अपूर्ण संख्या

संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ

संख्या सिद्धांत में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या n होती है जिसके लिए n के विभाजकों का योग 2n से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।

σ(n) द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकृत हुए, मान 2n − σ(n) को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि s(n) के संदर्भ में कमी n − s(n) है।

उदाहरण

पहले कुछ अपूर्ण संख्याएँ हैं

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (sequence A005100 in the OEIS)

उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।

गुण

चूँकि अभाज्य संख्याओं का विभाज्य योग 1 के समान होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। अधिक सामान्यतः, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी विषम संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। इससे ज्ञात होता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। सम अपूर्ण संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^x-1 = 2^x - 1) होता है।

अधिक सामान्यतः, सभी प्रमुख शक्तियाँ $p^{k}$से कम हैं क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक $1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}$हैं जिसका योग ${\frac {p^{k}-1}{p-1}}$ है, जो कि अधिक से अधिक $p^{k}-1$है।

अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं।

अंतराल में कम से कम कमी संख्या उपस्थित $[n,n+(\log n)^{2}]$ है, पर्याप्त रूप से n बड़े के लिए हैं।

संबंधित अवधारणाएं

File:Euler diagram numbers with many divisors.svg

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

कम संख्या से निकटता से संबंधित σ(n) = 2n के साथ पूर्ण संख्याएं हैं, और σ(n) > 2n के साथ प्रचुर संख्याएं हैं।

निकोमाचस ने अपने परिचय अंकगणित (लगभग 100 सीई) प्राकृतिक संख्याओं को सबसे पहले या तो कमी, पूर्ण या प्रचुरता के रूप में वर्गीकृत किया था।

यह भी देखें

• लगभग पूर्ण संख्या
• सौहार्दपूर्ण संख्या
• मिलनसार संख्या
• अत्यधिक संख्या

संदर्भ

• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.

बाहरी संबंध

• The Prime Glossary: Deficient number
• Weisstein, Eric W. "Deficient Number". MathWorld.
• deficient number at PlanetMath.