अवमुख फलन

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एक अंतराल पर अवमुख कार्य.

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एक फलन (काले रंग में) अवमुख होता है केवल तभी जब किसी फलन के रेखा-चित्र (हरे रंग में) के ऊपर का क्षेत्र अवमुख सेट हो।

File:Grafico 3d x2+xy+y2.png

बहुपद का ग्राफ चरों की संख्या अवमुख फलन x² + xy + y².

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अवमुख बनाम अवमुख नहीं

गणित में, एक वास्तविक-मूल्य वाले फलन को अवमुख कहा जाता है यदि किसी फलन के रेखा-चित्र पर किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच का रेखा खंड दो बिंदुओं के बीच रेखा-चित्र के ऊपर स्थित होता है। समान रूप से एक फलन अवमुख होता है यदि उसका एपिग्राफ (गणित) (फलन के रेखा-चित्र पर या उसके ऊपर बिंदुओं का सेट) एक अवमुख सेट है। एक एकल चर का दो बार विभेदित फलन अवमुख होता है केवल तभी जब इसका दूसरा व्युत्पन्न इसके संपूर्ण डोमेन पर गैर-ऋणात्मक हो। एकल चर के अवमुख कार्यों के प्रसिद्ध उदाहरणों में एक रैखिक फलन सम्मिलित है $f(x)=cx$ (जहाँ $c$ एक वास्तविक संख्या है) एक द्विघात फलन $cx^{2}$ ($c$ एक गैरऋणात्मक वास्तविक संख्या के रूप में) और एक घातांकीय फलन $ce^{x}$ ($c$ एक गैरऋणात्मक वास्तविक संख्या के रूप में)। सरल शब्दों में अवमुख फलन एक ऐसे फलन को संदर्भित करता है जिसका ग्राफ एक कप के आकार का होता है $\cup$ (या एक रैखिक फलन की तरह एक सीधी रेखा) जबकि एक अवतल फलन का रेखा-चित्र एक टोपी के आकार का होता है $\cap$.

अवमुख फलन गणित के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे अनुकूलन समस्याओं के अध्ययन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं जहां उन्हें कई सुविधाजनक गुणों द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक विवृत सेट पर सख्ती से अवमुख फलन में एक न्यूनतम से अधिक नहीं होता है। यहां तक ​​कि अनंत-आयामी स्थानों में भी, उपयुक्त अतिरिक्त परिकल्पनाओं के अंतर्गत अवमुख फलन ऐसे गुणों को संतुष्ट करना जारी रखते हैं और परिणामस्वरूप वे विविधताओं की गणना में सबसे अच्छी तरह से समझे जाने वाले फलनल हैं। संभाव्यता सिद्धांत में एक यादृच्छिक चर के अपेक्षित मान पर लागू अवमुख फलन हमेशा यादृच्छिक चर के अवमुख फलन के अपेक्षित मान से ऊपर घिरा होता है। यह परिणाम जिसे जेन्सेन की असमानता के रूप में जाना जाता है, इसका उपयोग अंकगणित-ज्यामितीय माध्य असमानता और होल्डर की असमानता जैसी असमानताओं को कम करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा

File:Convex 01.ogg

अवमुख फलन और जेन्सेन की असमानता की कल्पना करना

माना $X$ एक वास्तविक सदिश समष्टि का अवमुख समुच्चय बनें और $f:X\to \mathbb {R}$ एक फलन हो।

तब $f$ अवमुख कहा जाता हैconvex यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी लागू हो:

2. सभी $0\leq t\leq 1$ और $x_{1},x_{2}\in X$ के लिए:
3. $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$
   दाहिना हाथ बीच की सीधी रेखा को दर्शाता है $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ और $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$ के ग्राफ में $f$ के फंक्शन के रूप में $t;$ की बढ़ती $t$ से $0$ को $1$ या घट रहा है $t$ से $1$ को $0$ इस लाइन को साफ़ करता है. इसी प्रकार, फलन का तर्क $f$ बाएँ हाथ की ओर बीच की सीधी रेखा को दर्शाता है $x_{1}$ और $x_{2}$ में $X$ या $x$-के ग्राफ का अक्ष $f.$ तो, इस शर्त के लिए आवश्यक है कि वक्र पर बिंदुओं के किसी भी जोड़े के बीच सीधी रेखा हो $f$ ऊपर होना या बस रेखा-चित्र से मिलना।
4. सभी के लिए $0<t<1$ और सभी $x_{1},x_{2}\in X$ ऐसा है कि $x_{1}\neq x_{2}$:
   $$f\left(tx_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)$$
   उपरोक्त पहली स्थिति के संबंध में इस दूसरी स्थिति का अंतर यह है कि इस स्थिति में प्रतिच्छेदन बिंदु सम्मिलित नहीं हैं (उदाहरण के लिए, $\left(x_{1},f\left(x_{1}\right)\right)$ और $\left(x_{2},f\left(x_{2}\right)\right)$) के वक्र पर बिंदुओं की एक जोड़ी से गुजरने वाली सीधी रेखा के बीच $f$ (सीधी रेखा को इस स्थिति के दाहिनी ओर दर्शाया गया है) और वक्र $f;$ पहली शर्त में प्रतिच्छेदन बिंदु सम्मिलित होते हैं $f\left(x_{1}\right)\leq f\left(x_{1}\right)$ या $f$