अपूर्ण संख्या: Difference between revisions

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[[File:Deficient number Cuisenaire rods 8.png|thumb|संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ]][[संख्या सिद्धांत]] में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या ''n'' होती है जिसके लिए ''n'' के विभाजकों का योग 2''n'' से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।।
[[File:Deficient number Cuisenaire rods 8.png|thumb|संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ]][[संख्या सिद्धांत]] में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या ''n'' होती है जिसके लिए ''n'' के विभाजकों का योग 2''n'' से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।


''σ''(''n'') द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकारते हुए, मान 2''n'' − ''σ''(''n'') को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि ''s''(''n'') के संदर्भ में, कमी है ''n'' − ''s''(''n'') है।
''σ''(''n'') द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकृत हुए, मान 2''n'' − ''σ''(''n'') को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि ''s''(''n'') के संदर्भ में कमी ''n'' − ''s''(''n'') है।


== उदाहरण ==
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== गुण ==
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अधिक सामान्यतः, सभी प्रमुख शक्तियाँ <math>p^k</math>कम हैं<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The Prime Glossary: deficient number|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber|access-date=2021-12-19|website=primes.utm.edu}}</ref> क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक <math>1, p, p^2, \dots, p^{k-1}</math>हैं जिसका योग <math>\frac{p^k-1}{p-1}</math> है, जो कि अधिक से अधिक <math>p^k-1</math>है।{{Citation needed|date=December 2021}}
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Revision as of 10:59, 17 June 2023

संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ

संख्या सिद्धांत में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या n होती है जिसके लिए n के विभाजकों का योग 2n से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।

σ(n) द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकृत हुए, मान 2n − σ(n) को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि s(n) के संदर्भ में कमी n − s(n) है।

उदाहरण

पहले कुछ अपूर्ण संख्याएँ हैं

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (sequence A005100 in the OEIS)

उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।

गुण

चूँकि अभाज्य संख्याओं का विभाज्य योग 1 के समान होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं।[1] अधिक सामान्यतः, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी विषम संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। इससे ज्ञात होता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। सम अपूर्ण संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग (1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2x-1 = 2x - 1) होता है।[citation needed]

अधिक सामान्यतः, सभी प्रमुख शक्तियाँ से कम हैं[1][2] क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक हैं जिसका योग है, जो कि अधिक से अधिक है।[citation needed]

अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं।[1][2][better source needed]

अंतराल में कम से कम कमी संख्या उपस्थित है, पर्याप्त रूप से n बड़े के लिए हैं।[3]


संबंधित अवधारणाएं

Euler diagram of abundant, primitive abundant, highly abundant, superabundant, colossally abundant, highly composite, superior highly composite, weird and perfect numbers under 100 in relation to deficient and composite numbers

कम संख्या से निकटता से संबंधित σ(n) = 2n के साथ पूर्ण संख्याएं हैं, और σ(n) > 2n के साथ प्रचुर संख्याएं हैं।

निकोमाचस ने अपने परिचय अंकगणित (लगभग 100 सीई) प्राकृतिक संख्याओं को सबसे पहले या तो कमी, पूर्ण या प्रचुरता के रूप में वर्गीकृत किया था।[4]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Weisstein, Eric W. "कमी संख्या". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-12-19.
  2. ↑ 2.0 2.1 "The Prime Glossary: deficient number". primes.utm.edu. Retrieved 2021-12-19.
  3. ↑ Sándor et al (2006) p.108
  4. ↑ Sweeney, Justin (27 April 2009). "विषम पूर्ण संख्याओं के प्रधान विभाजकों पर". CiteSeerX 10.1.1.525.5751. Archived from the original on 2021-12-19. Retrieved 19 December 2021.


बाहरी संबंध

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