अपूर्ण संख्या: Difference between revisions

Revision as of 10:40, 17 June 2023

संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ

संख्या सिद्धांत में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या n होती है जिसके लिए n के विभाजकों का योग 2n से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।।

σ(n) द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकारते हुए, मान 2n − σ(n) को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि s(n) के संदर्भ में, कमी है n − s(n) है।

उदाहरण

पहले कुछ अपूर्ण संख्याएँ हैं

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... (sequence A005100 in the OEIS)

उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।

गुण

चूँकि अभाज्य संख्याओं का विभाज्य योग 1 के समान होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं।^[1] अधिक सामान्यतः, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी विषम संख्याएँ अपूर्ण होती हैं। इससे ज्ञात होता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। सम अपूर्ण संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग होता है ( $1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2 x -1 = 2 x - 1$ ) होता है।^{[citation needed]}

अधिक सामान्यतः, सभी प्रमुख शक्तियाँ $p^{k}$ कम हैं^[1]^[2] क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक $1,p,p^{2},\dots ,p^{k-1}$ हैं जिसका योग ${\frac {p^{k}-1}{p-1}}$ है, जो कि अधिक से अधिक $p^{k}-1$ है।^{[citation needed]}

अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं।^[1]^[2]^{[better source needed]}

अंतराल में कम से कम कमी संख्या उपस्थित है, $[n,n+(\log n)^{2}]$ पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए हैं।^[3]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "कमी संख्या". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-12-19.
↑ ^2.0 ^2.1 "The Prime Glossary: deficient number". primes.utm.edu. Retrieved 2021-12-19.
↑ Sándor et al (2006) p.108
↑ Sweeney, Justin (27 April 2009). "विषम पूर्ण संख्याओं के प्रधान विभाजकों पर". CiteSeerX 10.1.1.525.5751. Archived from the original on 2021-12-19. Retrieved 19 December 2021.

Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.

बाहरी संबंध

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "कमी संख्या". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-12-19.

[:1-2] 2.0 ^2.1 "The Prime Glossary: deficient number". primes.utm.edu. Retrieved 2021-12-19.

[HBI108-3] Sándor et al (2006) p.108

[4] Sweeney, Justin (27 April 2009). "विषम पूर्ण संख्याओं के प्रधान विभाजकों पर". CiteSeerX 10.1.1.525.5751. Archived from the original on 2021-12-19. Retrieved 19 December 2021.

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 {{short description|Number whose aliquot sum is less than itself}}
-[[File:Deficient number Cuisenaire rods 8.png|thumb|संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, Cuisenaire छड़ के साथ]][[संख्या सिद्धांत]] में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या एक संख्या ''n'' है जिसके लिए विभाजक फ़ंक्शन''n'' की परिभाषा 2''n'' से कम है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित भाजक (या विभाज्य योग) का योग ''n'' से कम है। उदाहरण के लिए, 8 के उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।
+[[File:Deficient number Cuisenaire rods 8.png|thumb|संख्या 8 की कमी का प्रदर्शन, व्यंजन छड़ के साथ]][[संख्या सिद्धांत]] में, एक कमी संख्या या दोषपूर्ण संख्या ''n'' होती है जिसके लिए ''n'' के विभाजकों का योग 2''n'' से कम होता है। समतुल्य रूप से, यह एक संख्या है जिसके लिए उचित विभाजक 1, 2 और 4 हैं, और उनका योग 8 से कम है, इसलिए 8 कम है।।
-विभाजकों के योग को ''σ''(''n'') द्वारा नकारना, मान 2''n'' − ''σ''(''n'') को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि ''s''(''n'') के संदर्भ में, कमी है ''n'' − ''s''(''n'')।
+''σ''(''n'') द्वारा विभाजकों के योग को अस्वीकारते हुए, मान 2''n'' − ''σ''(''n'') को संख्या की कमी कहा जाता है। विभाज्य राशि ''s''(''n'') के संदर्भ में, कमी है ''n'' − ''s''(''n'') है।
 == उदाहरण ==
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 पहले कुछ अपूर्ण संख्याएँ हैं
 :1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32 , 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, ... {{OEIS|id=A005100}}
-एक उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।
+उदाहरण के रूप में, संख्या 21 पर विचार करें। इसके भाजक 1, 3, 7 और 21 हैं, और उनका योग 32 है। क्योंकि 32 संख्या 42 से कम है, संख्या 21 अपूर्ण है। इसकी कमी 2 × 21 − 32 = 10 होती है।
 == गुण ==
-चूँकि [[अभाज्य संख्या]]ओं का विभाज्य योग 1 के बराबर होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अधिक आम तौर पर, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी [[विषम संख्या]]एँ अपूर्ण होती हैं। इससे पता चलता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। [[सम संख्या]] की कमी वाली संख्याओं की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग होता है ({{math|1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2{{sup|''x''-1}} {{=}} 2{{sup|''x''}} - 1}}).{{Citation needed|date=December 2021}}
+चूँकि [[अभाज्य संख्या]]ओं का विभाज्य योग 1 के समान होता है, सभी अभाज्य संख्याएँ अपूर्ण होती हैं।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> अधिक सामान्यतः, एक या दो भिन्न अभाज्य गुणनखण्ड वाली सभी [[विषम संख्या]]एँ अपूर्ण होती हैं। इससे ज्ञात होता है कि अपरिमित रूप से अनेक विषम संख्याएँ अपूर्ण संख्याएँ हैं। [[सम संख्या|सम अपूर्ण संख्याओं]] की अनंत संख्या भी होती है क्योंकि दो की सभी शक्तियों का योग होता है ({{math|1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2{{sup|''x''-1}} {{=}} 2{{sup|''x''}} - 1}}) होता है।{{Citation needed|date=December 2021}}
-अधिक आम तौर पर, सभी प्रमुख शक्तियाँ <math>p^k</math> कमी हैं<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The Prime Glossary: deficient number|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber|access-date=2021-12-19|website=primes.utm.edu}}</ref> क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक हैं <math>1, p, p^2, \dots, p^{k-1}</math> जिसका योग है <math>\frac{p^k-1}{p-1}</math>, जो कि अधिक से अधिक है <math>p^k-1</math>.{{Citation needed|date=December 2021}}
+अधिक सामान्यतः, सभी प्रमुख शक्तियाँ <math>p^k</math>कम हैं<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The Prime Glossary: deficient number|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber|access-date=2021-12-19|website=primes.utm.edu}}</ref> क्योंकि उनके एकमात्र उचित भाजक <math>1, p, p^2, \dots, p^{k-1}</math>हैं जिसका योग <math>\frac{p^k-1}{p-1}</math> है, जो कि अधिक से अधिक <math>p^k-1</math>है।{{Citation needed|date=December 2021}}
+अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित वि[[भाजक]] त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अतिरिक्त, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The Prime Glossary: deficient number|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber|access-date=2021-12-19|website=primes.utm.edu}}</ref>{{Better source needed|date=December 2021}}
+अंतराल में कम से कम कमी संख्या उपस्थित है,<math>[n, n + (\log n)^2]</math> पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए हैं।<ref name="HBI108">Sándor et al (2006) p.108</ref>
-अपूर्ण संख्याओं के सभी उचित वि[[भाजक]] त्रुटिपूर्ण होते हैं। इसके अलावा, पूर्ण संख्याओं के सभी उचित विभाजक त्रुटिपूर्ण हैं।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=कमी संख्या|url=https://mathworld.wolfram.com/DeficientNumber.html|access-date=2021-12-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=The Prime Glossary: deficient number|url=https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=DeficientNumber|access-date=2021-12-19|website=primes.utm.edu}}</ref>{{Better source needed|date=December 2021}}
-अंतराल में कम से कम एक कमी संख्या मौजूद है <math>[n, n + (\log n)^2]</math> सभी के लिए पर्याप्त रूप से बड़ा एन।<ref name=HBI108>Sándor et al (2006) p.108</ref>
 == संबंधित अवधारणाएं ==
 {{Euler_diagram_numbers_with_many_divisors.svg}}
-σ(n) = 2n के साथ परिपूर्ण संख्याएं, और σ(n) > 2n के साथ प्रचुर संख्याएं हैं।
+कम संख्या से निकटता से संबंधित σ(n) = 2n के साथ पूर्ण संख्याएं हैं, और σ(n) > 2n के साथ प्रचुर संख्याएं हैं।
-[[प्राकृतिक संख्या]]ओं को सबसे पहले अंकगणित के अपने परिचय (लगभग 100 CE) में [[निकोमाचस]] द्वारा या तो कमी, पूर्ण या प्रचुरता के रूप में वर्गीकृत किया गया था।<ref>{{Cite web|last=Sweeney|first=Justin|date=27 April 2009|title=विषम पूर्ण संख्याओं के प्रधान विभाजकों पर|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.525.5751&rep=rep1&type=pdf|url-status=live|access-date=19 December 2021|citeseerx=10.1.1.525.5751 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211219213213/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.525.5751&rep=rep1&type=pdf |archive-date=2021-12-19 }}</ref>
+[[निकोमाचस]] ने अपने परिचय अंकगणित (लगभग 100 सीई) [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] को सबसे पहले या तो कमी, पूर्ण या प्रचुरता के रूप में वर्गीकृत किया था।<ref>{{Cite web|last=Sweeney|first=Justin|date=27 April 2009|title=विषम पूर्ण संख्याओं के प्रधान विभाजकों पर|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.525.5751&rep=rep1&type=pdf|url-status=live|access-date=19 December 2021|citeseerx=10.1.1.525.5751 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211219213213/http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.525.5751&rep=rep1&type=pdf |archive-date=2021-12-19 }}</ref>

v t e पूर्णांक के विभाजन-आधारित सेट
अवलोकन	पूर्णांक कारक भाजक एकात्मक भाजक भाजक समारोह मुख्य कारक है अंकगणित का मौलिक प्रमेय
फैक्टराइजेशन फार्म	प्राइम समग्र सेमीप्रीम प्रोनिक Sphenic स्क्वायर-फ्री शक्तिशाली सही शक्ति Achilles चिकनी नियमित किसी न किसी असामान्य
विवश विभाजित रकम	परफेक्ट लगभग सही quasiperfect गुणा करें परफेक्ट हेमिपरफेक्ट हाइपरपरफेक्ट SuperPerFect एकात्मक पूर्ण सेमीपेरफेक्ट व्यावहारिक erdős -nynolas
कई विभाजकों के साथ	प्रचुर मात्रा में आदिम प्रचुर मात्रा में अत्यधिक प्रचुर मात्रा में सुपरबंडेंट colossally प्रचुर मात्रा में अत्यधिक समग्र बेहतर उच्च समग्र अजीब
विभाज्य अनुक्रम-संबंधित	अछूत सौहार्दपूर्ण ( ट्रिपल) मिलनसार बेटरोथेड
आधार-आश्रित	इक्विडिजिटल असाधारण मितव्ययी हर्षद पॉलीडिविबल स्मिथ
अन्य सेट	अंकगणित कमी फ्रेंडली एकान्त उदात्त हार्मोनिक डिविसर डेसकार्टेस Refactorable SuperPerFect

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