अवमुख फलन

File:ConvexFunction.svg

एक अंतराल पर अवमुख कार्य.

File:Epigraph convex.svg

एक फलन (काले रंग में) अवमुख होता है केवल तभी जब किसी फलन के रेखा-चित्र (हरे रंग में) के ऊपर का क्षेत्र अवमुख सेट हो।

File:Grafico 3d x2+xy+y2.png

बहुपद का ग्राफ चरों की संख्या अवमुख फलन x² + xy + y².

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अवमुख बनाम अवमुख नहीं

गणित में, एक वास्तविक-मूल्य वाले फलन को अवमुख कहा जाता है यदि किसी फलन के रेखा-चित्र पर किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच का रेखा खंड दो बिंदुओं के बीच रेखा-चित्र के ऊपर स्थित होता है। समान रूप से एक फलन अवमुख होता है यदि उसका एपिग्राफ (गणित) (फलन के रेखा-चित्र पर या उसके ऊपर बिंदुओं का सेट) एक अवमुख सेट है। एक एकल चर का दो बार विभेदित फलन अवमुख होता है केवल तभी जब इसका दूसरा व्युत्पन्न इसके संपूर्ण डोमेन पर गैर-ऋणात्मक हो। एकल चर के अवमुख कार्यों के प्रसिद्ध उदाहरणों में एक रैखिक फलन सम्मिलित है $f(x)=cx$ (जहाँ $c$ एक वास्तविक संख्या है) एक द्विघात फलन $cx^{2}$ ($c$ एक गैरऋणात्मक वास्तविक संख्या के रूप में) और एक घातांकीय फलन $ce^{x}$ ($c$ एक गैरऋणात्मक वास्तविक संख्या के रूप में)। सरल शब्दों में अवमुख फलन एक ऐसे फलन को संदर्भित करता है जिसका ग्राफ एक कप के आकार का होता है $\cup$ (या एक रैखिक फलन की तरह एक सीधी रेखा) जबकि एक अवतल फलन का रेखा-चित्र एक टोपी के आकार का होता है $\cap$.

अवमुख फलन गणित के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे अनुकूलन समस्याओं के अध्ययन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं जहां उन्हें कई सुविधाजनक गुणों द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक विवृत सेट पर सख्ती से अवमुख फलन में एक न्यूनतम से अधिक नहीं होता है। यहां तक ​​कि अनंत-आयामी स्थानों में भी, उपयुक्त अतिरिक्त परिकल्पनाओं के अंतर्गत अवमुख फलन ऐसे गुणों को संतुष्ट करना जारी रखते हैं और परिणामस्वरूप वे विविधताओं की गणना में सबसे अच्छी तरह से समझे जाने वाले फलनल हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के अपेक्षित मान पर लागू अवमुख फलन हमेशा यादृच्छिक चर के अवमुख फलन के अपेक्षित मान से ऊपर घिरा होता है। यह परिणाम जिसे जेन्सेन की असमानता के रूप में जाना जाता है, इसका उपयोग अंकगणित-ज्यामितीय माध्य असमानता और होल्डर की असमानता जैसी असमानताओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा

अवमुख फलन और जेन्सेन की असमानता की कल्पना करना

माना $X$ एक वास्तविक सदिश समष्टि का अवमुख समुच्चय बनें और $f:X\to \mathbb {R}$ एक फलन हो।

तब $f$ अवमुख कहा जाता हैconvex यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी लागू हो:

2. सभी $0\leq t\leq 1$ और $x_{1},x_{2}\in X$ के लिए:
3. $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$
   दाहिना हाथ बीच की सीधी रेखा को दर्शाता है $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ और $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$ के ग्राफ में $f$ के फंक्शन के रूप में $t;$ की बढ़ती $t$ से $0$ को $1$ या घट रहा है $t$ से $1$ को $0$ इस लाइन को साफ़ करता है. इसी प्रकार, फलन का तर्क $f$ बाएँ हाथ की ओर बीच की सीधी रेखा को दर्शाता है $x_{1}$ और $x_{2}$ में $X$ या $x$-के ग्राफ का अक्ष $f.$ तो, इस शर्त के लिए आवश्यक है कि वक्र पर बिंदुओं के किसी भी जोड़े के बीच सीधी रेखा हो $f$ ऊपर होना या बस रेखा-चित्र से मिलना।
4. सभी के लिए $0<t<1$ और सभी $x_{1},x_{2}\in X$ ऐसा है कि $x_{1}\neq x_{2}$:
   $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$
   उपरोक्त पहली स्थिति के संबंध में इस दूसरी स्थिति का अंतर यह है कि इस स्थिति में प्रतिच्छेदन बिंदु सम्मिलित नहीं हैं (उदाहरण के लिए, $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ और $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$) के वक्र पर बिंदुओं की एक जोड़ी से गुजरने वाली सीधी रेखा के बीच $f$ (सीधी रेखा को इस स्थिति के दाहिनी ओर दर्शाया गया है) और वक्र $f;$ पहली शर्त में प्रतिच्छेदन बिंदु सम्मिलित होते हैं $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$ या $f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$ पर $t=0$ या $1,$ या $x_{1}=x_{2}.$ वास्तव में, अवमुख उपयोग की स्थिति में प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है
   $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$
   क्योंकि $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$ और $f\left(x_{2}\right)\leq f\left(x_{2}\right)$ हमेशा सत्य होते हैं (इसलिए किसी शर्त का हिस्सा बनने के लिए उपयोगी नहीं हैं)।

अवमुख कार्यों को दर्शाने वाला दूसरा कथन, जिसका मान वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ में है, वह कथन भी अवमुख कार्यों को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जिनका मान विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में होता है $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},$ जहां ऐसा फलन $f$ लेने को मान के रूप में $\pm \infty$ लेने की अनुमति है, पहले कथन का उपयोग नहीं किया गया है क्योंकि यह अनुमति $t$ देता है $0$ या $1$ लेने की अनुमति देता है, इस स्थिति में, यदि$f\left(x_{1}\right)=\pm \infty$ या $f\left(x_{2}\right)=\pm \infty ,$ क्रमशः, फिर $tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$ अपरिभाषित होगा (क्योंकि गुणन $0\cdot \infty$ और $0\cdot (-\infty )$ अपरिभाषित हैं)। योग $-\infty +\infty$ यह भी अपरिभाषित है इसलिए एक अवमुख विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फलन को सामान्यतौर पर केवल $-\infty$ और $+\infty$ एक मूल्य के रूप में लेने की अनुमति होती है।

सख्त अवमुखता की परिभाषा प्राप्त करने के लिए दूसरे कथन को भी संशोधित किया जा सकता है, सख्त अवमुखता strict convexity, जहां बाद वाले सख्त असमानता के साथ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है $\,\leq \,$ सख्त असमानता के साथ $\,<.$ स्पष्ट रूप से, मानचित्र $f$ को कड़ाई से अवमुख कहा जाता है strictly convex सख्त अवमुखता यदि सभी वास्तविक के लिए $0<t<1$ और सभी $x_{1},x_{2}\in X$ ऐसा है कि $x_{1}\neq x_{2}$:

$$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)<tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$

एक सख्ती से अवमुख कार्य $f$ एक फलन है जो वक्र पर बिंदुओं की किसी भी जोड़ी के बीच सीधी रेखा $f$ वक्र के ऊपर है $f$ सीधी रेखा और वक्र के बीच प्रतिच्छेदन बिंदुओं को छोड़कर। फलन का एक उदाहरण जो अवमुख है लेकिन सख्ती से अवमुख नहीं है $f(x,y)=x^{2}+y$. हैं, फलन सख्ती से अवमुख नहीं है क्योंकि x निर्देशांक साझा करने वाले किन्हीं दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा होगी, जबकि x समन्वय साझा नहीं करने वाले किन्हीं दो बिंदुओं के बीच फलन का मान उनके बीच के बिंदुओं की तुलना में अधिक होगा।

फलन $f$ को [[Concave function|अवतल] बताया गया (सम्मानपूर्वक सख्ती से अवतल(strictly concave) कहा जाता है यदि $-f$ ($f$ −1 से गुणा किया जाता है) अवमुख (सम्मानपूर्वक सख्ती से अवमुख) होता है।

वैकल्पिक नामकरण

अवमुख शब्द को अक्सर अवमुख नीचे या अवतल ऊपर की ओर कहा जाता है और अवतल फलन शब्द को अक्सर अवतल नीचे या अवमुख ऊपर की ओर कहा जाता है। यदि "अवमुख" शब्द का उपयोग "ऊपर" या "नीचे" कीवर्ड के बिना किया जाता है, तो यह कड़ाई से कप के आकार के ग्राफ $\cup$ को संदर्भित करता है। उदाहरण के तौर पर, जेन्सेन की असमानता एक अवमुख या अवमुख-(नीचे), फलन से जुड़ी असमानता को संदर्भित करती है।

गुण

अवमुख कार्यों के कई गुणों में कई चर के कार्यों के लिए वही सरल सूत्रीकरण होता है जो एक चर के कार्यों के लिए होता है। कई चर के मामले के लिए गुणों के नीचे देखें, क्योंकि उनमें से कुछ एक चर के कार्यों के लिए सूचीबद्ध नहीं हैं।

एक चर के कार्य

• मान लीजिए $f$ एक अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या चर का एक कार्य है, माना
  $$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$$
  (ध्यान दें कि $R(x_{1},x_{2})$ उपरोक्त चित्र में बैंगनी रेखा का ढलान है, फलन $R$ $(x_{1},x_{2}),$ में सममित है इसका मतलब कि $R$ आदान-प्रदान से नहीं बदलता $x_{1}$ और $x_{2}$) $f$ अवमुख है यदि $R(x_{1},x_{2})$ में नीरस रूप से गैर-घटता हुआ $x_{1},$ है, प्रत्येक निश्चित के लिए $x_{2}$ (या विपरीत)। अवमुखता का यह लक्षण वर्णन निम्नलिखित परिणामों को सिद्ध करने के लिए अधिक उपयोगी है।
• कुछ विवृत अंतराल C पर परिभाषित एक वास्तविक चर का अवमुख कार्य $f$ निरंतर है, जो बाएं और दाएं अर्ध-विभेदीकरण को स्वीकार करता है, और ये नीरस रूप से गैर-घटते हैं। परिणामस्वरूप $f$$f$ बिल्कुल अलग-अलग है, अधिकांश गणनीय बिंदुओं को छोड़कर सभी जिस पर समुच्चय $f$ भिन्न नहीं है फिर भी सघन हो सकता है। अगर $C$ बंद हैं तो $f$ के अंतिम बिंदु पर निरंतर बने रहने में $C$ विफल हो सकता है (उदाहरण अनुभाग में एक उदाहरण दिखाया गया है)।
• चर का अवकलनीय फलन एक अंतराल पर अवमुख होता है केवल तभी जब इसका व्युत्पन्न उस अंतराल पर नीरस रूप से गैर-घटता हुआ हो। यदि कोई फलन अवकलनीय और अवमुख है तो यह निरंतर अवकलनीय भी है।
• चर का अवकलनीय फलन एक अंतराल पर अवमुख होता है केवल तभी जब इसका ग्राफ इसके सभी स्पर्शरेखाओं से ऊपर हो:
  $$f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)$$
  अंतराल में सभी x और y के लिए
• एक चर का दो बार अवकलनीय फलन एक अंतराल पर अवमुख होता है यदि इसका दूसरा व्युत्पन्न वहां गैर-नकारात्मक है, यह अवमुखता के लिए एक व्यावहारिक परीक्षण देता है। दृश्यमान रूप से एक दो बार विभेदित अवमुख फलन "वक्र ऊपर" होता है, बिना किसी अन्य दिशा (विभक्ति बिंदु) के झुकता है। यदि इसका दूसरा व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर सकारात्मक है तो फलन सख्ती से अवमुख है, लेकिन प्रमेय वार्तालाप मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए, $f(x)=x^{4}$ $f''(x)=12x^{2}$ का दूसरा व्युत्पन्न है जो कि शून्य $x=0,$ है लेकिन $x^{4}$ सख्ती से अवमुख है।
  • यह गुण और उपरोक्त गुण ... इसका व्युत्पन्न के संदर्भ में नीरस रूप से गैर-घटती हुआ है..." के संदर्भ में समान नहीं हैं क्योंकि यदि $f''$ एक अंतराल $X$ पर गैर-नकारात्मक है तो $f'$ एकरस रूप से घटता नहीं है $X$ पर गैर-घट रहा है जबकि इसका विपरीत सत्य नहीं है, उदाहरण के लिए $f'$ पर नीरस रूप से गैर-घट रहा जबकि $X$ यह व्युत्पन्न $f''$ $X$पर कुछ बिंदुओं पर परिभाषित नहीं है।
• अगर $f$ एक वास्तविक चर का अवमुख कार्य है और $f(0)\leq 0$, तब $f$ सकारात्मक वास्तविकताओं पर सुपरएडिटिविटी है अर्थात $f(a+b)\geq f(a)+f(b)$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए

Proof

Since $f$ is convex, by using one of the convex function definitions above and letting $x_{2}=0,$ it follows that for all real $0\leq t\leq 1,$

$$f(tx_{1})=f(tx_{1}+(1-t)\cdot 0)\leq tf(x_{1})+(1-t)f(0)\leq tf(x_{1})\rightarrow f(tx_{1})\leq tf(x_{1}).$$

From this it follows that

$$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\leq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)\rightarrow f(a)+f(b)\leq f(a+b).$$

• फलन एक अंतराल $C$ पर मध्यबिंदु अवमुख होता है सभी के लिए $x_{1},x_{2}\in C$
  $$f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}.$$
  यह स्थिति अवमुखता की तुलना में थोड़ी ही कमजोर है। उदाहरण के लिए, एक वास्तविक-मूल्यवान लेबेस्ग मापने योग्य फलन जो मध्यबिंदु-अवमुख, अवमुख है: यह सिएरपिंस्की का एक प्रमेय है। विशेष रूप से एक सतत फलन जो मध्यबिंदु अवमुख है, अवमुख होगा।

अनेक चरों के कार्य

• एक फलन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ को विस्तारित वास्तविक संख्याओं में मूल्यांकित किया जाता है। $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ अवमुख है यदि इसका एपिग्राफ (अभिलेख)
  $$\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}$$
  एक अवमुख समुच्चय है.
• अवमुख डोमेन पर परिभाषित एक अवकलनीय फलन $f$ अवमुख होता है यदि $f(x)\geq f(y)+\nabla f(y)^{T}\cdot (x-y)$ डोमेन में सभी $x,y$ के लिए धारण करता है।
• कई चरों का एक दो बार विभेदित कार्य अवमुख सेट पर अवमुख होता है यदि और केवल यदि इसके दूसरे आंशिक डेरिवेटिव का हेस्सियन मैट्रिक्स अवमुख सेट के इंटीरियर पर सकारात्मक-अर्धनिश्चित है।
• अवमुख फलन $f,$ के लिए उपस्तर सेट $\{x:f(x)<a\}$ और $\{x:f(x)\leq a\}$ साथ $a\in \mathbb {R}$ अवमुख समुच्चय हैं। एक फलन जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है उसे quasiconvex function क्वासिकोनवेक्स फलन कहा जाता है और अवमुख फलन होने में विफल हो सकता है।
• परिणामस्वरूप, अवमुख फलन $f$ के वैश्विक मिनिमाइज़र का सेट एक अवमुख सेट है।
• अवमुख फलन का कोई भी स्थानीय न्यूनतम भी एक वैश्विक न्यूनतम होता है। सख्ती से अवमुख फलन में अधिकतम एक वैश्विक न्यूनतम होगा।
• जेन्सेन की असमानता प्रत्येक अवमुख फलन $f$.पर लागू होती है अगर $X$ के क्षेत्र में मान लेने वाला एक यादृच्छिक चर $f,$ है तो $\operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X)),$ जहाँ $\operatorname {E}$ अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है। वास्तव में, अवमुख फलन बिल्कुल वही हैं जो जेन्सेन की असमानता की परिकल्पना को संतुष्ट करते हैं।
• दो सकारात्मक चर $x$ और $y,$का एक प्रथम-क्रम सदृश फलन (अर्थात, एक फलन संतोषजनक है $f(ax,ay)=af(x,y)$ सभी सकारात्मक वास्तविक के लिए $a,x,y>0$) जो एक चर में अवमुख है, उसे दूसरे चर में अवमुख होना चाहिए।

संचालन जो अवमुखता को संरक्षित करते हैं

• $-f$ अवतल है यदि $f$ अवमुख है।
• यदि $r$ कोई वास्तविक संख्या है तो $r+f$ अवमुख है यदि $f$ अवमुख है।
• अऋणात्मक भारित योग:
  • यदि $w_{1},\ldots ,w_{n}\geq 0$ और $f_{1},\ldots ,f_{n}$ सभी अवमुख हैं, तो ऐसा है $w_{1}f_{1}+\cdots +w_{n}f_{n}.$ विशेष रूप से, दो अवमुख फलनों का योग अवमुख होता है।
  • यह संपत्ति अनंत योगों, अभिन्नों और अपेक्षित मूल्यों तक भी फैली हुई है।
• तत्ववार अधिकतम: माना $\{f_{i}\}_{i\in I}$ अवमुख कार्यों का एक संग्रह है, तो $g(x)=\sup \nolimits _{i\in I}f_{i}(x)$ अवमुख है। $g(x)$ का डोमेन उन बिंदुओं का संग्रह है जहां अभिव्यक्ति परिमित है। महत्वपूर्ण विशेष मामले:
  • अगर $f_{1},\ldots ,f_{n}$ अवमुख फलन हैं तो वैसा ही है $g(x)=\max \left\{f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)\right\}.$
  • डैन्स्किन का प्रमेय: यदि $f(x,y)$ में अवमुख है तो $x$ $g(x)=\sup \nolimits _{y\in C}f(x,y)$ $x$ में अवमुख है भले ही $C$ अवमुख समुच्चय न हो।
• संघटन:
  • अगर $f$ और $g$ अवमुख फलन हैं और $g$ एक अविभाज्य डोमेन पर गैर-घटता नहीं है तो $h(x)=g(f(x))$ अवमुख है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ अवमुख है, तो $e^{f(x)}$ क्योंकि $e^{x}$ अवमुख है और नीरस रूप से बढ़ रहा है।
  • अगर $f$ अवतल है और $g$ अवमुख है और एक अविभाज्य डोमेन पर अवमुख और गैर-वृद्धि हैं तो $h(x)=g(f(x))$ अवमुख है।
  • एफ़िन मानचित्रों के अंतर्गत अवमुखता अपरिवर्तनीय है: अर्थात, यदि $f$ डोमेन $D_{f}\subseteq \mathbf {R} ^{m}$ के साथ अवमुख है तो ऐसा ही है $g(x)=f(Ax+b)$, जहाँ $A\in \mathbf {R} ^{m\times n},b\in \mathbf {R} ^{m}$ डोमेन के साथ $D_{g}\subseteq \mathbf {R} ^{n}.$
• न्यूनतमकरण: यदि $f(x,y)$ , $(x,y)$ में अवमुख है,तो$g(x)=\inf \nolimits _{y\in C}f(x,y)$में अवमुख है $x,$ उसे उपलब्ध कराया $C$ एक अवमुख समुच्चय है वह $g(x)\neq -\infty .$है।
• अगर $f$ अवमुख है, तो इसका परिप्रेक्ष्य $g(x,t)=tf\left({\tfrac {x}{t}}\right)$ डोमेन के साथ $\left\{(x,t):{\tfrac {x}{t}}\in \operatorname {Dom} (f),t>0\right\}$ अवमुख है।
• मान लीजिए $X$ एक सदिश स्थान $f:X\to \mathbf {R}$ अवमुख है और संतुष्ट करता है $f(0)\leq 0$ यदि $f(ax+by)\leq af(x)+bf(y)$ किसी भी $x,y\in X$ और कोई भी गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या $a,b$ जो $a+b\leq 1.$संतुष्ट करता है।

दृढ़ता से अवमुख कार्य

मजबूत अवमुखता की अवधारणा सख्त अवमुखता की धारणा को विस्तारित और पैरामीट्रिज करती है। एक दृढ़ता से अवमुख फलन भी सख्ती से अवमुख होता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

एक भिन्न फलन $f$ पैरामीटर के साथ दृढ़ता से अवमुख कहा जाता है $m>0$ के साथ दृढ़ता से अवमुख कहा जाता है यदि निम्नलिखित असमानता इसके डोमेन में सभी बिंदुओं $x,y$ के लिए होती है:

$$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y)\geq m\|x-y\|_{2}^{2}$$

या अधिक सामान्यत:

$$\langle \nabla f(x)-\nabla f(y),x-y\rangle \geq m\|x-y\|^{2}$$

जहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद है और $\|\cdot \|$ संगत नॉर्म (गणित) है। कुछ लेखक, जैसे इस असमानता को संतुष्ट करने वाले कार्यों को अण्डाकार संचालिका फलन के रूप में संदर्भित करते हैं।

एक समतुल्य शर्त निम्नलिखित है:

$$f(y)\geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {m}{2}}\|y-x\|_{2}^{2}$$

किसी फलन के दृढ़ता से अवमुख होने के लिए उसका अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है। पैरामीटर $m,$ के साथ दृढ़ता से अवमुख फलन के लिए एक तीसरी परिभाषा यह है कि डोमेन में सभी $x,y$ और $t\in [0,1],$के लिए

$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-{\frac {1}{2}}mt(1-t)\|x-y\|_{2}^{2}$$

ध्यान दें कि यह परिभाषा सख्त अवमुखता की परिभाषा के करीब पहुंचती है $m\to 0,$ और अवमुख फलन की परिभाषा के समान है जब $m=0.$ इसके बावजूद, ऐसे फलन मौजूद हैं जो सख्ती से अवमुख हैं लेकिन किसी के लिए दृढ़ता से अवमुख नहीं हैं $m>0$ के लिए दृढ़ता से अवमुख नहीं हैं (नीचे उदाहरण देखें)।

यदि फलन $f$ दो बार लगातार भिन्न होता है, तो यह पैरामीटर $m$ के साथ दृढ़ता से अवमुख होता है यदि $\nabla ^{2}f(x)\succeq mI$ डोमेन में सभी $x$ के लिए जहाँ $I$ पहचान है और $\nabla ^{2}f$ हेसियन मैट्रिक्स और असमानता है $\succeq$ का अर्थ है कि $\nabla ^{2}f(x)-mI$ सकारात्मक अर्ध-निश्चित है । यह इस मान की आवश्यकता के बराबर कि सभी $\nabla ^{2}f(x)$ का न्यूनतम eigenvalue कम से कम $m$ हो। यदि डोमेन केवल वास्तविक रेखा है, तो $\nabla ^{2}f(x)$ केवल दूसरा व्युत्पन्न है x तो स्थिति$f''(x),$ बन जाती है। यदि $f''(x)\geq m$. अगर $m=0$ तो इसका मतलब है कि हेसियन सकारात्मक अर्धनिश्चित है (या यदि डोमेन वास्तविक रेखा है, तो इसका मतलब है कि $f''(x)\geq 0$), जिसका अर्थ है कि फलन अवमुख है और शायद सख्ती से अवमुख है, लेकिन दृढ़ता से अवमुख नहीं है।

यह मानते हुए भी कि फलन दो बार लगातार भिन्न होता है, कोई यह दिखा सकता है कि $\nabla ^{2}f(x)$ की निचली सीमा का तात्पर्य है कि यह दृढ़ता से अवमुख है। टेलर की प्रमेय का उपयोग उपस्थित है

$$z\in \{tx+(1-t)y:t\in [0,1]\}$$

ऐसा है कि

$$f(y)=f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+{\frac {1}{2}}(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)$$

तो

$$(y-x)^{T}\nabla ^{2}f(z)(y-x)\geq m(y-x)^{T}(y-x)$$

eigenvalues ​​​​के बारे में धारणा से और इसलिए हम ऊपर दिए गए दूसरे मजबूत अवमुखता समीकरण को पुनर्प्राप्त करते हैं।

फलन $f$ यदि पैरामीटर m के साथ दृढ़ता से अवमुख होता है यदि फलन

$$x\mapsto f(x)-{\frac {m}{2}}\|x\|^{2}$$

अवमुख है.

अवमुख, सख्ती से अवमुख और दृढ़ता से अवमुख के बीच का अंतर पहली नज़र में सूक्ष्म हो सकता है। अगर $f$ दो बार निरंतर अवकलनीय है और डोमेन वास्तविक रेखा है, तो हम इसे निम्नानुसार चित्रित कर सकते हैं:

• $f$ अवमुख यदि $f''(x)\geq 0$ सभी $x.$के लिए
• $f$ सख्ती से अवमुख यदि $f''(x)>0$ सभी $x$ के लिए (ध्यान दें: यह पर्याप्त है, लेकिन आवश्यक नहीं है)।
• $f$ दृढ़ता से अवमुख यदि $f''(x)\geq m>0$ सभी $x.$के लिए।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $f$ सख्ती से अवमुख हो और मान लीजिए कि बिंदुओं $(x_{n})$ का एक क्रम ऐसा है कि $f''(x_{n})={\tfrac {1}{n}}$. भले ही $f''(x_{n})>0$, फलन दृढ़ता से अवमुख नहीं है क्योंकि $f''(x)$ मनमाने ढंग से छोटा हो जाएगा।

दो बार लगातार भिन्न होने वाला फलन $f$ एक कॉम्पैक्ट डोमेन $X$ पर जो संतुष्ट करता है $f''(x)>0$ सभी $x\in X$ इस कथन का प्रमाण चरम मूल्य प्रमेय से होता है, जो बताता है कि एक कॉम्पैक्ट सेट पर एक सतत फलन में अधिकतम और न्यूनतम होता है।

अवमुख या सख्ती से अवमुख कार्यों की तुलना में दृढ़ता से अवमुख कार्यों के साथ काम करना सामान्यतौर पर आसान होता है, क्योंकि वे एक छोटे वर्ग होते हैं। सख्ती से अवमुख कार्यों की तरह दृढ़ता से अवमुख कार्यों में कॉम्पैक्ट सेट पर अद्वितीय मिनीमा होता है।

समान रूप से अवमुख कार्य

एक समान रूप से अवमुख फलन मापांक $\phi$ के साथ फलन $f$ है, जो डोमेन में सभी $x,y$ के लिए है और $t\in [0,1],$ संतुष्ट करता है

$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|)$$

जहाँ $\phi$ एक फलन है जो गैर-नकारात्मक है और केवल 0 पर गायब हो जाता है। यह दृढ़ता से अवमुख फलन की अवधारणा का सामान्यीकरण है, $\phi (\alpha )={\tfrac {m}{2}}\alpha ^{2}$ मजबूत अवमुखता की परिभाषा को पुनर्प्राप्त करते हैं।

यह ध्यान देने योग्य है कि कुछ लेखकों को बढ़ते हुए फलन के लिए मापांक $\phi$ की आवश्यकता होती है,[15] लेकिन यह शर्त सभी लेखकों के लिए आवश्यक नहीं है।

उदाहरण

एक चर के कार्य

• फलन $f(x)=x^{2}$ में $f''(x)=2>0$ है, इसलिए f एक अवमुख फलन है। यह दृढ़ता से अवमुख भी है (और इसलिए सख्ती से अवमुख भी है), मजबूत अवमुखता स्थिरांक 2 के साथ।
• फलन $f(x)=x^{4}$ में $f''(x)=12x^{2}\geq 0$ हैं, इसलिए f एक अवमुख फलन है. यह सख्ती से अवमुख है, भले ही दूसरा व्युत्पन्न सभी बिंदुओं पर सख्ती से सकारात्मक नहीं है। यह दृढ़ता से अवमुख नहीं है.
• निरपेक्ष मान फलन $f(x)=|x|$ अवमुख है (जैसा कि त्रिभुज असमानता में परिलक्षित होता है), भले ही बिंदु $x=0.$ यह सख्ती से अवमुख नहीं है.
  • फलन

$f(x)=|x|^{p}$ के लिए $p\geq 1$ अवमुख है।

• घातांकीय फलन $f(x)=e^{x}$ अवमुख है, चूँकि यह सख्ती से अवमुख भी है, $f''(x)=e^{x}>0$ लेकिन यह दृढ़ता से अवमुख नहीं है क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न मनमाने ढंग से शून्य के करीब हो सकता है। अधिक सामान्यत, फलन $g(x)=e^{f(x)}$ लघुगणकीय रूप से अवमुख है यदि $f$ एक अवमुख फलन है। इसके स्थान पर कभी-कभी "सुपरकॉनवेक्स" शब्द का प्रयोग किया जाता है।
• डोमेन [0,1] के साथ फलन f को परिभाषित किया गया है। $f(0)=f(1)=1,f(x)=0$ के लिए $0<x<1$ अवमुख है, यह विवृत अंतराल पर निरंतर है $(0,1),$ लेकिन 0 और 1 पर निरंतर नहीं हैं।
• फलन $x^{3}$ दूसरा व्युत्पन्न $6x$ का अवकलज है। इस प्रकार यह उस सेट पर अवमुख होता है जहां $x\geq 0$ और सेट पर अवतल होता है जहां $x\leq 0.$
• ऐसे कार्यों के उदाहरण जो मोनोटोनिक फलन हैं लेकिन अवमुख नहीं हैं, उनमें $f(x)={\sqrt {x}}$ और $g(x)=\log x$ सम्मिलित हैं।
• ऐसे कार्यों के उदाहरण जो अवमुख हैं लेकिन मोनोटोनिक फलन नहीं हैं, उनमें $h(x)=x^{2}$ और $k(x)=-x$ सम्मिलित हैं।
• फलन $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ है $f''(x)={\tfrac {2}{x^{3}}}$ जो 0 से अधिक है यदि $x>0$ इसलिए $f(x)$ अंतराल $(0,\infty )$ पर अवमुख है। यह अंतराल पर अवतल होता है।
• फलन $f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}$ साथ $f(0)=\infty$, अंतराल पर अवमुख है $(0,\infty )$ और अंतराल पर अवमुख $(-\infty ,0)$ लेकिन अंतराल $(-\infty ,\infty )$ पर अवमुख नहीं है, क्योंकि विलक्षणता के कारण $x=0.$हैं।

n चर के कार्य

• LogSumExp फलन, जिसे सॉफ्टमैक्स फलन भी कहा जाता है, एक अवमुख फलन है।
• फलन $-\log \det(X)$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के डोमेन पर अवमुख है।
• प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान रैखिक परिवर्तन अवमुख है, लेकिन सख्ती से अवमुख नहीं है, क्योंकि यदि $f$ रैखिक है तो $f(a+b)=f(a)+f(b)$. यदि हम अवमुख को अवतल से प्रतिस्थापित करते हैं तो यह कथन भी लागू होता है।
• प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान एफ़िन फलन अर्थात, प्रपत्र का प्रत्येक फलन $f(x)=a^{T}x+b,$ एक साथ अवमुख और अवतल है।
• त्रिभुज असमानता और सकारात्मक एकरूपता द्वारा प्रत्येक मानदंड एक अवमुख फलन है।
• एक गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स का वर्णक्रमीय त्रिज्या उसके विकर्ण तत्वों का अवमुख कार्य है।

यह भी देखें

• अवतल कार्य
• उत्तल विश्लेषण
• उत्तल संयुग्म
• उत्तल वक्र
• उत्तल अनुकूलन
• जियोडेसिक उत्तलता
• हैन-बानाच प्रमेय
• हर्मिट-हैडमार्ड असमानता
• K-उत्तल फ़ंक्शन
• जेन्सेन की असमानता
• के-उत्तल फ़ंक्शन
• कचुरोव्स्की का प्रमेय, जो उत्तलता को व्युत्पन्न के मोनोटोन ऑपरेटर से संबंधित करता है
• करामाता की असमानता
• लघुगणकीय रूप से उत्तल फ़ंक्शन
• स्यूडोकोनवेक्स फ़ंक्शन
• क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन
• उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न

संदर्भ

• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

बाहरी संबंध

• "Convex function (of a real variable)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Convex function (of a complex variable)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]