P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

Revision as of 17:07, 15 May 2023

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$ -ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$ -एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर $p$ की उच्च घातांक से विभाज्य होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण $p$ -ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है।^[1] इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था,^[2] तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की $p$ -एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।^{[note 1]} $p$ -ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, $p$ -ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए, $p$ -ऐडिक संख्याओं का क्षेत्र (गणित) $Q p$ परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र $Q p$ को मीट्रिक से प्राप्त सांस्थिति भी दिया जाता है, जो स्वयं $p$ -ऐडिक क्रम से प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित) है। यह मीट्रिक क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q p$ में एक बिंदु पर अभिसरण करते है। यह वह है जो $Q p$ पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो $p$ -ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।

$p$ -एडिक में $p$ एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। " $p$ -ऐडिक" का "एडिक" डाइएडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार

एक धनात्मक परिमेय संख्या $r$ का दशमलव प्रसार श्रृंखला (गणित) $r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$ के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $a_{i}$ भी एक पूर्णांक है जैसे कि $0\leq a_{i}<10$ । इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $r={\tfrac {n}{d}}$ एक परिमेय संख्या है जैसे कि $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ $a$ एक पूर्णांक है ऐसा कि $0<a<10,$ और $r=a\,10^{k}+r',$ साथ $r'<10^{k}$ । इसे परिणाम को शेषफल

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[note 1]

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 == परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार ==
-एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>r</math> का दशमलव प्रसार [[श्रृंखला (गणित)]] <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math> के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10</math>। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि  <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> <math>a</math> एक पूर्णांक है ऐसा कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k</math>। इस परिणाम को शेषफल <math>'r'</math> पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या <math>r</math> की भूमिका ग्रहण करता है।
+एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>r</math> का दशमलव प्रसार [[श्रृंखला (गणित)]] <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math> के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10</math>। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि  <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> <math>a</math> एक पूर्णांक है ऐसा कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k</math>। इसे परिणाम को शेषफल <math>'r'</math> पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या <math>r</math> की भूमिका ग्रहण करता है।
 परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या <math>p</math> दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> को विशिष्ट रूप से <math>r=p^k\tfrac n d,</math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों <math>p</math> के साथ सहअभाज्य हैं, और <math>d</math> धनात्मक है। पूर्णांक <math>k</math>, <math>r</math> का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे <math>v_p(r)</math> निरूपित किया गया है, और  <math>p^{-k}</math> इसका {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान है, जिसे  <math>|r|_p</math> निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर निरपेक्ष मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में
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 <math>r</math> का <math>p</math>-ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक]] [[घातांक]] श्रृंखला <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> है। एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रसार में, सभी <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं कि <math>0\le a_i <p</math> ।
-यदि <math>r=p^k \tfrac n 1</math> के साथ <math>n > 0</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-{{mvar|p}} में <math>r</math> का प्रतिनिधित्व है।
+यदि <math>r=p^k \tfrac n 1</math> के साथ <math>n > 0</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ तलसर्पी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-{{mvar|p}} में <math>r</math> का प्रतिनिधित्व है।
 परिमेय संख्या के {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार का अस्तित्व और संगणना निम्नलिखित तरीके से बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होती है। यदि, ऊपर की तरह, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> और <math>d</math> और <math>p</math> सहअभाज्य हैं, तो ऐसे पूर्णांक <math>t</math> और <math>u</math> उपस्थित  हैं कि <math>t d+u p=1</math>। इसलिए

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