गणनीय समुच्चय

गणित में, समुच्चय (गणित) गणनीय है यदि परिमित समुच्चय है या इसे प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है। समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है।

अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी प्रमुखता (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है।

इस अवधारणा का श्रेय जॉर्ज कैंटर को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आदि।

शब्दावली पर नोट

यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है। वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है। पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें।

गिनती योग्य शर्तें और संख्यात्मक का भी उपयोग किया जा सकता है, दाहरण के लिए क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का विचार करते हुए I किन्तु चूँकि परिभाषाएँ भिन्न-भिन्न होती हैं, इसलिए पाठक को पुनः उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करने की राय दी जाती है।

परिभाषा

समुच्चय $S$ गणनीय है यदि:

• इसकी प्रमुखता $|S|$ से कम या $\aleph _{0}$ (एलेफ़-नल) के समान है, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की प्रमुखता $\mathbb {N}$ हैI
• $S$ की $\mathbb {N}$ से अन्तःक्षेपण फलन उपस्थित है I
• $S$ रिक्त है या वहां से कोई विशेषण फलन उपस्थित है I $\mathbb {N}$ से $S$ के मध्य विशेषण मानचित्रण $S$ और $\mathbb {N}$ का उपसमुच्चय उपस्थित है I
• $S$ या तो परिमित समुच्चय ($|S|<\aleph _{0}$) है, या गणनीय रूप से अनंत समुच्चय है। ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

समुच्चय $S$ गणनीय रूप से अनंत समुच्चय है यदि:

• इसकी प्रमुखता $|S|$ बिलकुल $\aleph _{0}$है
• विशेषण और विशेषण (और इसलिए आक्षेप) के मध्य $S$ और $\mathbb {N}$ मानचित्रण है।
• $S$ के साथ वन-टू-वन पत्राचार $\mathbb {N}$ है।
• $S$ के तत्व को अनंत क्रम $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$, में व्यवस्थित किया जा सकता है, जहां $a_{i}$ से भिन्न है $a_{j}$ के लिए $i\neq j$ और प्रत्येक तत्व $S$ सूचीबद्ध है।

समुच्चय अपरिमित है यदि वह गणनीय नहीं है, अर्थात उसकी प्रमुखता $\aleph _{0}$ इससे अधिक है।

इतिहास

1874 में, जॉर्ज कैंटर के प्रथम समुच्चय सिद्धांत लेख में, कैंटर ने सिद्ध किया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अपरिमित है, इस प्रकार सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय नहीं हैं। 1878 में, उन्होंने कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने और तुलना करने के लिए अनेक पत्राचार का उपयोग किया। 1883 में, उन्होंने अपनी अनंत क्रमसूचक संख्या के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार किया, और भिन्न-भिन्न अपरिमित कार्डिनलिटी वाले अपरिमित समुच्चयों का उत्पादन करने के लिए क्रमसूचकों के समुच्चय का उपयोग किया।

परिचय

समुच्चय (गणित) तत्वों का संग्रह होता है, और इसे कई प्रकारो से वर्णित किया जा सकता है। इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक 3, 4 और 5 से युक्त समुच्चय $\{3,4,5\}$ को प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे रोस्टर फॉर्म कहा जाता है। चूँकि, यह केवल छोटे समुच्चयों के लिए प्रभावी है; बड़े समुच्चयों के लिए, यह समय लेने वाला और त्रुटि-प्रवण होगा। प्रत्येक तत्व को सूचीबद्ध करने के अतिरिक्त, कभी-कभी किसी समुच्चय में प्रारंभिक तत्व और अंतिम तत्व के मध्य कई तत्वों को प्रदर्शित करने के लिए दीर्घवृत्त (...) का उपयोग किया जाता है, यदि लेखक का मानना ​​​​है कि पाठक सरलता से अनुमान लगा सकता है कि ... क्या दर्शाता है; उदाहरण के लिए, $\{1,2,3,\dots ,100\}$ संभवतः 1 से 100 तक पूर्णांकों के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। चूँकि, इस विषय में भी, सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना अभी भी संभव है, क्योंकि समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है। यदि हम समुच्चय के तत्वों को 1, 2, $n$ इत्यादि तक क्रमांकित करते हैं, तो यह हमें $n$ आकार के समुच्चय की सामान्य परिभाषा देता है I

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पूर्णांक से सम संख्याओं तक विशेषण मानचित्रण

कुछ समुच्चय अपरिमितत हैं; इन समुच्चयों में इससे भी अधिक $n$ तत्व है I जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है। ( निर्दिष्ट $n$ पूर्णांक कितना बड़ा है, जैसे $n=10^{1000}$, अपरिमितत समुच्चय $n$ तत्व से अधिक है।) उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, $\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$ द्वारा निरूपित हैं, अपरिमितत रूप से कई तत्व हैं, और हम इसका आकार देने के लिए किसी प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं। समुच्चयों को भिन्न-भिन्न वर्गों में विभाजित करना स्वाभाविक लग सकता है: एक तत्व वाले सभी समुच्चयों को साथ रखें; सभी समुच्चय जिनमें दो तत्व साथ हैं; अंत में, सभी अपरिमितत समुच्चयों को साथ रखें और उन्हें समान आकार का मानें। यह दृश्य अनगिनत अपरिमितत समुच्चयों के लिए अच्छा काम करता है और जॉर्ज कैंटर के काम से पूर्व यह प्रचलित धारणा थी। उदाहरण के लिए, अपरिमित रूप से अनेक विषम पूर्णांक, अपरिमित रूप से अनेक सम पूर्णांक और कुल मिलाकर अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक होते हैं। हम इन सभी समुच्चयों को समान आकार का मान सकते हैं क्योंकि हम तत्वों को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए, भिन्न सम पूर्णांक हो:

$$\ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots$$

या, अधिक सामान्यतः, $n\rightarrow 2n$ (चित्र देखने)। हमने यहां जो किया है, वह पूर्णांकों और सम पूर्णांकों को अनेक पत्राचार (या आक्षेप) में व्यवस्थित करना है, यह फलन (गणित) है जो दो समुच्चयों के मध्य मैप करता है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय का प्रत्येक तत्व एक ही तत्व से मेल खाता है दूसरे समुच्चय में आकार, कार्डिनलिटी की यह गणितीय धारणा यह है कि दो समुच्चय समान आकार के होते हैं, जब उनके मध्य कोई आपत्ति हो। हम उन सभी समुच्चयों को अपरिमित कहते हैं जो पूर्णांकों के साथ अनेक पत्राचार में हैं और कहते हैं कि उनमें कार्डिनैलिटी $\aleph _{0}$ है I

जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के साथ अनेक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक प्रमुखता होती है और इसे अपरिमित कहा जाता है।

औपचारिक अवलोकन

परिभाषा के अनुसार, समुच्चय $S$ यदि मध्य में कोई आपत्ति उपस्थित है तो $S$ और प्राकृतिक संख्याओं का उपसमुच्चय $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$गणनीय है I उदाहरण के लिए, पत्राचार को परिभाषित करें