विरूपण (गणित): Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (6 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Short description|Branch of mathematics}} | {{Short description|Branch of mathematics}} | ||
गणित में, '''विरूपण''' सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान ''P''<sub>ε</sub> में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां [[बाधा (गणित)]] के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक | गणित में, '''विरूपण''' सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान ''P''<sub>ε</sub> में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां [[बाधा (गणित)]] के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक गणना के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए [[विरूपण ([[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]])]] करता है। | ||
कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, [[संख्याओं की ज्यामिति]] में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा ([[समूह क्रिया (गणित)]]) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः [[ऑपरेटर (गणित)]] की विकृतियों पर भी ध्यान देता है। | कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, [[संख्याओं की ज्यामिति]] में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा ([[समूह क्रिया (गणित)]]) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः [[ऑपरेटर (गणित)|संक्रियक (गणित)]] की विकृतियों पर भी ध्यान देता है। | ||
==[[जटिल अनेक गुना]]ओं की विकृतियाँ== | ==[[जटिल अनेक गुना]]ओं की विकृतियाँ== | ||
गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल | गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल बहुविध्स एवं बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे [[कुनिहिको कोदैरा]] एवं डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी विद्यालय में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को [[ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान]] को मापांक स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं। | ||
[[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि [[रीमैन क्षेत्र]] पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, [[अण्डाकार वक्र]] में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह की पहचान करता है, | [[रीमैन सतह|रीमैन सतहों]] के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि [[रीमैन क्षेत्र]] पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, [[अण्डाकार वक्र]] में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में [[शीफ़ कोहोमोलोजी]] समूह की पहचान करता है, | ||
: <math> H^1(\Theta) \, </math> | : <math> H^1(\Theta) \, </math> | ||
जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। उसी शीफ के ''H''<sup>2</sup> में | जहां Θ होलोमोर्फिक [[स्पर्शरेखा बंडल]] (वर्गों के [[जर्म (गणित)]] का शीफ) है। उसी शीफ के ''H''<sup>2</sup> में बाधा है; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H<sup>1</sup>भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम [[हॉज नंबर]] ''h''<sup>1,0</sup> है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b'' के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a एवं b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a एवं b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए ''b''<sup>2</sup>''a''<sup>−3</sup> का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a एवं b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय ''y''<sup>2</sup> = ''x''<sup>3</sup> + ''ax'' + ''b है'', परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं। | ||
H<sup>1</sup> से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस g > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है, | H<sup>1</sup> से संबंधित करने के लिए [[सेरे द्वैत]] का उपयोग करते हुए, जीनस g >1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है, | ||
: <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math> | : <math> H^0(\Omega^{[2]}) </math> | ||
जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] एवं अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर|द्विघात भिन्नताओं]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मापांक स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है। | जहां Ω होलोमोर्फिक [[कोटैंजेंट बंडल]] एवं अंकन Ω है<sup>[2]</sup> का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी [[बाहरी शक्ति]] नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक [[द्विघात अंतर|द्विघात भिन्नताओं]] द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मापांक स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है। | ||
ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल | ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल बहुविध्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित [[विभेदक ज्यामिति]] की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; [[ग्रोथेंडिक]] के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के कार्य की ठोस व्याख्या हुई; एवं अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है। | ||
==विरूपण एवं समतल मानचित्र== | ==विरूपण एवं समतल मानचित्र== | ||
| Line 27: | Line 27: | ||
==विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ== | ==विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ== | ||
विरूपण सिद्धांत के उपयोगी एवं सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड]], | विरूपण सिद्धांत के उपयोगी एवं सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि [[स्टीन मैनिफोल्ड|स्टीन बहुविध]], मिश्रित बहुविध, या मिश्रित विश्लेषणात्मक विविधता से आता है।<ref name=":0" />ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल बहुविध्स एवं जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं<math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}</math>, जहाँ <math>\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}</math> अभिसम्पूर्ण शक्ति-श्रृंखला का वलय है एवं <math>I</math> आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित <math>A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}</math> समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के ऐसे रोगाणु का विरूपण <math>X_0</math> विश्लेषणात्मक बीजगणित <math>f:X \to S</math> के रोगाणुओं के समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है, जहाँ <math>S</math> विशिष्ट बिंदु <math>0</math> है ऐसे कि <math>X_0</math> पुलबैक वर्ग में उचित होता है,<math>\begin{matrix} | ||
X_0 & \to & X \\ | X_0 & \to & X \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
| Line 60: | Line 60: | ||
===अतिसूक्ष्म के विषय में तकनीकी टिप्पणियाँ=== | ===अतिसूक्ष्म के विषय में तकनीकी टिप्पणियाँ=== | ||
गणना में अन्य-कठोर तर्कों के लिए गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से अतिसूक्ष्म का उपयोग किया जाता रहा है। विचार यह है कि यदि हम बहुपदों <math>F(x,\varepsilon)</math> पर अतिसूक्ष्म <math>\varepsilon</math> के साथ विचार करें, तभी केवल प्रथम क्रम का अनुबंध वास्तव में आवश्यक हैं; अर्थात् विचार कर सकते हैं कि | |||
:<math> F(x,\varepsilon) \equiv f(x) + \varepsilon g(x) + O(\varepsilon^2)</math> है, | :<math> F(x,\varepsilon) \equiv f(x) + \varepsilon g(x) + O(\varepsilon^2)</math> है, | ||
इसका सरल अनुप्रयोग यह है कि हम अतिसूक्ष्म का उपयोग करके [[एकपद|एकपदी]] के व्युत्पन्न पा सकते हैं: | इसका सरल अनुप्रयोग यह है कि हम अतिसूक्ष्म का उपयोग करके [[एकपद|एकपदी]] के व्युत्पन्न पा सकते हैं: | ||
:<math> (x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + O(\varepsilon^2)</math>, | :<math> (x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + O(\varepsilon^2)</math>, | ||
<math>\varepsilon</math> इस शब्द में एकपदी का व्युत्पन्न सम्मिलित है, जो | <math>\varepsilon</math> इस शब्द में एकपदी का व्युत्पन्न सम्मिलित है, जो गणना में इसके उपयोग को प्रदर्शित करता है। हम इस समीकरण की व्याख्या एकपदी के टेलर विस्तार के पनिवारणे दो पदों के रूप में भी कर सकते हैं। स्थानीय आर्टिन बीजगणित में निलपोटेंट तत्वों का उपयोग करके अतिसूक्ष्म को कठोर बनाया जा सकता है। रिंग में <math>k[y]/(y^2)</math> हम देखते हैं कि अतिसूक्ष्म के साथ तर्क कार्य कर सकते हैं। यह अंकन <math>k[\varepsilon] = k[y]/(y^2)</math> को प्रेरित करता है, जिसे दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है। | ||
इसके अतिरिक्त, यदि हम टेलर सन्निकटन के उच्च-क्रम वाले शब्दों पर विचार करना चाहते हैं तो हम आर्टिन बीजगणित <math>k[y]/(y^k)</math> पर विचार कर सकते हैं, एकपदी के लिए, मान लीजिए कि दूसरे क्रम का विस्तार लिखना चाहते हैं जो | इसके अतिरिक्त, यदि हम टेलर सन्निकटन के उच्च-क्रम वाले शब्दों पर विचार करना चाहते हैं तो हम आर्टिन बीजगणित <math>k[y]/(y^k)</math> पर विचार कर सकते हैं, एकपदी के लिए, मान लीजिए कि दूसरे क्रम का विस्तार लिखना चाहते हैं जो | ||
| Line 91: | Line 91: | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
जहाँ <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math> है। फिर, दाहिने हाथ के कोने पर स्थित स्थान अतिसूक्ष्म विरूपण का उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> (जो स्थलाकृतिक रूप से बिंदु है) इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए | जहाँ <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4</math> है। फिर, दाहिने हाथ के कोने पर स्थित स्थान अतिसूक्ष्म विरूपण का उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना <math>\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])</math> (जो स्थलाकृतिक रूप से बिंदु है) इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए पूर्वविरूपण फ़ैक्टर को वस्तुओं पर इस प्रकार परिभाषित करने देंगे | ||
:<math> | :<math> | ||
F(A) = \left\{ | F(A) = \left\{ | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
===चौरस पूर्व-विरूपण फलनल=== | ===चौरस पूर्व-विरूपण फलनल=== | ||
किसी भी प्रक्षेपण | किसी भी प्रक्षेपण <math>A' \to A</math> के लिए पूर्व-विरूपण फ़ैक्टर को चौरस कहा जाता है, जैसे कि कर्नेल में किसी भी तत्व का वर्ग शून्य है, यह अनुमान | ||
:<math>F(A') \to F(A)</math>, | :<math>F(A') \to F(A)</math> है, | ||
यह निम्नलिखित प्रश्न से प्रेरित है: विकृति दी गई है, | यह निम्नलिखित प्रश्न से प्रेरित है: विकृति दी गई है, | ||
:<math> | :<math> | ||
| Line 122: | Line 122: | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
</math> | </math> | ||
चौरस नाम योजनाओं के चौरस रूपवाद | चौरस नाम योजनाओं के चौरस रूपवाद की उत्पत्ति से आया है। | ||
===स्पर्शरेखा स्थान=== | ===स्पर्शरेखा स्थान=== | ||
याद रखें कि किसी योजना का स्पर्शरेखा स्थान <math>X</math> को <math>\operatorname{Hom}</math>-समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, | याद रखें कि किसी योजना का स्पर्शरेखा स्थान <math>X</math> को <math>\operatorname{Hom}</math>-समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, | ||
:<math>TX := \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/k}(\operatorname{Spec}(k[\varepsilon]),X)</math>, | :<math>TX := \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/k}(\operatorname{Spec}(k[\varepsilon]),X)</math>, | ||
जहां स्रोत दोहरी संख्याओं की रिंग है। चूँकि हम कुछ मापांक स्पेस के बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान पर विचार कर रहे हैं, हम | जहां स्रोत दोहरी संख्याओं की रिंग है। चूँकि हम कुछ मापांक स्पेस के बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान पर विचार कर रहे हैं, हम (पूर्व) विरूपण फ़ैनक्टर के स्पर्शरेखा स्थान को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं, | ||
:<math>T_F := F(k[\varepsilon])</math> है। | :<math>T_F := F(k[\varepsilon])</math> है। | ||
| Line 144: | Line 144: | ||
\text{deg}((\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C) &= 4 - 4g + 2g - 2 \\ | \text{deg}((\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C) &= 4 - 4g + 2g - 2 \\ | ||
&= 2 - 2g | &= 2 - 2g | ||
\end{align}</math>है एवं | \end{align}</math>है एवं ऋणात्मक डिग्री के पंक्ति बंडलों के लिए <math>h^0(L) = 0</math> है। इसलिए मापांक स्पेस का आयाम <math>3g - 3</math> है। | ||
=== | === मोड़ एवं तोड़ === | ||
बीजीय विविधता पर [[तर्कसंगत वक्र|तर्कसंगत वक्रों]] के अस्तित्व का अध्ययन करने के लिए विरूपण सिद्धांत को [[ महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी |महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी]] द्वारा [[द्विवार्षिक ज्यामिति]] में प्रसिद्ध रूप से प्रस्तावित किया गया था।<ref>{{cite book| first=Olivier|last = Debarre | author-link = Olivier Debarre| title = Higher-Dimensional Algebraic Geometry|year = 2001 | publisher= Springer| chapter = 3. Bend-and-Break Lemmas | series = Universitext}}</ref> फ़ानो किस्म के धनात्कमक आयाम के लिए मोरी ने दिखाया कि प्रत्येक बिंदु से निकलने वाला तर्कसंगत वक्र है। प्रमाण की विधि को पश्चात में मोरी के मोड़ एवं तोड़ के नाम से जाना जाने लगा। विचार यह है कि चयन किये गए बिंदु के माध्यम से कुछ वक्र '' | बीजीय विविधता पर [[तर्कसंगत वक्र|तर्कसंगत वक्रों]] के अस्तित्व का अध्ययन करने के लिए विरूपण सिद्धांत को [[ महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी |महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी]] द्वारा [[द्विवार्षिक ज्यामिति]] में प्रसिद्ध रूप से प्रस्तावित किया गया था।<ref>{{cite book| first=Olivier|last = Debarre | author-link = Olivier Debarre| title = Higher-Dimensional Algebraic Geometry|year = 2001 | publisher= Springer| chapter = 3. Bend-and-Break Lemmas | series = Universitext}}</ref> फ़ानो किस्म के धनात्कमक आयाम के लिए मोरी ने दिखाया कि प्रत्येक बिंदु से निकलने वाला तर्कसंगत वक्र है। प्रमाण की विधि को पश्चात में मोरी के मोड़ एवं तोड़ के नाम से जाना जाने लगा। विचार यह है कि चयन किये गए बिंदु के माध्यम से कुछ वक्र ''C'' से प्रारम्भकिया जाए एवं इसे तब तक विकृत किया जाए जब तक कि यह कई अपरिवर्तनीय घटकों में खंडित न हो जाए। घटकों में से किसी द्वारा ''C'' को प्रतिस्थापित करने से वक्र के जीनस या ''C'' की [[बीजगणितीय विविधता की डिग्री]] में कमी का प्रभाव पड़ता है। इसलिए प्रक्रिया के कई दोहराव के पश्चात, अंततः हम जीनस 0 का वक्र प्राप्त करेंगे, अर्थात् तर्कसंगत वक्र ''C'' की विकृतियों के अस्तित्व एवं गुणों के लिए विरूपण सिद्धांत से तर्क एवं [[सकारात्मक विशेषता|धनात्कमक विशेषता]] में कमी की आवश्यकता होती है। | ||
===अंकगणितीय विकृतियाँ=== | ===अंकगणितीय विकृतियाँ=== | ||
| Line 181: | Line 181: | ||
=== गैलोज़ विकृति === | === गैलोज़ विकृति === | ||
{{further| | {{further| | ||
विरूपण वलय}} | |||
विरूपण सिद्धांत का अन्य अनुप्रयोग गैलोज़ विरूपण के साथ है। यह हमें प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है: यदि गैलोज़ प्रतिनिधित्व है | विरूपण सिद्धांत का अन्य अनुप्रयोग गैलोज़ विरूपण के साथ है। यह हमें प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है: यदि गैलोज़ प्रतिनिधित्व है | ||
:<math>G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)</math> है, | :<math>G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)</math> है, | ||
| Line 196: | Line 199: | ||
* श्लेसिंगर का प्रमेय | * श्लेसिंगर का प्रमेय | ||
* [[Exalcomm|एक्सएलकॉम]] | * [[Exalcomm|एक्सएलकॉम]] | ||
* [[कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स]] | * [[कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स|कोटैंजेंट मिश्रित]] | ||
* ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय | * ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय | ||
* बीजगणितीय वक्रों का मापांक | * बीजगणितीय वक्रों का मापांक | ||
| Line 224: | Line 227: | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
*{{cite web|url= http://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256A/notes/deform.pdf |title=A glimpse of deformation theory }}, lecture notes by Brian Osserman | *{{cite web|url= http://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/256A/notes/deform.pdf |title=A glimpse of deformation theory }}, lecture notes by Brian Osserman | ||
[[Category: | [[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]] | ||
[[Category:Created On 07/07/2023]] | [[Category:Created On 07/07/2023]] | ||
[[Category:Lua-based templates]] | |||
[[Category:Machine Translated Page]] | |||
[[Category:Pages with script errors]] | |||
[[Category:Templates Vigyan Ready]] | |||
[[Category:Templates that add a tracking category]] | |||
[[Category:Templates that generate short descriptions]] | |||
[[Category:Templates using TemplateData]] | |||
[[Category:बीजगणितीय ज्यामिति]] | |||
[[Category:विभेदक बीजगणित]] | |||
Latest revision as of 15:40, 31 July 2023
गणित में, विरूपण सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान Pε में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां बाधा (गणित) के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक गणना के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए [[विरूपण (अभियांत्रिकी)]] करता है।
कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की ज्यामिति में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा (समूह क्रिया (गणित)) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः संक्रियक (गणित) की विकृतियों पर भी ध्यान देता है।
जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ
गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल बहुविध्स एवं बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे कुनिहिको कोदैरा एवं डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी विद्यालय में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान को मापांक स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।
रीमैन सतहों के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि रीमैन क्षेत्र पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, अण्डाकार वक्र में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में शीफ़ कोहोमोलोजी समूह की पहचान करता है,
जहां Θ होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल (वर्गों के जर्म (गणित) का शीफ) है। उसी शीफ के H2 में बाधा है; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H1भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम हॉज नंबर h1,0 है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में y2 = x3 + ax + b के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a एवं b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a एवं b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए b2a−3 का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a एवं b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय y2 = x3 + ax + b है, परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं।
H1 से संबंधित करने के लिए सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए, जीनस g >1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है,
जहां Ω होलोमोर्फिक कोटैंजेंट बंडल एवं अंकन Ω है[2] का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी बाहरी शक्ति नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक द्विघात भिन्नताओं द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मापांक स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है।
ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल बहुविध्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित विभेदक ज्यामिति की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; ग्रोथेंडिक के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के कार्य की ठोस व्याख्या हुई; एवं अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है।