यंग मापांक: Difference between revisions

Latest revision as of 08:49, 15 June 2023

यंग का मापांक तनाव या संपीड़न के तहत सामग्री के लिए तनाव-विकृति वक्र के रैखिक भाग का ढलान है।

यंग मापांक $E$ , यंग मापांक, या तनाव (भौतिकी) या संपीड़न (भौतिकी) (यानी, नकारात्मक तनाव) में लोच का मापांक, एक यांत्रिक गुण है जो किसी ठोस पदार्थ की तन्यता या संकुचित कठोरता को मापता है जब बल को लंबाई में लागू किया जाता है। यह तनन/संपीड़न तनाव (यांत्रिकी) के बीच संबंध की मात्रा निर्धारित करता है $\sigma$ (बल प्रति इकाई क्षेत्र) और अक्षीय तनाव (यांत्रिकी) $\varepsilon$ (आनुपातिक विरूपण) एक सामग्री के रैखिक लोच क्षेत्र में और सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:^[1]

E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}

यंग के मोडुली आमतौर पर इतने बड़े होते हैं कि उन्हें पास्कल (यूनिट) में नहीं बल्कि गीगापास्कल (जीपीए) में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण:

मूर्खतापूर्ण पोटीन (बढ़ता दबाव: लंबाई तेजी से बढ़ती है, मतलब कम $E$ )
अल्युमीनियम (बढ़ता दबाव: लंबाई धीरे-धीरे बढ़ती है, जिसका अर्थ है उच्च $E$ )

उच्च यंग का मापांक अधिक (लंबाई के अनुसार) कठोरता से मेल खाता है।

हालांकि यंग के मापांक का नाम 19वीं सदी के ब्रिटिश वैज्ञानिक थॉमस यंग (वैज्ञानिक) के नाम पर रखा गया है, लेकिन यह अवधारणा 1727 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा विकसित की गई थी। अपने वर्तमान रूप में यंग के मापांक की अवधारणा का उपयोग करने वाले पहले प्रयोग 1782 में इतालवी वैज्ञानिक जियोर्डानो रिकाटी द्वारा किए गए थे, जो यंग के काम से 25 साल पहले के थे।^[2] मापांक शब्द लैटिन रूट (भाषाविज्ञान) विक्षनरी से लिया गया है: मोडस जिसका अर्थ है माप।

परिभाषा

रैखिक लोच

संपीड़न या विस्तार में एक छोटा भार लागू होने पर एक ठोस सामग्री लोचदार विरूपण से गुजरती है। लोचदार विरूपण प्रतिवर्ती है, जिसका अर्थ है कि भार हटाए जाने के बाद सामग्री अपने मूल आकार में वापस आ जाती है।

लगभग शून्य तनाव और तनाव पर, तनाव-तनाव वक्र रैखिक होता है, और तनाव और तनाव के बीच के संबंध को हूक के नियम द्वारा वर्णित किया जाता है जो बताता है कि तनाव तनाव के समानुपाती है। आनुपातिकता का गुणांक यंग का मापांक है। मापांक जितना अधिक होता है, उतनी ही मात्रा में तनाव पैदा करने के लिए अधिक तनाव की आवश्यकता होती है; एक आदर्श कठोर शरीर में एक अनंत यंग का मापांक होगा। इसके विपरीत, एक बहुत ही नरम सामग्री (जैसे तरल पदार्थ) बल के बिना विकृत हो जाएगी, और शून्य यंग मापांक होगा।

विरूपण की एक छोटी राशि से परे कई सामग्रियां रैखिक और लोचदार नहीं हैं।^{[citation needed]}

== के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए भौतिक कठोरता को इन गुणों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए:

सामग्री की ताकत: लोचदार (प्रतिवर्ती) विरूपण शासन में रहने के दौरान सामग्री का अधिकतम मात्रा में तनाव का सामना करना पड़ सकता है;
ज्यामितीय कठोरता: शरीर की एक वैश्विक विशेषता जो उसके आकार पर निर्भर करती है, न कि केवल सामग्री के स्थानीय गुणों पर; उदाहरण के लिए, एक मैं दमक | आई-बीम में प्रति लंबाई दिए गए द्रव्यमान के लिए समान सामग्री की रॉड की तुलना में अधिक झुकने वाली कठोरता होती है;
कठोरता: सामग्री की सतह के एक कठिन शरीर द्वारा प्रवेश के सापेक्ष प्रतिरोध;
कठिनता: ऊर्जा की मात्रा जो एक सामग्री फ्रैक्चर से पहले अवशोषित कर सकती है।

उपयोग

यंग का मापांक तन्यता या संपीड़ित भार के तहत एक समदैशिक लोचदार सामग्री से बने बार के आयाम में परिवर्तन की गणना करने में सक्षम बनाता है। उदाहरण के लिए, यह भविष्यवाणी करता है कि सामग्री का नमूना कितना तनाव के तहत फैलता है या संपीड़न के तहत छोटा होता है। यंग का मापांक सीधे तौर पर असमान तनाव के मामलों पर लागू होता है; वह है, एक दिशा में तन्यता या संकुचित तनाव और दूसरी दिशाओं में कोई तनाव नहीं। यंग के मापांक का उपयोग विक्षेपण की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है जो बीम के समर्थन के बीच एक बिंदु पर लोड लागू होने पर स्थिर रूप से निर्धारित # स्थिर रूप से निर्धारित बीम (संरचना) में होता है।

अन्य लोचदार गणनाओं में आमतौर पर एक अतिरिक्त लोचदार संपत्ति के उपयोग की आवश्यकता होती है, जैसे कि कतरनी मापांक $G$ , समान बल के खिलाफ किसी वस्तु का प्रतिरोध $K$ , और प्वासों का अनुपात $\nu$ . इनमें से कोई भी दो पैरामीटर आइसोट्रोपिक सामग्री में लोच का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं। सजातीय आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए लोचदार मापांक लोचदार स्थिरांक के बीच मौजूद होते हैं जो उन सभी की गणना करने की अनुमति देते हैं जब तक कि दो ज्ञात हों:

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu ).

रैखिक बनाम गैर-रैखिक

यंग का मापांक हुक के नियम में आनुपातिकता के कारक का प्रतिनिधित्व करता है, जो तनाव और तनाव से संबंधित है। हालाँकि, हुक का नियम केवल एक लोचदार और रैखिक प्रतिक्रिया की धारणा के तहत मान्य है। कोई भी वास्तविक सामग्री अंततः विफल हो जाएगी और बहुत बड़ी दूरी पर या बहुत बड़े बल के साथ खिंचने पर टूट जाएगी; हालाँकि, सभी ठोस पदार्थ छोटे पर्याप्त उपभेदों या तनावों के लिए लगभग हूकेन व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। यदि वह सीमा जिस पर हुक का नियम मान्य है, उस विशिष्ट तनाव की तुलना में काफी बड़ी है, जो सामग्री पर लागू होने की अपेक्षा करता है, तो सामग्री को रैखिक कहा जाता है। अन्यथा, (यदि विशिष्ट तनाव लागू होता है तो रैखिक सीमा के बाहर होता है) सामग्री को गैर-रैखिक कहा जाता है।

इस्पात , कार्बन फाइबर) और काँच दूसरों के बीच आमतौर पर रैखिक सामग्री मानी जाती हैं, जबकि अन्य सामग्री जैसे रबड़ और मिट्टी गैर-रैखिक होती हैं। हालांकि, यह एक पूर्ण वर्गीकरण नहीं है: यदि गैर-रैखिक सामग्री पर बहुत कम तनाव या तनाव लागू होते हैं, तो प्रतिक्रिया रैखिक होगी, लेकिन यदि बहुत अधिक तनाव या विकृति एक रैखिक सामग्री पर लागू होती है, तो रैखिक सिद्धांत नहीं होगा पर्याप्त। उदाहरण के लिए, जैसा कि रैखिक सिद्धांत प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मप्रवैगिकी) का अर्थ है, उच्च भार के तहत स्टील पुल की विफलता का वर्णन करने के लिए रैखिक सिद्धांत का उपयोग करना बेतुका होगा; हालांकि स्टील अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए एक रेखीय सामग्री है, यह ऐसी विपत्तिपूर्ण विफलता के मामले में नहीं है।

ठोस यांत्रिकी में, किसी भी बिंदु पर प्रतिबल-विकृति वक्र के ढलान को स्पर्शरेखा मापांक कहा जाता है। सामग्री के नमूने पर किए गए तन्य परीक्षणों के दौरान बनाए गए तनाव-तनाव वक्र के ढलान से इसे प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

दिशात्मक सामग्री

सामग्री के सभी झुकावों में यंग का मापांक हमेशा समान नहीं होता है। अधिकांश धातु और मिट्टी के पात्र, कई अन्य सामग्रियों के साथ, आइसोट्रॉपी हैं, और उनके यांत्रिक गुण सभी झुकावों में समान हैं। हालांकि, धातुओं और चीनी मिट्टी की चीज़ें कुछ अशुद्धियों के साथ इलाज की जा सकती हैं, और धातुओं को उनके अनाज संरचनाओं को दिशात्मक बनाने के लिए यांत्रिक रूप से काम किया जा सकता है। ये सामग्रियां तब असमदिग्वर्ती होने की दशा बन जाती हैं, और बल सदिश की दिशा के आधार पर यंग का मापांक बदल जाएगा।^[3] अनिसोट्रॉपी को कई सम्मिश्रों में भी देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कार्बन (फाइबर) में यंग का मॉड्यूलस बहुत अधिक होता है (बहुत कठोर होता है) जब बल को तंतुओं (अनाज के साथ) के समानांतर लोड किया जाता है। ऐसी अन्य सामग्रियों में लकड़ी और प्रबलित कंक्रीट शामिल हैं। संरचनाएँ बनाने में इंजीनियर इस दिशात्मक घटना का अपने लाभ के लिए उपयोग कर सकते हैं।

तापमान निर्भरता

धातुओं का यंग मापांक तापमान के साथ बदलता रहता है और इसे परमाणुओं के अंतर-परमाण्विक बंधन में परिवर्तन के माध्यम से महसूस किया जा सकता है, और इसलिए इसका परिवर्तन धातु के कार्य फलन में परिवर्तन पर निर्भर पाया जाता है। हालांकि शास्त्रीय रूप से, इस परिवर्तन की भविष्यवाणी फिटिंग के माध्यम से और स्पष्ट अंतर्निहित तंत्र के बिना की जाती है (उदाहरण के लिए, चौकीदार का सूत्र), रहीमी-ली मॉडल^[4] दर्शाता है कि कैसे इलेक्ट्रॉन कार्य फ़ंक्शन में परिवर्तन धातुओं के यंग के मापांक में परिवर्तन की ओर जाता है और गणना योग्य मापदंडों के साथ इस भिन्नता की भविष्यवाणी करता है, ठोस पदार्थों के लिए लेनार्ड-जोन्स क्षमता के सामान्यीकरण का उपयोग करना। सामान्य तौर पर, जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, यंग का मापांक कम हो जाता है $E(T)=\beta (\varphi (T))^{6}$ जहाँ इलेक्ट्रॉन कार्य फलन तापमान के साथ बदलता रहता है $\varphi (T)=\varphi _{0}-\gamma {\frac {(k_{B}T)^{2}}{\varphi _{0}}}$ और $\gamma$ एक गणना योग्य भौतिक संपत्ति है जो क्रिस्टल संरचना (उदाहरण के लिए, बीसीसी, एफसीसी) पर निर्भर है। $\varphi _{0}$ टी = 0 पर इलेक्ट्रॉन कार्य समारोह है और $\beta$ परिवर्तन के दौरान स्थिर रहता है।

गणना

यंग का मापांक E, तनाव (भौतिकी) को विभाजित करके गणना की जा सकती है, $\sigma (\varepsilon )$ , तनाव (भौतिकी) द्वारा, $\varepsilon$ भौतिक तनाव-तनाव वक्र के लोचदार (प्रारंभिक, रैखिक) भाग में:

E\equiv {\frac {\sigma (\varepsilon )}{\varepsilon }}={\frac {F/A}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A\,\Delta L}}

कहाँ

$E$ यंग का मापांक (लोच का मापांक) है
$F$ किसी वस्तु पर तनाव के तहत लगाया गया बल है;
$A$ वास्तविक क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है, जो लागू बल के लंबवत क्रॉस-सेक्शन के क्षेत्र के बराबर है;
$\Delta L$ वह राशि है जिसके द्वारा वस्तु की लंबाई में परिवर्तन होता है ( $\Delta L$ सकारात्मक है अगर सामग्री फैली हुई है, और नकारात्मक जब सामग्री संपीड़ित होती है);
$L_{0}$ वस्तु की मूल लंबाई है।

तनी हुई या सिकुड़ी हुई सामग्री द्वारा लगाया गया बल

किसी सामग्री के यंग के मापांक का उपयोग उस बल की गणना के लिए किया जा सकता है जो विशिष्ट तनाव के तहत होता है।

F={\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}

कहाँ $F$ द्वारा अनुबंधित या खींचे जाने पर सामग्री द्वारा लगाया गया बल है $\Delta L$ .

खिंचे हुए तार के लिए हुक का नियम इस सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है:

F=\left({\frac {EA}{L_{0}}}\right)\,\Delta L=kx

जहां यह संतृप्ति में आता है

k\equiv {\frac {EA}{L_{0}}}\,

और

x\equiv \Delta L.

लेकिन ध्यान दें कि कुंडलित स्प्रिंग्स की लोच कतरनी मापांक से आती है, न कि यंग के मापांक से।^{[citation needed]}

लोचदार संभावित ऊर्जा

एक रैखिक लोचदार सामग्री में संग्रहीत लोचदार संभावित ऊर्जा हुक के नियम के अभिन्न अंग द्वारा दी गई है:

U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}.

अब गहन चरों की खोज करके:

U_{e}=\int {\frac {EA\,\Delta L}{L_{0}}}\,d\Delta L={\frac {EA}{L_{0}}}\int \Delta L\,d\Delta L={\frac {EA\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}}}

इसका मतलब है कि लोचदार संभावित ऊर्जा घनत्व (यानी, प्रति इकाई आयतन) द्वारा दिया गया है:

{\frac {U_{e}}{AL_{0}}}={\frac {E\,{\Delta L}^{2}}{2L_{0}^{2}}}

या, सरल अंकन में, एक रेखीय लोचदार सामग्री के लिए: ${\textstyle u_{e}(\varepsilon )=\int {E\,\varepsilon }\,d\varepsilon ={\frac {1}{2}}E{\varepsilon }^{2}}$ , चूंकि तनाव परिभाषित किया गया है ${\textstyle \varepsilon \equiv {\frac {\Delta L}{L_{0}}}}$ .

एक गैर-रैखिक लोचदार सामग्री में यंग का मापांक तनाव का एक कार्य है, इसलिए दूसरा तुल्यता अब नहीं रहता है, और लोचदार ऊर्जा तनाव का द्विघात कार्य नहीं है:

u_{e}(\varepsilon )=\int E(\varepsilon )\,\varepsilon \,d\varepsilon \neq {\frac {1}{2}}E\varepsilon ^{2}

अनुमानित मूल्य

एक विशिष्ट बेस ग्लास के यंग के मापांक पर चयनित ग्लास घटक योगों का प्रभाव

नमूना संरचना और परीक्षण विधि में अंतर के कारण यंग का मापांक कुछ हद तक भिन्न हो सकता है। एकत्र किए गए डेटा पर विरूपण की दर का सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है, विशेष रूप से पॉलीमर में। यहाँ मान अनुमानित हैं और केवल सापेक्ष तुलना के लिए हैं।

Approximate Young's modulus for various materials
Material	Young's modulus (GPa)	Megapound per square inch (M psi)^[5]	Ref.
Aluminium (₁₃Al)	68	9.86	^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]
Amino-acid molecular crystals	21 – 44	3.05 – 6.38	^[12]
Aramid (for example, Kevlar)	70.5 – 112.4	10.2 – 16.3	^[13]
Aromatic peptide-nanospheres	230 – 275	33.4 – 39.9	^[14]
Aromatic peptide-nanotubes	19 – 27	2.76 – 3.92	^[15]^[16]
Bacteriophage capsids	1 – 3	0.145 – 0.435	^[17]
Beryllium (₄Be)	287	41.6	^[18]
Bone, human cortical	14	2.03	^[19]
Brass	106	15.4	^[20]
Bronze	112	16.2	^[21]
Carbon nitride (CN₂)	822	119	^[22]
Carbon-fiber-reinforced plastic (CFRP), 50/50 fibre/matrix, biaxial fabric	30 – 50	4.35 – 7.25	^[23]
Carbon-fiber-reinforced plastic (CFRP), 70/30 fibre/matrix, unidirectional, along fibre	181	26.3	^[24]
Cobalt-chrome (CoCr)	230	33.4	^[25]
Copper (Cu), annealed	110	16	^[26]
Diamond (C), synthetic	1050 – 1210	152 – 175	^[27]
Diatom frustules, largely silicic acid	0.35 – 2.77	0.051 – 0.058	^[28]
Flax fiber	58	8.41	^[29]
Float glass	47.7 – 83.6	6.92 – 12.1	^[30]
Glass-reinforced polyester (GRP)	17.2	2.49	^[31]
Gold	77.2	11.2	^[32]
Graphene	1050	152	^[33]
Hemp fiber	35	5.08	^[34]
High-density polyethylene (HDPE)	0.97 – 1.38	0.141 – 0.2	^[35]
High-strength concrete	30	4.35	^[36]
Lead (₈₂Pb), chemical	13	1.89	^[11]
Low-density polyethylene (LDPE), molded	0.228	0.0331	^[37]
Magnesium alloy	45.2	6.56	^[38]
Medium-density fiberboard (MDF)	4	0.58	^[39]
Molybdenum (Mo), annealed	330	47.9	^[40]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]
Monel	180	26.1	^[11]
Mother-of-pearl (largely calcium carbonate)	70	10.2	^[41]
Nickel (₂₈Ni), commercial	200	29	^[11]
Nylon 66	2.93	0.425	^[42]
Osmium (₇₆Os)	525 – 562	76.1 – 81.5	^[43]
Osmium nitride (OsN₂)	194.99 – 396.44	28.3 – 57.5	^[44]
Polycarbonate (PC)	2.2	0.319	^[45]
Polyethylene terephthalate (PET), unreinforced	3.14	0.455	^[46]
Polypropylene (PP), molded	1.68	0.244	^[47]
Polystyrene, crystal	2.5 – 3.5	0.363 – 0.508	^[48]
Polystyrene, foam	0.0025 – 0.007	0.000363 – 0.00102	^[49]
Polytetrafluoroethylene (PTFE), molded	0.564	0.0818	^[50]
Rubber, small strain	0.01 – 0.1	0.00145 – 0.0145	^[12]
Silicon, single crystal, different directions	130 – 185	18.9 – 26.8	^[51]
Silicon carbide (SiC)	90 – 137	13.1 – 19.9	^[52]
Single-walled carbon nanotube	$>$ 1000	$>$ 140	^[53]^[54]
Steel, A36	200	29	^[55]
Stinging nettle fiber	87	12.6	^[29]
Titanium (₂₂Ti)	116	16.8	^[56]^[57]^[7]^[9]^[8]^[11]^[10]
Titanium alloy, Grade 5	114	16.5	^[58]
Tooth enamel, largely calcium phosphate	83	12	^[59]
Tungsten carbide (WC)	600 – 686	87 – 99.5	^[60]
Wood, American beech	9.5 – 11.9	1.38 – 1.73	^[61]
Wood, black cherry	9 – 10.3	1.31 – 1.49	^[61]
Wood, red maple	9.6 – 11.3	1.39 – 1.64	^[61]
Wrought iron	193	28	^[62]
Yttrium iron garnet (YIG), polycrystalline	193	28	^[63]
Yttrium iron garnet (YIG), single-crystal	200	29	^[64]
Zinc (₃₀Zn)	108	15.7	^[65]
Zirconium (₄₀Zr), commercial	95	13.8	^[11]

यह भी देखें

संदर्भ

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अग्रिम पठन

ASTM E 111, "Standard Test Method for Young's Modulus, Tangent Modulus, and Chord Modulus"
The ASM Handbook (various volumes) contains Young's Modulus for various materials and information on calculations. Online version (subscription required)

बाहरी संबंध

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$ . The minus sign leads to $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

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रैखिक लोच

उपयोग

रैखिक बनाम गैर-रैखिक

दिशात्मक सामग्री

तापमान निर्भरता

गणना

तनी हुई या सिकुड़ी हुई सामग्री द्वारा लगाया गया बल

लोचदार संभावित ऊर्जा

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रैखिक लोच

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तापमान निर्भरता

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तनी हुई या सिकुड़ी हुई सामग्री द्वारा लगाया गया बल

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