वर्ग आव्युह

क्रम 4 का एक वर्ग आव्युह । प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाएं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व सम्मलित हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

गणित में, एक वर्ग आव्युह एक आव्युह होता है जिसमें समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। एक n-by-n आव्युह को क्रम के वर्ग आव्युह के रूप में जाना जाता है। $n$ समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।

वर्ग आव्युह का उपयोग अधिकांशतः सरल रैखिक परिवर्तन, जैसे कि कर्तन या घूर्णन (गणित) को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $R$ एक वर्गाकार आव्युह है जो एक घूर्णन (घूर्णन आव्युह ) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {v}$ एक स्तंभ सदिश होता है जो एक रिक्त स्थान में एक बिंदु की स्थिति (सदिश) का वर्णन करता है, उत्पाद $R\mathbf {v}$ उस घूर्णन के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक और कॉलम सदिश उत्पन्न करता है। अगर $\mathbf {v}$ एक पंक्ति सदिश होता है, तो $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ का परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है जहाँ $R^{\mathsf {T}}$$R$ का स्थानांतरण होता है।

मुख्य विकर्ण

Main article: मुख्य विकर्ण

प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ (i = 1, …, n) एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित होते हैं जो आव्युह के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10 सम्मलित होता हैं।

एक वर्ग आव्युह के शीर्ष दाएं से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिविकर्ण या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।

विशेष प्रकार

Name	Example with n = 3
विकर्ण आव्यूह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
निचला त्रिभुजाकार आव्युह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

विकर्ण या त्रिकोणीय आव्युह

यदि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, तो $A$ को विकर्ण आव्युह कहा जाता है। यदि परन्तु मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, तो $A$ को ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय आव्युह कहा जाता है।

सममिति आव्युह

सममिति आव्युह में $I_{n}$ आकार का $n$ होता है $n\times n$ आव्युह जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर होते हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

यह क्रम $n$ का एक वर्ग आव्युह होता है और एक विशेष प्रकार का विकर्ण आव्युह भी होता है। इसे सममिति आव्युह कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने पर आव्युह अपरिवर्तित रहता है:

AI_n = I_mA = A

किसी भी m×n आव्युह के लिए $A$ होता है।

व्युत्क्रमणीय आव्युह और इसका व्युत्क्रम

एक वर्ग आव्युह $A$ यदि कोई आव्युह उपस्थित $B$ होता है तो इसे व्युत्क्रमणीय आव्युह या गैर-एकवचन कहा जाता है

$AB=BA=I_{n}.$

अगर $B$ उपस्थित है, तो यह अद्वितीय होता है और इसे $A$ का व्युत्क्रम आव्युह कहा जाता है जिसे $A^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

सममित या तिरछा-सममितआव्युह

एक वर्ग आव्युह $A$ यह इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है, अर्थात, $A^{\mathsf {T}}=A$, एक सममित आव्युह होता है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{\mathsf {T}}=-A$ होता है, तब $A$ को तिरछा-सममित आव्युह कहा जाता है।

एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ के लिए अधिकांशतः स्थानांतरण का उपयुक्त अनुरूप संयुग्म स्थानांतरण $A^{*}$ होता है, जिसको सम्मिश्र संयुग्म के स्थानान्तरण $A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ $A^{*}=A$ को संतुष्टि देता है जिसे हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{*}=-A$ तब $A$ को तिरछा-हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सममित (या सम्मिश्र हर्मिटियन) आव्यूहों में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) अपना आधार होता है; अर्थात्, प्रत्येक सदिशआइजेन सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों ही स्थितियों में, सभीआइजेन ​​​​वास्तविक होते हैं।

निश्चित आव्युह

सकारात्मक-निश्चित	अनिश्चित
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Points such that Q(x, y) = 1 (दीर्घवृत्त).	File:Hyperbola2 SVG.svg Points such that Q(x, y) = 1 (अतिपरवलय).

एक सममित n×n-आव्युह को सकारात्मक-निश्चित आव्युह कहा जाता है | सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चितकालीन), यदि सभी गैर-शून्य सदिशो के लिए $x\in \mathbb {R} ^{n}$ संबंधित द्विघात रूप दिया गया है

Q(x) = x^T Ax.

परन्तु सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः परन्तु नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक दोनों)। यदि द्विघात रूप परन्तु गैर-नकारात्मक (क्रमशः परन्तु गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-अर्ध-निश्चित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह निश्चित रूप से अनिश्चित होता है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है और न ही नकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है।

एक सममित आव्युह सकारात्मक-निश्चित है यदि और परन्तु तभी जब इसके सभी स्वदेशी मान सकारात्मक हों। दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्युह के लिए दो संभावनाएं दिखाती है।

इसके अतिरिक्त इनपुट के रूप में दो अलग-अलग सदिशों को अनुमति देने से A से जुड़ा द्विरेखीय रूप प्राप्त होता है:

BA(x, y) = x^T Ay.

ओर्थोगोनल आव्युह

एक ऑर्थोगोनल आव्युह वास्तविक संख्या प्रविष्टियों वाला एक वर्ग आव्युह होता है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल इकाई सदिश (अर्थात्, लंबनात्मकता सदिश) हैं। समान रूप से, एक आव्युह A ऑर्थोगोनल होता है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के बराबर होता है:

$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$

जिसमें सम्मलित है

$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$

जहां I सममिति आव्युह होता है।

एक ऑर्थोगोनल आव्युह A आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह (व्युत्क्रम के साथ A⁻¹ = A^T होता है), एकात्मक आव्युह (A⁻¹ = A*), और सामान्य आव्युह (A*A = AA*) होता है। किसी भी ऑर्थोगोनल आव्युह का निर्धारक या तो +1 या -1 होता है। विशेष ओर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n)$ के होते हैं n × n निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह होता है ।

ऑर्थोगोनल आव्युह का सम्मिश्र संख्या सादृश्य एक एकात्मक आव्युह होता है।

सामान्य आव्युह

एक वास्तविक या सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ को सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि $A^{*}A=AA^{*}$ होता है। यदि एक वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित, या ऑर्थोगोनल होता है, तो यह सामान्य होता है। यदि एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह हर्मिटियन, स्क्यू-हर्मिटियन, या एकात्मक होता है, तो यह सामान्य होता है। सामान्य आव्यूह मुख्य रूप से रुचिकर होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्यूहों के प्रकार सम्मलित होते हैं और वे आव्यूहों का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है।

संचालन

अनुरेखण

एक आव्युह का अनुरेखण, एक वर्ग आव्युह A का tr(A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग होता है। जबकि आव्युह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है, दो आव्युह के उत्पाद का चिह्न कारकों के क्रम से स्वतंत्र होता है:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$

यह आव्युह गुणन की परिभाषा से अविलम्ब होता है:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).$

इसके अतिरिक्त, एक आव्युह का अनुरेखण उसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है, अर्थात्,

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$

निर्धारक

Main article: निर्धारक

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पर एक रेखीय परिवर्तन $\mathbb {R} ^{2}$ संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का निर्धारक −1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1 है, लेकिन मानचित अभिविन्यास (गणित) को व्युत्क्रम कर देता है, क्योंकि यह सदिश के वामावर्त अभिविन्यास को दक्षिणावर्त दिशा में परिवर्तित कर देता है।

निर्धारक $\det(A)$ या $|A|$ एक वर्ग आव्युह $A$ के आव्युह के कुछ गुणों को कूटलेखन करने वाली एक संख्या होती है। इस प्रकार एक आव्युह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और परन्तु यदि इसका सारणिक अशून्य होता है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल (इंच) $\mathbb {R} ^{2}$ के बराबर होता है ) या आयतन (इंच) $\mathbb {R} ^{3}$) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिह्न संबंधित रैखिक मानचित्र के अभिविन्यास से एकरूपता में होते है: निर्धारक सकारात्मक होता है यदि और परन्तु यदि अभिविन्यास संरक्षित होता है।

2×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है?

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सरस का नियम) सम्मलित होता हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लाइबनिज सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।

वर्ग आव्यूहों के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:

$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

किसी पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ के गुणज को दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। इस प्रकार दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित किया जाता है। इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी भी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी आव्युह के निर्धारक की गणना करने की एक विधि प्रदान करता है। अंत में, लाप्लास विस्तार निर्धारक को लघु (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात्, छोटे आव्यूहों के निर्धारक। इस प्रकार इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक स्थिति के रूप में 1×1 आव्युह का निर्धारक, जो इसकी अद्वितीय प्रविष्टि है, या यहां तक ​​​​कि 0×0 आव्युह का निर्धारक, जो 1 है) के रूप में लिया जा सकता है, जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समतुल्य माना जाता है। इस प्रकार क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन सिस्टम के प्रत्येक चर के मूल्य के बराबर होता है।

आइजेनमान और आइजेनसदिश

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एक संख्या λ और एक गैर-शून्य सदिश $\mathbf {v}$ संतुष्टि देने वाला होता है

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

जिसे $A$ काआइजेन मूल्य और आइजेन सदिश कहा जाता है। संख्या λ एक n×n-आव्युह A का एकआइजेन मूल्य होता है यदि और परन्तु यदि A − λI_n व्युत्क्रम नहीं होता है, जो कि तार्किक तुल्यता होती है

$\det(A-\lambda I)=0.$

बहुपद p_A निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित (चर) एक्स में det(XI_n − A) को A का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक बहुपद होता है। इसलिए बहुपद समीकरण p_A(λ) = 0 में अधिकतम n विभिन्न समाधान होते हैं, अर्थात, आव्युह केआइजेन मान होते है। तथापि A की प्रविष्टियाँ वास्तविक हों, वे सम्मिश्र हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, p_A(A) = 0, अर्थात्, आव्युह को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य आव्युह उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

• कार्टन आव्युह

संदर्भ

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

बाहरी संबंध

• Media related to वर्ग आव्युह at Wikimedia Commons