गाऊसी फलन

"Gaussian curve" redirects here. For the band, see Gaussian Curve (band).

गणित में, गाऊसी फ़ंक्शन, जिसे अक्सर गाऊसी के रूप में जाना जाता है, आधार रूप का फ़ंक्शन (गणित) है

$$f(x)=\exp(-x^{2})$$

और पैरामीट्रिक विस्तार के साथ

$$f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)$$

मनमाना वास्तविक संख्या स्थिरांक के लिए a, b और गैर-शून्य c. इसका नाम गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है। गॉसियन के किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ विशिष्ट सममित सामान्य वितरण आकार है। पैरामीटर aवक्र के शिखर की ऊंचाई है, b शिखर के केंद्र की स्थिति है, और c (मानक विचलन, जिसे कभी-कभी गॉसियन रूट माध्य वर्ग चौड़ाई भी कहा जाता है) घंटी की चौड़ाई को नियंत्रित करता है।

गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग अक्सर अपेक्षित मूल्य के साथ सामान्य वितरण यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है μ = b और विचरण σ² = c². इस मामले में, गॉसियन रूप का है

$$g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).$$

गॉसियन फ़ंक्शंस का व्यापक रूप से सामान्य वितरण का वर्णन करने के लिए आंकड़ों में उपयोग किया जाता है, गाऊसी फिल्टर को परिभाषित करने के लिए संकेत आगे बढ़ाना में, छवि प्रसंस्करण में जहां गौस्सियन धुंधलापन ्स के लिए दो-आयामी गॉसियन का उपयोग किया जाता है, और गणित में गर्मी समीकरणों और प्रसार समीकरणों को हल करने और वीयरस्ट्रैस को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है। परिवर्तन.

गुण

गौसियन फ़ंक्शन अवतल फ़ंक्शन द्विघात फ़ंक्शन के साथ घातीय फ़ंक्शन की रचना करके उत्पन्न होते हैं:

$$f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),$$

कहाँ

• $\alpha =-1/2c^{2},$
• $\beta =b/c^{2},$
• $\gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).$

(नोट: में $\ln a,a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})$, भ्रमित न हों $\alpha =-1/2c^{2},$)

इस प्रकार गॉसियन फलन वे फलन हैं जिनका लघुगणक अवतल द्विघात फलन है।

पैरामीटर c के अनुसार शिखर की आधी अधिकतम पर पूरी चौड़ाई (एफडब्ल्यूएचएम) से संबंधित है

$${\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.$$

फिर फ़ंक्शन को FWHM के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका प्रतिनिधित्व किया जाता है w:

$$f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.$$

वैकल्पिक रूप से, पैरामीटर c की व्याख्या यह कहकर की जा सकती है कि फ़ंक्शन के दो विभक्ति बिंदु घटित होते हैं x = b ± c.

गाऊसी के लिए अधिकतम (एफडब्ल्यूटीएम) के दसवें हिस्से पर पूरी चौड़ाई रुचिकर हो सकती है और है भी

$${\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.$$

गॉसियन फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन हैं, और उनकी सीमा (गणित) इस प्रकार है x → ∞ 0 है (उपरोक्त मामले के लिए b = 0).

गॉसियन फ़ंक्शंस उन फ़ंक्शंस में से हैं जो प्राथमिक फ़ंक्शन (विभेदक बीजगणित) हैं लेकिन प्राथमिक antiderivative ्स का अभाव है; गॉसियन फ़ंक्शन का अभिन्न अंग त्रुटि फ़ंक्शन है:

$$\int e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.$$

फिर भी, गाऊसी अभिन्न का उपयोग करके संपूर्ण वास्तविक रेखा पर उनके अनुचित इंटीग्रल का सटीक मूल्यांकन किया जा सकता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},$$

और प्राप्त करता है

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$$

अपेक्षित मान के साथ स्थिर गाऊसी वक्रों को सामान्य बनाना μ और विचरण σ². संबंधित पैरामीटर हैं ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$, b = μ और c = σ.

यह समाकलन 1 यदि और केवल यदि है ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$ (सामान्यीकरण स्थिरांक), और इस मामले में गाऊसी अपेक्षित मूल्य के साथ सामान्य वितरण यादृच्छिक चर की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है μ = b और विचरण σ² = c²:

$$g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$$

इन गाऊसी को संलग्न चित्र में दर्शाया गया है।

शून्य पर केन्द्रित गॉसियन फ़ंक्शन फूरियर फूरियर रूपांतरण#अनिश्चितता सिद्धांत को न्यूनतम करते हैं.

दो गाऊसी कार्यों का उत्पाद गाऊसी है, और दो गाऊसी कार्यों का कनवल्शन भी गाऊसी है, जिसमें भिन्नता मूल भिन्नताओं का योग है: $c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}$. हालाँकि, दो गाऊसी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) का उत्पाद सामान्य तौर पर गाऊसी पीडीएफ नहीं है।

मापदंडों के साथ गाऊसी फ़ंक्शन का फूरियर ट्रांसफॉर्म # अन्य कन्वेंशन | फूरियर ट्रांसफॉर्म (एकात्मक, कोणीय-आवृत्ति सम्मेलन) लेना a = 1, b = 0 और c पैरामीटर के साथ और गॉसियन फ़ंक्शन उत्पन्न करता है $c$, b = 0 और $1/c$. तो विशेष रूप से गाऊसी कार्य करता है b = 0 और $c=1$ फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म द्वारा स्थिर रखे जाते हैं (वे eigenvalue 1 के साथ फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म के eigenfunctions हैं)।

एक भौतिक अहसास फ्राउनहोफर विवर्तन का है # गाऊसी प्रोफ़ाइल के साथ एपर्चर द्वारा विवर्तन: उदाहरण के लिए, फोटोग्राफिक स्लाइड जिसके संप्रेषण में गाऊसी भिन्नता है वह भी गाऊसी फ़ंक्शन है।

तथ्य यह है कि गॉसियन फ़ंक्शन निरंतर फूरियर रूपांतरण का आइजनफंक्शन है जो हमें निम्नलिखित दिलचस्प निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है पॉइसन योग सूत्र से पहचान:

$$\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).$$

गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग

एक मनमाना गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है

$$\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2}}a\,|c|\,{\sqrt {\pi }}.$$

एक वैकल्पिक रूप है

$$\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),$$

जहां अभिन्न अभिसरण के लिए एफ को सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए।

मानक गॉसियन इंटीग्रल से संबंध

अभिन्न

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx$$

कुछ वास्तविक संख्या स्थिरांकों के लिए a, b, c > 0 की गणना गाऊसी इंटीग्रल के रूप में करके की जा सकती है। सबसे पहले, स्थिरांक a को केवल समाकलन से गुणनखंडित किया जा सकता है। इसके बाद, एकीकरण का चर x से बदल दिया जाता है y = x − b:

$$a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,$$

और फिर को $z=y/{\sqrt {2c^{2}}}$:

$$a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.$$

फिर, गॉसियन इंटीग्रल का उपयोग करना

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},$$

अपने पास

$$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.$$

द्वि-आयामी गाऊसी फ़ंक्शन

द्वि-आयामी डोमेन के साथ गाऊसी फ़ंक्शन का 3डी प्लॉट

आधार फार्म:

$$f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})$$

दो आयामों में, गॉसियन फ़ंक्शन में ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया गया है वह कोई नकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप है। नतीजतन, गाऊसी के स्तर सेट हमेशा दीर्घवृत्त होंगे।

द्वि-आयामी गाऊसी फ़ंक्शन का विशेष उदाहरण है

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).$$

यहाँ गुणांक A आयाम x है₀, और₀ केंद्र है, और σ_x, पी_y बूँद के x और y फैलाव हैं। दाईं ओर का चित्र A = 1, x का उपयोग करके बनाया गया था₀ = 0, और₀ = 0, पृ_x = पी_y = 1.

गॉसियन फ़ंक्शन के अंतर्गत वॉल्यूम दिया गया है

$$V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.$$

सामान्य तौर पर, द्वि-आयामी अण्डाकार गॉसियन फ़ंक्शन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},$$

जहां मैट्रिक्स

$${\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}$$

सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है|सकारात्मक-निश्चित।

इस सूत्रीकरण का उपयोग करके दाईं ओर का चित्र बनाया जा सकता है A = 1, (x₀, y₀) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0.

सामान्य समीकरण के लिए मापदंडों का अर्थ

समीकरण के सामान्य रूप के लिए गुणांक A शिखर की ऊंचाई है (x₀, y₀) बूँद का केंद्र है.

अगर हम सेट करते हैं

$${\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}$$

फिर हम बूँद को सकारात्मक, वामावर्त कोण से घुमाते हैं $\theta$ (नकारात्मक, दक्षिणावर्त घुमाव के लिए, b गुणांक में चिह्नों को उल्टा करें)। गुणांक वापस पाने के लिए $\theta$, $\sigma _{X}$ और $\sigma _{Y}$ से $a$, $b$ और $c$ उपयोग

${\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}$ गॉसियन बूँदों के उदाहरण घूर्णन निम्नलिखित उदाहरणों में देखे जा सकते हैं:

$\theta =0$

$\theta =-\pi /6$

$\theta =-\pi /3$

निम्नलिखित जीएनयू ऑक्टेव कोड का उपयोग करके, पैरामीटर बदलने का प्रभाव आसानी से देखा जा सकता है:

A = 1;
x0 = 0; y0 = 0;

sigma_X = 1;
sigma_Y = 2;

[X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

for theta = 0:pi/100:pi
    a = cos(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + sin(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);
    b = sin(2 * theta) / (4 * sigma_X^2) - sin(2 * theta) / (4 * sigma_Y^2);
    c = sin(theta)^2 / (2 * sigma_X^2) + cos(theta)^2 / (2 * sigma_Y^2);

    Z = A * exp(-(a * (X - x0).^2 + 2 * b * (X - x0) .* (Y - y0) + c * (Y - y0).^2));

    surf(X, Y, Z);
    shading interp;
    view(-36, 36)
    waitforbuttonpress
end

ऐसे फ़ंक्शंस का उपयोग अक्सर छवि प्रसंस्करण और दृश्य तंत्र फ़ंक्शन के कम्प्यूटेशनल मॉडल में किया जाता है - स्केल स्पेस और एफ़िन आकार अनुकूलन पर लेख देखें।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण भी देखें।

उच्च-क्रम गाऊसी या सुपर-गाऊसी फ़ंक्शन

फ़्लैट-टॉप और गॉसियन फ़ॉल-ऑफ़ के साथ गॉसियन फ़ंक्शन का अधिक सामान्य सूत्रीकरण प्रतिपादक की सामग्री को घात तक बढ़ाकर लिया जा सकता है $P$:

$$f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).$$

इस फ़ंक्शन को सुपर-गॉसियन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है और इसका उपयोग अक्सर गाऊसी बीम फॉर्मूलेशन के लिए किया जाता है। इस फ़ंक्शन को आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पर पूरी चौड़ाई के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है w:

$$f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).$$

द्वि-आयामी सूत्रीकरण में, गाऊसी कार्य करता है $x$ और $y$ जोड़ा जा सकता है संभावित रूप से भिन्न के साथ $P_{X}$ और $P_{Y}$ आयताकार गाऊसी वितरण बनाने के लिए:

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).$$

या अण्डाकार गाऊसी वितरण:

$$f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)$$

बहुआयामी गाऊसी फ़ंक्शन

Main article: Multivariate normal distribution

एक में $n$-आयामी स्थान गाऊसी फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),$$

कहाँ $x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ का कॉलम है $n$ निर्देशांक, $C$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है|सकारात्मक-निश्चित $n\times n$ मैट्रिक्स, और ${}^{\mathsf {T}}$ स्थानान्तरण को दर्शाता है।

संपूर्ण रूप से इस गाऊसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग $n$-आयामी स्थान इस प्रकार दिया गया है

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.$$

मैट्रिक्स को विकर्णित करके इसकी गणना आसानी से की जा सकती है $C$ और एकीकरण चर को eigenvectors में बदल रहा है $C$.

अधिक सामान्यतः स्थानांतरित गाऊसी फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),$$

कहाँ $s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}$ शिफ्ट वेक्टर और मैट्रिक्स है $C$ सममित माना जा सकता है, $C^{\mathsf {T}}=C$, और सकारात्मक-निश्चित। इस फ़ंक्शन के साथ निम्नलिखित इंटीग्रल की गणना उसी तकनीक से की जा सकती है:

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.$$

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.$$

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.$$

$${\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}$$

कहाँ ${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

मापदंडों का अनुमान

See also: Normal distribution § Estimation of parameters

फोटोमेट्री (खगोल विज्ञान), गाऊसी किरण लक्षण वर्णन, और उत्सर्जन स्पेक्ट्रम#उत्सर्जन स्पेक्ट्रोस्कोपी|उत्सर्जन/अवशोषण लाइन स्पेक्ट्रोस्कोपी जैसे कई क्षेत्र नमूना गॉसियन कार्यों के साथ काम करते हैं और फ़ंक्शन की ऊंचाई, स्थिति और चौड़ाई पैरामीटर का सटीक अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। 1डी गॉसियन फ़ंक्शन के लिए तीन अज्ञात पैरामीटर हैं (ए, बी, सी) और 2डी गॉसियन फ़ंक्शन के लिए पांच अज्ञात पैरामीटर हैं $(A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})$.

गाऊसी मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए सबसे आम तरीका डेटा का लघुगणक और परिणामी डेटा सेट में बहुपद फिटिंग लेना है।Caruana, Richard A.; Searle, Roger B.; Heller, Thomas.; Shupack, Saul I. (1986). "स्पेक्ट्रा के रिज़ॉल्यूशन के लिए तेज़ एल्गोरिदम". Analytical Chemistry. American Chemical Society (ACS). 58 (6): 1162–1167. doi:10.1021/ac00297a041. ISSN 0003-2700.</ref> हालांकि यह सरल वक्र फिटिंग प्रक्रिया प्रदान करता है, परिणामी एल्गोरिदम छोटे डेटा मानों को अत्यधिक भार देकर पक्षपाती हो सकता है, जो प्रोफ़ाइल अनुमान में बड़ी त्रुटियां उत्पन्न कर सकता है। भारित न्यूनतम वर्ग अनुमान के माध्यम से, छोटे डेटा मानों के वजन को कम करके इस समस्या की आंशिक रूप से भरपाई की जा सकती है, लेकिन गॉसियन की पूंछ को फिट पर हावी होने की अनुमति देकर इसे भी पक्षपाती किया जा सकता है। पूर्वाग्रह को दूर करने के लिए, कोई व्यक्ति पुनरावृत्तीय रूप से पुनः भारित न्यूनतम वर्ग प्रक्रिया का उपयोग कर सकता है, जिसमें प्रत्येक पुनरावृत्ति पर भार अद्यतन किया जाता है।लॉगरिदमिक डेटा परिवर्तन को शामिल किए बिना, डेटा पर सीधे गैर-रेखीय प्रतिगमन करना भी संभव है; अधिक विकल्पों के लिए, संभाव्यता वितरण फिटिंग देखें।

पैरामीटर परिशुद्धता

एक बार जब किसी के पास गॉसियन फ़ंक्शन मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एल्गोरिदम होता है, तो यह जानना भी महत्वपूर्ण है कि उन अनुमानों की सटीकता और परिशुद्धता कितनी है। कोई भी न्यूनतम वर्ग अनुमान एल्गोरिदम प्रत्येक पैरामीटर के भिन्नता के लिए संख्यात्मक अनुमान प्रदान कर सकता है (यानी, फ़ंक्शन की अनुमानित ऊंचाई, स्थिति और चौड़ाई का भिन्नता)। डेटा के बारे में कुछ धारणाओं को देखते हुए, पैरामीटर भिन्नताओं पर निचली सीमा के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए क्रैमर-राव बाउंड सिद्धांत का भी उपयोग किया जा सकता है।

1. मापी गई प्रोफ़ाइल में शोर या तो स्वतंत्र है और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है|i.i.d. गाऊसी, या शोर पॉइसन वितरण है|पॉइसन-वितरित।
2. प्रत्येक नमूने के बीच का अंतर (यानी डेटा को मापने वाले पिक्सेल के बीच की दूरी) समान है।
3. शिखर का अच्छी तरह से नमूना लिया गया है, ताकि शिखर के नीचे का 10% से कम क्षेत्र या आयतन (क्षेत्र यदि 1D गॉसियन है, आयतन यदि 2D गॉसियन है) माप क्षेत्र के बाहर हो।
4. शिखर की चौड़ाई नमूना स्थानों के बीच की दूरी से बहुत बड़ी है (यानी डिटेक्टर पिक्सल गॉसियन एफडब्ल्यूएचएम से कम से कम 5 गुना छोटा होना चाहिए)।

जब ये धारणाएँ संतुष्ट हो जाती हैं, तो निम्नलिखित सहप्रसरण मैट्रिक्स K 1D प्रोफ़ाइल मापदंडों के लिए लागू होता है $a$, $b$, और $c$ आई.आई.डी. के अंतर्गत गाऊसी शोर और पॉइसन शोर के तहत:

$$\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,$$

कहाँ $\delta _{X}$ फ़ंक्शन का नमूना लेने के लिए उपयोग किए जाने वाले पिक्सेल की चौड़ाई है, $Q$ डिटेक्टर की क्वांटम दक्षता है, और $\sigma$ माप शोर के मानक विचलन को इंगित करता है। इस प्रकार, गॉसियन शोर मामले में, मापदंडों के लिए अलग-अलग भिन्नताएं हैं,

$${\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}$$

और पॉइसन शोर मामले में,

$${\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}$$

आयाम देने वाले 2डी प्रोफ़ाइल पैरामीटर के लिए $A$, पद $(x_{0},y_{0})$, और चौड़ाई $(\sigma _{X},\sigma _{Y})$ प्रोफ़ाइल में, निम्नलिखित सहप्रसरण मैट्रिक्स लागू होते हैं:

जहां व्यक्तिगत पैरामीटर प्रसरण सहप्रसरण मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए हैं।

असतत गाऊसी

Main article: Discrete Gaussian kernel

स्केल के लिए नमूना किए गए गॉसियन कर्नेल (धराशायी) के साथ तुलना में असतत गॉसियन कर्नेल (ठोस) $t=0.5,1,2,4.$

कोई गॉसियन के लिए अलग एनालॉग के लिए पूछ सकता है;

यह अलग-अलग अनुप्रयोगों, विशेषकर अंकीय संकेत प्रक्रिया में आवश्यक है। सरल उत्तर निरंतर गाऊसी का नमूना लेना है, जिससे नमूना गाऊसी कर्नेल प्राप्त होता है। हालाँकि, इस असतत फ़ंक्शन में निरंतर फ़ंक्शन के गुणों के असतत एनालॉग नहीं होते हैं, और यह अवांछित प्रभाव पैदा कर सकता है, जैसा कि आलेख स्केल स्पेस कार्यान्वयन में वर्णित है।

एक वैकल्पिक तरीका असतत गाऊसी कर्नेल का उपयोग करना है:

$$T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)$$

कहाँ $I_{n}(t)$ पूर्णांक क्रम के संशोधित बेसेल फ़ंक्शन को दर्शाता है।

यह निरंतर गाऊसी का असतत एनालॉग है क्योंकि यह असतत प्रसार समीकरण (अलग स्थान, निरंतर समय) का समाधान है, जैसे निरंतर गाऊसी निरंतर प्रसार समीकरण का समाधान है।

अनुप्रयोग

गॉसियन फ़ंक्शन प्राकृतिक विज्ञान, सामाजिक विज्ञान, गणित और अभियांत्रिकी में कई संदर्भों में दिखाई देते हैं। कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:

• सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, गॉसियन फ़ंक्शन सामान्य वितरण के घनत्व फ़ंक्शन के रूप में प्रकट होते हैं, जो केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, जटिल रकम का सीमित संभाव्यता वितरण है।
• गॉसियन फ़ंक्शन (सजातीय और आइसोट्रोपिक) प्रसार समीकरण (और गर्मी समीकरण, जो ही बात है) के लिए ग्रीन का फ़ंक्शन है, आंशिक अंतर समीकरण जो प्रसार के तहत द्रव्यमान-घनत्व के समय विकास का वर्णन करता है। विशेष रूप से, यदि समय t=0 पर द्रव्यमान-घनत्व डिराक डेल्टा द्वारा दिया जाता है, जिसका अनिवार्य रूप से मतलब है कि द्रव्यमान शुरू में ही बिंदु पर केंद्रित है, तो समय t पर द्रव्यमान-वितरण गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा दिया जाएगा, जिसमें पैरामीटर 'ए' रैखिक रूप से 1/ से संबंधित है√t और सी रैखिक रूप से संबंधित है √t; इस समय-परिवर्तनशील गाऊसी का वर्णन गरम गिरी द्वारा किया गया है। अधिक आम तौर पर, यदि प्रारंभिक द्रव्यमान-घनत्व φ(x) है, तो बाद के समय में द्रव्यमान-घनत्व गॉसियन फ़ंक्शन के साथ φ के कनवल्शन को लेकर प्राप्त किया जाता है। गॉसियन के साथ किसी फ़ंक्शन के कन्वोल्यूशन को वीयरस्ट्रैस ट्रांसफॉर्म के रूप में भी जाना जाता है।
• गॉसियन फ़ंक्शन क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति का तरंग फ़ंक्शन है।
• कम्प्यूटेशनल रसायन विज्ञान में प्रयुक्त आणविक कक्षाएँ गाऊसी कार्यों के रैखिक संयोजन हो सकती हैं जिन्हें गाऊसी कक्षाएँ कहा जाता है (आधार सेट (रसायन विज्ञान) भी देखें)।
• गणितीय रूप से, गाऊसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्नों को हर्मिट फ़ंक्शंस का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। इकाई विचरण के लिए, गॉसियन का n-वां व्युत्पन्न, गॉसियन फ़ंक्शन को स्केल तक, n-वें हर्मिट बहुपद से गुणा किया जाता है।
• नतीजतन, गॉसियन फ़ंक्शन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में निर्वात अवस्था से भी जुड़े हुए हैं।
• गॉसियन बीम का उपयोग ऑप्टिकल सिस्टम, माइक्रोवेव सिस्टम और लेजर में किया जाता है।
• स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व में, गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग कंप्यूटर दृष्टि और इमेज प्रोसेसिंग में बहु-स्तरीय प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए स्मूथिंग कर्नेल के रूप में किया जाता है। विशेष रूप से, गॉसियन (हर्मिट कार्य करता है) के व्युत्पन्न का उपयोग बड़ी संख्या में प्रकार के दृश्य संचालन को परिभाषित करने के लिए आधार के रूप में किया जाता है।
• गॉसियन फ़ंक्शंस का उपयोग कुछ प्रकार के कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
• प्रतिदीप्ति माइक्रोस्कोपी में 2डी गॉसियन फ़ंक्शन का उपयोग हवादार डिस्क का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है, जो बिंदु स्रोत द्वारा उत्पादित तीव्रता वितरण का वर्णन करता है।
• सिग्नल प्रोसेसिंग में वे गॉसियन फिल्टर को परिभाषित करने का काम करते हैं, जैसे इमेज प्रोसेसिंग में जहां 2डी गॉसियन का उपयोग गॉसियन ब्लर्स के लिए किया जाता है। डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में, अलग गाऊसी कक्षीय का उपयोग किया जाता है, जिसे गॉसियन का नमूना लेकर या अलग तरीके से परिभाषित किया जा सकता है।
• भू-सांख्यिकी में इनका उपयोग जटिल प्रशिक्षण छवि के पैटर्न के बीच परिवर्तनशीलता को समझने के लिए किया गया है। इनका उपयोग फीचर स्पेस में पैटर्न को क्लस्टर करने के लिए कर्नेल विधियों के साथ किया जाता है।

यह भी देखें

• सामान्य वितरण
• कॉची वितरण
• रेडियल आधार फ़ंक्शन कर्नेल

संदर्भ

बाहरी संबंध

• Mathworld, includes a proof for the relations between c and FWHM
• "Integrating The Bell Curve". MathPages.com.
• Haskell, Erlang and Perl implementation of Gaussian distribution
• Bensimhoun Michael, N-Dimensional Cumulative Function, And Other Useful Facts About Gaussians and Normal Densities (2009)
• Code for fitting Gaussians in ImageJ and Fiji.