वर्ग आव्युह: Difference between revisions

Revision as of 00:16, 12 July 2023

क्रम 4 का एक वर्ग आव्युह । प्रविष्टियाँ

a_{ii}

एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाएं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व सम्मलित हैं a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

गणित में, एक वर्ग आव्युह एक आव्युह होता है जिसमें समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। एक n-by-n आव्युह को क्रम के वर्ग आव्युह के रूप में जाना जाता है। $n$ समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।

वर्ग आव्युह का उपयोग अधिकांशतः सरल रैखिक परिवर्तन, जैसे कि कर्तन या घूर्णन (गणित) को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $R$ एक वर्गाकार आव्युह है जो एक घूर्णन (घूर्णन आव्युह ) का प्रतिनिधित्व करता है और $\mathbf {v}$ एक स्तंभ सदिश होता है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (सदिश) का वर्णन करता है, उत्पाद $R\mathbf {v}$ उस घूर्णन के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक और कॉलम सदिश उत्पन्न होता है। अगर $\mathbf {v}$ एक पंक्ति सदिश होता है, तो $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$ का परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जहाँ $R^{\mathsf {T}}$ $R$ का स्थानांतरण होता है।

मुख्य विकर्ण

प्रविष्टियाँ $a_{ii}$ (i = 1, …, n) एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित होते हैं जो आव्युह के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10 सम्मलित होता हैं।

एक वर्ग आव्युह के शीर्ष दाएं से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिविकर्ण या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।

विशेष प्रकार

Name	Example with n = 3
विकर्ण आव्यूह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
निचला त्रिभुजाकार आव्युह	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

विकर्ण या त्रिकोणीय आव्युह

यदि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, तो $A$ को विकर्ण आव्युह कहा जाता है। यदि परन्तु मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, $A$ को ऊपरी (या निचला) त्रिकोणीय आव्युह कहा जाता है।

सममिति आव्युह

सममिति आव्युह में $I_{n}$ आकार का $n$ होता है $n\times n$ आव्युह जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर होते हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

यह क्रम $n$ का एक वर्ग आव्युह होता है और एक विशेष प्रकार का विकर्ण आव्युह भी होता है। इसे सममिति आव्युह कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने पर आव्युह अपरिवर्तित रहता है:

AI_n = I_mA = A

किसी भी m×n आव्युह के लिए

A

होता है।

व्युत्क्रमणीय आव्युह और इसका व्युत्क्रम

एक वर्ग आव्युह $A$ यदि कोई आव्युह उपस्थित $B$ होता है तो इसे व्युत्क्रमणीय आव्युह या गैर-एकवचन कहा जाता है

AB=BA=I_{n}.

^[1]^[2]

अगर $B$ उपस्थित है, तो यह अद्वितीय होता है और इसे $A$ का व्युत्क्रम आव्युह कहा जाता है जिसे $A^{-1}$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

सममित या तिरछा-सममितआव्युह

एक वर्ग आव्युह $A$ यह इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है, अर्थात, $A^{\mathsf {T}}=A$ , एक सममित आव्युह होता है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{\mathsf {T}}=-A$ होता है, तब $A$ को तिरछा-सममित आव्युह कहा जाता है।

एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ के लिए अधिकांशतः स्थानांतरण का उपयुक्त अनुरूप संयुग्म स्थानांतरण $A^{*}$ होता है, जिसको सम्मिश्र संयुग्म के स्थानान्तरण $A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ $A^{*}=A$ को संतुष्टि देता है जिसे हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है। यदि इसके अतिरिक्त $A^{*}=-A$ तब $A$ को तिरछा-हर्मिटियन आव्युह कहा जाता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, वास्तविक सममित (या सम्मिश्र हर्मिटियन) आव्यूहों में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) अपना आधार होता है; अर्थात्, प्रत्येक सदिशआइजेन सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों ही स्थितियों में, सभीआइजेन वास्तविक होते हैं।^[3]

निश्चित आव्युह

सकारात्मक-निश्चित	अनिश्चित
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x² + y²	Q(x,y) = 1/4 x² − 1/4 y²
File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Ellipse).	File:Hyperbola2 SVG.svg Points such that Q(x, y) = 1 (Hyperbola).

एक सममित n×n-आव्युह को सकारात्मक-निश्चित आव्युह कहा जाता है | सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चितकालीन), यदि सभी गैर-शून्य सदिशो के लिए $x\in \mathbb {R} ^{n}$ संबंधित द्विघात रूप दिया गया है

Q(x) = x^T Ax.

परन्तु सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः परन्तु नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक दोनों)।^[4] यदि द्विघात रूप परन्तु गैर-नकारात्मक (क्रमशः परन्तु गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-अर्ध-निश्चित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह निश्चित रूप से अनिश्चित होता है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है और न ही नकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है।

एक सममित आव्युह सकारात्मक-निश्चित है यदि और परन्तु तभी जब इसके सभी स्वदेशी मान सकारात्मक हों।^[5] दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्युह के लिए दो संभावनाएं दिखाती है।

इसके अतिरिक्त इनपुट के रूप में दो अलग-अलग सदिशों को अनुमति देने से A से जुड़ा द्विरेखीय रूप प्राप्त होता है:

BA(x, y) = x^T Ay.^[6]

ओर्थोगोनल आव्युह

एक ऑर्थोगोनल आव्युह वास्तविक संख्या प्रविष्टियों वाला एक वर्ग आव्युह होता है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल इकाई सदिश (अर्थात्, लंबनात्मकता सदिश) हैं। समान रूप से, एक आव्युह A ऑर्थोगोनल होता है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के बराबर होता है:

A^{\textsf {T}}=A^{-1},

जिसमें सम्मलित है

A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,

जहां I सममिति आव्युह होता है।

एक ऑर्थोगोनल आव्युह A आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह (व्युत्क्रम के साथ A⁻¹ = A^T होता है), एकात्मक आव्युह (A⁻¹ = A*), और सामान्य आव्युह (A*A = AA*) होता है। किसी भी ऑर्थोगोनल आव्युह का निर्धारक या तो +1 या -1 होता है। विशेष ओर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n)$ के होते हैं n × n निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह होता है ।

ऑर्थोगोनल आव्युह का सम्मिश्र संख्या एनालॉग एक एकात्मक आव्युह होता है।

सामान्य आव्युह

एक वास्तविक या सम्मिश्र वर्ग आव्युह $A$ यदि सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि $A^{*}A=AA^{*}$ होता है। यदि एक वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित, या ऑर्थोगोनल होता है, तो यह सामान्य होता है। यदि एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह हर्मिटियन, स्क्यू-हर्मिटियन, या एकात्मक होता है, तो यह सामान्य होता है। सामान्य आव्यूह मुख्य रूप से रुचिकर होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्यूहों के प्रकार सम्मलित होते हैं और वे आव्यूहों का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है।^[7]

संचालन

अनुरेखण

एक आव्युह का अनुरेखण, एक वर्ग आव्युह A का tr(A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग होता है। जबकि आव्युह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है, दो आव्युह के उत्पाद का चिह्न कारकों के क्रम से स्वतंत्र होता है:

\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).

यह आव्युह गुणन की परिभाषा से अविलम्ब होता है:

\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).

इसके अतिरिक्त, एक आव्युह का अनुरेखण उसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है, अर्थात्,

\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).

निर्धारक

File:Determinant example.svg

पर एक रेखीय परिवर्तन

\mathbb {R} ^{2}

संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का निर्धारक −1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1 है, लेकिन मानचित अभिविन्यास (गणित) को उलट देता है, क्योंकि यह सदिश के वामावर्त अभिविन्यास को दक्षिणावर्त दिशा में परिवर्तित कर देता है।

निर्धारक $\det(A)$ या $|A|$ एक वर्ग आव्युह $A$ के आव्युह के कुछ गुणों को कूटलेखन करने वाली एक संख्या होती है। एक आव्युह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और परन्तु यदि इसका सारणिक अशून्य होता है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल (इंच) $\mathbb {R} ^{2}$ के बराबर होता है ) या आयतन (इंच) $\mathbb {R} ^{3}$ ) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिह्न संबंधित रैखिक मानचित्र के अभिविन्यास से एकरूपता में होते है: निर्धारक सकारात्मक होता है यदि और परन्तु यदि अभिविन्यास संरक्षित होता है।

2×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है?

\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.

3×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सरस का नियम) सम्मलित होता हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लाइबनिज सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।^[8]

वर्ग आव्यूहों के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:^[9]

\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)

किसी पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ के गुणज को दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित किया जाता है।^[10] इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी भी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी आव्युह के निर्धारक की गणना करने की एक विधि प्रदान करता है। अंत में, लाप्लास विस्तार निर्धारक को लघु (रैखिक बीजगणित) के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात्, छोटे आव्यूहों के निर्धारक।^[11] इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक स्थिति के रूप में 1×1 आव्युह का निर्धारक, जो इसकी अद्वितीय प्रविष्टि है, या यहां तक कि 0×0 आव्युह का निर्धारक, जो 1 है) के रूप में लिया जा सकता है, जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समतुल्य माना जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन सिस्टम के प्रत्येक चर के मूल्य के बराबर होता है।^[12]

आइजेनमान और आइजेनसदिश

एक संख्या λ और एक गैर-शून्य सदिश $\mathbf {v}$ संतुष्टि देने वाला होता है

A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}

जिसे $A$ काआइजेन मूल्य और आइजेन सदिश कहा जाता है।^[13]^[14] संख्या λ एक n×n-आव्युह A का एकआइजेन मूल्य होता है यदि और परन्तु यदि A − λI_n व्युत्क्रम नहीं होता है, जो कि तार्किक तुल्यता होती है

\det(A-\lambda I)=0.

^[15]

बहुपद p_A निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक अनिश्चित (चर) एक्स में det(XI_n − A) को A का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक बहुपद होता है। इसलिए बहुपद समीकरण p_A(λ) = 0 में अधिकतम n विभिन्न समाधान होते हैं, अर्थात, आव्युह केआइजेन मान होते है।^[16] तथापि A की प्रविष्टियाँ वास्तविक हों, वे सम्मिश्र हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, p_A(A) = 0, अर्थात्, आव्युह को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम शून्य आव्युह उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

कार्टन आव्युह

↑ Brown 1991, Definition I.2.28
↑ Brown 1991, Definition I.5.13
↑ Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6
↑ Horn & Johnson 1985, Chapter 7
↑ Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1
↑ Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169
↑ Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.
↑ Brown 1991, Definition III.2.1
↑ Brown 1991, Theorem III.2.12
↑ Brown 1991, Corollary III.2.16
↑ Mirsky 1990, Theorem 1.4.1
↑ Brown 1991, Theorem III.3.18
↑ Eigen means "own" in German and in Dutch.
↑ Brown 1991, Definition III.4.1
↑ Brown 1991, Definition III.4.9
↑ Brown 1991, Corollary III.4.10

संदर्भ

Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

बाहरी संबंध

File:Commons-logo.svg Media related to वर्ग आव्युह at Wikimedia Commons

[1] Brown 1991, Definition I.2.28

[2] Brown 1991, Definition I.5.13

[3] Horn & Johnson 1985, Theorem 2.5.6

[4] Horn & Johnson 1985, Chapter 7

[5] Horn & Johnson 1985, Theorem 7.2.1

[6] Horn & Johnson 1985, Example 4.0.6, p. 169

[7] Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.

[8] Brown 1991, Definition III.2.1

[9] Brown 1991, Theorem III.2.12

[10] Brown 1991, Corollary III.2.16

[11] Mirsky 1990, Theorem 1.4.1

[12] Brown 1991, Theorem III.3.18

[13] Eigen means "own" in German and in Dutch.

[14] Brown 1991, Definition III.4.1

[15] Brown 1991, Definition III.4.9

[16] Brown 1991, Corollary III.4.10

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 {{Short description|Matrix with the same number of rows and columns}}
-[[File:Arbitrary square matrix.gif|thumb|क्रम 4 का एक वर्ग मैट्रिक्स। प्रविष्टियाँ <math>a_{ii}</math> एक वर्ग मैट्रिक्स का [[मुख्य विकर्ण]] बनाएं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं {{nowrap|1=''a''<sub>11</sub> = 9}}, {{nowrap|1=''a''<sub>22</sub> = 11}}, {{nowrap|1=''a''<sub>33</sub> = 4}}, {{nowrap|1=''a''<sub>44</sub> = 10}}.]]गणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] है जिसमें समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। एक ''n''-by-''n'' मैट्रिक्स को क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है {{nowrap|<math>n</math>.}} समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।
+[[File:Arbitrary square matrix.gif|thumb|क्रम 4 का एक वर्ग आव्युह । प्रविष्टियाँ <math>a_{ii}</math> एक वर्ग आव्युह का [[मुख्य विकर्ण]] बनाएं। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व सम्मलित हैं {{nowrap|1=''a''<sub>11</sub> = 9}}, {{nowrap|1=''a''<sub>22</sub> = 11}}, {{nowrap|1=''a''<sub>33</sub> = 4}}, {{nowrap|1=''a''<sub>44</sub> = 10}}.]]गणित में, एक '''वर्ग आव्युह''' एक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्युह]] होता है जिसमें समान संख्या में पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। एक ''n''-by-''n'' आव्युह को क्रम के वर्ग आव्युह के रूप में जाना जाता है। {{nowrap|<math>n</math>}} समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।
-वर्ग मैट्रिक्स का उपयोग अक्सर सरल [[रैखिक परिवर्तन]]ों, जैसे कि [[कतरनी मानचित्रण]] या रोटेशन (गणित) को दर्शाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>R</math> एक वर्गाकार मैट्रिक्स है जो एक घूर्णन ([[रोटेशन मैट्रिक्स]]) का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{v}</math> एक स्तंभ वेक्टर है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (वेक्टर) का वर्णन करता है, उत्पाद <math>R\mathbf{v}</math> उस घूर्णन के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक और कॉलम वेक्टर उत्पन्न होता है। अगर <math>\mathbf{v}</math> एक पंक्ति वेक्टर है, वही परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है {{nowrap|<math>\mathbf{v}R^{\mathsf T}</math>,}} कहाँ <math>R^{\mathsf T}</math> का स्थानांतरण है {{nowrap|<math>R</math>.}}
+वर्ग आव्युह का उपयोग अधिकांशतः सरल [[रैखिक परिवर्तन]], जैसे कि [[कतरनी मानचित्रण|कर्तन]] या घूर्णन (गणित) को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>R</math> एक वर्गाकार आव्युह है जो एक घूर्णन ([[रोटेशन मैट्रिक्स|घूर्णन आव्युह]] ) का प्रतिनिधित्व करता है और <math>\mathbf{v}</math> एक स्तंभ सदिश होता है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति (सदिश) का वर्णन करता है, उत्पाद <math>R\mathbf{v}</math> उस घूर्णन के बाद उस बिंदु की स्थिति का वर्णन करने वाला एक और कॉलम सदिश उत्पन्न होता है। अगर <math>\mathbf{v}</math> एक पंक्ति सदिश होता है, तो {{nowrap|<math>\mathbf{v}R^{\mathsf T}</math>}} का परिवर्तन का उपयोग करके प्राप्त किया जहाँ <math>R^{\mathsf T}</math>{{nowrap|<math>R</math>}} का स्थानांतरण होता है।
 ==मुख्य विकर्ण==
-{{Main|Main diagonal}}
+{{Main| मुख्य विकर्ण}}
-प्रविष्टियाँ <math>a_{ii}</math> (i = 1, …, n) एक वर्ग मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित हैं जो मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण में तत्व शामिल हैं {{nowrap|1=''a''<sub>11</sub> = 9}}, {{nowrap|1=''a''<sub>22</sub> = 11}}, {{nowrap|1=''a''<sub>33</sub> = 4}}, {{nowrap|1=''a''<sub>44</sub> = 10}}.
+प्रविष्टियाँ <math>a_{ii}</math> (i = 1, …, n) एक वर्ग आव्युह का मुख्य विकर्ण बनाता है। वे काल्पनिक रेखा पर स्थित होते हैं जो आव्युह के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक चलती है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त 4×4 आव्युह के मुख्य विकर्ण में तत्व {{nowrap|1=''a''<sub>11</sub> = 9}}, {{nowrap|1=''a''<sub>22</sub> = 11}}, {{nowrap|1=''a''<sub>33</sub> = 4}}, {{nowrap|1=''a''<sub>44</sub> = 10}} सम्मलित होता हैं।
-एक वर्ग मैट्रिक्स के शीर्ष दाएं से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिविकर्ण या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।
+एक वर्ग आव्युह के शीर्ष दाएं से निचले बाएं कोने तक के विकर्ण को प्रतिविकर्ण या प्रतिविकर्ण कहा जाता है।
 == विशेष प्रकार ==
@@ Line 15: / Line 15: @@
 ! Name !! Example with ''n'' = 3
 |-
-| [[Diagonal matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Diagonal matrix|विकर्ण आव्यूह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & 0      & 0 \\
@@ Line 23: / Line 23: @@
    </math>
 |-
-| [[Lower triangular matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Lower triangular matrix|निचला त्रिभुजाकार आव्युह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & 0      & 0 \\
@@ Line 31: / Line 31: @@
    </math>
 |-
-| [[Upper triangular matrix]] || style="text-align:center;" | <math>
+| [[Upper triangular matrix|ऊपरी त्रिकोणीय आव्युह]] || style="text-align:center;" | <math>
        \begin{bmatrix}
             a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
@@ Line 40: / Line 40: @@
 |}
-=== विकर्ण या त्रिकोणीय मैट्रिक्स ===
+=== विकर्ण या त्रिकोणीय आव्युह ===
-यदि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, <math>A</math> [[विकर्ण मैट्रिक्स]] कहा जाता है। यदि केवल मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, <math>A</math> ऊपरी (या निचला) [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] कहा जाता है।
+यदि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, तो <math>A</math> को [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्युह]] कहा जाता है। यदि परन्तु मुख्य विकर्ण के ऊपर (या नीचे) सभी प्रविष्टियाँ शून्य होती हैं, <math>A</math> को ऊपरी (या निचला) [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय आव्युह]] कहा जाता है।
-=== पहचान मैट्रिक्स ===
+=== सममिति आव्युह ===
-पहचान मैट्रिक्स <math>I_n</math> आकार का <math>n</math> है <math>n \times n</math> मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर हैं, उदाहरण के लिए
+सममिति आव्युह में <math>I_n</math> आकार का <math>n</math> होता है <math>n \times n</math> आव्युह जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 के बराबर होते हैं और अन्य सभी तत्व 0 के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए
 :<math>
 I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
@@ Line 60: / Line 60: @@
        \end{bmatrix}.
 </math>
-यह क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है {{nowrap|<math>n</math>,}} और एक विशेष प्रकार का विकर्ण मैट्रिक्स भी। इसे पहचान मैट्रिक्स कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने पर मैट्रिक्स अपरिवर्तित रहता है:
+यह क्रम {{nowrap|<math>n</math>}} का एक वर्ग आव्युह होता है और एक विशेष प्रकार का विकर्ण आव्युह भी होता है। इसे सममिति आव्युह कहा जाता है क्योंकि इसके साथ गुणा करने पर आव्युह अपरिवर्तित रहता है:
-:{{nowrap|1=''AI''<sub>''n''</sub> = ''I''<sub>''m''</sub>''A'' = ''A''}} किसी भी एम-बाय-एन मैट्रिक्स के लिए {{nowrap|<math>A</math>.}}
+:{{nowrap|1=''AI''<sub>''n''</sub> = ''I''<sub>''m''</sub>''A'' = ''A''}}
+:किसी भी ''m''×''n'' आव्युह के लिए {{nowrap|<math>A</math>}} होता है।
-===उलटा मैट्रिक्स और इसका व्युत्क्रम===
+===व्युत्क्रमणीय आव्युह और इसका व्युत्क्रम===
-एक वर्ग मैट्रिक्स <math>A</math> यदि कोई मैट्रिक्स मौजूद है तो इसे व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स या गैर-एकवचन कहा जाता है <math>B</math> ऐसा है कि
+एक वर्ग आव्युह <math>A</math> यदि कोई आव्युह उपस्थित <math>B</math> होता है तो इसे व्युत्क्रमणीय आव्युह या गैर-एकवचन कहा जाता है
 :<math>AB = BA = I_n.</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.2.28 }}</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition I.5.13 }}</ref>
-अगर <math>B</math> मौजूद है, यह अद्वितीय है और इसे व्युत्क्रम मैट्रिक्स कहा जाता है {{nowrap|<math>A</math>,}} निरूपित {{nowrap|<math>A^{-1}</math>.}}
+अगर <math>B</math> उपस्थित है, तो यह अद्वितीय होता है और इसे {{nowrap|<math>A</math>}} का व्युत्क्रम आव्युह कहा जाता है जिसे {{nowrap|<math>A^{-1}</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है।
-===सममित या तिरछा-सममित मैट्रिक्स===
+===सममित या तिरछा-सममितआव्युह ===
-एक वर्ग मैट्रिक्स <math>A</math> यह इसके स्थानान्तरण के बराबर है, अर्थात, {{nowrap|<math>A^{\mathsf T}=A</math>,}} एक [[सममित मैट्रिक्स]] है. यदि इसके बजाय {{nowrap|<math>A^{\mathsf T}=-A</math>,}} तब <math>A</math> [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]] कहा जाता है।
+एक वर्ग आव्युह <math>A</math> यह इसके स्थानान्तरण के बराबर होता है, अर्थात, {{nowrap|<math>A^{\mathsf T}=A</math>,}} एक [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्युह]] होता है। यदि इसके अतिरिक्त {{nowrap|<math>A^{\mathsf T}=-A</math>}} होता है, तब <math>A</math> को [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स|तिरछा-सममित आव्युह]] कहा जाता है।
-एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स के लिए {{nowrap|<math>A</math>,}} अक्सर ट्रांसपोज़ का उपयुक्त एनालॉग [[संयुग्म स्थानांतरण]] होता है {{nowrap|<math>A^*</math>,}} के जटिल संयुग्म के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|<math>A</math>.}} एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स <math>A</math> संतुष्टि देने वाला <math>A^*=A</math> [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] कहा जाता है। यदि इसके बजाय {{nowrap|<math>A^*=-A</math>,}} तब <math>A</math> [[तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स]] कहा जाता है।
+एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह {{nowrap|<math>A</math>}} के लिए अधिकांशतः स्थानांतरण का उपयुक्त अनुरूप [[संयुग्म स्थानांतरण]] {{nowrap|<math>A^*</math>}} होता है, जिसको सम्मिश्र संयुग्म के स्थानान्तरण {{nowrap|<math>A</math>}} के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह <math>A</math> <math>A^*=A</math> को संतुष्टि देता है जिसे [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्युह]] कहा जाता है। यदि इसके अतिरिक्त {{nowrap|<math>A^*=-A</math>}} तब <math>A</math> को [[तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स|तिरछा-हर्मिटियन आव्युह]] कहा जाता है।
-[[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के अनुसार, वास्तविक सममित (या जटिल हर्मिटियन) आव्यूहों में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) [[अपना आधार]] होता है; यानी, प्रत्येक वेक्टर eigenvectors के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों ही मामलों में, सभी eigenvalues वास्तविक हैं।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref>
+[[वर्णक्रमीय प्रमेय]] के अनुसार, वास्तविक सममित (या सम्मिश्र हर्मिटियन) आव्यूहों में एक ऑर्थोगोनल (या एकात्मक) [[अपना आधार]] होता है; अर्थात्, प्रत्येक सदिशआइजेन सदिश के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दोनों ही स्थितियों में, सभीआइजेन वास्तविक होते हैं।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.6 }}</ref>
-=== निश्चित मैट्रिक्स ===
+=== निश्चित आव्युह ===
 {| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:0ex 0ex 2ex 2ex;"
 |-
-! [[Positive definite matrix|Positive definite]] !! [[Indefinite matrix|Indefinite]]
+! [[Positive definite matrix|सकारात्मक-निश्चित]] !! [[Indefinite matrix|अनिश्चित]]
 |-
 | <math> \begin{bmatrix}
@@ Line 95: / Line 96: @@
 | [[File:Hyperbola2 SVG.svg|100x100px]] <br> Points such that {{nowrap|1=''Q''(''x'', ''y'') = 1}} <br> ([[Hyperbola]]).
 |}
-एक सममित n×n-मैट्रिक्स को [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] कहा जाता है | सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चितकालीन), यदि सभी गैर-शून्य वैक्टर के लिए <math>x \in \mathbb{R}^n</math> संबंधित [[द्विघात रूप]] दिया गया है
+एक सममित n×n-आव्युह को [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्युह]] कहा जाता है | सकारात्मक-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-निश्चित; अनिश्चितकालीन), यदि सभी गैर-शून्य सदिशो के लिए <math>x \in \mathbb{R}^n</math> संबंधित [[द्विघात रूप]] दिया गया है
-:<उद्धरण in=द्विघात रूप>Q('x') = 'x'<sup>टी</sup>ए'एक्स'</उद्धरण>
+:Q(x) = x^T Ax.
-केवल सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः केवल नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक दोनों)।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> यदि द्विघात रूप केवल गैर-नकारात्मक (क्रमशः केवल गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित मैट्रिक्स को सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-अर्ध-निश्चित) कहा जाता है; इसलिए मैट्रिक्स निश्चित रूप से अनिश्चित है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-निश्चित है और न ही नकारात्मक-अर्ध-निश्चित है।
+परन्तु सकारात्मक मान लेता है (क्रमशः परन्तु नकारात्मक मान; कुछ नकारात्मक और कुछ सकारात्मक दोनों)।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Chapter 7 }}</ref> यदि द्विघात रूप परन्तु गैर-नकारात्मक (क्रमशः परन्तु गैर-सकारात्मक) मान लेता है, तो सममित आव्युह को सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (क्रमशः नकारात्मक-अर्ध-निश्चित) कहा जाता है; इसलिए आव्युह निश्चित रूप से अनिश्चित होता है जब यह न तो सकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है और न ही नकारात्मक-अर्ध-निश्चित होता है।
-एक सममित मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित है यदि और केवल तभी जब इसके सभी स्वदेशी मान सकारात्मक हों।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> दाईं ओर की तालिका 2×2 मैट्रिक्स के लिए दो संभावनाएं दिखाती है।
+एक सममित आव्युह सकारात्मक-निश्चित है यदि और परन्तु तभी जब इसके सभी स्वदेशी मान सकारात्मक हों।<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 7.2.1 }}</ref> दाईं ओर की तालिका 2×2 आव्युह के लिए दो संभावनाएं दिखाती है।
-इसके बजाय इनपुट के रूप में दो अलग-अलग वैक्टरों को अनुमति देने से ए से जुड़ा [[ द्विरेखीय रूप |द्विरेखीय रूप]] प्राप्त होता है:
+इसके अतिरिक्त इनपुट के रूप में दो अलग-अलग सदिशों को अनुमति देने से A से जुड़ा [[ द्विरेखीय रूप |द्विरेखीय रूप]] प्राप्त होता है:
-:बी<sub>''A''</sub>(एक्स, वाई) = एक्स<sup>टी</sup>ए'य'.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>
+:BA(x, y) = x^T Ay.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Example 4.0.6, p. 169 }}</ref>
-=== [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] मैट्रिक्स ===
+=== [[ ओर्थोगोनल |ओर्थोगोनल]] आव्युह ===
-एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स [[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों वाला एक मैट्रिक्स (गणित)#स्क्वायर मैट्रिक्स है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल [[इकाई वेक्टर]] (यानी, [[लंबनात्मकता]] वैक्टर) हैं। समान रूप से, एक मैट्रिक्स ए ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:
+एक ऑर्थोगोनल आव्युह [[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों वाला एक वर्ग आव्युह होता है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल [[इकाई वेक्टर|इकाई सदिश]] (अर्थात्, [[लंबनात्मकता]] सदिश) हैं। समान रूप से, एक आव्युह ''A'' ऑर्थोगोनल होता है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रम आव्युह के बराबर होता है:
 :<math>A^\textsf{T}=A^{-1}, </math>
-जिसमें शामिल है
+जिसमें सम्मलित है
 :<math>A^\textsf{T} A = A A^\textsf{T} = I, </math>
-जहां I पहचान मैट्रिक्स है।
+जहां I सममिति आव्युह होता है।
-एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ए आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स (व्युत्क्रम के साथ) है {{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''<sup>T</sup>}}), [[एकात्मक मैट्रिक्स]] ({{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''*}}), और [[सामान्य मैट्रिक्स]] ({{nowrap|1=''A''*''A'' = ''AA''*}}). किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक या तो +1 या -1 है। विशेष ओर्थोगोनल समूह <math>\operatorname{SO}(n)</math> के होते हैं {{nowrap|''n'' × ''n''}} निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स।
+एक ऑर्थोगोनल आव्युह ''A'' आवश्यक रूप से व्युत्क्रमणीय आव्युह (व्युत्क्रम के साथ {{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''<sup>T</sup>}} होता है), [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''<sup>−1</sup> = ''A''*}}), और [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्युह]] ({{nowrap|1=''A''*''A'' = ''AA''*}}) होता है। किसी भी ऑर्थोगोनल आव्युह का निर्धारक या तो +1 या -1 होता है। विशेष ओर्थोगोनल समूह <math>\operatorname{SO}(n)</math> के होते हैं {{nowrap|''n'' × ''n''}} निर्धारक +1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्युह होता है ।
-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का [[जटिल संख्या]] एनालॉग एक एकात्मक मैट्रिक्स है।
+ऑर्थोगोनल आव्युह का [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] एनालॉग एक एकात्मक आव्युह होता है।
-===सामान्य मैट्रिक्स===
+===सामान्य आव्युह ===
-एक वास्तविक या जटिल वर्ग मैट्रिक्स <math>A</math> यदि सामान्य मैट्रिक्स कहा जाता है {{nowrap|<math>A^* A = AA^*</math>.}} यदि एक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स सममित, तिरछा-सममित, या ऑर्थोगोनल है, तो यह सामान्य है। यदि एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स हर्मिटियन, स्क्यू-हर्मिटियन, या एकात्मक है, तो यह सामान्य है। सामान्य आव्यूह मुख्य रूप से रुचिकर होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्यूहों के प्रकार शामिल होते हैं और वे आव्यूहों का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.</ref>
+एक वास्तविक या सम्मिश्र वर्ग आव्युह <math>A</math> यदि सामान्य आव्युह कहा जाता है यदि {{nowrap|<math>A^* A = AA^*</math>}} होता है। यदि एक वास्तविक वर्ग आव्युह सममित, तिरछा-सममित, या ऑर्थोगोनल होता है, तो यह सामान्य होता है। यदि एक सम्मिश्र वर्ग आव्युह हर्मिटियन, स्क्यू-हर्मिटियन, या एकात्मक होता है, तो यह सामान्य होता है। सामान्य आव्यूह मुख्य रूप से रुचिकर होते हैं क्योंकि उनमें अभी सूचीबद्ध आव्यूहों के प्रकार सम्मलित होते हैं और वे आव्यूहों का सबसे व्यापक वर्ग बनाते हैं जिसके लिए वर्णक्रमीय प्रमेय लागू होता है।<ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, section 8.6.</ref>
 == संचालन ==
-===ट्रेस===
+===अनुरेखण===
-एक मैट्रिक्स का ट्रेस, एक वर्ग मैट्रिक्स ए का tr(A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। जबकि मैट्रिक्स गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, दो मैट्रिक्स के उत्पाद का निशान कारकों के क्रम से स्वतंत्र है:
+एक आव्युह का अनुरेखण, एक वर्ग आव्युह ''A'' का tr(A) इसकी विकर्ण प्रविष्टियों का योग होता है। जबकि आव्युह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता है, दो आव्युह के उत्पाद का चिह्न कारकों के क्रम से स्वतंत्र होता है:
 :<math>\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA).</math>
-यह मैट्रिक्स गुणन की परिभाषा से तत्काल है:
+यह आव्युह गुणन की परिभाषा से अविलम्ब होता है:
 :<math>\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \operatorname{tr}(BA).</math>
-इसके अलावा, एक मैट्रिक्स का ट्रेस उसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है, यानी,
+इसके अतिरिक्त, एक आव्युह का अनुरेखण उसके ट्रांसपोज़ के बराबर होता है, अर्थात्,
 :<math>\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^{\mathrm T}).</math>
 === निर्धारक ===
-{{Main|Determinant}}
+{{Main|निर्धारक}}
-[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|पर एक रेखीय परिवर्तन <math>\mathbb{R}^2</math> संकेतित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया। इस मैट्रिक्स का निर्धारक −1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1 है, लेकिन नक्शा [[अभिविन्यास (गणित)]] को उलट देता है, क्योंकि यह वैक्टर के वामावर्त अभिविन्यास को दक्षिणावर्त दिशा में बदल देता है।]]निर्धारक <math>\det(A)</math> या <math>|A|</math> एक वर्ग मैट्रिक्स का <math>A</math> मैट्रिक्स के कुछ गुणों को एन्कोड करने वाली एक संख्या है। एक मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका सारणिक अशून्य है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल (इंच) के बराबर होता है <math>\mathbb{R}^2</math>) या आयतन (इंच) <math>\mathbb{R}^3</math>) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिह्न संबंधित रैखिक मानचित्र के अभिविन्यास से मेल खाता है: निर्धारक सकारात्मक है यदि और केवल यदि अभिविन्यास संरक्षित है।
+[[File:Determinant example.svg|thumb|300px|right|पर एक रेखीय परिवर्तन <math>\mathbb{R}^2</math> संकेतित आव्युह द्वारा दिया गया। इस आव्युह का निर्धारक −1 है, क्योंकि दाईं ओर हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1 है, लेकिन मानचित [[अभिविन्यास (गणित)]] को उलट देता है, क्योंकि यह सदिश के वामावर्त अभिविन्यास को दक्षिणावर्त दिशा में परिवर्तित कर देता है।]]निर्धारक <math>\det(A)</math> या <math>|A|</math> एक वर्ग आव्युह <math>A</math> के आव्युह के कुछ गुणों को कूटलेखन करने वाली एक संख्या होती है। एक आव्युह व्युत्क्रमणीय होता है यदि और परन्तु यदि इसका सारणिक अशून्य होता है। इसका निरपेक्ष मान क्षेत्रफल (इंच) <math>\mathbb{R}^2</math> के बराबर होता है ) या आयतन (इंच) <math>\mathbb{R}^3</math>) इकाई वर्ग (या घन) की छवि का, जबकि इसका चिह्न संबंधित रैखिक मानचित्र के अभिविन्यास से एकरूपता में होते है: निर्धारक सकारात्मक होता है यदि और परन्तु यदि अभिविन्यास संरक्षित होता है।
 ×2 आव्यूहों का निर्धारक किसके द्वारा दिया जाता है?
 :<math>\det \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} = ad - bc.</math>
-×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सरस का नियम) शामिल हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लाइबनिज सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>
+×3 आव्यूहों के निर्धारक में 6 पद (सरस का नियम) सम्मलित होता हैं। निर्धारकों के लिए अधिक लंबा लाइबनिज सूत्र इन दो सूत्रों को सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.2.1 }}</ref>
 वर्ग आव्यूहों के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है:<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>
 :<math>\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)</math>
-किसी पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ के गुणज को दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित किया जाता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी भी मैट्रिक्स को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे मैट्रिक्स के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की एक विधि प्रदान करता है। अंत में, [[लाप्लास विस्तार]] निर्धारक को [[लघु (रैखिक बीजगणित)]] के संदर्भ में व्यक्त करता है, यानी, छोटे आव्यूहों के निर्धारक।<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक मामले के रूप में 1×1 मैट्रिक्स का निर्धारक, जो इसकी अद्वितीय प्रविष्टि है, या यहां तक कि 0×0 मैट्रिक्स का निर्धारक, जो 1 है) के रूप में लिया जा सकता है, जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समतुल्य माना जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारकों का विभाजन सिस्टम के प्रत्येक चर के मूल्य के बराबर होता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>
+किसी पंक्ति के गुणज को दूसरी पंक्ति में, या किसी स्तंभ के गुणज को दूसरे स्तंभ में जोड़ने से निर्धारक नहीं बदलता है। दो पंक्तियों या दो स्तंभों को आपस में बदलने से निर्धारक को -1 से गुणा करके प्रभावित किया जाता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> इन परिचालनों का उपयोग करके, किसी भी आव्युह को निचले (या ऊपरी) त्रिकोणीय आव्युह में परिवर्तित किया जा सकता है, और ऐसे आव्युह के लिए निर्धारक मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियों के उत्पाद के बराबर होता है; यह किसी भी आव्युह के निर्धारक की गणना करने की एक विधि प्रदान करता है। अंत में, [[लाप्लास विस्तार]] निर्धारक को [[लघु (रैखिक बीजगणित)]] के संदर्भ में व्यक्त करता है, अर्थात्, छोटे आव्यूहों के निर्धारक।<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> इस विस्तार का उपयोग निर्धारकों की पुनरावर्ती परिभाषा के लिए किया जा सकता है (प्रारंभिक स्थिति के रूप में 1×1 आव्युह का निर्धारक, जो इसकी अद्वितीय प्रविष्टि है, या यहां तक कि 0×0 आव्युह का निर्धारक, जो 1 है) के रूप में लिया जा सकता है, जो कि हो सकता है लीबनिज सूत्र के समतुल्य माना जाता है। क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जा सकता है, जहां दो संबंधित वर्ग आव्युह के निर्धारकों का विभाजन सिस्टम के प्रत्येक चर के मूल्य के बराबर होता है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref>
+=== आइजेनमान और आइजेनसदिश ===
+{{Main|आइजेनमान और आइजेनसदिश|l1=आइजेनमान और आइजेनसदिश}}
-=== आइजेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर ===
+एक संख्या λ और एक गैर-शून्य सदिश <math>\mathbf{v}</math> संतुष्टि देने वाला होता है
-{{Main|Eigenvalue, eigenvector and eigenspace|l1=Eigenvalues and eigenvectors}}
-एक संख्या λ और एक गैर-शून्य वेक्टर <math>\mathbf{v}</math> संतुष्टि देने वाला
 :<math>A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}</math>
-को eigenvalue और eigenvector कहा जाता है {{nowrap|<math>A</math>,}} क्रमश।<ref>''Eigen'' means "own" in [[German language|German]] and in [[Dutch language|Dutch]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> संख्या λ एक n×n-मैट्रिक्स A का एक eigenvalue है यदि और केवल यदि {{nowrap|''A'' − λ''I''<sub>''n''</sub>}} उलटा नहीं है, जो कि [[तार्किक तुल्यता]] है
+जिसे {{nowrap|<math>A</math>}} काआइजेन मूल्य और आइजेन सदिश कहा जाता है।<ref>''Eigen'' means "own" in [[German language|German]] and in [[Dutch language|Dutch]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> संख्या λ एक n×n-आव्युह A का एकआइजेन मूल्य होता है यदि और परन्तु यदि {{nowrap|''A'' − λ''I''<sub>''n''</sub>}} व्युत्क्रम नहीं होता है, जो कि [[तार्किक तुल्यता]] होती है
 :<math>\det(A-\lambda I) = 0.</math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
-बहुपद पी<sub>''A''</sub> निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक [[अनिश्चित (चर)]] एक्स में {{nowrap|det(''XI''<sub>''n''</sub> − ''A'')}} को A का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक बहुपद है। इसलिए बहुपद समीकरण {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(λ) = 0}} में अधिकतम n विभिन्न समाधान हैं, अर्थात, मैट्रिक्स के eigenvalues।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> भले ही A की प्रविष्टियाँ वास्तविक हों, वे जटिल हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(''A'') = 0}}, अर्थात्, मैट्रिक्स को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम [[शून्य मैट्रिक्स]] उत्पन्न करता है।
+बहुपद ''p<sub>A</sub>'' निर्धारक के मूल्यांकन द्वारा दिए गए एक [[अनिश्चित (चर)]] एक्स में {{nowrap|det(''XI''<sub>''n''</sub> − ''A'')}} को A का अभिलक्षणिक बहुपद कहा जाता है। यह एक बहुपद n की घात वाला एक बहुपद होता है। इसलिए बहुपद समीकरण {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(λ) = 0}} में अधिकतम n विभिन्न समाधान होते हैं, अर्थात, आव्युह केआइजेन मान होते है।<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> तथापि A की प्रविष्टियाँ वास्तविक हों, वे सम्मिश्र हो सकती हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार, {{nowrap|1=''p''<sub>''A''</sub>(''A'') = 0}}, अर्थात्, आव्युह को अपने स्वयं के विशिष्ट बहुपद में प्रतिस्थापित करने का परिणाम [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्युह]] उत्पन्न करता है।
 ==यह भी देखें==
-* [[कार्टन मैट्रिक्स]]
+* [[कार्टन मैट्रिक्स|कार्टन आव्युह]]
 ==टिप्पणियाँ==

v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण	File:Linear subspaces with shading.svg
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
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