कोण त्रिखंड: Difference between revisions

Latest revision as of 11:30, 12 August 2023

एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास से परे उपकरणों का उपयोग करके कोणों को न्यूसिस निर्माण के माध्यम से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण किसी भी कोण का त्रिखंड दिखाता है

θ>.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}3π/4

वृत्त की त्रिज्या के समान लंबाई वाले रूलर द्वारा, त्रिविभाजित कोण देते हुए

φ= θ / 3

.

कोण ट्राइसेक्शन प्राचीन ग्रीक गणित के स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण की एक मौलिक समस्या है। यह केवल दो उपकरणों का उपयोग करके दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण के निर्माण से संबंधित है: एक अचिह्नित सीधा किनारा और एक कम्पास है।

1837 में, पियरे वांटज़ेल ने सिद्ध किया कि समस्या, जैसा कि कहा गया है, इच्छानुसार कोणों के लिए हल करने की असंभवता का प्रमाण है। चूँकि कुछ विशेष कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, एक समकोण को त्रिविभाजित करना (अर्थात 30 डिग्री का कोण बनाना) तुच्छ है।

स्ट्रेटएज और कम्पास के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करके एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करना संभव है। उदाहरण के लिए, न्यूसिस निर्माण जिसे प्राचीन यूनानियों के लिए भी जाना जाता है, में एक चिह्नित सीधे किनारे की एक साथ स्लाइडिंग और रोटेशन सम्मिलित है, जिसे मूल उपकरणों के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अन्य तकनीकें गणितज्ञों द्वारा सदियों से विकसित की गईं।

क्योंकि इसे सरल शब्दों में परिभाषित किया गया है, किंतु जटिल सिद्ध होने के कारण इसे हल नहीं किया जा सकता है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या भोले-भाले उत्साही लोगों द्वारा समाधान के लिए छद्म गणित के प्रयासों का निरन्तर विषय है। इन समाधानों में अधिकांशतः नियमों की ग़लत व्याख्याएँ सम्मिलित होती हैं, या ये बिल्कुल ग़लत होते हैं।^[1]

पृष्ठभूमि और समस्या कथन

File:Bisection construction.gif

इच्छानुसार कोणों के द्विभाजन का समाधान लंबे समय से किया जा रहा है।

केवल एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास का उपयोग करके ग्रीक गणित ने एक रेखा (गणित) को समान खंडों के एक इच्छानुसार सेट में विभाजित करने, समानांतर (ज्यामिति) रेखाएं खींचने, द्विभाजन या कोण समद्विभाजक बनाने, कई बहुभुज बनाने और निर्माण करने का साधन खोज लिया। किसी दिए गए बहुभुज के समान या दोगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग बनाने का साधन खोज लिया।

तीन समस्याएं मायावी सिद्ध हुईं, विशेष रूप से कोण को त्रिविभाजित करना, घन को दोगुना करना और वृत्त का वर्ग करना। कोण त्रिखंड की समस्या पढ़ती है:

केवल दो उपकरणों का उपयोग करके, किसी दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण बनाएं (या इसे तीन समान कोणों में विभाजित करें):

एक अचिह्नित सीधा किनारा, और
कम्पास।

असंभवता का प्रमाण

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बाएं

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बाएं

पियरे वांटज़ेल ने 1837 में एक इच्छानुसार कोण को मौलिक रूप से त्रिविभाजित करने की असंभवता का प्रमाण प्रकाशित किया।^[2] वांटज़ेल का प्रमाण जिसे आधुनिक शब्दावली में दोहराया गया है, फ़ील्ड विस्तार की अवधारणा का उपयोग करता है, एक विषय जिसे अब सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत के साथ जोड़ा जाता है। चूँकि वांटज़ेल ने इन परिणामों को एवरिस्ट गैलोइस (जिसका काम, 1830 में लिखा गया था, केवल 1846 में प्रकाशित हुआ था) से पहले प्रकाशित किया था और गैलोइस द्वारा प्रस्तुत की गई अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया था।^[3]

किसी दिए गए माप $θ$ का कोण बनाने की समस्या दो खंडों के निर्माण के समान है जैसे कि उनकी लंबाई का अनुपात $cos θ$ है। इन दो समस्याओं में से एक के समाधान से, एक कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण द्वारा दूसरे के समाधान तक पहुंचा जा सकता है। त्रिकोण सूत्र मूल कोण की कोज्या और उसके त्रिखंड से संबंधित एक अभिव्यक्ति देता है: $cos θ$ = $4 cos 3 θ / 3 - 3 cos θ / 3$ .

इसका तात्पर्य यह है कि, एक खंड दिया गया है जिसे इकाई लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या एक खंड के निर्माण के समान है जिसकी लंबाई एक घन बहुपद की जड़ है। यह समतुल्यता मूल ज्यामितीय समस्या को पूर्णतः बीजगणितीय समस्या में बदल देती है।

प्रत्येक परिमेय संख्या रचनात्मक होती है। प्रत्येक अपरिमेय संख्या जो कुछ दी गई संख्याओं से एक ही चरण में रचनात्मक संख्या होती है, इन संख्याओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ घात 2 के बहुपद की जड़ होती है। इसलिए, कोई भी संख्या जो चरणों के अनुक्रम द्वारा बनाई जा सकती है, एक न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) का मूल है जिसकी डिग्री दो की घात है। कोना $π / 3$ कांति (60 डिग्री (कोण)s, लिखा 60°) समबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए तर्क से पता चलता है कि 20° का कोण बनाना असंभव है। इसका तात्पर्य यह है कि 60° के कोण को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है, और इस प्रकार एक इच्छानुसार कोण को भी त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $Q$ द्वारा निरूपित करें। यदि 60° को त्रिविभाजित किया जा सकता है, तो $Q$ पर $cos 20°$ के न्यूनतम बहुपद की घात दो की घात होगी। अब मान लीजिए x = $x = cos 20°$ °.ध्यान दें कि $cos 60°$ = $cos π / 3$ = $1 / 2$ . फिर त्रिकोण सूत्र द्वारा, $cos π / 3 = 4 x 3 - 3 x$ इसलिए $4 x 3 - 3 x = 1 / 2$ . इस प्रकार $8 x 3 - 6 x - 1 = 0$ . परिभाषित करना $p (t)$ बहुपद होना $p (t) = 8 t 3 - 6 t - 1$ .परिभाषित करें।

चूँकि $x = cos 20°$ °, $p (t)$ का मूल है, इसलिए $cos 20°$ के लिए न्यूनतम बहुपद $p (t)$ का एक गुणनखंड है। क्योंकि $p (t)$ की डिग्री 3 है, यदि इसे $Q$ से कम किया जा सकता है तो इसका एक तर्कसंगत मूल है। तर्कसंगत मूल प्रमेय के अनुसार, यह मूल $\pm1, \pm 1 / 2, \pm 1 / 4$ या $\pm 1 / 8$ , होना चाहिए, किंतु इनमें से कोई भी मूल नहीं है। इसलिए, $p (t)$ $Q$ से अधिक अपरिवर्तनीय है, और $cos 20°$ के लिए न्यूनतम बहुपद घात $3$ का है।

तो माप का एक कोण $60°$ को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता.

वे कोण जिन्हें त्रिविभाजित किया जा सकता है

हालाँकि, कुछ कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी रचनात्मक कोण $θ$ के लिए, माप $3 θ$ के कोण को दिए गए कोण को अनदेखा करके और सीधे माप $θ$ के कोण का निर्माण करके तुच्छ रूप से त्रिविभाजित किया जा सकता है। ऐसे कोण हैं जो निर्माण योग्य नहीं हैं किंतु त्रिविभाज्य हैं (एक तिहाई कोण स्वयं गैर-निर्माण योग्य होने के बावजूद)। उदाहरण के लिए, $3 π / 7$ एक ऐसा कोण है: माप $3 π / 7$ के पांच कोण मिलकर $15 π / 7$ का एक कोण बनाते हैं जो एक पूर्ण वृत्त और वांछित $π / 7$ है।

एक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए, माप का कोण $2 π / N$ त्रिविभाज्य होता है यदि और केवल यदि $3$ $N$ को विभाजित नहीं करता है। ^[4]^[5] इसके विपरीत, $2 π / N$ तभी रचनात्मक होता है जब $N$ , $2$ की घात हो या एक या अधिक विशिष्ट फ़र्मेट अभाज्यों के गुणनफल के साथ $2$ की घात का गुणनफल हो।

बीजगणितीय लक्षण वर्णन

पुनः, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को $Q$ से निरूपित करें।

प्रमेय: माप $θ$ के कोण को त्रिविभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि $q (t) = 4 t 3 - 3 t - cos(θ)$ क्षेत्र विस्तार $Q (cos(θ))$ पर कम करने योग्य है।

गणितीय प्रमाण ऊपर दिए गए प्रमाण का अपेक्षाकृत सीधा सामान्यीकरण है $60°$ कोण त्रिविभाज्य नहीं है.^[6]

भागों की अन्य संख्या

किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक एन के लिए, माप 2π⁄N रेडियन के कोण को स्ट्रेटएज और कंपास के साथ $n$ समान भागों में विभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि $n$ या तो 2 की शक्ति है या $2$ की शक्ति एक या अधिक के उत्पाद से गुणा है विशिष्ट फ़र्मेट प्राइम, जिनमें से कोई भी $N$ को विभाजित नहीं करता है। ट्राइसेक्शन ( $n = 3$ , जो कि फ़र्मेट प्राइम है) के स्थिती में, यह स्थिति उपर्युक्त आवश्यकता बन जाती है कि $N$ 3 से विभाज्य नहीं है। ^[5]

अन्य विधियाँ

कोण ट्राइसेक्शन की सामान्य समस्या को अतिरिक्त उपकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और इस प्रकार यह कम्पास और स्ट्रेटएज के मूल ग्रीक रूपरेखा के बाहर जा सकता है।

सामान्य कोण को त्रिविभाजित करने की कई गलत विधियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें से कुछ विधियाँ उचित अनुमान प्रदान करती हैं; अन्य (जिनमें से कुछ का उल्लेख नीचे किया गया है) में ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं जिनकी मौलिक समस्या में अनुमति नहीं है। गणितज्ञ अंडरवुड डुडले ने अपनी पुस्तक द ट्राइसेक्टर्स में इनमें से कुछ असफल प्रयासों का विवरण दिया है।^[1]

क्रमिक द्विभाजन द्वारा सन्निकटन

किसी कोण को समद्विभाजित करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटएज विधि की पुनरावृत्ति द्वारा ट्राइसेक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है। ज्यामितीय श्रृंखला 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ या 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ को द्विभाजन के आधार के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्पष्टता की किसी भी डिग्री का अनुमान चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है।^[7]

ओरिगामी का उपयोग करना

ट्राइसेक्शन, रूलर और कम्पास द्वारा असंभव कई निर्माणों की तरह, पेपर फोल्डिंग, या ओरिगामी के संचालन द्वारा आसानी से पूरा किया जा सकता है। हुजिता के अभिगृहीत (फोल्डिंग ऑपरेशंस के प्रकार) दी गई लंबाई के घन एक्सटेंशन (घन जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं, जबकि शासक और कम्पास केवल द्विघात एक्सटेंशन (वर्ग जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं।

लिंकेज का उपयोग करना

File:Sylvester's Link Fan.svg

सिल्वेस्टर का लिंक फैन

ऐसे कई सरल लिंकेज (मैकेनिकल) हैं जिनका उपयोग केम्पे के ट्राइसेक्टर और सिल्वेस्टर के लिंक फैन या आइसोक्लिनोस्टैट सहित कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए एक उपकरण बनाने के लिए किया जा सकता है।^[8]

एक समकोण त्रिभुजाकार शासक के साथ

File:01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.svg

एक दाहिने त्रिकोणीय शासक (लाल रंग में) के माध्यम से एक देवदूत का बीबरबैक त्रिखंड (नीले रंग में)

1932 में, लुडविग बीबरबैक ने क्रेल्स जर्नल या जर्नल फॉर प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स में अपना काम ऑन द टीचिंग ऑफ क्यूबिक कंस्ट्रक्शन प्रकाशित किया।^[9] वह उसमें कहता है (मुफ़्त अनुवाद):

जैसा कि ज्ञात है... प्रत्येक घन निर्माण का पता कोण के त्रिखंड और घन के गुणन, अथार्त तीसरे मूल के निष्कर्षण से लगाया जा सकता है। मुझे केवल यह दिखाना है कि इन दो मौलिक कार्यों को समकोण हुक के माध्यम से कैसे हल किया जा सकता है।

निर्माण की प्रारंभिक त्रिविभाजित होने वाले कोण के शीर्ष P से होकर गुजरने वाले एक वृत्त को खींचने से होती है, जो इस कोण के एक किनारे पर A पर केंद्रित होता है, और किनारे के साथ इसका दूसरा प्रतिच्छेद B होता है। P पर केन्द्रित और समान त्रिज्या का एक वृत्त किनारे को सहारा देने वाली रेखा को A और O में काटता है।

अब दाएं त्रिकोणीय शासक को निम्नलिखित विधि से ड्राइंग पर रखा गया है: इसके समकोण का एक पैर $O$ से होकर गुजरता है; इसके समकोण का शीर्ष रेखा $PC$ पर एक बिंदु $S$ पर इस प्रकार रखा गया है कि रूलर का दूसरा पैर $A$ पर केन्द्रित वृत्त पर $E$ पर स्पर्शरेखा है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल कोण को रेखा $PE$ द्वारा त्रिविभाजित किया गया है। , और रेखा $PD$ , $SE$ पर लंबवत है और $P$ से होकर गुजरती है। इस रेखा को या तो फिर से सही त्रिकोणीय शासक का उपयोग करके, या पारंपरिक स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण का उपयोग करके खींचा जा सकता है। समान निर्माण के साथ, कोई $E$ के स्थान में सुधार कर सकता है, इसका उपयोग करके यह लाइन $SE$ का प्रारंभिक प्रतिच्छेदहै और $A$ से गुजरने वाला इसका लंबवत है।

प्रमाण: किसी को कोण समानता सिद्ध करनी होगी ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}}$ और ${\widehat {BPE}}={\widehat {EPD}}.$ तीन रेखाएं $OS$ , $PD$ और एई समानांतर हैं। चूंकि रेखा खंड $OP$ और $PA$ समान हैं, ये तीन समानांतर रेखाएं हर दूसरी छेदक रेखा पर और विशेष रूप से उनके सामान्य लंबवत एसई पर दो समान खंडों का परिसीमन करती हैं। इस प्रकार SD' = D'E, जहां D' रेखा PD और SE का प्रतिच्छेदन है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण त्रिभुज PD'S और PD'E सर्वांगसम हैं, और इस प्रकार यह ${\widehat {EPD}}={\widehat {DPS}},$ पहली वांछित समानता है। दूसरी ओर, त्रिभुज $PAE$ समद्विबाहु है, क्योंकि एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान हैं; इसका तात्पर्य यह है कि ${\widehat {APE}}={\widehat {AEP}}.$ एक के पास भी ${\widehat {AEP}}={\widehat {EPD}},$ है क्योंकि ये दोनों कोण दो समानांतर रेखाओं के एक तिर्यक रेखा के वैकल्पिक कोण हैं। यह दूसरी वांछित समानता और इस प्रकार निर्माण की शुद्धता को सिद्ध करता है।

एक सहायक वक्र के साथ

Archimedean spiral trisection.svg

आर्किमिडीयन सर्पिल का उपयोग करते हुए ट्राइसेक्शन
01-Angel Trisection.svg

मैकलॉरिन ट्राइसेक्ट्रिक्स का उपयोग करके ट्राइसेक्शन

ट्राइसेक्ट्रिक्स नामक कुछ वक्र होते हैं, जिन्हें यदि अन्य विधियों का उपयोग करके समतल पर खींचा जाता है, तो इच्छानुसार कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।^[10] उदाहरणों में मैकलॉरिन का ट्राइसेक्ट्रिक्स सम्मिलित है, जो निहित वक्र द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया गया है

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),

और आर्किमिडीयन सर्पिल. वास्तव में, सर्पिल का उपयोग किसी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। आर्किमिडीज़ ने लगभग 225 ईसा पूर्व ऑन स्पाइरल्स में आर्किमिडीज़ सर्पिल का उपयोग करके एक कोण को त्रिविभाजित करने का वर्णन किया था।

चिह्नित रूलर के साथ

File:Trisecting angles three.svg

चिह्नित रूलर का उपयोग करके कोण का त्रिखंड

ग्रीक रूपरेखा के बाहर एक छोटे कदम से एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करने का एक अन्य साधन एक शासक के माध्यम से एक निर्धारित दूरी पर दो निशान हैं। अगला निर्माण मूल रूप से आर्किमिडीज के कारण है, जिसे न्यूसिस निर्माण कहा जाता है, अथार्त , जो एक अचिह्नित सीधे किनारे के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करता है। हम जिन आरेखों का उपयोग करते हैं वे इस निर्माण को एक न्यून कोण के लिए दिखाते हैं, किंतु यह वास्तव में 180 डिग्री तक के किसी भी कोण के लिए काम करता है।

इसके लिए ज्यामिति से तीन तथ्यों की आवश्यकता है (दाईं ओर):

एक सीधी रेखा पर कोणों के किसी भी पूर्ण सेट को 180° में जोड़ें,
किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, और,
समद्विबाहु त्रिभुज की कोई भी दो समान भुजाएँ पॉन्स असिनोरम होंगी।

होने देना $l$ आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा बनें। कोण $a$ (बिंदु के बाएँ $B$ ) ट्राइसेक्शन का विषय है. सबसे पहले, एक बिंदु $A$ एक कोण की किरण (ज्यामिति) पर खींची जाती है, जो एक इकाई से अलग होती है $B$ . त्रिज्या का एक वृत्त $AB$ मुरझाया है। फिर, रूलर का चिन्हांकन कार्य में आता है: रूलर का एक चिन्ह पर रखा जाता है $A$ और दूसरे पर $B$ . रूलर (लेकिन निशान नहीं) को छूते हुए रखें $A$ , रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक निशान वृत्त पर और दूसरा रेखा पर न आ जाए $l$ . वृत्त पर निशान अंकित है $C$ और लाइन पर निशान लेबल किया गया है $D$ . यह यह सुनिश्चित करता है $CD = AB$ . एक त्रिज्या $BC$ यह स्पष्ट करने के लिए खींचा गया है कि रेखा खंड $AB$ , $BC$ , और $CD$ सभी की लंबाई समान है। अब, त्रिकोण $ABC$ और $BCD$ समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।

मान लीजिए कि आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा $l$ है। कोण a (बिंदु B के बाएँ) त्रिखंड का विषय है। सबसे पहले, कोण की किरण पर एक बिंदु A खींचा जाता है, जो B से एक इकाई अलग होता है। त्रिज्या AB का एक वृत्त खींचा जाता है। फिर, रूलर की मार्किंग काम में आती है: रूलर का एक चिन्ह A पर और दूसरा B पर रखा जाता है। रूलर को (किंतु चिन्ह नहीं) A को छूते हुए, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक चिन्ह चालू न हो जाए वृत्त और दूसरा रेखा l पर है। वृत्त पर निशान को C लेबल दिया गया है और रेखा पर निशान को D लेबल किया गया है। यह सुनिश्चित करता है कि CD = AB है। यह स्पष्ट करने के लिए कि रेखाखंड AB, BC और CD सभी की लंबाई समान है, एक त्रिज्या BC खींची गई है। अब, त्रिभुज ABC और BCD समद्विबाहु हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।

परिकल्पना: दिया गया $AD$ एक सीधी रेखा है, और $AB$ , $BC$ , और $CD$ सभी की लंबाई समान है,

तार्किक परिणाम: कोण $b = a / 3$ .

गणितीय प्रमाण:

उपरोक्त तथ्य 1) से, $e+c=180$ °.
त्रिकोण बीसीडी को देखते हुए, तथ्य 2 से) $e+2b=180$ °.
पिछले दो समीकरणों से, $c=2b$ .
तथ्य 2 से), $d+2c=180$ °, इस प्रकार $d=180$ ° $-2c$ , तो पिछले से, $d=180$ ° $-4b$ .
उपरोक्त तथ्य 1) से, $a+d+b=180$ °, इस प्रकार $a+(180$ ° $-4b)+b=180$ °.

समाशोधन, $a - 3 b = 0$ , या $a = 3 b$ , और प्रमेय Q.E.D. है.

फिर, यह निर्माण एक चिह्नित स्ट्रेटएज का उपयोग करके कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण के ग्रीक गणित से बाहर निकल गया था।

एक स्ट्रिंग के साथ

थॉमस हचिसन ने गणित शिक्षक में एक लेख प्रकाशित किया था^[11] जिसमें कम्पास और सीधे किनारे के अतिरिक्त एक स्ट्रिंग का उपयोग किया गया था। एक स्ट्रिंग का उपयोग सीधे किनारे (इसे खींचकर) या कम्पास (एक बिंदु को ठीक करके और दूसरे की पहचान करके) के रूप में किया जा सकता है, किंतु इसे सिलेंडर के चारों ओर भी लपेटा जा सकता है, जो हचिसन के समाधान की कुंजी है।

हचिसन ने कोण के पार एक चाप खींचकर, इसे एक वृत्त के रूप में पूरा करके और उस वृत्त से एक सिलेंडर का निर्माण किया, जिस पर एक, मान लीजिए, समबाहु त्रिभुज अंकित किया गया था (एक 360-डिग्री कोण जो तीन भागों में विभाजित है) फिर इसे समान त्रिभुजों के सरल प्रमाण के साथ, त्रिविभाजित किए जाने वाले कोण पर मैप किया गया।

एक टॉमहॉक के साथ

File:Tomahawk2.svg

एक टॉमहॉक एक कोण को त्रिविभाजित करता है। टॉमहॉक का निर्माण मोटी रेखाओं और छायांकित अर्धवृत्त द्वारा होता है।

टॉमहॉक (ज्यामिति) एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक अर्धवृत्त और दो ऑर्थोगोनल रेखा खंड होते हैं, जैसे कि छोटे खंड की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। ट्राइसेक्शन को टॉमहॉक के छोटे खंड के सिरे को एक किरण पर और वृत्त के किनारे को दूसरे पर झुकाकर निष्पादित किया जाता है, जिससे हैंडल (लंबा खंड) कोण के शीर्ष को पार कर जाए; त्रिखंड रेखा शीर्ष और अर्धवृत्त के केंद्र के बीच चलती है।

जबकि एक टॉमहॉक कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ बनाया जा सकता है, सामान्यतः किसी वांछित स्थिति में टॉमहॉक का निर्माण करना संभव नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त निर्माण केवल रूलर और कम्पास के साथ कोणों की गैर-त्रिकोणीयता का खंडन नहीं करता है।

चूँकि टॉमहॉक का उपयोग सेट स्क्वायर के रूप में किया जा सकता है, इसका उपयोग ट्राइसेक्शन कोणों के लिए भी वर्णित विधि द्वारा किया जा सकता है § With a right triangular ruler.

टॉमहॉक पेपर-फोल्डिंग विधि के समान ही ज्यामितीय प्रभाव उत्पन्न करता है: सर्कल केंद्र और छोटे खंड की नोक के बीच की दूरी त्रिज्या की दूरी से दोगुनी है, जो कोण से संपर्क करने की आश्वासन है। यह आर्किटेक्ट एल-रूलर (स्टील स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर) के उपयोग के समान भी है।

परस्पर जुड़े कम्पास के साथ

एक कोण को एक ऐसे उपकरण से विभाजित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से एक कंपास का चार-कोणीय संस्करण है, जिसमें आसन्न शूलों के बीच के तीन कोणों को समान रखने के लिए डिज़ाइन किए गए कांटों के बीच संबंध होते हैं।^[12]

कोण त्रिखंड का उपयोग

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परिवृत्त की त्रिज्या के साथ एक सप्तभुज के न्यूसिस निर्माण का एक एनीमेशन

{\overline {OA}}=6

, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन का उपयोग करते हुए, एंड्रयू एम. ग्लीसन पर आधारित^[13]^{: p. 186}

वास्तविक गुणांक वाले एक घन समीकरण को कम्पास, स्ट्रेटएज और एक कोण ट्राइसेक्टर के साथ ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसमें बहुपद की तीन वास्तविक संख्या जड़ें हों।^[13]^{: Thm. 1}

n भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज रूलर, कम्पास और कोण ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है यदि और केवल यदि $n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},$ जहां r, s, k ≥ 0 और जहां pi फॉर्म $2^{t}3^{u}+1$ के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं जहां r , s, k ≥ 0 और जहां पाई फॉर्म के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं।^[13]^{: Thm. 2}

यह भी देखें

द्विभाजन
रचनात्मक संख्या
निर्माण योग्य बहुभुज
यूक्लिडियन ज्यामिति
ज्यामिति का इतिहास
मॉर्ले का ट्राइसेक्टर प्रमेय
चतुर्भुज
ट्राइसेक्ट्रिक्स
ज्यामितीय क्रिप्टोग्राफी

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Dudley, Underwood (1994), The trisectors, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-514-0
↑ Wantzel, P M L (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1. 2: 366–372. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 3 March 2014.
↑ For the historical basis of Wantzel's proof in the earlier work of Ruffini and Abel, and its timing vis-a-vis Galois, see Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement, Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.
↑ MacHale, Desmond. "Constructing integer angles", Mathematical Gazette 66, June 1982, 144–145.
↑ ^5.0 ^5.1 McLean, K. Robin (July 2008). "रूलर और परकार से कोणों को त्रिविभाजित करना". Mathematical Gazette. 92: 320–323. doi:10.1017/S0025557200183317. S2CID 126351853. See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.
↑ Stewart, Ian (1989). "गैलोइस सिद्धांत". Chapman and Hall Mathematics. pp. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.
↑ Jim Loy (2003) [1997]. "एक कोण का त्रिखंड". Archived from the original on February 25, 2012. Retrieved 30 March 2012.
↑ Yates, Robert C (1942). ट्राइसेक्शन समस्या (PDF). The National Council of Teachers of Mathematics. pp. 39–42. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
↑ Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 online-copie (GDZ). Retrieved on June 2, 2017.
↑ Jim Loy "Trisection of an Angle". Archived from the original on November 4, 2013. Retrieved 2013-11-04.
↑ Hutcheson, Thomas W. (May 2001). "किसी भी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करना". Mathematics Teacher. 94 (5): 400–405. doi:10.5951/MT.94.5.0400.
↑ Isaac, Rufus, "Two mathematical papers without words", Mathematics Magazine 48, 1975, p. 198. Reprinted in Mathematics Magazine 78, April 2005, p. 111.
↑ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "कोण त्रिखंड, सप्तकोण, और त्रिस्काइडेकागोन" (PDF). The American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Archived from the original (PDF) on November 5, 2014.

अग्रिम पठन

Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: an elementary approach to ideas and methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3.

बाहरी संबंध

त्रिखंडन के अन्य साधन

[[Commons:File:01-Trisection of angle E-10 Animation.gif| एक एनीमेशन के रूप में अनुमानित कोण त्रिखंड, अधिकतम। कोण की त्रुटि ≈ ±4E-8°
limacon.webs.com/ के माध्यम से ट्राइसेक्टिंग (/trisect_limacon/ संग्रहीत 2009-10-25) ब्लेस पास्कल का लिमाकॉन; ट्राइसेक्ट्रिक्स भी देखें
ट्राइसेक्टिंग वाया एक आर्किमिडीयन सर्पिल
ट्राइसेक्टिंग थ्रू निकोमेडिस (गणितज्ञ) का कोनकॉइड (गणित)
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हाइपरबोलिक ट्राइसेक्शन और नियमित बहुभुजों का स्पेक्ट्रम

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[trisectors-1] 1.0 ^1.1 Dudley, Underwood (1994), The trisectors, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-514-0

[2] Wantzel, P M L (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1. 2: 366–372. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved 3 March 2014.

[3] For the historical basis of Wantzel's proof in the earlier work of Ruffini and Abel, and its timing vis-a-vis Galois, see Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement, Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.

[4] MacHale, Desmond. "Constructing integer angles", Mathematical Gazette 66, June 1982, 144–145.

[McLean-5] 5.0 ^5.1 McLean, K. Robin (July 2008). "रूलर और परकार से कोणों को त्रिविभाजित करना". Mathematical Gazette. 92: 320–323. doi:10.1017/S0025557200183317. S2CID 126351853. See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.

[Stewart-6] Stewart, Ian (1989). "गैलोइस सिद्धांत". Chapman and Hall Mathematics. pp. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.

[7] Jim Loy (2003) [1997]. "एक कोण का त्रिखंड". Archived from the original on February 25, 2012. Retrieved 30 March 2012.

[8] Yates, Robert C (1942). ट्राइसेक्शन समस्या (PDF). The National Council of Teachers of Mathematics. pp. 39–42. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[Ludwig_Bieberbach-9] Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 online-copie (GDZ). Retrieved on June 2, 2017.

[10] Jim Loy "Trisection of an Angle". Archived from the original on November 4, 2013. Retrieved 2013-11-04.

[11] Hutcheson, Thomas W. (May 2001). "किसी भी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करना". Mathematics Teacher. 94 (5): 400–405. doi:10.5951/MT.94.5.0400.

[12] Isaac, Rufus, "Two mathematical papers without words", Mathematics Magazine 48, 1975, p. 198. Reprinted in Mathematics Magazine 78, April 2005, p. 111.

[Gleason-13] 13.0 ^13.1 ^13.2 Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "कोण त्रिखंड, सप्तकोण, और त्रिस्काइडेकागोन" (PDF). The American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624. JSTOR 2323624. Archived from the original (PDF) on November 5, 2014.

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 {{Short description|Construction of an angle equal to one third a given angle}}
-[[Image:Neusis-trisection.svg|thumb|right|एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास से परे उपकरणों का उपयोग करके कोणों को [[न्यूसिस निर्माण]] के माध्यम से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण किसी भी कोण का त्रिखंड दिखाता है {{math|θ>{{sfrac|3π|4}}}} वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले रूलर द्वारा, त्रिविभाजित कोण देते हुए {{math|φ{{=}}{{sfrac|θ|3}}}}.]][[कोण]] ट्राइसेक्शन प्राचीन ग्रीक गणित के [[सीधे बढ़त]] और कम्पास निर्माण की एक शास्त्रीय समस्या है। यह केवल दो उपकरणों का उपयोग करके दिए गए मनमाने कोण के एक तिहाई के बराबर कोण के निर्माण से संबंधित है: एक अचिह्नित सीधा किनारा और एक [[कम्पास (ड्राइंग टूल)]]।
+[[Image:Neusis-trisection.svg|thumb|right|एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास से परे उपकरणों का उपयोग करके कोणों को [[न्यूसिस निर्माण]] के माध्यम से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण किसी भी कोण का त्रिखंड दिखाता है {{math|θ>{{sfrac|3π|4}}}} वृत्त की त्रिज्या के समान लंबाई वाले रूलर द्वारा, त्रिविभाजित कोण देते हुए {{math|φ{{=}}{{sfrac|θ|3}}}}.]]
-में, [[पियरे वांटज़ेल]] ने साबित किया कि समस्या, जैसा कि कहा गया है, मनमाने कोणों के लिए हल करने की [[असंभवता का प्रमाण]] है। हालाँकि, कुछ विशेष कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, एक [[समकोण]] को त्रिविभाजित करना (अर्थात 30 डिग्री का कोण बनाना) तुच्छ है।
-स्ट्रेटएज और कम्पास के अलावा अन्य उपकरणों का उपयोग करके एक मनमाने कोण को त्रिविभाजित करना संभव है। उदाहरण के लिए, न्यूसिस निर्माण, जिसे प्राचीन यूनानियों के लिए भी जाना जाता है, में एक चिह्नित सीधे किनारे की एक साथ स्लाइडिंग और रोटेशन शामिल है, जिसे मूल उपकरणों के साथ हासिल नहीं किया जा सकता है। अन्य तकनीकें गणितज्ञों द्वारा सदियों से विकसित की गईं।
-क्योंकि इसे सरल शब्दों में परिभाषित किया गया है, लेकिन जटिल साबित होने के कारण इसे हल नहीं किया जा सकता है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या भोले-भाले उत्साही लोगों द्वारा समाधान के लिए छद्म गणित के प्रयासों का लगातार विषय है। इन समाधानों में अक्सर नियमों की ग़लत व्याख्याएँ शामिल होती हैं, या ये बिल्कुल ग़लत होते हैं।<ref name="trisectors"/>
+कोण ट्राइसेक्शन प्राचीन ग्रीक गणित के स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण की एक मौलिक  समस्या है। यह केवल दो उपकरणों का उपयोग करके दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण के निर्माण से संबंधित है: एक अचिह्नित सीधा किनारा और एक कम्पास है।
+में, [[पियरे वांटज़ेल]] ने सिद्ध किया कि समस्या, जैसा कि कहा गया है, इच्छानुसार कोणों के लिए हल करने की [[असंभवता का प्रमाण]] है। चूँकि कुछ विशेष कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, एक [[समकोण]] को त्रिविभाजित करना (अर्थात 30 डिग्री का कोण बनाना) तुच्छ है।
+स्ट्रेटएज और कम्पास के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करके एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करना संभव है। उदाहरण के लिए, न्यूसिस निर्माण जिसे प्राचीन यूनानियों के लिए भी जाना जाता है, में एक चिह्नित सीधे किनारे की एक साथ स्लाइडिंग और रोटेशन सम्मिलित है, जिसे मूल उपकरणों के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अन्य तकनीकें गणितज्ञों द्वारा सदियों से विकसित की गईं।
+क्योंकि इसे सरल शब्दों में परिभाषित किया गया है, किंतु जटिल सिद्ध होने के कारण इसे हल नहीं किया जा सकता है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या भोले-भाले उत्साही लोगों द्वारा समाधान के लिए छद्म गणित के प्रयासों का निरन्तर विषय है। इन समाधानों में अधिकांशतः नियमों की ग़लत व्याख्याएँ सम्मिलित होती हैं, या ये बिल्कुल ग़लत होते हैं।<ref name="trisectors" />
 ==पृष्ठभूमि और समस्या कथन==
-[[Image:Bisection construction.gif|thumb|मनमाने कोणों के द्विभाजन का समाधान लंबे समय से किया जा रहा है।]]केवल एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास का उपयोग करके, ग्रीक गणित ने एक [[रेखा (गणित)]] को समान खंडों के एक मनमाने सेट में विभाजित करने, [[समानांतर (ज्यामिति)]] रेखाएं खींचने, द्विभाजन#कोण समद्विभाजक बनाने, कई [[बहुभुज]] बनाने और निर्माण करने का साधन ढूंढ लिया। किसी दिए गए बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर या दोगुने का [[वर्ग (ज्यामिति)]]।
+[[Image:Bisection construction.gif|thumb|इच्छानुसार कोणों के द्विभाजन का समाधान लंबे समय से किया जा रहा है।]]केवल एक अचिह्नित सीधे किनारे और एक कम्पास का उपयोग करके ग्रीक गणित ने एक [[रेखा (गणित)]] को समान खंडों के एक इच्छानुसार सेट में विभाजित करने, [[समानांतर (ज्यामिति)]] रेखाएं खींचने, द्विभाजन या कोण समद्विभाजक बनाने, कई [[बहुभुज]] बनाने और निर्माण करने का साधन खोज लिया। किसी दिए गए बहुभुज के समान या दोगुने क्षेत्रफल वाले वर्ग बनाने का साधन खोज लिया।
-तीन समस्याएं मायावी साबित हुईं, विशेष रूप से, कोण को त्रिविभाजित करना, [[घन को दोगुना करना]] और [[वृत्त का वर्ग करना]]। कोण त्रिखंड की समस्या पढ़ती है:
+तीन समस्याएं मायावी सिद्ध हुईं, विशेष रूप से कोण को त्रिविभाजित करना, [[घन को दोगुना करना]] और [[वृत्त का वर्ग करना]]। कोण त्रिखंड की समस्या पढ़ती है:
-केवल दो उपकरणों का उपयोग करके, किसी दिए गए मनमाने कोण के एक तिहाई के बराबर कोण बनाएं (या इसे तीन बराबर कोणों में विभाजित करें):
+केवल दो उपकरणों का उपयोग करके, किसी दिए गए इच्छानुसार कोण के एक तिहाई के समान कोण बनाएं (या इसे तीन समान कोणों में विभाजित करें):
 # एक अचिह्नित सीधा किनारा, और
 # कम्पास।
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 == असंभवता का प्रमाण ==
 [[File:Lineale.jpg|thumb|[[शासक]]ों. प्रदर्शित लोगों को चिह्नित किया गया है - एक आदर्श सीधा किनारा अचिह्नित है|बाएं]]
-[[File:Zirkel.jpg|thumb|कम्पास|बाएं]]पियरे वांटज़ेल ने 1837 में एक मनमाने कोण को शास्त्रीय रूप से त्रिविभाजित करने की असंभवता का प्रमाण प्रकाशित किया।<ref>{{cite journal|last=Wantzel|first=P M L|title=Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas.|journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|date=1837|volume=2|series=1|pages=366–372|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf#2 |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf#2 |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|access-date=3 March 2014}}</ref> वांटज़ेल का प्रमाण, जिसे आधुनिक शब्दावली में दोहराया गया है, [[फ़ील्ड विस्तार]] की अवधारणा का उपयोग करता है, एक विषय जिसे अब आम तौर पर गैलोज़ सिद्धांत के साथ जोड़ा जाता है। हालाँकि, वांटज़ेल ने इन परिणामों को एवरिस्ट गैलोइस (जिसका काम, 1830 में लिखा गया था, केवल 1846 में प्रकाशित हुआ था) से पहले प्रकाशित किया था और गैलोइस द्वारा पेश की गई अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया था।<ref>For the historical basis of Wantzel's proof in the earlier work of Ruffini and Abel, and its timing vis-a-vis Galois, see {{citation|title=History of Mathematics: A Supplement|first=Craig|last=Smorynski|publisher=Springer|year=2007|isbn= 9780387754802|page=130|url=https://books.google.com/books?id=_zliInaOM8UC&pg=PA130}}.</ref>
+[[File:Zirkel.jpg|thumb|कम्पास|बाएं]]पियरे वांटज़ेल ने 1837 में एक इच्छानुसार कोण को मौलिक रूप से त्रिविभाजित करने की असंभवता का प्रमाण प्रकाशित किया।<ref>{{cite journal|last=Wantzel|first=P M L|title=Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas.|journal=Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|date=1837|volume=2|series=1|pages=366–372|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf#2 |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA/PDF/JMPA_1837_1_2_A31_0.pdf#2 |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|access-date=3 March 2014}}</ref> वांटज़ेल का प्रमाण जिसे आधुनिक शब्दावली में दोहराया गया है, [[फ़ील्ड विस्तार]] की अवधारणा का उपयोग करता है, एक विषय जिसे अब सामान्यतः गैलोज़ सिद्धांत के साथ जोड़ा जाता है। चूँकि वांटज़ेल ने इन परिणामों को एवरिस्ट गैलोइस (जिसका काम, 1830 में लिखा गया था, केवल 1846 में प्रकाशित हुआ था) से पहले प्रकाशित किया था और गैलोइस द्वारा प्रस्तुत की गई अवधारणाओं का उपयोग नहीं किया था।<ref>For the historical basis of Wantzel's proof in the earlier work of Ruffini and Abel, and its timing vis-a-vis Galois, see {{citation|title=History of Mathematics: A Supplement|first=Craig|last=Smorynski|publisher=Springer|year=2007|isbn= 9780387754802|page=130|url=https://books.google.com/books?id=_zliInaOM8UC&pg=PA130}}.</ref>
-किसी दिए गए माप का कोण बनाने की समस्या {{math|''θ''}} दो खंडों के निर्माण के बराबर है जैसे कि उनकी लंबाई का अनुपात है {{math|cos&nbsp;''θ''}}. इन दो समस्याओं में से एक के समाधान से, एक कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण द्वारा दूसरे के समाधान तक पहुंचा जा सकता है। [[त्रिकोण सूत्र]] मूल कोण की कोज्या और उसके त्रिखंड से संबंधित एक अभिव्यक्ति देता है: {{math|cos&nbsp;''θ''}} = {{math|4 cos<sup>3</sup> {{sfrac|''θ''|3}} − 3 cos {{sfrac|''θ''|3}}}}.
+किसी दिए गए माप {{math|''θ''}} का कोण बनाने की समस्या दो खंडों के निर्माण के समान है जैसे कि उनकी लंबाई का अनुपात {{math|cos&nbsp;''θ''}} है। इन दो समस्याओं में से एक के समाधान से, एक कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण द्वारा दूसरे के समाधान तक पहुंचा जा सकता है। त्रिकोण सूत्र मूल कोण की कोज्या और उसके त्रिखंड से संबंधित एक अभिव्यक्ति देता है: {{math|cos&nbsp;''θ''}} = {{math|4 cos<sup>3</sup> {{sfrac|''θ''|3}} − 3 cos {{sfrac|''θ''|3}}}}.
-इसका तात्पर्य यह है कि, एक खंड दिया गया है जिसे इकाई लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या एक खंड के निर्माण के बराबर है जिसकी लंबाई एक घन [[बहुपद]] की जड़ है। यह समतुल्यता मूल ज्यामितीय समस्या को पूर्णतः बीजगणितीय समस्या में बदल देती है।
+इसका तात्पर्य यह है कि, एक खंड दिया गया है जिसे इकाई लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, कोण ट्राइसेक्शन की समस्या एक खंड के निर्माण के समान है जिसकी लंबाई एक घन [[बहुपद]] की जड़ है। यह समतुल्यता मूल ज्यामितीय समस्या को पूर्णतः बीजगणितीय समस्या में बदल देती है।
-प्रत्येक परिमेय संख्या रचनात्मक होती है। प्रत्येक [[अपरिमेय संख्या]] जो कुछ दी गई संख्याओं से एक ही चरण में रचनात्मक संख्या होती है, इन संख्याओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ घात 2 के बहुपद की जड़ होती है। इसलिए, कोई भी संख्या जो चरणों के अनुक्रम द्वारा बनाई जा सकती है, एक [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] का मूल है जिसकी डिग्री दो की घात है। कोना {{math|{{sfrac|π|3}}}} [[ कांति ]] (60 [[डिग्री (कोण)]]s, लिखा 60°) समबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए तर्क से पता चलता है कि 20° का कोण बनाना असंभव है। इसका तात्पर्य यह है कि 60° के कोण को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है, और इस प्रकार एक मनमाने कोण को भी त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है।
+प्रत्येक परिमेय संख्या रचनात्मक होती है। प्रत्येक [[अपरिमेय संख्या]] जो कुछ दी गई संख्याओं से एक ही चरण में रचनात्मक संख्या होती है, इन संख्याओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ घात 2 के बहुपद की जड़ होती है। इसलिए, कोई भी संख्या जो चरणों के अनुक्रम द्वारा बनाई जा सकती है, एक [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] का मूल है जिसकी डिग्री दो की घात है। कोना {{math|{{sfrac|π|3}}}} [[ कांति |कांति]] (60 [[डिग्री (कोण)]]s, लिखा 60°) समबाहु त्रिभुज है। नीचे दिए गए तर्क से पता चलता है कि 20° का कोण बनाना असंभव है। इसका तात्पर्य यह है कि 60° के कोण को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है, और इस प्रकार एक इच्छानुसार कोण को भी त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता है।
-परिमेय संख्याओं के समुच्चय को इससे निरूपित करें {{math|'''Q'''}}. यदि 60° को त्रिविभाजित किया जा सकता है, तो न्यूनतम बहुपद की डिग्री {{math|cos 20°}} ऊपर {{math|'''Q'''}} दो की शक्ति होगी. अब चलो {{math|''x'' {{=}} cos 20°}}. ध्यान दें कि {{math|cos 60°}} = {{math|cos {{sfrac|π|3}}}} = {{math|{{sfrac|1|2}}}}. फिर त्रिकोण सूत्र द्वारा, {{math|cos {{sfrac|π|3}} {{=}} 4''x''<sup>3</sup> − 3''x''}} इसलिए {{math|4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}. इस प्रकार {{math|8''x''<sup>3</sup> − 6''x'' − 1 {{=}} 0}}. परिभाषित करना {{math|''p''(''t'')}} बहुपद होना {{math|''p''(''t'') {{=}} 8''t''<sup>3</sup> − 6''t'' − 1}}.
+परिमेय संख्याओं के समुच्चय को {{math|'''Q'''}} द्वारा निरूपित करें। यदि 60° को त्रिविभाजित किया जा सकता है, तो {{math|'''Q'''}} पर {{math|cos 20°}} के न्यूनतम बहुपद की घात दो की घात होगी। अब मान लीजिए x = {{math|''x'' {{=}} cos 20°}}°.ध्यान दें कि {{math|cos 60°}} = {{math|cos {{sfrac|π|3}}}} = {{math|{{sfrac|1|2}}}}. फिर त्रिकोण सूत्र द्वारा, {{math|cos {{sfrac|π|3}} {{=}} 4''x''<sup>3</sup> − 3''x''}} इसलिए {{math|4''x''<sup>3</sup> − 3''x'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}. इस प्रकार {{math|8''x''<sup>3</sup> − 6''x'' − 1 {{=}} 0}}. परिभाषित करना {{math|''p''(''t'')}} बहुपद होना {{math|''p''(''t'') {{=}} 8''t''<sup>3</sup> − 6''t'' − 1}}.परिभाषित करें।
-तब से {{math|''x'' {{=}} cos 20°}} की जड़ है {{math|''p''(''t'')}}, के लिए न्यूनतम बहुपद {{math|cos 20°}} का एक कारक है {{math|''p''(''t'')}}. क्योंकि {{math|''p''(''t'')}} की डिग्री 3 है, यदि इसे इससे कम किया जा सकता है {{math|'''Q'''}} तो इसकी एक [[तर्कसंगत जड़]] है। तर्कसंगत मूल प्रमेय के अनुसार, यह मूल अवश्य होना चाहिए {{math|±1, ±{{sfrac|1|2}}, ±{{sfrac|1|4}}}} या {{math|±{{sfrac|1|8}}}}, लेकिन इनमें से कोई भी जड़ नहीं है। इसलिए, {{math|''p''(''t'')}} द्वारा अप्रासंगिक बहुपद है {{math|'''Q'''}}, और के लिए न्यूनतम बहुपद {{math|cos 20°}}डिग्री का है{{math|3}}.
+चूँकि {{math|''x'' {{=}} cos 20°}}°, {{math|''p''(''t'')}} का मूल है, इसलिए {{math|cos 20°}} के लिए न्यूनतम बहुपद {{math|''p''(''t'')}} का एक गुणनखंड है। क्योंकि {{math|''p''(''t'')}} की डिग्री 3 है, यदि इसे {{math|'''Q'''}} से कम किया जा सकता है तो इसका एक तर्कसंगत मूल है। तर्कसंगत मूल प्रमेय के अनुसार, यह मूल {{math|±1, ±{{sfrac|1|2}}, ±{{sfrac|1|4}}}} या {{math|±{{sfrac|1|8}}}}, होना चाहिए, किंतु इनमें से कोई भी मूल नहीं है। इसलिए, {{math|''p''(''t'')}} {{math|'''Q'''}} से अधिक अपरिवर्तनीय है, और {{math|cos 20°}} के लिए न्यूनतम बहुपद घात {{math|3}} का है।
 तो माप का एक कोण {{math|60°}} को त्रिविभाजित नहीं किया जा सकता.
 == वे कोण जिन्हें त्रिविभाजित किया जा सकता है ==
-हालाँकि, कुछ कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी रचनात्मक संख्या कोण के लिए {{math|''θ''}}, माप का एक कोण {{math|3''θ''}} दिए गए कोण को अनदेखा करके और सीधे माप के कोण का निर्माण करके तुच्छ रूप से त्रिविभाजित किया जा सकता है {{math|''θ''}}. ऐसे कोण हैं जो निर्माण योग्य नहीं हैं लेकिन त्रिविभाज्य हैं (एक तिहाई कोण स्वयं गैर-निर्माण योग्य होने के बावजूद)। उदाहरण के लिए, {{math|{{sfrac|3{{pi}}|7}}}} एक ऐसा कोण है: माप के पाँच कोण {{math|{{sfrac|3{{pi}}|7}}}}माप का कोण बनाने के लिए संयोजित करें {{math|{{sfrac|15{{pi}}|7}}}}, जो एक पूर्ण चक्र और वांछित है {{math|{{sfrac|{{pi}}|7}}}}.
+हालाँकि, कुछ कोणों को त्रिविभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी भी रचनात्मक कोण {{math|''θ''}} के लिए, माप {{math|3''θ''}} के कोण को दिए गए कोण को अनदेखा करके और सीधे माप {{math|''θ''}} के कोण का निर्माण करके तुच्छ रूप से त्रिविभाजित किया जा सकता है। ऐसे कोण हैं जो निर्माण योग्य नहीं हैं किंतु त्रिविभाज्य हैं (एक तिहाई कोण स्वयं गैर-निर्माण योग्य होने के बावजूद)। उदाहरण के लिए, {{math|{{sfrac|3{{pi}}|7}}}} एक ऐसा कोण है: माप {{math|{{sfrac|3{{pi}}|7}}}} के पांच कोण मिलकर {{math|{{sfrac|15{{pi}}|7}}}} का एक कोण बनाते हैं जो एक पूर्ण वृत्त और वांछित {{math|{{sfrac|{{pi}}|7}}}} है।
-एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] के लिए {{mvar|N}}, माप का एक कोण {{math|{{sfrac|2{{pi}}|''N''}}}} त्रिविभाज्य है यदि और केवल यदि {{math|3}} विभाजित नहीं होता {{mvar|N}}.<ref>MacHale, Desmond. "Constructing integer angles", ''Mathematical Gazette'' 66, June 1982, 144–145.</ref><ref name=McLean>{{cite journal |author=McLean, K. Robin |title=रूलर और परकार से कोणों को त्रिविभाजित करना|journal=Mathematical Gazette |volume=92 |date=July 2008 |pages=320–323 |doi=10.1017/S0025557200183317 |s2cid=126351853 |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/9252-trisecting-angles-with-ruler-and-compasses/FD6933F81AC55AF2225AF75568E2103E |quote=See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.}}</ref> इसके विपरीत, {{math|{{sfrac|2{{pi}}|''N''}}}} रचनात्मक है यदि और केवल यदि {{mvar|N}} की एक शक्ति है {{math|2}} या की शक्ति का उत्पाद {{math|2}} एक या अधिक विशिष्ट [[फ़र्मेट प्राइम]] के उत्पाद के साथ।
+एक धनात्मक पूर्णांक {{mvar|N}} के लिए, माप का कोण {{math|{{sfrac|2{{pi}}|''N''}}}} त्रिविभाज्य होता है यदि और केवल यदि {{math|3}} {{mvar|N}} को विभाजित नहीं करता है। <ref>MacHale, Desmond. "Constructing integer angles", ''Mathematical Gazette'' 66, June 1982, 144–145.</ref><ref name="McLean">{{cite journal |author=McLean, K. Robin |title=रूलर और परकार से कोणों को त्रिविभाजित करना|journal=Mathematical Gazette |volume=92 |date=July 2008 |pages=320–323 |doi=10.1017/S0025557200183317 |s2cid=126351853 |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/9252-trisecting-angles-with-ruler-and-compasses/FD6933F81AC55AF2225AF75568E2103E |quote=See also Feedback on this article in vol. 93, March 2009, p. 156.}}</ref> इसके विपरीत, {{math|{{sfrac|2{{pi}}|''N''}}}} तभी रचनात्मक होता है जब {{mvar|N}}, {{math|2}} की घात हो या एक या अधिक विशिष्ट फ़र्मेट अभाज्यों के गुणनफल के साथ {{math|2}} की घात का गुणनफल हो।
 ===बीजगणितीय लक्षण वर्णन===
-पुनः, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को इससे निरूपित करें {{math|'''Q'''}}.
+पुनः, परिमेय संख्याओं के समुच्चय को {{math|'''Q'''}} से निरूपित करें।
-[[प्रमेय]]: माप का एक कोण {{math|''θ''}} को त्रिविभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि {{math|''q''(''t'') {{=}} 4''t''<sup>3</sup> − 3''t'' − cos(''θ'')}} फ़ील्ड एक्सटेंशन पर कम करने योग्य है  {{math|'''Q'''(cos(''θ''))}}.
+प्रमेय: माप {{math|''θ''}} के कोण को त्रिविभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि {{math|''q''(''t'') {{=}} 4''t''<sup>3</sup> − 3''t'' − cos(''θ'')}} क्षेत्र विस्तार {{math|'''Q'''(cos(''θ''))}} पर कम करने योग्य है।
 [[गणितीय प्रमाण]] ऊपर दिए गए प्रमाण का अपेक्षाकृत सीधा सामान्यीकरण है {{math|60°}} कोण त्रिविभाज्य नहीं है.<ref name=Stewart>{{cite book | last = Stewart | first = Ian  | author-link = Ian Stewart (mathematician) | title = "गैलोइस सिद्धांत"| publisher = Chapman and Hall Mathematics | year = 1989 | pages = g. 58 | isbn = 978-0-412-34550-0 | title-link = Galois Theory  }}</ref>
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 ===भागों की अन्य संख्या===
-किसी भी शून्येतर पूर्णांक के लिए {{mvar|N}}, माप का एक कोण {{math|{{frac|2{{pi}}|''N''}}}} रेडियन को विभाजित किया जा सकता है {{mvar|n}} स्ट्रेटएज और कम्पास के साथ समान भाग यदि और केवल यदि {{mvar|n}} या तो एक शक्ति है {{math|2}} या की एक शक्ति है {{math|2}} एक या अधिक विशिष्ट फ़र्मेट अभाज्यों के गुणनफल से गुणा किया जाता है, जिनमें से कोई भी विभाजित नहीं होता है {{mvar|N}}. ट्राइसेक्शन के मामले में ({{math|''n'' {{=}} 3}}, जो कि एक फ़र्मेट प्राइम है), यह स्थिति उपर्युक्त आवश्यकता बन जाती है {{mvar|N}} से विभाज्य नहीं होगा {{math|3}}.<ref name=McLean/>
+किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक एन के लिए, माप 2π⁄N रेडियन के कोण को स्ट्रेटएज और कंपास के साथ {{mvar|n}} समान भागों में विभाजित किया जा सकता है यदि और केवल यदि {{mvar|n}} या तो 2 की शक्ति है या {{math|2}} की शक्ति एक या अधिक के उत्पाद से गुणा है विशिष्ट फ़र्मेट प्राइम, जिनमें से कोई भी {{mvar|N}} को विभाजित नहीं करता है। ट्राइसेक्शन ({{math|''n'' {{=}} 3}}, जो कि फ़र्मेट प्राइम है) के स्थिती में, यह स्थिति उपर्युक्त आवश्यकता बन जाती है कि {{mvar|N}} 3 से विभाज्य नहीं है। <ref name=McLean/>
 ==अन्य विधियाँ==
-कोण ट्राइसेक्शन की सामान्य समस्या को अतिरिक्त उपकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और इस प्रकार यह कम्पास और स्ट्रेटएज के मूल ग्रीक ढांचे के बाहर जा सकता है।
+कोण ट्राइसेक्शन की सामान्य समस्या को अतिरिक्त उपकरणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, और इस प्रकार यह कम्पास और स्ट्रेटएज के मूल ग्रीक रूपरेखा के बाहर जा सकता है।
-सामान्य कोण को त्रिविभाजित करने की कई गलत विधियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें से कुछ विधियाँ उचित अनुमान प्रदान करती हैं; अन्य (जिनमें से कुछ का उल्लेख नीचे किया गया है) में ऐसे उपकरण शामिल हैं जिनकी शास्त्रीय समस्या में अनुमति नहीं है। गणितज्ञ [[अंडरवुड डुडले]] ने अपनी पुस्तक द ट्राइसेक्टर्स में इनमें से कुछ असफल प्रयासों का विवरण दिया है।<ref name ="trisectors">{{Citation|last = Dudley|first = Underwood|author-link = Underwood Dudley|title = The trisectors|publisher = [[Mathematical Association of America]]|year = 1994|isbn = 978-0-88385-514-0}}</ref>
+सामान्य कोण को त्रिविभाजित करने की कई गलत विधियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें से कुछ विधियाँ उचित अनुमान प्रदान करती हैं; अन्य (जिनमें से कुछ का उल्लेख नीचे किया गया है) में ऐसे उपकरण सम्मिलित हैं जिनकी मौलिक समस्या में अनुमति नहीं है। गणितज्ञ [[अंडरवुड डुडले]] ने अपनी पुस्तक द ट्राइसेक्टर्स में इनमें से कुछ असफल प्रयासों का विवरण दिया है।<ref name ="trisectors">{{Citation|last = Dudley|first = Underwood|author-link = Underwood Dudley|title = The trisectors|publisher = [[Mathematical Association of America]]|year = 1994|isbn = 978-0-88385-514-0}}</ref>
 ===क्रमिक द्विभाजन द्वारा सन्निकटन===
-किसी कोण को समद्विभाजित करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटएज विधि की पुनरावृत्ति द्वारा ट्राइसेक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है। ज्यामितीय श्रृंखला {{nowrap|1={{sfrac|1|3}} = [[1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + {{sfrac|1|256}} + ⋯]]}} या {{nowrap|1={{sfrac|1|3}} = {{sfrac|1|2}} − {{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|8}} − {{sfrac|1|16}} + ⋯}} को द्विभाजन के आधार के रूप में उपयोग किया जा सकता है। सटीकता की किसी भी डिग्री का अनुमान चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite web|title=एक कोण का त्रिखंड|author=Jim Loy |orig-year=1997 |year=2003 |url=http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |access-date=30 March 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120225124232/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |archive-date=February 25, 2012 }}</ref>
+किसी कोण को समद्विभाजित करने के लिए कम्पास और स्ट्रेटएज विधि की पुनरावृत्ति द्वारा ट्राइसेक्शन का अनुमान लगाया जा सकता है। ज्यामितीय श्रृंखला {{nowrap|1={{sfrac|1|3}} = [[1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + {{sfrac|1|256}} + ⋯]]}} या {{nowrap|1={{sfrac|1|3}} = {{sfrac|1|2}} − {{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|8}} − {{sfrac|1|16}} + ⋯}} को द्विभाजन के आधार के रूप में उपयोग किया जा सकता है। स्पष्टता की किसी भी डिग्री का अनुमान चरणों की एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite web|title=एक कोण का त्रिखंड|author=Jim Loy |orig-year=1997 |year=2003 |url=http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |access-date=30 March 2012 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20120225124232/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |archive-date=February 25, 2012 }}</ref>
 ===ओरिगामी का उपयोग करना===
-{{Main|Mathematics of origami#Trisecting an angle}}
+{{Main|ओरिगेमी का गणित या कोण को समविभाजित करना}}
-ट्राइसेक्शन, रूलर और कम्पास द्वारा असंभव कई निर्माणों की तरह, पेपर फोल्डिंग, या [[ORIGAMI]] के संचालन द्वारा आसानी से पूरा किया जा सकता है। हुजिता के अभिगृहीत (फोल्डिंग ऑपरेशंस के प्रकार) दी गई लंबाई के घन एक्सटेंशन (घन जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं, जबकि शासक और कम्पास केवल द्विघात एक्सटेंशन (वर्ग जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं।
+ट्राइसेक्शन, रूलर और कम्पास द्वारा असंभव कई निर्माणों की तरह, पेपर फोल्डिंग, या [[ORIGAMI|ओरिगामी]] के संचालन द्वारा आसानी से पूरा किया जा सकता है। हुजिता के अभिगृहीत (फोल्डिंग ऑपरेशंस के प्रकार) दी गई लंबाई के घन एक्सटेंशन (घन जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं, जबकि शासक और कम्पास केवल द्विघात एक्सटेंशन (वर्ग जड़ें) का निर्माण कर सकते हैं।
 ===लिंकेज का उपयोग करना===
 [[File:Sylvester's Link Fan.svg|275px|thumb|सिल्वेस्टर का लिंक फैन]]ऐसे कई सरल [[लिंकेज (मैकेनिकल)]] हैं जिनका उपयोग केम्पे के ट्राइसेक्टर और सिल्वेस्टर के लिंक फैन या आइसोक्लिनोस्टैट सहित कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए एक उपकरण बनाने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=ट्राइसेक्शन समस्या|url=http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED058058.pdf#53 |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED058058.pdf#53 |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |first=Robert C| last=Yates |pages=39–42 |year=1942 |publisher=The National Council of Teachers of Mathematics}}</ref>
-{{Clear}}
+===एक समकोण त्रिभुजाकार शासक के साथ ===
+[[File:01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.svg|thumb|upright=1.35|एक दाहिने त्रिकोणीय शासक (लाल रंग में) के माध्यम से एक देवदूत का बीबरबैक त्रिखंड (नीले रंग में)]]1932 में, [[लुडविग बीबरबैक]] ने क्रेल्स जर्नल या जर्नल फॉर प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स में अपना काम ऑन द टीचिंग ऑफ क्यूबिक कंस्ट्रक्शन प्रकाशित किया।<ref name="Ludwig Bieberbach">Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0167&DMDID=DMDLOG_0020 online-copie (GDZ)]. Retrieved on June 2, 2017.</ref> वह उसमें कहता है (मुफ़्त अनुवाद):
-===एक समकोण त्रिभुजाकार शासक के साथ ===
+: जैसा कि ज्ञात है... प्रत्येक घन निर्माण का पता कोण के त्रिखंड और घन के गुणन, अथार्त तीसरे मूल के निष्कर्षण से लगाया जा सकता है। मुझे केवल यह दिखाना है कि इन दो मौलिक कार्यों को समकोण हुक के माध्यम से कैसे हल किया जा सकता है।
-[[File:01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.svg|thumb|upright=1.35|एक दाहिने त्रिकोणीय शासक (लाल रंग में) के माध्यम से एक देवदूत का बीबरबैक त्रिखंड (नीले रंग में)]]1932 में, [[लुडविग बीबरबैक]] ने क्रेल्स जर्नल|जर्नल फॉर प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स में अपना काम ऑन द टीचिंग ऑफ क्यूबिक कंस्ट्रक्शन प्रकाशित किया।<ref name="Ludwig Bieberbach">Ludwig Bieberbach (1932) "Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen", ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlin, p. 142–146 [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0167&DMDID=DMDLOG_0020 online-copie (GDZ)]. Retrieved on June 2, 2017.</ref> वह उसमें कहता है (मुफ़्त अनुवाद):
-: जैसा कि ज्ञात है... प्रत्येक घन निर्माण का पता कोण के त्रिखंड और घन के गुणन, यानी तीसरे मूल के निष्कर्षण से लगाया जा सकता है। मुझे केवल यह दिखाना है कि इन दो शास्त्रीय कार्यों को समकोण हुक के माध्यम से कैसे हल किया जा सकता है।
+निर्माण की प्रारंभिक त्रिविभाजित होने वाले कोण के शीर्ष P से होकर गुजरने वाले एक वृत्त को खींचने से होती है, जो इस कोण के एक किनारे पर A पर केंद्रित होता है, और किनारे के साथ इसका दूसरा प्रतिच्छेद B होता है। P पर केन्द्रित और समान त्रिज्या का एक वृत्त किनारे को सहारा देने वाली रेखा को A और O में काटता है।
-निर्माण शीर्ष से गुजरने वाले एक वृत्त को चित्रित करने से शुरू होता है {{mvar|P}} जिस कोण को विभाजित किया जाना है, उस पर केन्द्रित {{mvar|A}} इस कोण के एक किनारे पर, और होना {{mvar|B}} किनारे के साथ इसके दूसरे प्रतिच्छेदन के रूप में। पर केन्द्रित एक वृत्त {{mvar|P}} और उसी त्रिज्या में किनारे को सहारा देने वाली रेखा प्रतिच्छेद करती है {{mvar|A}} और {{mvar|O}}.
-अब [[गुनिया]] को निम्नलिखित तरीके से ड्राइंग पर रखा गया है: इसके समकोण का एक [[कैथेटस]] गुजरता है {{mvar|O}}; इसके समकोण का शीर्ष एक बिंदु पर रखा गया है {{mvar|S}} रेखा पर {{mvar|PC}} इस प्रकार कि रूलर का दूसरा चरण स्पर्शरेखा पर हो {{mvar|E}} केन्द्रित वृत्त पर {{mvar|A}}. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल कोण रेखा द्वारा त्रिविभाजित होता है {{mvar|PE}}, और रेखा {{mvar|PD}} के लिए सीधा {{mvar|SE}} और गुजर रहा है {{mvar|P}}. यह रेखा या तो फिर से सही त्रिकोणीय शासक का उपयोग करके, या पारंपरिक स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण का उपयोग करके खींची जा सकती है। एक समान निर्माण के साथ, कोई भी स्थान में सुधार कर सकता है {{mvar|E}}, इसका उपयोग करके यह रेखा का प्रतिच्छेदन है {{mvar|SE}} और इसका लंबवत गुजरना {{mvar|A}}.
+अब दाएं त्रिकोणीय शासक को निम्नलिखित विधि से ड्राइंग पर रखा गया है: इसके समकोण का एक पैर {{mvar|O}} से होकर गुजरता है; इसके समकोण का शीर्ष रेखा {{mvar|PC}} पर एक बिंदु {{mvar|S}} पर इस प्रकार रखा गया है कि रूलर का दूसरा पैर {{mvar|A}} पर केन्द्रित वृत्त पर {{mvar|E}} पर स्पर्शरेखा है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि मूल कोण को रेखा {{mvar|PE}} द्वारा त्रिविभाजित किया गया है। , और रेखा {{mvar|PD}}, {{mvar|SE}} पर लंबवत है और {{mvar|P}} से होकर गुजरती है। इस रेखा को या तो फिर से सही त्रिकोणीय शासक का उपयोग करके, या पारंपरिक स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण का उपयोग करके खींचा जा सकता है। समान निर्माण के साथ, कोई {{mvar|E}} के स्थान में सुधार कर सकता है, इसका उपयोग करके यह लाइन {{mvar|SE}} का प्रारंभिक प्रतिच्छेदहै और {{mvar|A}} से गुजरने वाला इसका लंबवत है।
-प्रमाण: किसी को कोण समानता सिद्ध करनी होगी <math>\widehat{EPD}= \widehat{DPS}</math> और <math>\widehat{BPE} = \widehat{EPD}.</math> तीन पंक्तियाँ {{mvar|OS}}, {{mvar|PD}}, और {{mvar|AE}}समानांतर हैं. [[रेखा खंड]]ों के रूप में {{mvar|OP}} और {{mvar|PA}} बराबर हैं, ये तीन समानांतर रेखाएं प्रत्येक अन्य छेदक रेखा पर और विशेष रूप से उनके सामान्य लंबवत पर दो समान खंडों का परिसीमन करती हैं {{mvar|SE}}. इस प्रकार {{math|1=''SD{{'}}'' = ''D{{'}}E''}}, कहाँ {{mvar|D'}} रेखाओं का प्रतिच्छेदन है {{mvar|PD}} और {{mvar|SE}}. यह इस प्रकार है कि समकोण त्रिभुज {{mvar|PD{{'}}S}} और {{mvar|PD{{'}}E}} सर्वांगसम हैं, और इस प्रकार वह <math>\widehat{EPD}= \widehat{DPS},</math> पहली वांछित समानता. दूसरी ओर, त्रिकोण {{mvar|PAE}} समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं; इसका अर्थ यह है कि <math>\widehat{APE}=\widehat{AEP}.</math> एक के पास भी है <math>\widehat{AEP}=\widehat{EPD},</math> चूँकि ये दोनों कोण दो समांतर रेखाओं की तिर्यक रेखा के एकांतर कोण हैं। यह दूसरी वांछित समानता साबित करता है, और इस प्रकार निर्माण की शुद्धता।
+प्रमाण: किसी को कोण समानता सिद्ध करनी होगी <math>\widehat{EPD}= \widehat{DPS}</math> और <math>\widehat{BPE} = \widehat{EPD}.</math> तीन रेखाएं {{mvar|OS}}, {{mvar|PD}}और एई समानांतर हैं। चूंकि रेखा खंड {{mvar|OP}} और {{mvar|PA}} समान हैं, ये तीन समानांतर रेखाएं हर दूसरी छेदक रेखा पर और विशेष रूप से उनके सामान्य लंबवत एसई पर दो समान खंडों का परिसीमन करती हैं। इस प्रकार SD' = D'E, जहां D' रेखा ''PD'' और ''SE'' का प्रतिच्छेदन है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समकोण त्रिभुज PD'S और PD'E सर्वांगसम हैं, और इस प्रकार यह <math>\widehat{EPD}= \widehat{DPS},</math> पहली वांछित समानता है। दूसरी ओर, त्रिभुज {{mvar|PAE}} समद्विबाहु है, क्योंकि एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान हैं; इसका तात्पर्य यह है कि<math>\widehat{APE}=\widehat{AEP}.</math>एक के पास भी <math>\widehat{AEP}=\widehat{EPD},</math> है क्योंकि ये दोनों कोण दो समानांतर रेखाओं के एक तिर्यक रेखा के वैकल्पिक कोण हैं। यह दूसरी वांछित समानता और इस प्रकार निर्माण की शुद्धता को सिद्ध करता है।
 ===एक सहायक वक्र के साथ===
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 File:Archimedean spiral trisection.svg|आर्किमिडीयन सर्पिल का उपयोग करते हुए ट्राइसेक्शन
 File:01-Angel Trisection.svg|मैकलॉरिन ट्राइसेक्ट्रिक्स का उपयोग करके ट्राइसेक्शन
-</gallery>[[ट्राइसेक्ट्रिक्स]] नामक कुछ वक्र होते हैं, जिन्हें यदि अन्य तरीकों का उपयोग करके समतल पर खींचा जाता है, तो मनमाने कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।<ref>Jim Loy {{cite web|url=http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |title=Trisection of an Angle |access-date=2013-11-04 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20131104113041/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |archive-date=November 4, 2013 }}</ref> उदाहरणों में [[मैकलॉरिन का ट्राइसेक्ट्रिक्स]] शामिल है, जो [[निहित वक्र]] द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया गया है
+</gallery>[[ट्राइसेक्ट्रिक्स]] नामक कुछ वक्र होते हैं, जिन्हें यदि अन्य विधियों का उपयोग करके समतल पर खींचा जाता है, तो इच्छानुसार कोणों को ट्राइसेक्ट करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।<ref>Jim Loy {{cite web|url=http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |title=Trisection of an Angle |access-date=2013-11-04 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20131104113041/http://www.jimloy.com/geometry/trisect.htm |archive-date=November 4, 2013 }}</ref> उदाहरणों में [[मैकलॉरिन का ट्राइसेक्ट्रिक्स]] सम्मिलित है, जो [[निहित वक्र]] द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दिया गया है
 :<math>2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2),</math>
-और [[आर्किमिडीयन सर्पिल]]. वास्तव में, सर्पिल का उपयोग किसी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।
-आर्किमिडीज़ ने 225 ईसा पूर्व के आसपास ऑन स्पिरल्स#ट्राइसेक्टिंग ए एंगल में आर्किमिडीयन सर्पिल का उपयोग करके एक कोण को त्रिविभाजित करने का तरीका बताया।
+और आर्किमिडीयन सर्पिल. वास्तव में, सर्पिल का उपयोग किसी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। आर्किमिडीज़ ने लगभग 225 ईसा पूर्व ऑन स्पाइरल्स में आर्किमिडीज़ सर्पिल का उपयोग करके एक कोण को त्रिविभाजित करने का वर्णन किया था।
 ===चिह्नित रूलर के साथ===
-[[File:Trisecting angles three.svg|thumb|355px|चिह्नित रूलर का उपयोग करके कोण का त्रिखंड]]ग्रीक ढांचे के बाहर एक छोटे कदम से एक मनमाने कोण को त्रिविभाजित करने का एक अन्य साधन एक शासक के माध्यम से एक निर्धारित दूरी पर दो निशान हैं। अगला निर्माण मूल रूप से [[आर्किमिडीज]]़ के कारण है, जिसे न्यूसिस निर्माण कहा जाता है, यानी, जो एक अचिह्नित सीधे किनारे के अलावा अन्य उपकरणों का उपयोग करता है। हम जिन आरेखों का उपयोग करते हैं वे इस निर्माण को एक न्यून कोण के लिए दिखाते हैं, लेकिन यह वास्तव में 180 डिग्री तक के किसी भी कोण के लिए काम करता है।
+[[File:Trisecting angles three.svg|thumb|355px|चिह्नित रूलर का उपयोग करके कोण का त्रिखंड]]ग्रीक रूपरेखा के बाहर एक छोटे कदम से एक इच्छानुसार कोण को त्रिविभाजित करने का एक अन्य साधन एक शासक के माध्यम से एक निर्धारित दूरी पर दो निशान हैं। अगला निर्माण मूल रूप से [[आर्किमिडीज]] के कारण है, जिसे न्यूसिस निर्माण कहा जाता है, अथार्त , जो एक अचिह्नित सीधे किनारे के अतिरिक्त अन्य उपकरणों का उपयोग करता है। हम जिन आरेखों का उपयोग करते हैं वे इस निर्माण को एक न्यून कोण के लिए दिखाते हैं, किंतु यह वास्तव में 180 डिग्री तक के किसी भी कोण के लिए काम करता है।
 इसके लिए ज्यामिति से तीन तथ्यों की आवश्यकता है (दाईं ओर):
 # एक सीधी रेखा पर कोणों के किसी भी पूर्ण सेट को 180° में जोड़ें,
 # किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, और,
-# समद्विबाहु त्रिभुज की कोई भी दो बराबर भुजाएँ पॉन्स असिनोरम होंगी।
+# समद्विबाहु त्रिभुज की कोई भी दो समान भुजाएँ पॉन्स असिनोरम होंगी।
-{{Clear}}
+होने देना {{mvar|l}} आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा बनें। कोण {{mvar|a}} (बिंदु के बाएँ {{mvar|B}}) ट्राइसेक्शन का विषय है. सबसे पहले, एक बिंदु {{mvar|A}} एक कोण की [[किरण (ज्यामिति)]] पर खींची जाती है, जो एक इकाई से अलग होती है {{mvar|B}}. त्रिज्या का एक वृत्त {{mvar|AB}} मुरझाया है। फिर, रूलर का चिन्हांकन कार्य में आता है: रूलर का एक चिन्ह पर रखा जाता है {{mvar|A}} और दूसरे पर {{mvar|B}}. रूलर (लेकिन निशान नहीं) को छूते हुए रखें {{mvar|A}}, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक निशान वृत्त पर और दूसरा रेखा पर न आ जाए {{mvar|l}}. वृत्त पर निशान अंकित है {{mvar|C}} और लाइन पर निशान लेबल किया गया है {{mvar|D}}. यह यह सुनिश्चित करता है {{math|''CD'' {{=}} ''AB''}}. एक त्रिज्या {{mvar|BC}} यह स्पष्ट करने के लिए खींचा गया है कि रेखा खंड {{mvar|AB}}, {{mvar|BC}}, और {{mvar|CD}} सभी की लंबाई समान है। अब, त्रिकोण {{mvar|ABC}} और {{mvar|BCD}} समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।
-होने देना {{mvar|l}} आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा बनें। कोण {{mvar|a}} (बिंदु के बाएँ {{mvar|B}}) ट्राइसेक्शन का विषय है. सबसे पहले, एक बिंदु {{mvar|A}} एक कोण की [[किरण (ज्यामिति)]] पर खींची जाती है, जो एक इकाई से अलग होती है {{mvar|B}}. त्रिज्या का एक वृत्त {{mvar|AB}} मुरझाया है। फिर, रूलर का चिन्हांकन कार्य में आता है: रूलर का एक चिन्ह पर रखा जाता है {{mvar|A}} और दूसरे पर {{mvar|B}}. रूलर (लेकिन निशान नहीं) को छूते हुए रखें {{mvar|A}}, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक निशान वृत्त पर और दूसरा रेखा पर न आ जाए {{mvar|l}}. वृत्त पर निशान अंकित है {{mvar|C}} और लाइन पर निशान लेबल किया गया है {{mvar|D}}. यह यह सुनिश्चित करता है {{math|''CD'' {{=}} ''AB''}}. एक त्रिज्या {{mvar|BC}} यह स्पष्ट करने के लिए खींचा गया है कि रेखा खंड {{mvar|AB}}, {{mvar|BC}}, और {{mvar|CD}} सभी की लंबाई समान है। अब, त्रिकोण {{mvar|ABC}} और {{mvar|BCD}} समद्विबाहु त्रिभुज हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।
+मान लीजिए कि आसन्न आरेख में क्षैतिज रेखा {{mvar|l}} है। कोण a (बिंदु B के बाएँ) त्रिखंड का विषय है। सबसे पहले, कोण की किरण पर एक बिंदु A खींचा जाता है, जो B से एक इकाई अलग होता है। त्रिज्या AB का एक वृत्त खींचा जाता है। फिर, रूलर की मार्किंग काम में आती है: रूलर का एक चिन्ह A पर और दूसरा B पर रखा जाता है। रूलर को (किंतु चिन्ह नहीं) A को छूते हुए, रूलर को तब तक खिसकाया और घुमाया जाता है जब तक कि एक चिन्ह चालू न हो जाए वृत्त और दूसरा रेखा l पर है। वृत्त पर निशान को C लेबल दिया गया है और रेखा पर निशान को D लेबल किया गया है। यह सुनिश्चित करता है कि CD = AB है। यह स्पष्ट करने के लिए कि रेखाखंड ''AB, BC'' और ''CD'' सभी की लंबाई समान है, एक त्रिज्या BC खींची गई है। अब, त्रिभुज ABC और BCD समद्विबाहु हैं, इस प्रकार (उपरोक्त तथ्य 3 के अनुसार) प्रत्येक के दो समान कोण हैं।
 [[परिकल्पना]]: दिया गया {{mvar|AD}} एक सीधी रेखा है, और {{mvar|AB}}, {{mvar|BC}}, और {{mvar|CD}} सभी की लंबाई समान है,
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 समाशोधन, {{math|''a'' − 3''b'' {{=}} 0}}, या {{math|''a'' {{=}} 3''b''}}, और प्रमेय Q.E.D. है.
-फिर, यह निर्माण एक चिह्नित स्ट्रेटएज का उपयोग करके [[कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण]] के ग्रीक गणित से बाहर निकल गया।
+फिर, यह निर्माण एक चिह्नित स्ट्रेटएज का उपयोग करके [[कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण]] के ग्रीक गणित से बाहर निकल गया था।
 ===एक स्ट्रिंग के साथ===
-थॉमस हचिसन ने [[गणित शिक्षक]] में एक लेख प्रकाशित किया<ref>{{cite journal|journal=Mathematics Teacher|volume=94 |issue=5 |date=May 2001 |pages=400–405 |last=Hutcheson |first=Thomas W. |title=किसी भी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करना|doi=10.5951/MT.94.5.0400 }}</ref> जिसमें कम्पास और सीधे किनारे के बजाय एक स्ट्रिंग का उपयोग किया गया था। एक स्ट्रिंग का उपयोग सीधे किनारे (इसे खींचकर) या कम्पास (एक बिंदु को ठीक करके और दूसरे की पहचान करके) के रूप में किया जा सकता है, लेकिन इसे सिलेंडर के चारों ओर भी लपेटा जा सकता है, जो हचिसन के समाधान की कुंजी है।
+थॉमस हचिसन ने [[गणित शिक्षक]] में एक लेख प्रकाशित किया था<ref>{{cite journal|journal=Mathematics Teacher|volume=94 |issue=5 |date=May 2001 |pages=400–405 |last=Hutcheson |first=Thomas W. |title=किसी भी कोण को किसी भी संख्या में समान भागों में विभाजित करना|doi=10.5951/MT.94.5.0400 }}</ref> जिसमें कम्पास और सीधे किनारे के अतिरिक्त एक स्ट्रिंग का उपयोग किया गया था। एक स्ट्रिंग का उपयोग सीधे किनारे (इसे खींचकर) या कम्पास (एक बिंदु को ठीक करके और दूसरे की पहचान करके) के रूप में किया जा सकता है, किंतु इसे सिलेंडर के चारों ओर भी लपेटा जा सकता है, जो हचिसन के समाधान की कुंजी है।
-हचिसन ने कोण के पार एक चाप खींचकर, इसे एक वृत्त के रूप में पूरा करके और उस वृत्त से एक सिलेंडर का निर्माण किया, जिस पर एक, मान लीजिए, समबाहु त्रिभुज अंकित किया गया था (एक 360-डिग्री कोण जो तीन भागों में विभाजित है) ). फिर इसे समान त्रिभुजों के सरल प्रमाण के साथ, त्रिविभाजित किए जाने वाले कोण पर मैप किया गया।
+हचिसन ने कोण के पार एक चाप खींचकर, इसे एक वृत्त के रूप में पूरा करके और उस वृत्त से एक सिलेंडर का निर्माण किया, जिस पर एक, मान लीजिए, समबाहु त्रिभुज अंकित किया गया था (एक 360-डिग्री कोण जो तीन भागों में विभाजित है) फिर इसे समान त्रिभुजों के सरल प्रमाण के साथ, त्रिविभाजित किए जाने वाले कोण पर मैप किया गया।
 ===एक टॉमहॉक के साथ ===
-{{main|Tomahawk (geometry)}}
+{{main|टॉमहॉक (ज्यामिति)}}
-[[File:Tomahawk2.svg|thumb|right|एक टॉमहॉक एक कोण को त्रिविभाजित करता है। टॉमहॉक का निर्माण मोटी रेखाओं और छायांकित अर्धवृत्त द्वारा होता है।]][[टॉमहॉक (ज्यामिति)]] एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक अर्धवृत्त और दो ऑर्थोगोनल रेखा खंड होते हैं, जैसे कि छोटे खंड की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। ट्राइसेक्शन को टॉमहॉक के छोटे खंड के सिरे को एक किरण पर और वृत्त के किनारे को दूसरे पर झुकाकर निष्पादित किया जाता है, ताकि हैंडल (लंबा खंड) कोण के शीर्ष को पार कर जाए; त्रिखंड रेखा शीर्ष और अर्धवृत्त के केंद्र के बीच चलती है।
+[[File:Tomahawk2.svg|thumb|right|एक टॉमहॉक एक कोण को त्रिविभाजित करता है। टॉमहॉक का निर्माण मोटी रेखाओं और छायांकित अर्धवृत्त द्वारा होता है।]][[टॉमहॉक (ज्यामिति)]] एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक अर्धवृत्त और दो ऑर्थोगोनल रेखा खंड होते हैं, जैसे कि छोटे खंड की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। ट्राइसेक्शन को टॉमहॉक के छोटे खंड के सिरे को एक किरण पर और वृत्त के किनारे को दूसरे पर झुकाकर निष्पादित किया जाता है, जिससे हैंडल (लंबा खंड) कोण के शीर्ष को पार कर जाए; त्रिखंड रेखा शीर्ष और अर्धवृत्त के केंद्र के बीच चलती है।
-जबकि एक टॉमहॉक कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ बनाया जा सकता है, आम तौर पर किसी वांछित स्थिति में टॉमहॉक का निर्माण करना संभव नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त निर्माण केवल रूलर और कम्पास के साथ कोणों की गैर-त्रिकोणीयता का खंडन नहीं करता है।
+जबकि एक टॉमहॉक कम्पास और स्ट्रेटएज के साथ बनाया जा सकता है, सामान्यतः किसी वांछित स्थिति में टॉमहॉक का निर्माण करना संभव नहीं है। इस प्रकार, उपरोक्त निर्माण केवल रूलर और कम्पास के साथ कोणों की गैर-त्रिकोणीयता का खंडन नहीं करता है।
 चूँकि टॉमहॉक का उपयोग सेट स्क्वायर के रूप में किया जा सकता है, इसका उपयोग ट्राइसेक्शन कोणों के लिए भी वर्णित विधि द्वारा किया जा सकता है {{slink||With a right triangular ruler}}.
-टॉमहॉक पेपर-फोल्डिंग विधि के समान ही ज्यामितीय प्रभाव पैदा करता है: सर्कल केंद्र और छोटे खंड की नोक के बीच की दूरी त्रिज्या की दूरी से दोगुनी है, जो कोण से संपर्क करने की गारंटी है। यह आर्किटेक्ट एल-रूलर (स्टील स्क्वायर # कारपेंटर स्क्वायर | कारपेंटर स्क्वायर) के उपयोग के बराबर भी है।
+टॉमहॉक पेपर-फोल्डिंग विधि के समान ही ज्यामितीय प्रभाव उत्पन्न करता है: सर्कल केंद्र और छोटे खंड की नोक के बीच की दूरी त्रिज्या की दूरी से दोगुनी है, जो कोण से संपर्क करने की आश्वासन है। यह आर्किटेक्ट एल-रूलर (स्टील स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर या कारपेंटर स्क्वायर) के उपयोग के समान भी है।
 ===परस्पर जुड़े कम्पास के साथ===
-एक कोण को एक ऐसे उपकरण से विभाजित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से एक कंपास का चार-कोणीय संस्करण है, जिसमें आसन्न शूलों के बीच के तीन कोणों को बराबर रखने के लिए डिज़ाइन किए गए कांटों के बीच संबंध होते हैं।<ref>Isaac, Rufus, "Two mathematical papers without words", ''[[Mathematics Magazine]]'' 48, 1975, p. 198. Reprinted in ''Mathematics Magazine'' 78, April 2005, p. 111.</ref>
+एक कोण को एक ऐसे उपकरण से विभाजित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से एक कंपास का चार-कोणीय संस्करण है, जिसमें आसन्न शूलों के बीच के तीन कोणों को समान रखने के लिए डिज़ाइन किए गए कांटों के बीच संबंध होते हैं।<ref>Isaac, Rufus, "Two mathematical papers without words", ''[[Mathematics Magazine]]'' 48, 1975, p. 198. Reprinted in ''Mathematics Magazine'' 78, April 2005, p. 111.</ref>
 ==कोण त्रिखंड का उपयोग==
 [[File:01-Siebeneck-Tomahawk-Animation.gif|thumb|350px|[[परिवृत्त]] की त्रिज्या के साथ एक सप्तभुज के न्यूसिस निर्माण का एक एनीमेशन <math>\overline{OA} = 6</math>, टॉमहॉक के माध्यम से कोण ट्राइसेक्शन का उपयोग करते हुए, एंड्रयू एम. ग्लीसन पर आधारित<ref name="Gleason"/>{{rp|p. 186}}]]वास्तविक गुणांक वाले एक [[घन समीकरण]] को कम्पास, स्ट्रेटएज और एक कोण ट्राइसेक्टर के साथ ज्यामितीय रूप से हल किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसमें बहुपद की तीन [[वास्तविक संख्या]] जड़ें हों।<ref name="Gleason">{{cite journal|last=Gleason|first=Andrew Mattei|author-link=Andrew M. Gleason|title=कोण त्रिखंड, सप्तकोण, और त्रिस्काइडेकागोन|journal=The American Mathematical Monthly|date=March 1988|volume=95|issue=3 |pages=185–194|url=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141105205944/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/7.pdf#3 |doi= 10.2307/2323624|archive-date=November 5, 2014 |url-status=dead|jstor=2323624}}</ref>{{rp|Thm. 1}}
-n भुजाओं वाला एक [[नियमित बहुभुज]] का निर्माण रूलर, कम्पास और कोण ट्राइसेक्टर के साथ किया जा सकता है यदि और केवल यदि <math>n=2^r3^sp_1p_2\cdots p_k,</math> जहाँ r, s, k ≥ 0 और जहाँ p<sub>''i''</sub> प्रपत्र के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं <math>2^t3^u +1</math> (अर्थात् पियरपोंट अभाज्य संख्या 3 से अधिक)।<ref name="Gleason"/>{{rp|Thm. 2}}
+n भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज रूलर, कम्पास और कोण ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है यदि और केवल यदि <math>n=2^r3^sp_1p_2\cdots p_k,</math> जहां r, s, k ≥ 0 और जहां pi फॉर्म <math>2^t3^u +1</math> के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं जहां r , s, k ≥ 0 और जहां पाई फॉर्म के 3 से बड़े विशिष्ट अभाज्य हैं।<ref name="Gleason"/>{{rp|Thm. 2}}
 ==यह भी देखें==
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 *[[ज्यामितीय क्रिप्टोग्राफी]]
-==संदर्भ==
+==संदर्भ                                                           ==
 {{Reflist|colwidth=30em}}
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 श्रेणी:कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण
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