 117291369. Archived from the original (PDF) on 2012-03-28. Retrieved 2013-10-13.
↑ R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp 47–48

C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Center of mass in special and general relativity and its role in an effective description of spacetime". J. Phys. Conf. Ser. Mexico. 174 (1): 012026. arXiv:0901.3349. Bibcode:2009JPhCS.174a2026C. doi:10.1088/1742-6596/174/1/012026. S2CID 17734387.

अग्रिम पठन

General scope and special/general relativity

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G. Woan (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
P.A. Tipler; G. Mosca (2008). Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics (6th ed.). W.H. Freeman and Co. ISBN 978-1-4292-0265-7.
R.G. Lerner; G.L. Trigg (2005). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer. ISBN 978-0-07-025734-4.
Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 0-07-051400-3.
T. Frankel (2012). The Geometry of Physics (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-60260-1.
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A. Halpern (1988). 3000 Solved Problems in Physics, Schaum Series. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.

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I.S. Grant; W.R. Phillips; Manchester Physics (2008). Electromagnetism (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.

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D. Kleppner; R.J. Kolenkow (2010). An Introduction to Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19821-9.
L.N. Hand; J.D. Finch (2008). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
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[1] Philip Gibbs, Jim Carr & Don Koks (2008). "What is relativistic mass?". Usenet Physics FAQ. Retrieved 2008-09-19. Note that in 2008 the last editor, Don Koks, rewrote a significant portion of the page, changing it from a view extremely dismissive of the usefulness of relativistic mass to one which hardly questions it. The previous version was: Philip Gibbs & Jim Carr (1998). "Does mass change with speed?". Usenet Physics FAQ. Archived from the original on 2007-06-30.

[2] See, for example: Feynman, Richard (1998). "The special theory of relativity". Six Not-So-Easy Pieces. Cambridge, Massachusetts: Perseus Books. ISBN 0-201-32842-9.

[3] Lev B. Okun (July 1989). "मास की अवधारणा" (PDF). Physics Today. 42 (6): 31–36. Bibcode:1989PhT....42f..31O. doi:10.1063/1.881171. Archived from the original (subscription required) on 2008-12-17. Retrieved 2012-06-04.

[4] T. R. Sandin (November 1991). "सापेक्षतावादी द्रव्यमान की रक्षा में". American Journal of Physics. 59 (11): 1032–1036. Bibcode:1991AmJPh..59.1032S. doi:10.1119/1.16642.

[5] Einstein on Newton

[6] Randy Harris (2008). Modern Physics: Second Edition. Pearson Addison-Wesley. p. 38. ISBN 978-0-8053-0308-7.

[7] E. F. Taylor and J. A. Wheeler, Spacetime Physics, W.H. Freeman and Co., New York. 1992. ISBN 0-7167-2327-1, see pp. 248–9 for discussion of mass remaining constant after detonation of nuclear bombs, until heat is allowed to escape.

[8] R. Penrose (2005). वास्तविकता का मार्ग. Vintage books. pp. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Note: Some authors, including Penrose, use Latin letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.

[9] M. Fayngold (2008). विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है. John Wiley & Sons. pp. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.

[10] S. Aranoff (1969). "विशेष आपेक्षिकता में संतुलन पर एक प्रणाली पर टोक़ और कोणीय गति". American Journal of Physics. 37 (4): 453–454. Bibcode:1969AmJPh..37..453A. doi:10.1119/1.1975612. This author uses T for torque, here we use capital Gamma Γ since T is most often reserved for the stress–energy tensor.

[11] S. Aranoff (1972). "विशेष सापेक्षता में संतुलन" (PDF). Nuovo Cimento. 10 (1): 159. Bibcode:1972NCimB..10..155A. doi:10.1007/BF02911417. S2CID 117291369. Archived from the original (PDF) on 2012-03-28. Retrieved 2013-10-13.

[12] R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp 47–48

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v t e भौतिकी की शाखाएँ
प्रभागों	शुद्ध लागू इंजीनियरिंग
दृष्टिकोण	प्रायोगिक सैद्धांतिक कम्प्यूटेशनल
शास्त्रीय	शास्त्रीय यांत्रिकी न्यूटोनियन विश्लेषणात्मक खगोलीय कॉन्टिनम ध्वनिकी शास्त्रीय इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म शास्त्रीय प्रकाशिकी रे लहर थर्मोडायनामिक्स सांख्यिकीय गैर-संतुलन
आधुनिक	सापेक्ष यांत्रिकी विशेष सामान्य परमाणु भौतिकी क्वांटम यांत्रिकी कण भौतिकी परमाणु, आणविक, और ऑप्टिकल भौतिकी परमाणु आणविक आधुनिक ऑप्टिक्स संघनित पदार्थ भौतिकी
अंतःविषय	खगोल भौतिकी वायुमंडलीय भौतिकी बायोफिज़िक्स रासायनिक भौतिकी भूभौतिकी पदार्थ विज्ञान गणितीय भौतिकी चिकित्सा भौतिकी महासागर भौतिकी क्वांटम सूचना विज्ञान
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Contents

आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी

आपेक्षिकीय गतिकी

विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान

आपेक्षिकीय ऊर्जा और संवेग

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता

प्रणालियों का द्रव्यमान और निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण

संवृत (पृथक) प्रणाली

रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ

संवेग विन्यास का केंद्र

कोणीय संवेग

बल

आघूर्ण बल (टॉर्क)

गतिज ऊर्जा

न्यूटोनियन सीमा

यह भी देखें

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 भौतिकी में, आपेक्षिकीय [[यांत्रिकी]] [[विशेष सापेक्षता|विशेष आपेक्षिकता]] (एसआर) और [[सामान्य सापेक्षता]] (जीआर) के साथ संयोज्य यांत्रिकी को संदर्भित करता है। यह उन स्थितियों में कणों या [[तरल|द्रव]] की एक प्रणाली का गैर-[[क्वांटम यांत्रिकी]] विवरण प्रदान करता है, जहां गतिशील वस्तुओं की [[गति]] [[प्रकाश की गति]] ''c'' प्रकाश चाल के समान होती है। फलस्वरूप, [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] उच्च [[वेग]] और [[ऊर्जा]] पर यात्रा करने वाले कणों के सटीकता से विस्तारण करता है और कणों के यांत्रिकी के साथ [[विद्युत]] चुंबकत्व का निरंतर समाविष्ट प्रदान करती है। गैलिलियन सापेक्षता में यह संभव नहीं था, जहां कणों और प्रकाश को प्रकाश से तेज सहित, किसी भी गति से यात्रा करने की अनुमति होगी। आपेक्षिकीय यांत्रिकी का आधार विशिष्ट आपेक्षिकता और सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत हैं। क्वांटम यांत्रिकी के साथ एसआर का एकीकरण [[सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी|आपेक्षिकीय क्वांटम यांत्रिकी]] है, यद्यपि जीआर के लिए यह प्रयास क्वांटम गुरुत्व है, जो भौतिकी में एक न सुलझने वाली समस्या है।
-शास्त्रीय यांत्रिकी की तरह, विषय को [[गतिकी]] में विभाजित किया जा सकता है; [[स्थिति वेक्टर]], वेग और [[त्वरण]], और गतिशीलता (यांत्रिकी) निर्दिष्ट करके गति का विवरण; ऊर्जा, संवेग, और कोणीय संवेग और उनके संरक्षण नियम (भौतिकी), और कणों पर कार्य करने वाले या कणों द्वारा लगाए गए बलों पर विचार करके एक पूर्ण विवरण। हालाँकि एक सूक्ष्मता है; क्या गतिमान प्रतीत होता है और क्या विश्राम में है - जिसे शास्त्रीय यांत्रिकी में [[ स्थिति-विज्ञान ]] द्वारा कहा जाता है - [[पर्यवेक्षक (भौतिकी)]] के सापेक्ष गति पर निर्भर करता है जो [[संदर्भ के फ्रेम]] में मापते हैं।
+चिरसम्मत यांत्रिकी के समान, विषय को [[गतिकी|"शुद्धगतिकी (कीनेमेटीक्स)"]] में विभाजित किया जा सकता है; [[स्थिति वेक्टर]], वेग और [[त्वरण]], और गतिशीलता (यांत्रिकी) निर्दिष्ट करके गति का विवरण; ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग और उनके संरक्षण नियम (भौतिकी) और कणों पर कार्य करने वाले या कणों द्वारा लगाए गए बलों पर विचार करके एक पूर्ण विवरण। यद्यपि एक जटिलता है; क्या प्रगामी प्रतीत होता है और क्या स्थिर है - जिसे चिरसम्मत यांत्रिकी में [[ स्थिति-विज्ञान |"स्थैतिकी"]] कहा जाता है - [[पर्यवेक्षक (भौतिकी)]] आपेक्षिक गति पर निर्भर करता है जो संदर्भ विन्यास में परिगणना करता है।
-हालांकि शास्त्रीय यांत्रिकी से कुछ परिभाषाएं और अवधारणाएं एसआर तक ले जाती हैं, जैसे गति के व्युत्पन्न समय के रूप में बल (न्यूटन का दूसरा नियम), एक कण द्वारा किया गया कार्य (भौतिकी) एक कण के साथ कण पर लगाए गए बल के अभिन्न अंग के रूप में किया जाता है। पथ, और [[शक्ति (भौतिकी)]] किए गए कार्य के [[समय व्युत्पन्न]] के रूप में, शेष परिभाषाओं और सूत्रों में कई महत्वपूर्ण संशोधन हैं। एसआर का कहना है कि गति सापेक्ष है और भौतिकी के नियम सभी प्रयोगकर्ताओं के लिए समान हैं, भले ही उनके [[जड़त्वीय फ्रेम]] संदर्भों के फ्रेम हों। अंतरिक्ष और समय की धारणाओं को संशोधित करने के अलावा, एसआर [[द्रव्यमान]], संवेग और ऊर्जा की अवधारणाओं पर पुनर्विचार करने के लिए मजबूर करता है, जो न्यूटनियन यांत्रिकी में महत्वपूर्ण निर्माण हैं। एसआर दिखाता है कि ये अवधारणाएं एक ही भौतिक मात्रा के सभी अलग-अलग पहलू हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि यह अंतरिक्ष और समय को परस्पर संबंधित दिखाता है। नतीजतन, एक और संशोधन एक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी में परिभाषित करने के लिए सीधा है लेकिन सापेक्षता में बहुत कम स्पष्ट है - विवरण के लिए द्रव्यमान के सापेक्ष केंद्र देखें।
+यद्यपि चिरसम्मत यांत्रिकी से कुछ परिभाषाएं और अवधारणाएं एसआर तक ले जाती हैं, जैसे संवेग के काल व्युत्पन्न के रूप में बल (न्यूटन का द्वितीय नियम), एक पथ में कण द्वारा किया गया कार्य कण पर प्रयुक्त बल के रेखा समाकलन के रूप में होता है और किए गए कार्य के काल व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा, शेष परिभाषाओं और सूत्रों में कई महत्वपूर्ण संशोधन हैं।  एसआर व्यक्त करते है कि गति सापेक्ष है और [[जड़त्वीय फ्रेम|जड़त्वीय]] संदर्भ विन्यास के अलावा, भौतिकी के नियम सभी प्रयोगकर्ताओं के लिए समान हैं। समष्टि और काल के धारणाओं को संशोधित करने के अतिरिक्त, एसआर द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के अवधारणाओं पर पुनर्विचार करने के लिए विवश करता है जो सभी न्यूटनी यांत्रिकी में महत्वपूर्ण निर्माण हैं। एसआर दर्शाता है कि ये अवधारणाएं एक ही भौतिक मात्रा के सभी विभिन्न दृष्टिकोण हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि यह समष्टि और काल को परस्पर संबंधित दिखाता है। फलस्वरूप, अन्य संशोधन एक प्रणाली के द्रव्यमान केन्द्र की अवधारणा है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी में स्पष्टतः परिभाषित है किन्तु सापेक्षता में अस्पष्ट है - विवरण के लिए आपेक्षिकीय द्रव्यमान केंद्र देखें।
-[[लोरेंत्ज़ कारक]] में गैर-रैखिक प्रणाली के कारण समीकरण अधिक परिचित त्रि-आयामी [[वेक्टर पथरी]] औपचारिकता में अधिक जटिल हो जाते हैं, जो सापेक्षतावादी वेग निर्भरता और सभी कणों और क्षेत्रों के प्रकाश की गति के लिए सटीक रूप से खाता है। हालांकि, उनके पास 'चार'-आयामी [[ अंतरिक्ष समय ]] में एक सरल और सुरुचिपूर्ण रूप है, जिसमें फ्लैट [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] (एसआर) और घुमावदार स्पेसटाइम (जीआर) शामिल है, क्योंकि अंतरिक्ष से प्राप्त त्रि-आयामी वैक्टर और समय से प्राप्त स्केलर एकत्र किए जा सकते हैं। चार वैक्टर, या चार आयामी [[टेन्सर]] में। हालांकि, छह घटक कोणीय संवेग टेन्सर को कभी-कभी [[ bivector ]] कहा जाता है क्योंकि 3डी दृष्टिकोण में यह दो वैक्टर हैं (इनमें से एक, पारंपरिक कोणीय गति, एक [[अक्षीय वेक्टर]] है)।
+[[लोरेंत्ज़ कारक]] में गैर-रैखिकता के कारण समीकरण अधिक परिचित त्रिविम [[वेक्टर पथरी|सदिश कलन]] नियमानुरूप में अधिक जटिल हो जाते हैं, जो आपेक्षिकीय वेग निर्भरता और सभी कणों और क्षेत्रों की गति सीमा के लिए सटीक रूप से उत्तरदयी होते है। यद्यपि, चतुर्विम समष्टिकाल [[ अंतरिक्ष समय |समष्टिकाल]] में एक सरलतम और सुरुचिपूर्ण रूप है, जिसमें समतल [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष|मिन्कोवस्की समष्टि]] (एसआर) और वक्रदिक्काल (जीआर) सम्मिलित हैं, क्योंकि समष्टि से व्युत्पन्न त्रिविम सदिश और काल से व्युत्पन्न अदिश को चार सदिश या चतुर्विम [[टेन्सर|प्रदिश]] में एकत्र किया जा सकता है। यद्यपि, छह घटक कोणीय संवेग प्रदिश को कभी-कभी बायवेक्टर कहा जाता है क्योंकि 3डी दृष्टिकोण में यह दो सदिश हैं (इनमें से एक,अक्षीय सदिश होने के कारण  पारंपरिक कोणीय संवेग है)।
-== सापेक्षिक कीनेमेटीक्स ==
+== आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी ==
-{{main|Four-velocity}}
+{{main|चतुरंग वेग}}
-सापेक्षतावादी चार-वेग, जो कि सापेक्षता में वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला चार-वेक्टर है, को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
+आपेक्षिकीय चार-वेग, जो सापेक्षता में वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला चार-सदिश है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 :<math>\boldsymbol{\mathbf{U}} = \frac{d \boldsymbol{\mathbf{X}}}{d \tau} = \left(\frac{c dt}{d\tau} , \frac{d\mathbf{x}}{d\tau} \right)</math>
-ऊपरोक्त में, <math>{\tau}</math> अंतरिक्ष-समय के माध्यम से पथ का [[उचित समय]] है, जिसे विश्व-रेखा कहा जाता है, इसके बाद उपरोक्त वस्तु वेग का प्रतिनिधित्व करता है, और
+ऊपरोक्त में, <math>{\tau}</math> समष्टिकाल के माध्यम से पथ का [[उचित समय]] है, जिसे विश्व-रेखा कहा जाता है, साथ में उपरोक्त वस्तु वेग का प्रतिनिधित्व करता है, और
 :<math>\boldsymbol{\mathbf{X}} = (ct, \mathbf{x} )</math>
-चार-स्थिति है; एक [[घटना (सापेक्षता)]] के निर्देशांक। [[समय फैलाव]] के कारण, उचित समय संदर्भ के एक फ्रेम में दो घटनाओं के बीच का समय होता है जहां वे एक ही स्थान पर होते हैं। उचित समय [[समन्वय समय]] t से संबंधित है:
+चार-स्थिति है; एक [[घटना (सापेक्षता)|परिघटना (सापेक्षता)]] के निर्देशांक। [[समय फैलाव|काल वृद्धि]] उचित काल संदर्भ विन्यास में दो परिघटनाओं के मध्य का समय होता है जहां वे एक ही स्थान पर होते हैं। उचित काल [[समन्वय समय]] t से निम्न द्वारा संबंधित है::
 :<math>\frac{d \tau}{d t} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{v})}</math>
-कहाँ <math>{\gamma}(\mathbf{v})</math> लोरेंत्ज़ कारक है:
+जहाँ <math>{\gamma}(\mathbf{v})</math> लोरेंत्ज़ कारक है:
 :<math>\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}/c^2}}\,\rightleftharpoons\,\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.</math>
-(या तो संस्करण उद्धृत किया जा सकता है) तो यह इस प्रकार है:
+(कोई एक संस्करण उद्धृत किया जा सकता है) तो यह इस प्रकार है:
 :<math>\boldsymbol{\mathbf{U}} = \gamma(\mathbf{v}) (c, \mathbf{v})</math>
-के कारक को छोड़कर पहले तीन पद <math>{\gamma(\mathbf{v})}</math>, वेग है जैसा कि पर्यवेक्षक ने अपने संदर्भ फ्रेम में देखा है। <math>{\gamma(\mathbf{v})}</math> h> वेग द्वारा निर्धारित किया जाता है <math>\mathbf{v}</math> प्रेक्षक के संदर्भ फ्रेम और वस्तु के फ्रेम के बीच, जो कि वह फ्रेम है जिसमें इसका उचित समय मापा जाता है। यह मात्रा लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए यह देखने के लिए कि एक अलग संदर्भ फ्रेम में एक पर्यवेक्षक क्या देखता है, एक बस दो संदर्भ फ्रेम के बीच लोरेंत्ज़ रूपांतरण मैट्रिक्स द्वारा वेग चार-वेक्टर को गुणा करता है।
+<math>{\gamma(\mathbf{v})}</math> के कारक के अतिरिक्त प्रथम तीन पद, वेग है जैसा कि पर्यवेक्षक ने अपने संदर्भ विन्यास में देखा है। <math>{\gamma(\mathbf{v})}</math> पर्यवेक्षक के संदर्भ विन्यास और वस्तु के विन्यास के मध्य वेग <math>\mathbf{v}</math> से निर्धारित किया जाता है, जो कि वह फ्रेम है जिसमें इसका उचित काल मापा जाता है। यह मात्रा लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए यह देखने के लिए कि विभिन्न संदर्भ विन्यास में पर्यवेक्षक क्या देखता है, दो संदर्भ विन्यास के मध्य लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह द्वारा वेग चार-सदिश को गुणा किया जाता है।
-== सापेक्ष गतिकी ==
+== आपेक्षिकीय गतिकी ==
-=== विश्राम द्रव्यमान और आपेक्षिक द्रव्यमान ===
+=== विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान ===
-{{further|Mass in special relativity}}
+{{further|विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान}}
-किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके संदर्भ के फ्रेम में मापा जाता है, उसे उसका विराम द्रव्यमान या [[अपरिवर्तनीय द्रव्यमान]] कहा जाता है और कभी-कभी लिखा जाता है <math>m_0</math>. यदि कोई वस्तु वेग से चलती है <math>\mathbf{v}</math> किसी अन्य संदर्भ फ्रेम में, मात्रा <math>m=\gamma(\mathbf{v}) m_0</math> को अक्सर उस फ्रेम में वस्तु का आपेक्षिक द्रव्यमान कहा जाता है।<ref>{{cite web | url = http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | title = What is relativistic mass? | access-date = 2008-09-19 |author1=Philip Gibbs, Jim Carr  |author2=Don Koks  |name-list-style=amp | year = 2008 | work = Usenet Physics FAQ}} Note that in 2008 the last editor, Don Koks, rewrote a significant portion of the page, changing it from a view extremely dismissive of the usefulness of relativistic mass to one which hardly questions it. The previous version was: {{cite web | url = http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | title = Does mass change with speed? |author1=Philip Gibbs  |author2=Jim Carr  |name-list-style=amp | year = 1998 | work = Usenet Physics FAQ | archive-url = https://web.archive.org/web/20070630144936/http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | archive-date = 2007-06-30}}</ref>
+किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके संदर्भ विन्यास में मापा जाता है, उसे उसका विराम द्रव्यमान या [[अपरिवर्तनीय द्रव्यमान|निश्चर द्रव्यमान]] कहा जाता है और प्रायः <math>m_0</math> लिखा जाता है। यदि कोई वस्तु किसी अन्य संदर्भ विन्यास में वेग <math>\mathbf{v}</math> से चलती है, तो मात्रा <math>m=\gamma(\mathbf{v}) m_0</math>  उसी विन्यास में प्रायः वस्तु का "आपेक्षिकीय द्रव्यमान" कहा जाता है।<ref>{{cite web | url = http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | title = What is relativistic mass? | access-date = 2008-09-19 |author1=Philip Gibbs, Jim Carr  |author2=Don Koks  |name-list-style=amp | year = 2008 | work = Usenet Physics FAQ}} Note that in 2008 the last editor, Don Koks, rewrote a significant portion of the page, changing it from a view extremely dismissive of the usefulness of relativistic mass to one which hardly questions it. The previous version was: {{cite web | url = http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | title = Does mass change with speed? |author1=Philip Gibbs  |author2=Jim Carr  |name-list-style=amp | year = 1998 | work = Usenet Physics FAQ | archive-url = https://web.archive.org/web/20070630144936/http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/mass.html | archive-date = 2007-06-30}}</ref>कुछ लेखक विराम द्रव्यमान को निरूपित करने के लिए <math>m</math> उपयोग करते हैं, लेकिन स्पष्टता के लिए यह लेख आपेक्षिकीय द्रव्यमान के लिए <math>m</math> और विराम द्रव्यमान के लिए <math>m_0</math> उपयोग करने की परिपाटी का अनुसरण करेगा।<ref>See, for example: {{cite book |last=Feynman |first=Richard |author-link=Richard Feynman |title=Six Not-So-Easy Pieces |year=1998 |isbn=0-201-32842-9 |chapter=The special theory of relativity |publisher=Perseus Books |location=Cambridge, Massachusetts|title-link=The Feynman Lectures on Physics#Six Not-So-Easy Pieces (1998) }}</ref>
-कुछ लेखक उपयोग करते हैं <math>m</math> शेष द्रव्यमान को निरूपित करने के लिए, लेकिन स्पष्टता के लिए यह लेख उपयोग करने की परिपाटी का पालन करेगा <math>m</math> सापेक्षतावादी द्रव्यमान के लिए और <math>m_0</math> रेस्ट मास के लिए।<ref>See, for example: {{cite book |last=Feynman |first=Richard |author-link=Richard Feynman |title=Six Not-So-Easy Pieces |year=1998 |isbn=0-201-32842-9 |chapter=The special theory of relativity |publisher=Perseus Books |location=Cambridge, Massachusetts|title-link=The Feynman Lectures on Physics#Six Not-So-Easy Pieces (1998) }}</ref>
-[[लेव ओकुन]] ने सुझाव दिया है कि सापेक्षतावादी द्रव्यमान की अवधारणा का आज कोई तर्कसंगत औचित्य नहीं है और अब इसे पढ़ाया नहीं जाना चाहिए।<ref>{{Cite journal | title = मास की अवधारणा| author = Lev B. Okun | journal = Physics Today | date = July 1989 | pages = 31–36 | volume = 42 | issue = 6 | url = http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf | format = subscription required | doi = 10.1063/1.881171 | bibcode = 1989PhT....42f..31O | access-date = 2012-06-04 | archive-date = 2008-12-17 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081217035358/http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf | url-status = dead }}</ref>
-[[वोल्फगैंग रिंडलर]] और टीआर सैंडिन सहित अन्य भौतिकविदों का तर्क है कि यह अवधारणा उपयोगी है।<ref>{{Cite journal | title = सापेक्षतावादी द्रव्यमान की रक्षा में| author = T. R. Sandin | journal = American Journal of Physics | volume = 59 | issue = 11 | date = November 1991 | pages = 1032–1036 | doi = 10.1119/1.16642 |bibcode = 1991AmJPh..59.1032S }}</ref>
-इस बहस पर अधिक जानकारी के लिए [[ विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान ]] देखें।
-जिस कण का विराम द्रव्यमान शून्य होता है उसे द्रव्यमान रहित कहते हैं। फोटॉन और [[गुरुत्वाकर्षण]] को द्रव्यमान रहित माना जाता है, और [[ न्युट्रीनो ]] को लगभग ऐसा ही माना जाता है।
+[[लेव ओकुन]] सुझाव दिया कि आपेक्षिकीय द्रव्यमान की अवधारणा में "वर्तमान कोई तर्कसंगत औचित्य नहीं है" और अब इसे सिखाया नहीं जाना चाहिए।<ref>{{Cite journal | title = मास की अवधारणा| author = Lev B. Okun | journal = Physics Today | date = July 1989 | pages = 31–36 | volume = 42 | issue = 6 | url = http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf | format = subscription required | doi = 10.1063/1.881171 | bibcode = 1989PhT....42f..31O | access-date = 2012-06-04 | archive-date = 2008-12-17 | archive-url = https://web.archive.org/web/20081217035358/http://www.physicstoday.org/vol-42/iss-6/vol42no6p31_36.pdf | url-status = dead }}</ref>
+[[वोल्फगैंग रिंडलर]] और टी. आर. सैंडिन सहित अन्य भौतिकविदों ने विरोध किया कि यह अवधारणा उपयोगी है।<ref>{{Cite journal | title = सापेक्षतावादी द्रव्यमान की रक्षा में| author = T. R. Sandin | journal = American Journal of Physics | volume = 59 | issue = 11 | date = November 1991 | pages = 1032–1036 | doi = 10.1119/1.16642 |bibcode = 1991AmJPh..59.1032S }}</ref>इस वाद-विवाद पर अधिक जानकारी के लिए [[ विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान |विशिष्ट आपेक्षिकता में द्रव्यमान]] देखें।
-===सापेक्ष ऊर्जा और संवेग===
+जिस कण का विराम द्रव्यमान शून्य होता है उसे द्रव्यमानहीन कहते हैं। फोटॉन और [[गुरुत्वाकर्षण|ग्रेविटॉन]] द्रव्यमानहीन माना जाता है और[[ न्युट्रीनो | न्युट्रीनो]] को प्रायः ऐसा ही माना जाता है।
-{{further|Conservation of energy}}
-SR में संवेग और ऊर्जा को परिभाषित करने के कुछ (समतुल्य) तरीके हैं। एक विधि संरक्षण कानून (भौतिकी) का उपयोग करती है। यदि इन कानूनों को एसआर में वैध रहना है तो उन्हें हर संभव संदर्भ फ्रेम में सत्य होना चाहिए। हालांकि, अगर कोई संवेग और ऊर्जा की न्यूटोनियन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए कुछ सरल विचार प्रयोग करता है, तो वह देखता है कि ये मात्राएँ SR में संरक्षित नहीं हैं। वेग वृद्धि के लिए परिभाषाओं में कुछ छोटे संशोधन करके संरक्षण के विचार को बचाया जा सकता है। यह नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें SR में गति और ऊर्जा के लिए सही माना जाता है।
+===आपेक्षिकीय ऊर्जा और संवेग===
+{{further|ऊर्जा संरक्षण}}
-किसी वस्तु का चार-संवेग सीधा है, शास्त्रीय गति के रूप में समान है, लेकिन 3-वैक्टर को 4-वैक्टर से बदल देता है:
+एसआर में संवेग और ऊर्जा को परिभाषित करने के कुछ (समतुल्य) प्रकार हैं। एक विधि संरक्षण नियम का उपयोग करती है। यदि इन नियम को एसआर में वैध रखना है तो उन्हें प्रति संभव संदर्भ विन्यास में सत्य होना आवश्यक है। यद्यपि, यदि संवेग और ऊर्जा की न्यूटनी परिभाषाओं का उपयोग करते हुए कुछ सरल विचार प्रयोग किया जाता है, तो देखा जाता है कि ये मात्राएँ एसआर में संरक्षित नहीं हैं। आपेक्षिकीय वेगों के उत्तरदयी में परिभाषाओं में कुछ छोटे संशोधन करके संरक्षण के विचार को उद्धार किया जा सकता है। यह नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें एसआर में संवेग और ऊर्जा के लिए सही माना जाता है।
+किसी वस्तु का चार-संवेग सरल है, चिरसम्मत संवेग के रूप में समान है, लेकिन 3-सदिश को 4-सदिश से प्रतिस्थापित कर देता है:
 :<math>\boldsymbol{\mathbf{P}} = m_0 \boldsymbol{\mathbf{U}} = (E/c, \mathbf{p})</math>
-अपरिवर्तनीय द्रव्यमान वाली किसी वस्तु की ऊर्जा और संवेग <math>m_0</math>, वेग से चल रहा है <math>\mathbf{v}</math> संदर्भ के दिए गए फ्रेम के संबंध में क्रमशः द्वारा दिए गए हैं
+वेग <math>\mathbf{v}</math> से गतिशील, निश्चर द्रव्यमान <math>m_0</math> वाली किसी वस्तु की ऊर्जा और संवेग के दिए गए संदर्भ विन्यास के संबंध में क्रमशः द्वारा दिए गए हैं
 :<math>\begin{align}
 E &= \gamma(\mathbf{v}) m_0 c^2 \\
@@ Line 56: / Line 55: @@
 \end{align}
 </math>
-कारण <math>\gamma</math> ऊपर वर्णित चार-वेग की परिभाषा से आता है। निम्न का प्रकटन <math>\gamma</math> वैकल्पिक रूप से कहा जा सकता है, जिसे अगले भाग में समझाया जाएगा।
+कारक <math>\gamma</math> ऊपरोक्त वर्णित चार-वेग की परिभाषा से आया है। <math>\gamma</math> का प्रकटन वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी व्याख्या अगले भाग में की जाएगी।
-गतिज ऊर्जा, <math>K</math>, परिभाषित किया जाता है
+गतिज ऊर्जा, <math>K</math> इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
 :<math> K = (\gamma - 1) m_0 c^2 = E - m_0 c^2 \,,</math>
-और गतिज ऊर्जा के कार्य के रूप में गति द्वारा दिया जाता है
+और गतिज ऊर्जा के फलन के रूप में गति निम्न द्वारा दिया जाता है
 :<math> v = c \sqrt{1- \left(\frac{m_0 c^2}{K+m_0 c^2}\right)^2} = \frac {c \sqrt {K (K + 2 m_0 c ^ 2)}} {K + m_0 c^2} = \frac {c \sqrt {(E - m_0 c^2)(E + m_0 c ^ 2)}}{E} = \frac{p c^2}{E} \,.</math>
-स्थानिक गति के रूप में लिखा जा सकता है <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}</math>, न्यूटोनियन यांत्रिकी से फॉर्म को न्यूटनियन द्रव्यमान के लिए प्रतिस्थापित सापेक्षतावादी द्रव्यमान के साथ संरक्षित करना। हालांकि, यह प्रतिस्थापन बल और गतिज ऊर्जा सहित कुछ मात्राओं के लिए विफल रहता है। इसके अलावा, लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत सापेक्ष द्रव्यमान अपरिवर्तनीय नहीं है, जबकि शेष द्रव्यमान है। इस कारण से, बहुत से लोग शेष द्रव्यमान और खाते का उपयोग करना पसंद करते हैं <math>\gamma</math> स्पष्ट रूप से 4-वेग या समन्वय समय के माध्यम से।
+न्यूटनी द्रव्यमान के स्थान पर आपेक्षिकीय द्रव्यमान के साथ न्यूटनी यांत्रिकी से प्रारूप का संरक्षण करने के लिए स्थानिक गति को <math>\mathbf{p} = m \mathbf{v}</math> के रूप में लिखा जा सकता है। यद्यपि, यह प्रतिस्थापन बल और गतिज ऊर्जा सहित कुछ मात्राओं के लिए विफल रहा है। इसके अतिरिक्त लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत आपेक्षिकीय द्रव्यमान निश्चर नहीं है, जबकि शेष विराम द्रव्यमान है। इस कारण, अधिकतर लोग विराम द्रव्यमान का अधिक उपयोग करते हैं और स्पष्टतया से समन्वयित काल या 4-वेग के माध्यम से <math>\gamma</math> के लिए उत्तरदयी होते है।
-ऊर्जा, संवेग और वेग के बीच एक सरल संबंध ऊर्जा और संवेग की परिभाषाओं से ऊर्जा को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है <math>\mathbf{v}</math>गति को गुणा करके <math>c^2</math>, और यह देखते हुए कि दो भाव समान हैं। यह प्रदान करता है
+ऊर्जा, संवेग और वेग के मध्य एक सरल संबंध ऊर्जा और संवेग की परिभाषाओं से ऊर्जा को <math>\mathbf{v}</math>  से और संवेग को <math>c^2</math> से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है और टिप्पण करें कि दो व्यंजक समान हैं। यह प्रदान करता है
 :<math>\mathbf{p} c^2 = E \mathbf{v}</math>
-<math>\mathbf{v}</math> तब इस समीकरण को द्वारा विभाजित करके समाप्त किया जा सकता है <math>c</math> और वर्ग करना,
+तब इस समीकरण को <math>c</math> द्वारा विभाजित और वर्ग करके <math>\mathbf{v}</math> को निराकरण किया जा सकता है
 :<math>(pc)^2 = E^2 (v/c)^2</math>
-द्वारा ऊर्जा की परिभाषा को विभाजित करना <math>\gamma</math> और वर्ग करना,
+ऊर्जा की परिभाषा को <math>\gamma</math> से विभाजित और वर्ग करके,
 :<math>E^2 \left(1 - (v/c)^2\right)  = \left(m_0 c^2\right)^2</math>
-और प्रतिस्थापन:
+और प्रतिस्थापन करके:
-:<math>E^2 - (p c)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2</math> यह सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग संबंध है।
+:<math>E^2 - (p c)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2</math> यह आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग संबंध है।
-जबकि ऊर्जा <math>E</math> और गति <math>\mathbf{p}</math> संदर्भ के उस फ्रेम पर निर्भर करता है जिसमें उन्हें मापा जाता है, मात्रा <math>E^2 - (p c)^2</math> अपरिवर्तनीय है। इसका मूल्य है <math>-c^2</math> [[4-गति]] वेक्टर के वर्ग परिमाण का गुना।
+जबकि ऊर्जा <math>E</math> और संवेग <math>\mathbf{p}</math> उस संदर्भ विन्यास पर निर्भर करता है जिसमें उन्हें मापा जाता है, मात्रा <math>E^2 - (p c)^2</math> निश्चर है। इसका मान 4-संवेग सदिश के वर्ग परिमाण का <math>-c^2</math> गुना है।
-एक प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को इस रूप में लिखा जा सकता है
+एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को इस रूप में लिखा जा सकता है
 :<math>{m_0}_\text{tot} = \frac {\sqrt{E_\text{tot}^2 - (p_\text{tot}c)^2}} {c^2}</math>
-गतिज ऊर्जा और बाध्यकारी ऊर्जा के कारण, यह मात्रा उन कणों के बाकी द्रव्यमानों के योग से भिन्न होती है जिनसे सिस्टम बना है। न्यूटोनियन भौतिकी की स्थिति के विपरीत, विशेष सापेक्षता में शेष द्रव्यमान एक संरक्षित मात्रा नहीं है। हालाँकि, भले ही कोई वस्तु आंतरिक रूप से बदल रही हो, जब तक कि वह अपने परिवेश के साथ ऊर्जा या संवेग का आदान-प्रदान नहीं करती है, तब तक इसका शेष द्रव्यमान नहीं बदलेगा और किसी भी संदर्भ फ्रेम में उसी परिणाम के साथ गणना की जा सकती है।
+गतिज ऊर्जा और बंधन ऊर्जा के कारण, यह मात्रा उन कणों के विराम द्रव्यमानों के योग से भिन्न होती है जिनसे प्रणाली संघटित है। न्यूटनी भौतिकी की स्थिति के विपरीत, विशिष्ट सापेक्षता में विराम द्रव्यमान एक संरक्षित मात्रा नहीं है। यद्यपि, यदि कोई वस्तु आंतरिक रूप से परिवर्तित हो रही है, जब तक कि वह अपने परिवेश के साथ ऊर्जा या संवेग का आदान-प्रदान नहीं करती है, तब तक इसका विराम द्रव्यमान परिवर्तन नहीं होगा और किसी भी संदर्भ विन्यास में उसी परिणाम के साथ गणना की जा सकती है।
 === द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता ===
-{{Main|Mass–energy equivalence}}
+{{Main|ऊर्जा और द्रव्यमान की तुल्यता}}
-सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग समीकरण सभी कणों के लिए मान्य है, यहाँ तक कि द्रव्यमानहीन कणों के लिए भी जिनके लिए m है<sub>0</sub> = 0. इस मामले में:
+आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण सभी कणों पर प्रयुक्त होता है, द्रव्यमानहीन कणों के लिए भी , जिसके लिए m<sub>0</sub> = 0 है। इस स्थिति में:
 :<math>E = pc</math>
-जब Ev = c में प्रतिस्थापित किया जाता है<sup>2</sup>p, इससे v = c मिलता है: द्रव्यमान रहित कण (जैसे फोटॉन) हमेशा प्रकाश की गति से चलते हैं।
+''Ev'' = ''c''<sup>2</sup>''p'' में प्रतिस्थापित करने पर v = c प्राप्त होता है: द्रव्यमानहीन कण (जैसे फोटॉन) सदैव प्रकाश चाल से यात्रा करते हैं।
-ध्यान दें कि एक समग्र प्रणाली का शेष द्रव्यमान आम तौर पर इसके भागों के बाकी द्रव्यमानों के योग से थोड़ा अलग होगा, क्योंकि इसके बाकी फ्रेम में, उनकी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान को बढ़ाएगी और उनकी (नकारात्मक) बाध्यकारी ऊर्जा इसके द्रव्यमान को कम कर देगी। विशेष रूप से, प्रकाश के एक काल्पनिक बॉक्स में विराम द्रव्यमान होगा, भले ही वह कणों से बना हो, क्योंकि उनका संवेग रद्द नहीं होगा।
+ध्यान दें कि समग्र प्रणाली का विराम द्रव्यमान सामान्यतः इसके अंशों के विराम द्रव्यमानों के योग से कुछ भिन्न होगा, क्योंकि इसके शेष विन्यास में, उनकी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान को बढ़ाएगी और उनकी (ऋणात्मक) बंधन ऊर्जा इसके द्रव्यमान को कम कर देगी। विशेष रूप से, एक काल्पनिक "प्रकाश पेटी" में विराम द्रव्यमान होगा, चाहे वह कणों से बना हो जो ऐसा नहीं करते क्योंकि उनका संवेग रद्द हो जाएगा।
-एक प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के लिए उपरोक्त सूत्र को देखते हुए, यह देखता है कि, जब एक विशाल वस्तु आराम पर होती है ('v' = '0', 'p' = '0'), एक गैर-शून्य द्रव्यमान शेष होता है : एम<sub>0</sub> = ई / सी<sup>2</उप>।
+एक प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान के लिए उपरोक्त सूत्र पर ध्यान देते हुए, यह देखा जाता है कि, जब एकल विशाल वस्तु विराम ('v' = '0', 'p' = '0') पर है, तो एक गैर-शून्य द्रव्यमान:  ''m''<sub>0</sub> = ''E''/''c''<sup>2</sup> शेष रहता है। संबंधित ऊर्जा कुल ऊर्जा भी होती है जब एकल कण विराम पर होता है, उसे "विराम ऊर्जा" कहा जाता है। गतिमान जड़त्वीय विन्यास से देखे जाने वाले कणों की प्रणालियों में, कुल ऊर्जा और संवेग बढ़ता है। यद्यपि, एकल कणों के लिए विराम द्रव्यमान स्थिर रहता है और कणों की प्रणालियों के लिए निश्चर द्रव्यमान स्थिर रहता है, क्योंकि दोनों स्थितियों में, ऊर्जा और संवेग वृद्धि एक दूसरे से घटते हैं और रद्द हो जाते हैं। इस प्रकार, कणों की प्रणालियों का निश्चर द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए एक परिकलित स्थिरांक है, जैसा कि एकल कण का विराम द्रव्यमान है।
-संबंधित ऊर्जा, जो कुल ऊर्जा भी है जब एक कण आराम पर होता है, उसे आराम ऊर्जा कहा जाता है। गतिमान जड़त्वीय फ्रेम से देखे जाने वाले कणों की प्रणालियों में, कुल ऊर्जा बढ़ती है और संवेग भी बढ़ता है। हालाँकि, एकल कणों के लिए शेष द्रव्यमान स्थिर रहता है, और कणों की प्रणालियों के लिए अपरिवर्तनीय द्रव्यमान स्थिर रहता है, क्योंकि दोनों ही मामलों में, ऊर्जा और संवेग एक दूसरे से घटते हैं, और रद्द हो जाते हैं। इस प्रकार, कणों की प्रणालियों का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए एक परिकलित स्थिरांक है, जैसा कि एकल कणों का शेष द्रव्यमान है।
-=== सिस्टम का द्रव्यमान और अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण ===
+=== प्रणालियों का द्रव्यमान और निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण ===
 कणों की प्रणालियों के लिए, ऊर्जा-संवेग समीकरण को कणों के संवेग सदिशों के योग की आवश्यकता होती है:
 :<math>E^2 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} c^2 = m_0^2 c^4</math>
-वह जड़त्वीय फ्रेम जिसमें सभी कणों का संवेग शून्य होता है, संवेग फ्रेम का केंद्र कहलाता है। इस विशेष फ्रेम में, आपेक्षिक ऊर्जा-संवेग समीकरण में p = 0 है, और इस प्रकार सिस्टम के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को सिस्टम के सभी भागों की कुल ऊर्जा के रूप में देता है, जिसे ''c'' से विभाजित किया जाता है।<sup>2</उप>
+जड़त्वीय विन्यास जिसमें सभी कणों के संवेग का योग शून्य होता है, उसे संवेग विन्यास का केंद्र कहलाता है। इस विशेष विन्यास में, आपेक्षिकीय ऊर्जा-संवेग समीकरण में p = 0 है, और इस प्रकार प्रणाली के निश्चर द्रव्यमान को प्रणाली के सभी भागों की कुल ऊर्जा के रूप में देता है, जिसे ''c<sup>2</sup>'' से विभाजित किया जाता है।
 :<math>m_{0,\,{\rm system}} = \sum_n E_n/c^2</math>
-यह किसी भी प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है जिसे एक फ्रेम में मापा जाता है जहां इसका कुल संवेग शून्य होता है, जैसे कि एक पैमाने पर गर्म गैस की बोतल। ऐसी प्रणाली में, जिस द्रव्यमान का वजन होता है वह अपरिवर्तनीय द्रव्यमान होता है, और यह प्रणाली की कुल ऊर्जा पर निर्भर करता है। इस प्रकार यह अणुओं के बाकी द्रव्यमानों के योग से अधिक है, लेकिन इसमें सिस्टम की सभी कुल ऊर्जा भी शामिल है। ऊर्जा और संवेग की तरह, पृथक प्रणालियों के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को तब तक नहीं बदला जा सकता जब तक कि सिस्टम पूरी तरह से बंद रहता है (किसी द्रव्यमान या ऊर्जा को अंदर या बाहर जाने की अनुमति नहीं है), क्योंकि सिस्टम की कुल सापेक्ष ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कि कुछ भी प्रवेश नहीं कर सकता या इसे छोड़ो।
+यह किसी भी प्रणाली का निश्चर द्रव्यमान है जिसे एक विन्यास में मापा जाता है जहां इसका कुल संवेग शून्य होता है, जैसे कि एक पैमाने पर तप्त गैस की बोतल। ऐसी प्रणाली में, द्रव्यमान जिसका पैमाना वजन करता है वह निश्चर द्रव्यमान होता है, और यह प्रणाली की कुल ऊर्जा पर निर्भर करता है। इस प्रकार यह अणुओं के विराम द्रव्यमानों के योग से अधिक है, लेकिन इसमें प्रणाली की सभी कुल ऊर्जा भी सम्मिलित है। ऊर्जा और संवेग के समान, पृथक प्रणालियों के निश्चर द्रव्यमान को तब तक नहीं परिवर्तित किया जा सकता जब तक कि प्रणाली संपूर्णतया से संवृत रहता है (किसी द्रव्यमान या ऊर्जा को प्रवेश या निकास की अनुमति नहीं है), क्योंकि प्रणाली की कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कुछ भी प्रवेश या निकास नहीं कर सकता।
-ऐसी प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि जो प्रणाली को एक जड़त्वीय फ्रेम में अनुवाद करने के कारण होती है जो गति फ्रेम का केंद्र नहीं है, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में वृद्धि के बिना ऊर्जा और गति में वृद्धि का कारण बनती है। ई = म<sub>0</sub>c<sup>2</sup>, हालांकि, उनके संवेग केंद्र के ढांचे में केवल पृथक प्रणालियों पर लागू होता है जहां संवेग का योग शून्य होता है।
+ऐसी प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि जो प्रणाली को एक जड़त्वीय विन्यास में अनुवाद करने के कारण होती है, जो संवेग विन्यास का केंद्र नहीं है, निश्चर द्रव्यमान में वृद्धि के बिना ऊर्जा और संवेग में वृद्धि का कारण बनता है। यद्यपि ''E'' = ''m''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup>, उनके संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर ही प्रयुक्त होता है, जहां संवेग का योग शून्य होता है।
-इस सूत्र को अंकित मूल्य पर लेने पर, हम देखते हैं कि सापेक्षता में, द्रव्यमान केवल एक अन्य नाम से ऊर्जा है (और विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है)। 1927 में आइंस्टीन ने विशेष सापेक्षता के बारे में टिप्पणी की, इस सिद्धांत के तहत द्रव्यमान एक अपरिवर्तनीय परिमाण नहीं है, बल्कि ऊर्जा की मात्रा पर (और, वास्तव में, समान) निर्भर एक परिमाण है।<ref>[https://www.pbs.org/wgbh/nova/newton/einstein.html Einstein on Newton]</ref>
+इस सूत्र के अंकित मूल्य पर देखा जाता हैं कि सापेक्षता में, द्रव्यमान अन्य नाम से केवल ऊर्जा है (और विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है)। 1927 में आइंस्टीन ने विशिष्ट सापेक्षता के बारे में टिप्पणी की, "इस सिद्धांत के अंतर्गत द्रव्यमान एक अपरिवर्तनीय परिमाण नहीं है, लेकिन ऊर्जा की मात्रा पर निर्भर (और वास्तव में, समान) एक परिमाण है।"<ref>[https://www.pbs.org/wgbh/nova/newton/einstein.html Einstein on Newton]</ref>
-=== बंद (पृथक) सिस्टम ===
+=== संवृत (पृथक) प्रणाली ===
-एक पूरी तरह से बंद प्रणाली (यानी, पृथक प्रणाली) में कुल ऊर्जा, कुल संवेग, और इसलिए कुल अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण किया जाता है। द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए आइंस्टीन का सूत्र अपने सरलतम ΔE = Δmc में अनुवाद करता है<sup>2</sup> रूप, हालांकि, केवल गैर-बंद प्रणालियों में जिसमें ऊर्जा को बाहर निकलने की अनुमति है (उदाहरण के लिए, गर्मी और प्रकाश के रूप में), और इस प्रकार अपरिवर्तनीय द्रव्यमान कम हो जाता है। आइंस्टीन के समीकरण से पता चलता है कि इस तरह के सिस्टम को द्रव्यमान खोना चाहिए, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, ऊर्जा के अनुपात में वे आसपास खो देते हैं। इसके विपरीत, यदि कोई प्रतिक्रिया से पहले एक प्रणाली के बीच द्रव्यमान में अंतर को माप सकता है जो गर्मी और प्रकाश को छोड़ता है, और प्रतिक्रिया के बाद प्रणाली जब गर्मी और प्रकाश बच गए हैं, तो कोई ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगा सकता है जो सिस्टम से निकलती है।
+एक "संपूर्णतया से संवृत" प्रणाली (यानी, पृथक प्रणाली ) में कुल ऊर्जा, कुल संवेग, और इसलिए कुल निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण किया जाता है। द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए आइंस्टीन का सूत्र अपने सरलतम Δ''E'' = Δ''mc''<sup>2</sup> रूप में अनुवाद करता है, यद्यपि, केवल गैर-संवृत प्रणालियों में जिसमें ऊर्जा के निकास की अनुमति है (उदाहरण के लिए, ऊष्मा और प्रकाश के रूप में), और इस प्रकार निश्चर द्रव्यमान न्यूनीकृत हो जाता है। आइंस्टीन के समीकरण दर्शाता है कि इस प्रकार के प्रणाली को द्रव्यमान व्यय करना चाहिए, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, ऊर्जा के अनुपात में वे परिवेश में व्यय कर देते हैं। इसके विपरीत यदि प्रतिक्रिया से पूर्व प्रणाली के मध्य द्रव्यमान में अंतर को मापा जा सकता है जो ताप और प्रकाश अवमुक्त करता है और प्रणाली जो प्रतिक्रिया के पश्चात जब ताप और प्रकाश मुक्त हो जाते हैं, तो ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगाया जा सकता है, जो प्रणाली से मुक्त होती है।
 ==== रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ ====
-परमाणु और रासायनिक दोनों प्रतिक्रियाओं में, ऐसी ऊर्जा परमाणुओं (रसायन विज्ञान के लिए) या नाभिक में न्यूक्लियंस (परमाणु प्रतिक्रियाओं में) के बीच इलेक्ट्रॉनों की बाध्यकारी ऊर्जा में अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। दोनों ही मामलों में, अभिकारकों और (ठंडा) उत्पादों के बीच द्रव्यमान अंतर ऊष्मा और प्रकाश के द्रव्यमान को मापता है जो प्रतिक्रिया से बच जाएगा, और इस प्रकार (समीकरण का उपयोग करके) ऊष्मा और प्रकाश की समतुल्य ऊर्जा देता है जो प्रतिक्रिया के आगे बढ़ने पर उत्सर्जित हो सकती है। .
+परमाणु और रासायनिक दोनों प्रतिक्रियाओं में, ऐसी ऊर्जा परमाणुओं (रसायन विज्ञान के लिए) या नाभिक में न्यूक्लियंस (परमाणु प्रतिक्रियाओं में) के मध्य इलेक्ट्रॉनों की बंधन ऊर्जा में अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। दोनों स्थितियों में, अभिकारकों और (ठंडा) उत्पादों के मध्य द्रव्यमान अंतर ऊष्मा और प्रकाश के द्रव्यमान को मापता है जो प्रतिक्रिया से मुक्त हो जाएगा, और इस प्रकार (समीकरण का उपयोग करके) ऊष्मा और प्रकाश की समतुल्य ऊर्जा देता है जो प्रतिक्रिया निरंतर चलने पर उत्सर्जित हो सकती है।
-रसायन विज्ञान में, उत्सर्जित ऊर्जा से जुड़े द्रव्यमान अंतर लगभग 10 होते हैं<sup>−9</sup> आण्विक द्रव्यमान का।<ref>{{cite book|title=Modern Physics: Second Edition|url=https://archive.org/details/modernphysics00harr|url-access=limited|page=[https://archive.org/details/modernphysics00harr/page/n149 38]|year=2008|publisher=Pearson Addison-Wesley|isbn=978-0-8053-0308-7|author=Randy Harris}}</ref> हालांकि, [[परमाणु प्रतिक्रिया]]ओं में ऊर्जा इतनी बड़ी होती है कि वे बड़े पैमाने पर अंतर से जुड़ी होती हैं, जिसका अनुमान पहले से लगाया जा सकता है, अगर उत्पादों और अभिकारकों को तौला गया हो (परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करके परमाणुओं को अप्रत्यक्ष रूप से तौला जा सकता है, जो हमेशा समान होते हैं) प्रत्येक [[न्यूक्लाइड]])। इस प्रकार, आइंस्टीन का सूत्र महत्वपूर्ण हो जाता है जब कोई विभिन्न परमाणु नाभिकों के द्रव्यमान को मापता है। द्रव्यमान में अंतर को देखकर, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि किस नाभिक ने ऊर्जा संग्रहीत की है जिसे कुछ परमाणु प्रतिक्रियाओं द्वारा जारी किया जा सकता है, जो महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है जो परमाणु ऊर्जा के विकास में उपयोगी था और परिणामस्वरूप, [[परमाणु बम]]। ऐतिहासिक रूप से, उदाहरण के लिए, [[ लिसा मीटनर ]] नाभिक में बड़े पैमाने पर अंतर का अनुमान लगाने में सक्षम था कि परमाणु विखंडन को एक अनुकूल प्रक्रिया बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उपलब्ध थी। इस प्रकार आइंस्टीन के फार्मूले के इस विशेष रूप के निहितार्थों ने इसे पूरे विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक बना दिया है।
+रसायन विज्ञान में, उत्सर्जित ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान अंतर आणविक द्रव्यमान के प्रायः 10<sup>−9</sup> होते हैं।।<ref>{{cite book|title=Modern Physics: Second Edition|url=https://archive.org/details/modernphysics00harr|url-access=limited|page=[https://archive.org/details/modernphysics00harr/page/n149 38]|year=2008|publisher=Pearson Addison-Wesley|isbn=978-0-8053-0308-7|author=Randy Harris}}</ref> यद्यपि, यदि उत्पादों और अभिकारकों को तौला गया हो (परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करके परमाणुओं को अप्रत्यक्ष रूप से तौला जा सकता है, जो सदैव प्रत्येक न्यूक्लाइड के लिए समान है), तो परमाणु प्रतिक्रियाओं में ऊर्जा इतनी विशाल होती है कि वे द्रव्यमान अंतर से संबद्ध होती हैं, जिसका निश्चित समय से पूर्व अनुमान लगाया जा सकता है। इस प्रकार, आइंस्टीन का सूत्र महत्वपूर्ण हो जाता है, जब विभिन्न परमाणु नाभिकों के द्रव्यमान को मापा जाता है। द्रव्यमान में अंतर को देखकर, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि किस नाभिक ने ऊर्जा संग्रहीत की है, जो कुछ परमाणु प्रतिक्रियाओं द्वारा मुक्त किया जा सकता है, जो महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है तथा परमाणु ऊर्जा के विकास में उपयोगी थी जिसके परिणामस्वरूप परमाणु बम विकसित हुआ। ऐतिहासिक रूप से, उदाहरण के लिए, लिसे मीटनर नाभिक में द्रव्यमान अंतर का अनुमान लगाने में सक्षम था कि परमाणु विखंडन को एक अनुकूल प्रक्रिया बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उपलब्ध थी। इस प्रकार आइंस्टीन के सूत्र के इस विशेष रूप के निहितार्थों ने इसे संपूर्ण विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक बना दिया है।
-==== मोमेंटम फ्रेम का केंद्र ====
+==== संवेग विन्यास का केंद्र ====
-समीकरण ई = एम<sub>0</sub>c<sup>2</sup> उनके संवेग फ्रेम के केंद्र में केवल पृथक प्रणालियों पर लागू होता है। यह लोकप्रिय रूप से गलत समझा गया है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसके बाद द्रव्यमान गायब हो जाता है। हालांकि, सिस्टम पर लागू समीकरण के लोकप्रिय स्पष्टीकरण में खुली (गैर-पृथक) प्रणालियां शामिल हैं, जिसके लिए गर्मी और प्रकाश को बचने की अनुमति है, जब वे अन्यथा सिस्टम के द्रव्यमान (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान) में योगदान करते।
+समीकरण ''E'' = ''m''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup> केवल संवेग विन्यास के केंद्र में पृथक प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है। यह जनसाधारण द्वारा मिथ्याबोध हुआ है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में रूपांतरित किया जा सकता है, जिसके पश्चात द्रव्यमान लुप्त हो जाता है। यद्यपि, प्रणाली पर प्रयुक्त समीकरण के लोकप्रिय स्पष्टीकरण में विवृत (गैर-पृथक) प्रणालियां सम्मिलित हैं, जिनके लिए ऊष्मा और प्रकाश को विमुक्त किया जाता है अन्यथा जब वे प्रणाली के द्रव्यमान (निश्चर द्रव्यमान) में योगदान करते।
-ऐतिहासिक रूप से, द्रव्यमान के ऊर्जा में परिवर्तित होने के बारे में भ्रम को द्रव्यमान और पदार्थ के बीच भ्रम से सहायता मिली है, जहां पदार्थ को [[फर्मियन]] कणों के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी परिभाषा में, विद्युत चुम्बकीय विकिरण और गतिज ऊर्जा (या ऊष्मा) को पदार्थ नहीं माना जाता है। कुछ स्थितियों में, वास्तव में पदार्थ को ऊर्जा के गैर-पदार्थ रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है (ऊपर देखें), लेकिन इन सभी स्थितियों में, ऊर्जा के पदार्थ और गैर-पदार्थ रूप अभी भी अपने मूल द्रव्यमान को बनाए रखते हैं।
+ऐतिहासिक रूप से, द्रव्यमान के ऊर्जा में "रूपांतरित" होने के बारे में भ्रम को द्रव्यमान और " पदार्थ " के बीच भ्रम से सहायता मिली है, जहां पदार्थ को [[फर्मियन]] कणों के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी परिभाषा में, विद्युत चुम्बकीय विकिरण और गतिज ऊर्जा (या ऊष्मा) को "पदार्थ" नहीं माना जाता है। कुछ स्थितियों में, वास्तव में पदार्थ को ऊर्जा के गैर-पदार्थों में रूपांतरित किया जा सकता है (ऊपर देखें), लेकिन इन सभी स्थितियों में, ऊर्जा के पदार्थ और गैर-पदार्थ रूप अपने मूल द्रव्यमान को प्रतिधारित रखते हैं।
-पृथक प्रणालियों के लिए (सभी द्रव्यमान और ऊर्जा विनिमय के लिए बंद), गति के केंद्र में द्रव्यमान कभी गायब नहीं होता, क्योंकि ऊर्जा गायब नहीं हो सकती। इसके बजाय, संदर्भ में, इस समीकरण का अर्थ केवल यह है कि जब किसी भी ऊर्जा को जोड़ा जाता है, या से निकल जाता है, केंद्र-संवेग फ्रेम में एक प्रणाली, ऊर्जा के अनुपात में प्रणाली को प्राप्त या खो द्रव्यमान के रूप में मापा जाएगा या हटा दिया। इस प्रकार, सिद्धांत रूप में, यदि एक परमाणु बम को उसके विस्फोट को रोकने के लिए पर्याप्त मजबूत बॉक्स में रखा जाता है, और एक पैमाने पर विस्फोट किया जाता है, तो इस बंद प्रणाली का द्रव्यमान नहीं बदलेगा, और पैमाना नहीं चलेगा। केवल जब सुपर-मजबूत प्लाज्मा से भरे बॉक्स में एक पारदर्शी खिड़की खोली गई थी, और प्रकाश और गर्मी को बीम में भागने की अनुमति दी गई थी, और बम घटकों को ठंडा करने के लिए, सिस्टम विस्फोट की ऊर्जा से जुड़े द्रव्यमान को खो देगा। उदाहरण के लिए, 21 किलोटन के बम में लगभग एक ग्राम प्रकाश और ऊष्मा उत्पन्न होती है। यदि इस गर्मी और प्रकाश को बाहर निकलने दिया गया, तो बम के अवशेष ठंडा होने पर द्रव्यमान का एक ग्राम खो देंगे। इस विचार-प्रयोग में, प्रकाश और ऊष्मा द्रव्यमान के ग्राम को ले जाते हैं, और इसलिए इस ग्राम द्रव्यमान को उन वस्तुओं में जमा कर देंगे जो उन्हें अवशोषित करती हैं।<ref>E. F. Taylor and J. A. Wheeler, '''Spacetime Physics''', W.H. Freeman and Co., New York. 1992. {{ISBN|0-7167-2327-1}}, see pp. 248–9 for discussion of mass remaining constant after detonation of nuclear bombs, until heat is allowed to escape.</ref>
+पृथक प्रणालियों के लिए (सभी द्रव्यमान और ऊर्जा विनिमय के लिए संवृत), संवेग विन्यास के केंद्र में द्रव्यमान कभी अदृश्य नहीं होता, क्योंकि ऊर्जा लुप्त नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, संदर्भ में, इस समीकरण का अर्थ केवल यह है कि जब किसी भी ऊर्जा को वर्धित किया जाता है, या मुक्त किया जाता है, संवेग विन्यास के केंद्र में एक प्रणाली, ऊर्जा के वर्धित या घटाने के अनुपात में प्रणाली को द्रव्यमान प्राप्त या ह्रास के रूप में मापा जाएगा। इस प्रकार सिद्धांत में, यदि एक परमाणु बम को उसके विस्फोट को नियंत्रित रखने के लिए पर्याप्त शक्तिशालि पेटी में रखा जाता है और एक पैमाने पर विस्फोट किया जाता है, तो इस संवृत प्रणाली का द्रव्यमान परिवर्तित नहीं होगा और पैमाना स्थानांतरित नहीं होगा। केवल जब अति-शक्तिशालि प्लाज्मा युक्त पेटी में एक पारदर्शी "गवाक्ष" विविक्त की गई और प्रकाश और ऊष्मा को किरण में प्रसारित की गई और बम घटकों को ठंडा किया गया, क्या प्रणाली में विस्फोट की ऊर्जा से संबद्ध द्रव्यमान ह्रास होगा। उदाहरण के लिए, 21 किलोटन के बम में, प्रायः एक ग्राम प्रकाश और ऊष्मा उत्पन्न होती है। यदि इस ऊष्मा और प्रकाश को मुक्त किया गया, तो बम के अवशेष में ठंडा होने पर एक ग्राम के द्रव्यमान का ह्रास होगा। इस विचार-प्रयोग में, प्रकाश और ऊष्मा द्रव्यमान के ग्राम को ले जाते हैं और इसलिए इस ग्राम द्रव्यमान को उन वस्तुओं में निक्षेप कर देंगे जो उन्हें अवशोषित करती हैं।<ref>E. F. Taylor and J. A. Wheeler, '''Spacetime Physics''', W.H. Freeman and Co., New York. 1992. {{ISBN|0-7167-2327-1}}, see pp. 248–9 for discussion of mass remaining constant after detonation of nuclear bombs, until heat is allowed to escape.</ref>
 === कोणीय संवेग ===
-{{main|Relativistic angular momentum}}
+{{main|आपेक्षिकीय कोणीय गति}}
-सापेक्षवादी यांत्रिकी में, समय-भिन्न द्रव्यमान क्षण
+आपेक्षिकीय यांत्रिकी में, समय-परिवर्ती द्रव्यमान आघूर्ण
 :<math>\mathbf{N} = m \left( \mathbf{x} - t \mathbf{v} \right) </math>
-और कक्षीय 3-कोणीय गति
+और कक्षीय 3-कोणीय संवेग
 :<math>\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}</math>
-कण के 4-स्थिति X और 4-संवेग P के संदर्भ में एक बिंदु-जैसे कण को चार-आयामी बाइवेक्टर में संयोजित किया जाता है:<ref>{{cite book |author=R. Penrose| title=वास्तविकता का मार्ग| publisher= Vintage books|pages=437–438, 566–569| year=2005 | isbn=978-0-09-944068-0| title-link=वास्तविकता का मार्ग}} '''Note:''' Some authors, including Penrose, use ''Latin'' letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.</ref><ref>{{cite book|title=विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है|author=M. Fayngold|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|pages=137–139|isbn=978-3-527-40607-4|url=https://books.google.com/books?id=Q3egk8Ds6ogC&q=angular+momentum+in+special+relativity&pg=PA137}}</ref>
+कण के 4-स्थिति X और 4-संवेग P के संदर्भ में एक बिंदु-समान कण को चतुर्विम द्विसदिश (बाइवेक्टर) में संयोजित किया जाता है:<ref>{{cite book |author=R. Penrose| title=वास्तविकता का मार्ग| publisher= Vintage books|pages=437–438, 566–569| year=2005 | isbn=978-0-09-944068-0| title-link=वास्तविकता का मार्ग}} '''Note:''' Some authors, including Penrose, use ''Latin'' letters in this definition, even though it is conventional to use Greek indices for vectors and tensors in spacetime.</ref><ref>{{cite book|title=विशेष सापेक्षता और यह कैसे काम करता है|author=M. Fayngold|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|pages=137–139|isbn=978-3-527-40607-4|url=https://books.google.com/books?id=Q3egk8Ds6ogC&q=angular+momentum+in+special+relativity&pg=PA137}}</ref>
 :<math>\mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}</math>
-जहां ∧ [[बाहरी उत्पाद]] को दर्शाता है। यह टेन्सर योज्य है: किसी सिस्टम का कुल कोणीय संवेग, सिस्टम के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग टेन्सर का योग होता है। इसलिए, असतत कणों की एक असेंबली के लिए कणों पर कोणीय गति का योग होता है, या निरंतर द्रव्यमान वितरण की सीमा पर कोणीय गति की घनत्व को एकीकृत करता है।
+जहां ∧ [[बाहरी उत्पाद]] को दर्शाता है। यह प्रदिश योज्य है: किसी प्रणाली का कुल कोणीय संवेग, प्रणाली के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग प्रदिश का योग होता है। इसलिए, असतत कणों के समुच्चय के लिए कणों पर कोणीय संवेग प्रदिश का योग किया जाता है, या निरंतर द्रव्यमान वितरण की सीमा पर कोणीय संवेग के घनत्व को समाकलित किया जाता है।
-अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक एक संरक्षित मात्रा बनाता है।
+अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक संरक्षित मात्रा बनाता है।
 === बल ===
-विशेष सापेक्षता में, न्यूटन का दूसरा नियम F = ''m''a के रूप में मान्य नहीं है, लेकिन यह तब होता है जब इसे व्यक्त किया जाता है
+विशिष्ट आपेक्षिकता में, न्यूटन का द्वितीय नियम F = ''m''a के रूप में मान्य नहीं है, लेकिन यदि इसे इस रूप में व्यक्त किया जाए तो यह मान्य होता है
 :<math> \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} </math>
-जहाँ p = γ(v)''m''<sub>0</sub>v संवेग है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है और ''m''<sub>0</sub> अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है। इस प्रकार, बल द्वारा दिया जाता है
+जहाँ p = γ(v)''m''<sub>0</sub>v संवेग है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है और ''m''<sub>0</sub> निश्चर द्रव्यमान है। इसलिए, बल इस प्रकार दिया जाता है
 :<math>\mathbf{F} = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \, \mathbf{a}_\parallel + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_\perp </math>
@@ Line 184: / Line 182: @@
 |}
-नतीजतन, कुछ पुराने ग्रंथों में, γ(v)<sup>3</सुप>मि<sub>0</sub> अनुदैर्ध्य द्रव्यमान और γ('v')m के रूप में जाना जाता है<sub>0</sub> अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से [[सापेक्ष द्रव्यमान]] के समान होता है। द्रव्यमान को विशेष सापेक्षता में देखें।
+परिणामस्वरूप, कुछ पुराने पाठ्य पुस्तकों में, γ('''v''')<sup>3</sup>''m''<sub>0</sub> को अनुदैर्ध्य द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, और γ('''v''')''m''<sub>0</sub> को अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से आपेक्षिकीय द्रव्यमान के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में द्रव्यमान देखें।
-यदि कोई बल से त्वरण की गणना करने के लिए इसे उलट देता है, तो उसे प्राप्त होता है
+यदि बल से त्वरण की गणना करने के लिए इसे अंतर्वर्त किया जाता है, तो निम्न प्राप्त होता है
 :<math> \mathbf{a} = \frac{1}{m_0 \gamma(\mathbf{v})} \left( \mathbf{F} - \frac{ ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} ) \mathbf{v} }{c^2} \right) \,.</math>
-इस खंड में वर्णित बल शास्त्रीय 3-डी बल है जो [[चार-वेक्टर]] नहीं है। यह 3-डी बल बल की उपयुक्त अवधारणा है क्योंकि यह वह बल है जो न्यूटन के गति के नियमों#न्यूटन के तीसरे नियम|न्यूटन के गति के तीसरे नियम का पालन करता है। इसे तथाकथित चार-बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो वस्तु के कोमोविंग फ्रेम में केवल 3-डी बल है, जैसे कि यह चार-वेक्टर थे। हालांकि, 3-डी बल का घनत्व (रैखिक संवेग प्रति इकाई चार-आयामी अंतरिक्ष | चार-मात्रा स्थानांतरित) एक चार-वेक्टर (वजन +1 का [[टेंसर घनत्व]]) है जब स्थानांतरित शक्ति के घनत्व के नकारात्मक के साथ जोड़ा जाता है।
+इस खंड में वर्णित बल चिरसम्मत 3-डी बल है जो [[चार-वेक्टर|चतुर्विम-सदिश]] नहीं है। यह 3-डी बल बल की उपयुक्त अवधारणा है क्योंकि यह वह बल है जो न्यूटन के गति के तृतीय नियम का पालन करता है। इसे तथाकथित चार-बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो रूपांतरित वस्तु के सहचलित विन्यास में केवल 3-डी बल है, जैसे कि यह चार-सदिश थे। यद्यपि, 3-डी बल का घनत्व (रैखिक संवेग प्रति इकाई चार-आयतन में स्थानांतरित) चार-सदिश (वजन का घनत्व +1) है जब स्थानांतरित शक्ति के घनत्व के ऋणात्मक के साथ संयोजित किया जाता है।
-=== टॉर्क ===
+=== आघूर्ण बल (टॉर्क) ===
-एक बिंदु-जैसे कण पर कार्य करने वाले टोक़ को उचित समय के संबंध में ऊपर दिए गए कोणीय गति टेंसर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref>{{cite journal|title=विशेष आपेक्षिकता में संतुलन पर एक प्रणाली पर टोक़ और कोणीय गति|author=S. Aranoff|journal=American Journal of Physics|volume=37|issue=4|pages=453–454|year=1969|url=https://www.researchgate.net/publication/237053370|doi=10.1119/1.1975612|bibcode=1969AmJPh..37..453A}} This author uses '''T''' for torque, here we use capital Gamma '''Γ''' since ''T'' is most often reserved for the [[stress–energy tensor]].</ref><ref>{{cite journal|title=विशेष सापेक्षता में संतुलन|author=S. Aranoff|journal=Nuovo Cimento|volume=10|issue=1|year=1972|url=http://www.analysis-knowledge.com/Physics/Equilibrium%20in%20Special%20Relativity.pdf|page=159|doi=10.1007/BF02911417|bibcode=1972NCimB..10..155A|s2cid=117291369|access-date=2013-10-13|archive-date=2012-03-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20120328060625/http://www.analysis-knowledge.com/Physics/Equilibrium%20in%20Special%20Relativity.pdf|url-status=dead}}</ref>
+एक बिंदु समान कण पर कार्य करने वाले आघूर्ण बल को उचित काल के संबंध में ऊपरोक्त कोणीय संवेग प्रदिश के व्युत्पादित के रूप में परिभाषित किया गया है:<ref>{{cite journal|title=विशेष आपेक्षिकता में संतुलन पर एक प्रणाली पर टोक़ और कोणीय गति|author=S. Aranoff|journal=American Journal of Physics|volume=37|issue=4|pages=453–454|year=1969|url=https://www.researchgate.net/publication/237053370|doi=10.1119/1.1975612|bibcode=1969AmJPh..37..453A}} This author uses '''T''' for torque, here we use capital Gamma '''Γ''' since ''T'' is most often reserved for the [[stress–energy tensor]].</ref><ref>{{cite journal|title=विशेष सापेक्षता में संतुलन|author=S. Aranoff|journal=Nuovo Cimento|volume=10|issue=1|year=1972|url=http://www.analysis-knowledge.com/Physics/Equilibrium%20in%20Special%20Relativity.pdf|page=159|doi=10.1007/BF02911417|bibcode=1972NCimB..10..155A|s2cid=117291369|access-date=2013-10-13|archive-date=2012-03-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20120328060625/http://www.analysis-knowledge.com/Physics/Equilibrium%20in%20Special%20Relativity.pdf|url-status=dead}}</ref>
 :<math>\boldsymbol{\Gamma} = \frac{d \mathbf{M}}{d\tau} = \mathbf{X}\wedge \mathbf{F}</math>
-या टेंसर घटकों में:
+या प्रदिश घटकों में:
 :<math>\Gamma_{\alpha\beta} = X_\alpha F_\beta - X_\beta F_\alpha </math>
-जहाँ F घटना X पर कण पर अभिनय करने वाला 4d बल है। कोणीय गति के साथ, टोक़ योगात्मक है, इसलिए एक विस्तारित वस्तु के लिए द्रव्यमान के वितरण पर योग या एकीकृत होता है।
+जहाँ F घटना X पर कण पर कार्य करने वाला 4डी बल है। जैसे कोणीय संवेग के साथ आघूर्ण बल योगात्मक है, इसलिए एक विस्तारित वस्तु के लिए द्रव्यमान के वितरण पर योग या समाकलित होता है।
 === गतिज ऊर्जा ===
-[[कार्य-ऊर्जा प्रमेय]] कहता है<ref>R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp 47–48</ref> [[गतिज ऊर्जा]] में परिवर्तन शरीर पर किए गए कार्य के बराबर होता है। विशेष सापेक्षता में:
+[[कार्य-ऊर्जा प्रमेय]] बताता है <ref>R.C.Tolman "Relativity Thermodynamics and Cosmology" pp 47–48</ref> [[गतिज ऊर्जा]] में परिवर्तन तत्व पर किए गए कार्य के समान होता है। विशिष्ट सापेक्षता में:
 :<math>\begin{align}
@@ Line 221: / Line 219: @@
 &= \gamma_1 m_0c^2 - \gamma_0 m_0c^2.\end{align}</math>
 |}
-यदि प्रारंभिक अवस्था में शरीर विरामावस्था में था, तो v<sub>0</sub>= 0 और γ<sub>0</sub>(में<sub>0</sub>) = 1, और अंतिम अवस्था में इसकी गति v है<sub>1</sub>= वी, सेटिंग γ<sub>1</sub>(में<sub>1</sub>) = γ(v), तब गतिज ऊर्जा है;
+यदि प्रारंभिक अवस्था में तत्व विराम पर था, तो ''v''<sub>0</sub> = 0 और γ<sub>0</sub>(''v''<sub>0</sub>) = 1, और अंतिम अवस्था में इसकी गति ''v''<sub>1</sub> = ''v'', समायोजन  γ<sub>1</sub>(''v''<sub>1</sub>) = γ(''v'') होती है, तब गतिज ऊर्जा है;
 :<math>K = [\gamma(v) - 1]m_0 c^2\,,</math>
-एक परिणाम जिसे शेष ऊर्जा m घटाकर सीधे प्राप्त किया जा सकता है<sub>0</sub>c<sup>2</sup> कुल आपेक्षिक ऊर्जा γ(v)m से<sub>0</sub>c<sup>2</उप>।
+एक परिणाम जिसे कुल आपेक्षिकीय ऊर्जा γ(''v'')''m''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup> से विराम ऊर्जा ''m''<sub>0</sub>''c''<sup>2</sup> घटाकर प्रत्यक्ष प्राप्त किया जा सकता है।
 === न्यूटोनियन सीमा ===
-लोरेंत्ज़ कारक γ(v) को (v/c) के लिए [[टेलर श्रृंखला]] या [[द्विपद श्रृंखला]] में विस्तारित किया जा सकता है<sup>2</sup> <1, प्राप्त करना:
+लोरेंत्ज़ कारक γ(v) को (''v''/''c'')<sup>2</sup> < 1 के लिए [[टेलर श्रृंखला]] या [[द्विपद श्रृंखला]] में विस्तारित किया जा सकता है, निम्न प्राप्त करने हेतु::
 :<math>\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{v}{c}\right)^{2n}\prod_{k=1}^n \left(\dfrac{2k - 1}{2k}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 + \dfrac{3}{8} \left(\dfrac{v}{c}\right)^4 + \dfrac{5}{16} \left(\dfrac{v}{c}\right)^6 + \cdots</math>
@@ Line 232: / Line 230: @@
 :<math>E - m_0 c^2 = \frac{1}{2} m_0 v^2 + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4}{c^2} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6}{c^4} + \cdots ;</math>
 :<math>\mathbf{p} = m_0 \mathbf{v} + \frac{1}{2} \frac{m_0 v^2 \mathbf{v}}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4 \mathbf{v}}{c^4} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6 \mathbf{v}}{c^6} + \cdots .</math>
-प्रकाश की तुलना में बहुत छोटे वेगों के लिए, c के साथ शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है<sup>2</sup> और हर में उच्चतर। ये सूत्र न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा और संवेग की मानक परिभाषाओं को कम करते हैं। यह वैसा ही है जैसा होना चाहिए, विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन यांत्रिकी के साथ कम वेग पर सहमत होना चाहिए।
+प्रकाश की गति से न्यूनतम गति के लिए ''c''<sup>2</sup> और उच्च भाजक वाले पदों की उपेक्षा की जा सकती है। ये सूत्र तब न्यूटनी गतिज ऊर्जा और संवेग की मानक परिभाषाओं में संक्षिप्त करते हैं। यह वैसा ही है जैसा होना चाहिए, विशिष्ट सापेक्षता के लिए निम्न वेग पर न्यूटनी यांत्रिकी के साथ सहमत होना चाहिए।
 == यह भी देखें ==
 {{cols}}
-* [[विशेष सापेक्षता का परिचय]]
+* [[विशिष्ट आपेक्षिकता का परिचय]]
 * [[जुड़वां विरोधाभास]]
-*सापेक्ष समीकरण
+*आपेक्षिकीय समीकरण
-* आपेक्षिक ऊष्मा चालन
+* आपेक्षिकीय ऊष्मा चालन
-* [[शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता]]
+* [[ चिरसम्मत विद्युत चुंबकत्व और विशिष्ट आपेक्षिकता]]
-*[[सापेक्षतावादी प्रणाली (गणित)]]
+*[[आपेक्षिकीय प्रणाली (गणित)]]
-*सापेक्ष लैग्रेंजियन यांत्रिकी
+*आपेक्षिकीय लग्रांजी यांत्रिकी
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 {{Branches of physics}}
-[[Category: सापेक्षता के सिद्धांत]]
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आपेक्षिकीय यांत्रिकी: Difference between revisions

Latest revision as of 15:05, 5 September 2023

आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी

आपेक्षिकीय गतिकी

विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान

आपेक्षिकीय ऊर्जा और संवेग

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता

प्रणालियों का द्रव्यमान और निश्चर द्रव्यमान का संरक्षण

संवृत (पृथक) प्रणाली

रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ

संवेग विन्यास का केंद्र

कोणीय संवेग

बल

आघूर्ण बल (टॉर्क)

गतिज ऊर्जा

न्यूटोनियन सीमा

यह भी देखें

संदर्भ

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