सातत्य समीकरण

सांतत्य समीकरण या अभिगमन समीकरण एक समीकरण है जो कुछ राशि के अभिगमन का वर्णन करता है। संरक्षित राशि पर प्रयुक्त होने पर यह विशेष रूप से सरल और प्रभावशाली होता है, लेकिन इसे किसी भी व्यापक राशि पर प्रयुक्त करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। चूँकि द्रव्यमान, ऊर्जा, संवेग, विद्युत आवेश और अन्य प्राकृतिक राशि उनकी संबंधित उपयुक्त परिस्थितियों में संरक्षित होती हैं, इसलिए सांतत्य समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की भौतिक घटनाओं का वर्णन किया जा सकता है।

सांतत्य समीकरण संरक्षण नियम (भौतिकी) का एक प्रबल, स्थानीय रूप है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक दुर्बल संस्करण बताता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है - अर्थात, ब्रह्मांड में ऊर्जा की कुल राशि निश्चित है। यह कथन इस संभावना से अस्वीकृत नहीं करता है कि ऊर्जा की एक राशि एक बिंदु से नष्ट हो सकती है जबकि एक साथ दूसरे बिंदु पर दिखाई दे सकती है। एक प्रबल कथन यह है कि ऊर्जा स्थानीय रूप से संरक्षित होती है: ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, न ही इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर "स्थानांतरण" किया जा सकता है - यह केवल निरंतर प्रवाह (फ्लक्स) द्वारा स्थानांतरित हो सकती है। सांतत्य समीकरण इस प्रकार के कथन को व्यक्त करने का गणितीय तरीका है। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश के लिए सांतत्य समीकरण बताता है कि स्थान के किसी भी आयतन में विद्युत आवेश की मात्रा केवल उस आयतन की सीमाओं के माध्यम से उसके अंदर या बाहर प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा की राशि से बदल सकती है।

सांतत्य समीकरणों में सामान्य रूप से स्रोत और सिंक शब्द सम्मिलित हो सकते हैं, जो उन्हें उन राशियों का वर्णन करने की अनुमति देते हैं जो प्रायः होती हैं लेकिन सदैव संरक्षित नहीं होती हैं, जैसे आणविक प्रजातियों का घनत्व जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा बनाया या नष्ट किया जा सकता है। दैनिक जीवन के उदाहरण में, जीवित लोगों की संख्या के लिए एक सांतत्य समीकरण है; इसमें जन्म लेने वाले लोगों के लिए एक स्रोत शब्द है, और मरने वाले लोगों के लिए एक सिंक शब्द है।

किकिसी भी सांतत्य समीकरण को "समाकल रूप" (प्रवाह समाकल के संदर्भ में) में व्यक्त किया जा सकता है, जो किसी भी परिमित क्षेत्र पर प्रयुक्त होता है, या "अवकल रूप" (विचलन संचालिका के संदर्भ में) में व्यक्त किया जा सकता है जो एक बिंदु पर प्रयुक्त होता है।

सांतत्य समीकरण अधिक विशिष्ट अभिगमन समीकरणों जैसे कि संवहन-प्रसार समीकरण, बोल्ट्ज़मैन अभिगमन समीकरण और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अंतर्गत आते हैं।

सांतत्य समीकरणों द्वारा नियंत्रित प्रवाह को सैंकी आरेख का उपयोग करके देखा जा सकता है।

सामान्य समीकरण

प्रवाह की परिभाषा

Main article: प्रवाह

जब प्रवाह को परिभाषित किया जा सकता है तो सांतत्य समीकरण उपयोगी होता है। प्रवाह को परिभाषित करने के लिए सबसे पहले एक मात्रा q होनी चाहिए जो प्रवाहित या गति कर सके, जैसे द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश, संवेग, अणुओं की संख्या, आदि सम्मिलित है। मान लीजिए ρ इस राशि का आयतन घनत्व है जो प्रति इकाई आयतन q की मात्रा है।

जिस तरह से यह मात्रा q प्रवाहित हो रही है उसका वर्णन इसके प्रवाह द्वारा किया जाता है। q का प्रवाह एक सदिश क्षेत्र है, जिसे हम j के रूप में दर्शाते हैं। यहां प्रवाह के कुछ उदाहरण और गुण दिए गए हैं:

• प्रवाह का आयाम "एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से प्रति इकाई समय में प्रवाहित q की मात्रा" है। उदाहरण के लिए, प्रवाहित पानी के लिए द्रव्यमान सांतत्य समीकरण में, यदि 1 cm² प्रतिनिध्यात्मक क्षेत्र वाले पाइप के माध्यम से 1 ग्राम प्रति सेकंड पानी प्रवाहित हो रहा है, तो पाइप के अंदर औसत द्रव्यमान प्रवाह j (1 g/s)/cm² है। और इसकी दिशा पाइप के साथ उस दिशा में होती है जिस दिशा में पानी प्रवाहित हो रहा है। पाइप के बाहर, जहां पानी नहीं है, प्रवाह शून्य है।
• यदि कोई वेग क्षेत्र u है जो प्रासंगिक प्रवाह का वर्णन करता है - दूसरे शब्दों में, यदि बिंदु x पर सभी मात्रा q वेग u(x) के साथ घूम रही है - तो परिभाषा के अनुसार प्रवाह वेग क्षेत्र के घनत्व गुना के समतुल्य है :

$$\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$$

उदाहरण के लिए, यदि प्रवाहित पानी के द्रव्यमान सांतत्य समीकरण में, u प्रत्येक बिंदु पर पानी का वेग है, और ρ प्रत्येक बिंदु पर पानी का घनत्व है, तब j द्रव्यमान प्रवाह होगा।

• एक प्रचलित उदाहरण में, विद्युत आवेश का प्रवाह विद्युत प्रवाह घनत्व है।

एक मात्रा q का प्रवाह j एक विवृत सतह S से कैसे गुजरता है इसका (dS अवकल सदिश क्षेत्र है) चित्रण है।

• यदि कोई काल्पनिक सतह S है, तो S पर प्रवाह का सतह समाकल q की मात्रा के समतुल्य है जो प्रति इकाई समय में सतह S से गुजर रहा है:

$({\text{Rate that }}q{\text{ is flowing through the imaginary surface }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

जिसमें ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ एक सतह समाकल है।

ध्यान दें कि जिस अवधारणा को यहां ''प्रवाह'' कहा गया है, उसे कुछ साहित्य में वैकल्पिक रूप से "प्रवाह घनत्व" कहा जाता है, जिसके संदर्भ में ''प्रवाह'' या प्रवाह घनत्व के सतह समाकल को दर्शाता है। विवरण के लिए प्रवाह पर मुख्य लेख देखें।

समाकल रूप

सांतत्य समीकरण का समाकल रूप बताता है कि:

• किसी क्षेत्र में q की मात्रा तब बढ़ती है जब अतिरिक्त q क्षेत्र की सतह से अंदर की ओर प्रवाहित है, और जब यह बाहर की ओर प्रवाहित है तो घट जाती है;
• किसी क्षेत्र में q की मात्रा तब बढ़ती है जब क्षेत्र के अंदर नया q बनाया जाता है, और q नष्ट होने पर घट जाती है;
• इन दो प्रक्रियाओं के अतिरिक्त, किसी क्षेत्र में q की मात्रा को बदलने का कोई अन्य तरीका नहीं है।

गणितीय रूप से, आयतन V के अंदर q की वृद्धि की दर को व्यक्त करने वाले सांतत्य समीकरण का समाकल रूप है:

${\frac {dq}{dt}}+$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

सांतत्य समीकरण के समाकल रूप में, S कोई भी संवृत सतह है जो पूरी तरह से राशि V बाईं ओर की किसी भी सतह को घेरती है। S सीमाओं वाली सतह नहीं हो सकती, जैसे कि दाईं ओर स्थित है। (सतहें नीली हैं, सीमाएँ लाल हैं।)

जहां

• S कोई काल्पनिक संवृत सतह है, जो आयतन V को घेरती है,
• S dS उस संवृत सतह पर सतह समाकल को दर्शाता है,
• q आयतन V में मात्रा की कुल राशि है,
• j, q का प्रवाह है
• t समय है,
• Σ वह शुद्ध दर है जो प्रति इकाई समय में आयतन V के अंदर q उत्पन्न हो रही है। जब q उत्पन्न हो रहा है, तो इसे q का स्रोत कहा जाता है, और यह Σ को अधिक धनात्मक बनाता है। जब q नष्ट हो रहा है, तो इसे q का सिंक कहा जाता है, और यह Σ को और अधिक ऋणात्मक बनाता है। इस शब्द को कभी-कभी $dq/dt|_{\text{gen}}$ या नियंत्रण आयतन के अंदर इसकी उत्पत्ति या विनाश से q के कुल परिवर्तन के रूप में लिखा जाता है।

एक सरल उदाहरण में, V एक भवन हो सकती है, और q भवन में लोगों की संख्या हो सकती है। सतह S में भवन की दीवारें, प्रवेश द्वार, छत और नींव सम्मिलित होगी। फिर सांतत्य समीकरण बताता है कि जब लोग भवन में प्रवेश करते हैं तो भवन में लोगों की संख्या (सतह के माध्यम से एक आंतरिक प्रवाह) बढ़ जाती है, जब लोग भवन से बाहर निकलते हैं तो (सतह के माध्यम से एक बाहरी प्रवाह) घट जाती है, जब भवन में कोई जन्म देता है तो (एक स्रोत, Σ > 0) बढ़ जाती है और जब भवन में किसी की मृत्यु हो जाती है तब (एक सिंक, Σ < 0) घट जाती है।

अवकल रूप

See also: संरक्षण नियम और संरक्षण प्ररूप

विचलन प्रमेय द्वारा, एक सामान्य सांतत्य समीकरण को अवकल रूप में भी लिखा जा सकता है:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

जहां

• ∇⋅ विचलन है,
• ρ प्रति इकाई आयतन की मात्रा q की मात्रा है,
• j, q का प्रवाह घनत्व है
• t समय है,
• σ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई आयतन q की उत्पत्ति है। वे शब्द जो q (अर्थात, σ > 0) उत्पन्न करते हैं या q (अर्थात, σ < 0) को हटाते हैं, उन्हें क्रमशः "स्रोत" और "सिंक" कहा जाता है।

इस सामान्य समीकरण का उपयोग किसी भी सांतत्य समीकरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो आयतन सांतत्य समीकरण के रूप में सरल से लेकर नेवियर-स्टोक्स समीकरण के रूप में जटिल है। यह समीकरण संवहन समीकरण का भी सामान्यीकरण करता है। भौतिकी में अन्य समीकरण, जैसे कि विद्युत क्षेत्र का गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम, सांतत्य समीकरण के समान गणितीय रूप है, लेकिन सामान्य रूप से पद सांतत्य समीकरण द्वारा संदर्भित नहीं किया जाता है, क्योंकि j उन स्थितियों में वास्तविक भौतिक राशि के प्रवाह का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

उस स्थितियो में q एक संरक्षण नियम (भौतिकी) है जिसे (जैसे ऊर्जा) बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता, σ = 0 और समीकरण बन जाते हैं:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$$

विद्युत चुंबकत्व

Main article: आवेश संरक्षण

विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत में, सांतत्य समीकरण एक अनुभवजन्य नियम है जो आवेश संरक्षण (स्थानीय) व्यक्त करता है। गणितीय रूप से यह मैक्सवेल के समीकरणों का स्वत: परिणाम है, हालांकि आवेश संरक्षण मैक्सवेल के समीकरणों की तुलना में अधिक मौलिक है। इसमें कहा गया है कि धारा घनत्व J (एम्पीयर प्रति वर्ग मीटर में) का विचलन आवेश घनत्व ρ (कूलम्ब प्रति घन मीटर में) के परिवर्तन की ऋणात्मक दर के समतुल्य है।

$$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$$

मैक्सवेल के समीकरणों के साथ संगति

मैक्सवेल के समीकरणों में से एक, एम्पीयर का नियम (मैक्सवेल के सुधार के साथ), यह बताता है

$$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$$

दोनों पक्षों का विचलन (समय परिवर्तन में विचलन और आंशिक अवकल) लेने पर परिणाम मिलता है

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$$

लेकिन तरंगित का विचलन शून्य है, इसलिए

$$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$$

लेकिन गॉस का नियम (एक अन्य मैक्सवेल समीकरण), यह बताता है

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$$

जिसे सांतत्य समीकरण प्राप्त करने के लिए पूर्व समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है

$$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$$

धारा आवेश की गति है। सांतत्य समीकरण कहता है कि यदि आवेश एक अवकल आयतन से बाहर निकल रहा है (अर्थात, धारा घनत्व का विचलन धनात्मक है) तो उस आयतन के अंदर आवेश की मात्रा घटने लगती है, इसलिए आवेश घनत्व के परिवर्तन की दर ऋणात्मक है। इसलिए, सांतत्य समीकरण आवेश के संरक्षण के समतुल्य है।

यदि चुंबकीय एकध्रुवीय सम्मिलित हैं, तो एकध्रुवीय धाराओं के लिए सांतत्य समीकरण भी होगा, परिप्रेक्ष्य के लिए एकध्रुवीय आलेख और विद्युत और चुंबकीय धाराओं के बीच द्वंद्व देखें।

द्रव गतिकी

See also: द्रव्यमान प्रवाह, द्रव्यमान प्रवाह दर, और आवर्त समीकरण

द्रव गतिकी में, सांतत्य समीकरण बताता है कि जिस दर पर द्रव्यमान एक प्रणाली में प्रवेश करता है वह उस दर के समतुल्य होता है जिस पर द्रव्यमान प्रणाली को छोड़ देता है और साथ ही प्रणाली के अंदर द्रव्यमान का संचय होता है। सांतत्य समीकरण का अंतर रूप है:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

जहां

• ρ द्रव घनत्व है,
• t समय है,
• u प्रवाह वेग सदिश क्षेत्र है।

समय अवकल को प्रणाली में द्रव्यमान के संचय (या हानि) के रूप में समझा जा सकता है, जबकि विचलन शब्द प्रवाह बनाम प्रवाह में अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। इस संदर्भ में, यह समीकरण भी यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) में से एक है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण रैखिक गति के संरक्षण का वर्णन करते हुए एक सदिश सांतत्य समीकरण बनाते हैं।

यदि तरल असंपीड्य (आयतनमितीय विकृति दर शून्य है) है, द्रव्यमान सांतत्य समीकरण आयतन सांतत्य समीकरण को सरल बनाता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$$

जिसका अर्थ है कि वेग क्षेत्र का विचलन प्रत्येक स्थान शून्य है। भौतिक रूप से, यह कथन के समतुल्य है कि स्थानीय आयतन फैलाव दर शून्य है, इसलिए एक अभिसरण पाइप के माध्यम से पानी का प्रवाह पूरी तरह से इसके वेग को बढ़ाकर समायोजित करेगा क्योंकि पानी अधिकतम सीमा तक असम्पीडित है।

कंप्यूटर दृष्टि

Main article: प्रकाशिक प्रवाह

कंप्यूटर दृष्टि में, प्रकाशिक प्रवाह दृश्य में वस्तुओं की स्पष्ट गति का पैटर्न है। इस धारणा के अंतर्गत कि गतिमान वस्तु की दीप्ति दो छवि संरचनाओ के बीच नहीं बदली जाती है, कोई प्रकाशिक प्रवाह समीकरण को इस प्रकार प्राप्त कर सकता है:

$${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$$

जहां

• t समय है,
• x, y छवि में निर्देशांक करता है,
• I छवि निर्देशांक पर छवि तीव्रता (x, y) और समय t है,
• V प्रकाशिक प्रवाह वेग सदिश $(V_{x},V_{y})$ छवि समन्वय पर (x, y) और समय t है।

ऊर्जा और ताप

ऊर्जा का संरक्षण कहता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है। सामान्य सापेक्षता से जुड़ी बारीकियों के लिए #सामान्य सापेक्षता देखें। इसलिए, ऊर्जा प्रवाह के लिए एक सांतत्य समीकरण है:

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$$

जहां

• u, स्थानीय ऊर्जा घनत्व (ऊर्जा प्रति इकाई आयतन),
• q, एक सदिश के रूप में ऊर्जा प्रवाह (प्रति इकाई प्रतिनिध्यात्मक क्षेत्र प्रति इकाई समय में ऊर्जा का स्थानांतरण),

एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण ऊष्मा का स्थानांतरण है। जब ऊष्मा एक ठोस के अंदर प्रवाहित होती है, तो ऊष्मा समीकरण पर पहुंचने के लिए सांतत्य समीकरण को तापीय चालन फूरियर के नियम (ताप प्रवाह तापमान प्रवणता के समानुपाती होता है) के साथ जोड़ा जा सकता है। ऊष्मा प्रवाह के समीकरण में स्रोत की शर्तें भी हो सकती हैं: हालांकि ऊर्जा को बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता है, ऊष्मा को अन्य प्रकार की ऊर्जा से बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए घर्षण या जूल ऊष्मा के माध्यम से होता है।

प्रायिकता बंटन

यदि कोई ऐसी राशि है जो प्रसंभाव्यता (यादृच्छिक) प्रक्रिया के अनुसार निरंतर संचालित रहती है, जैसे कि एक प्रकार कि गति के साथ एकल विघटित अणु का स्थान, तो इसके प्रायिकता बंटन के लिए एक सांतत्य समीकरण है। इस स्थितियो में प्रवाह प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय की प्रायिकता है कि कण एक सतह से गुजरता है। सांतत्य समीकरण के अनुसार, इस प्रवाह का ऋणात्मक विचलन प्रायिकता घनत्व के परिवर्तन की दर के समतुल्य है। सांतत्य समीकरण इस तथ्य को दर्शाता है कि अणु सदैव कहीं होता है - इसकी प्रायिकता वितरण का समाकल सदैव 1 के समतुल्य होता है - और यह एक निरंतर गति (कोई स्थानांतरणन) से संचरित रहता है।

क्वांटम यांत्रिकी

क्वांटम यांत्रिकी एक अन्य डोमेन है जहां प्रायिकता के संरक्षण से संबंधित एक सांतत्य समीकरण है। समीकरण में शर्तों के लिए निम्नलिखित परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, और उपरोक्त अन्य उदाहरणों की तुलना में आंशिक रूप से कम स्पष्ट है, इसलिए उन्हें यहां रेखांकित किया गया है:

• तरंग फलन Ψ स्थिति और संवेग समष्टि (अतिरिक्त स्थिति और संवेग समष्टि) में एक कण के लिए, अर्थात स्थिति r और समय t, Ψ = Ψ(r, t) का एक फलन है
• प्रायिकता घनत्व फलन है
  $$\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$$
• t पर V के भीतर कण मिलने की प्रायिकता को इसके द्वारा निरूपित और परिभाषित किया जाता है
  $$P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$$
• प्रायिकता धारा (उर्फ प्रायिकता प्रवाह) है
  $$\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$$

इन परिभाषाओं के साथ सांतत्य समीकरण पढ़ता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$$

किसी भी रूप को उद्धृत किया जा सकता है। सामान्य रूप से, उपरोक्त परिणाम प्रदर्शित करता हैं कि यह प्रायिकता के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। किसी स्थिति r और समय t पर कण को खोजने का अवसर एक तरल पदार्थ की तरह प्रवाहित है, इसलिए इसे संभाव्यता धारा, एक सदिश क्षेत्र कहा जाता है। कण स्वयं इस सदिश क्षेत्र में नियतात्मक रूप से प्रवाहित नहीं होता है।

श्रोडिंगर समीकरण के साथ संगति

3-डी समय पर निर्भर श्रोडिंगर समीकरण और इसके जटिल संयुग्म (i → −i संपूर्ण) क्रमशः हैं:

$${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$$

जहाँ U प्रायिकता फलन है। T के संबंध में ρ का आंशिक अवकल है:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$$

श्रोडिंगर समीकरण को Ψ* से गुणा करना, फिर Ψ* ∂Ψ/∂t,के लिए हल करना, और इसी तरह जटिल संयुग्मित श्रोडिंगर समीकरण को Ψ से गुणा करना, फिर Ψ ∂Ψ*/∂t के लिए हल करना;;

$${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$$

ρ के समय अवकल में प्रतिस्थापित करना:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$$

उपरोक्त परिणाम में लाप्लासियन संक्रिया (∇2) सुझाव देते हैं कि दाहिनी ओर j का विचलन है, और शब्दों के प्रतिवर्त क्रम का अर्थ है कि यह पूरी तरह से j का ऋणात्मक है:

$${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$$

तो सांतत्य समीकरण है:

$${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$$

सामान्य समीकरण के अनुसार समाकल रूप इस प्रकार है।

अर्धचालक

अर्धचालक में कुल धारा प्रवाह में चालन बैंड में दोनों इलेक्ट्रॉनों और संयोजकता बैंड में रंध्रों की प्रवाह धारा और प्रसार धारा सम्मिलित होती है।

एक आयाम में इलेक्ट्रॉनों के लिए सामान्य रूप:

$${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$$

जहां:

• n इलेक्ट्रॉनों की स्थानीय सांद्रता है
• $\mu _{n}$ इलेक्ट्रॉन गतिशीलता है
• E रिक्तीकरण क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र है
• D_n इलेक्ट्रॉनों के लिए प्रसार गुणांक है
• G_n इलेक्ट्रॉनों के उत्पादन की दर है
• R_n इलेक्ट्रॉनों के पुनर्संयोजन की दर है

इसी तरह, रंध्रों के लिए:

$${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$$

जहां:

• p रंध्रों की स्थानीय सांद्रता है
• $\mu _{p}$ रंध्र गतिशीलता है
• E रिक्तीकरण क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र है
• D_p रंध्रों के लिए प्रसार गुणांक है
• G_p रंध्रों के निर्माण की दर है
• R_p रंध्रों के पुनर्संयोजन की दर है

अवकल

यह खंड इलेक्ट्रॉनों के लिए उपरोक्त समीकरण की व्युत्पत्ति प्रस्तुत करता है। रंध्रों के समीकरण के लिए एक समान व्युत्पत्ति पाई जा सकती है।

इस तथ्य पर विचार करें कि x-अक्ष के साथ परिच्छेद क्षेत्र, A, और लंबाई, dx के साथ अर्धचालक पदार्थ की मात्रा में इलेक्ट्रॉनों की संख्या संरक्षित है। अधिक परिशुद्ध रूप से, कोई कह सकता है:

$${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$$

गणितीय रूप से, इस समानता को लिखा जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=[J(x+dx)-J(x)]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[3pt]{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[3pt]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$$

यहाँ J अर्धचालक के विचारित आयतन के अंदर इलेक्ट्रॉन प्रवाह के कारण धारा घनत्व (जिसकी दिशा परिपाटी द्वारा इलेक्ट्रॉन प्रवाह के विरुद्ध है) को दर्शाता है। इसे इलेक्ट्रॉन धारा घनत्व भी कहते हैं।

कुल इलेक्ट्रॉन धारा घनत्व प्रवाहित धारा और प्रसार धारा घनत्व का योग है:

$$J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$$

इसलिए, हमारे पास है

$${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$$

उत्पाद नियम को प्रयुक्त करने से अंतिम अभिव्यक्ति होती है:

$${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$$

विलयन

इन समीकरणों को वास्तविक उपकरणों में हल करने की कुंजी जब भी संभव हो ऐसे क्षेत्रों का चयन करना है जिनमें अधिकांश तंत्र नगण्य हैं ताकि समीकरण बहुत सरल रूप में कम हो जाएं।

सापेक्षतावादी संस्करण

विशेष सापेक्षता

See also: 4-सदिश

विशेष सापेक्षता के अंकन और उपकरण, विशेष रूप से 4-सदिश और 4-प्रवणता, किसी भी सांतत्य समीकरण को लिखने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं।

किसी राशि का घनत्व ρ और इसका धारा j को 4-सदिश में जोड़ा जा सकता है जिसे 4-धारा कहा जाता है:

$$J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$$

जहां c प्रकाश की गति है। इस धारा का 4-विचलन है:

$$\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$$

जहां ∂_μ 4-प्रवणता है और μ समष्टि समय आयाम को लेबल करने वाला एक सूचकांक अंकन है। फिर सांतत्य समीकरण है:

$$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$$

सामान्य स्थितियो में जहां कोई स्रोत या सिंक नहीं हैं, अर्थात ऊर्जा या आवेश जैसी पूरी तरह से संरक्षित राशि के लिए होती है। यह सांतत्य समीकरण प्रकट रूप से (स्पष्ट रूप से) लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है।

इस रूप में प्रायः लिखे जाने वाले सांतत्य समीकरणों के उदाहरणों में विद्युत आवेश संरक्षण सम्मिलित है

$$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$$

जहां J विद्युत 4-धारा है; और ऊर्जा-संवेग संरक्षण

$$\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$$

जहां T विकृति-ऊर्जा प्रदिश है।

सामान्य सापेक्षता

सामान्य सापेक्षता में, जहां स्थान-समय घुमावदार होता है, ऊर्जा, आवेश या अन्य संरक्षित राशियों के लिए सांतत्य समीकरण (अवकल रूप में) में साधारण विचलन के अतिरिक्त सहसंयोजक व्युत्पन्न सम्मिलित होता है।

उदाहरण के लिए, तनाव-ऊर्जा प्रदिश एक दूसरे क्रम का प्रदिश क्षेत्र है जिसमें द्रव्यमान-ऊर्जा वितरण के ऊर्जा-संवेग घनत्व, ऊर्जा-संवेग प्रवाह और कतरनी तनाव होते हैं। सामान्य सापेक्षता में ऊर्जा-संवेग संरक्षण का अवकल रूप बताता है कि विकृति-ऊर्जा प्रदिश का सहसंयोजक विचलन शून्य है:

$${T^{\mu }}_{\nu ;\mu }=0.$$

सामान्य सापेक्षता में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के रूप में यह एक महत्वपूर्ण बाधा है।

हालांकि, वक्रीय निर्देशांक में साधारण प्रदिश प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के दूसरे क्रम के प्रदिश क्षेत्र आवश्यक रूप से नष्ट नहीं होते हैं:

$$\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$$

केवल समतल ज्यामिति के लिए दाहिना भाग पूरी तरह से नष्ट हो जाता है।

परिणामस्वरूप, सांतत्य समीकरण के समाकल रूप को परिभाषित करना कठिन है और आवश्यक नहीं कि उस क्षेत्र के लिए मान्य हो, जिसके अंदर समष्टि समय महत्वपूर्ण रूप से वक्रित हो उदाहरण के लिए एक अंध विवर के आसपास, या पूरे ब्रह्मांड में मान्य है।

कण भौतिकी

क्वार्क और ग्लूऑन में रंग आवेश होता है, जो सदैव विद्युत आवेश की तरह संरक्षित होता है, और ऐसे रंग आवेश धाराओं के लिए एक सांतत्य समीकरण होता है ग्लूऑन क्षेत्र शक्ति प्रदिश पर धाराओं के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियां दी जाती हैं।

कण भौतिकी में कई अन्य राशि हैं जो प्रायः या सदैव संरक्षित होती हैं: बेरिऑन संख्या (क्वार्क की संख्या के अनुपात में प्रतिक्वार्क की संख्या को घटाकर), लेप्टान संख्या, इलेक्ट्रॉन संख्या, म्यू संख्या, टाऊ संख्या, समभारिक प्रचक्रण, और अन्य सम्मिलित है। इनमें से प्रत्येक में संभवतः स्रोत/सिंक शर्तों सहित एक संगत सांतत्य समीकरण है।

नोएथेर का प्रमेय

अधिक विस्तृत स्पष्टीकरण और व्युत्पत्तियों के लिए, नोएथर का प्रमेय देखें।

भौतिकी में प्रायः संरक्षण समीकरणों के होने का एक कारण नोएदर का प्रमेय है। यह बताता है कि जब भी भौतिकी के नियमों में निरंतर समरूपता होती है, तो कुछ संरक्षित भौतिक राशि के लिए एक सांतत्य समीकरण होता है। तीन सबसे प्रचलित उदाहरण हैं:

• समय-स्थानांतरण के संबंध में भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय हैं - उदाहरण के लिए, भौतिकी के नियम आज भी वही हैं जो कल थे। यह समरूपता ऊर्जा के संरक्षण के लिए सांतत्य समीकरण की ओर ले जाती है।
• भौतिकी के नियम अंतरिक्ष-स्थानांतरण के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं- उदाहरण के लिए, ब्राजील में भौतिकी के नियम अर्जेंटीना में भौतिकी के नियमों के समान हैं। यह समरूपता गति के संरक्षण के लिए सांतत्य समीकरण की ओर ले जाती है।
• अभिविन्यास के संबंध में भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय हैं—उदाहरण के लिए, बाह्य अंतरिक्ष में प्लवमान, ऐसा कोई माप नहीं है जिससे आप यह कह सकें कि कौन सा मार्ग ऊपर की ओर है; फिर आप किसी भी दिशा मे हो, भौतिकी के नियम समान हैं। यह समरूपता कोणीय गति के संरक्षण के लिए सांतत्य समीकरण की ओर ले जाती है।

यह भी देखें

• एकपक्षीय तरंग समीकरण
• संरक्षण नियम (भौतिकी)
• संरक्षण स्वरूप
• विघटनकारी प्रणाली

अग्रिम पठन

• Hydrodynamics, H. Lamb, Cambridge University Press, (2006 digitalization of 1932 6th edition) ISBN 978-0-521-45868-9
• Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
• Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
• Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0