गॉस का नियम

This article is about विद्युत क्षेत्र से संबंधित गॉस का नियम. For विभिन्न क्षेत्रों से संबंधित समान कानून, see चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम. For और, see गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम. For ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय, इन सभी कानूनों के लिए प्रासंगिक गणितीय प्रमेय, see विचलन प्रमेय.

Not to be confused with गॉस का नियम.

गॉस का नियम अपने अभिन्न रूप में सबसे अधिक उपयोगी होता है, जब सममिति कारणों से, एक बंद सतह (जीएस) पाया जा सकता है जिसके साथ विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है। विद्युत प्रवाह तब सतह क्षेत्र और विद्युत क्षेत्र की ताकत का एक साधारण उत्पाद है, और सतह से घिरे कुल आवेश के समानुपाती होता है। यहां, आवेशित गोले के बाहर (आर > आर) और अंदर (आर <आर) विद्युत क्षेत्र की गणना की जा रही है (विकिवर्सिटी देखें: MyOpenMath/Solutions/Maxwell's इंटीग्रल इक्वेशन)।

भौतिकी और विद्युत चुंबकत्व में, गॉस का नियम, जिसे गॉस के फ्लक्स प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, (या कभी-कभी गॉस के प्रमेय कहा जाता है) परिणामी विद्युत क्षेत्र में विद्युत आवेश के वितरण से संबंधित कानून है। अपने अभिन्न रूप में, यह बताता है कि एक मनमाना बंद सतह से विद्युत क्षेत्र का प्रवाह सतह से घिरे विद्युत आवेश के समानुपाती होता है, भले ही वह आवेश कैसे वितरित किया गया हो। भले ही अकेले कानून किसी भी चार्ज वितरण को घेरने वाली सतह पर बिजली के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए अपर्याप्त है, यह उन मामलों में संभव हो सकता है जहां समरूपता क्षेत्र की एकरूपता को अनिवार्य करती है। जहाँ ऐसी कोई समरूपता मौजूद नहीं है, गॉस के नियम का उपयोग इसके विभेदक रूप में किया जा सकता है, जो बताता है कि विद्युत क्षेत्र का विचलन आवेश के स्थानीय घनत्व के समानुपाती होता है।

कानून पहले था 1773 में जोसेफ-लुई लाग्रेंज द्वारा तैयार किया गया था, इसके बाद 1835 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने, दोनों दीर्घवृत्तों के आकर्षण के संदर्भ में। यह मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है, जो शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स का आधार है। गॉस के नियम का उपयोग कूलम्ब के नियम को व्युत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

गुणात्मक वर्णन

शब्दों में, गॉस का नियम कहता है:

किसी भी काल्पनिक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध विद्युत प्रवाह बराबर होता है 1/ε₀ उस बंद सतह के भीतर संलग्न शुद्ध विद्युत आवेश का गुना। बंद सतह को गॉसियन सतह भी कहा जाता है।

गॉस के कानून में भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में कई कानूनों के साथ एक करीबी गणितीय समानता है, जैसे चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम। वास्तव में, किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग कानून को गॉस के नियम के समान तरीके से तैयार किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, गॉस का नियम अनिवार्य रूप से कूलम्ब के नियम के बराबर है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम अनिवार्य रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के बराबर है, दोनों जो व्युत्क्रम-वर्ग कानून हैं।

समाकलन गणित फॉर्म और अंतर कलन फॉर्म में वेक्टर पथरी का उपयोग करके कानून को गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है; दोनों समतुल्य हैं क्योंकि वे विचलन प्रमेय द्वारा संबंधित हैं, जिसे गॉस प्रमेय भी कहा जाता है। इन रूपों में से प्रत्येक को बदले में दो तरीकों से भी व्यक्त किया जा सकता है: विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध के संदर्भ में E और कुल विद्युत आवेश, या विद्युत विस्थापन क्षेत्र के संदर्भ में D और निःशुल्क शुल्क।

शामिल समीकरण E फ़ील्ड

गॉस के नियम को या तो विद्युत क्षेत्र का उपयोग करके बताया जा सकता है E या विद्युत विस्थापन क्षेत्र D. यह खंड कुछ रूपों को दिखाता है E; के साथ प्रपत्र D नीचे है, जैसा कि अन्य रूपों में है E.

अभिन्न रूप

एक मनमाना सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह सतह से घिरे कुल आवेश के समानुपाती होता है।

File:Electric-flux-no-charge-inside.svg

कोई भी आवेश गोले से घिरा नहीं होता है। इसकी सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह शून्य है।

गॉस के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

कहाँ Φ_E एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह है S किसी भी मात्रा को संलग्न करना V, Q भीतर संलग्न कुल विद्युत आवेश है V, और ε₀ विद्युत स्थिरांक है। विद्युत प्रवाह Φ_E को विद्युत क्षेत्र के सतह अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\Phi _{E}=$ File:OiintLaTeX.svg$\scriptstyle _{S}$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

कहाँ E विद्युत क्षेत्र है, dA एक वेक्टर है जो सतह के क्षेत्र के एक अतिसूक्ष्म तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, और · दो वैक्टरों के डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

एक घुमावदार अंतरिक्ष-समय में, एक बंद सतह के माध्यम से एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रवाह व्यक्त किया जाता है

$\Phi _{E}=c$ File:OiintLaTeX.svg$\scriptstyle _{S}$ $F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa }$

कहाँ $c$ प्रकाश की गति है; $F^{\kappa 0}$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के समय घटकों को दर्शाता है; $g$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है; $\mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$ चार्ज के आस-पास द्वि-आयामी सतह का एक असामान्य तत्व है $Q$; सूचकांक $i,j,\kappa =1,2,3$ और एक दूसरे से मेल नहीं खाते। चूंकि प्रवाह को विद्युत क्षेत्र के एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, गॉस के नियम की इस अभिव्यक्ति को अभिन्न रूप कहा जाता है।

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लाप्लास के समीकरण को हल करके विद्युत क्षमता और विद्युत क्षेत्र की गणना करने के बाद एक छोटे गॉस बॉक्स, जिसके किनारे कंडक्टर की सतह के लंबवत होते हैं, का उपयोग स्थानीय सतह के आवेश को खोजने के लिए किया जाता है। विद्युत क्षेत्र कंडक्टर की समविभव सतह के लंबवत, स्थानीय रूप से, और अंदर शून्य है; इसका प्रवाह πa²·E, गॉस के नियम के अनुसार πa के बराबर है²·s/e₀. इस प्रकार, σ = ε₀E.

ज्ञात क्षमता पर स्थापित कंडक्टरों से जुड़ी समस्याओं में, लाप्लास के समीकरण को या तो विश्लेषणात्मक या संख्यात्मक रूप से हल करके उनसे दूर की क्षमता प्राप्त की जाती है। विद्युत क्षेत्र की गणना क्षमता के नकारात्मक ढाल के रूप में की जाती है। गॉस का नियम विद्युत आवेश के वितरण को खोजना संभव बनाता है: कंडक्टर के किसी भी क्षेत्र में आवेश को विद्युत क्षेत्र को एकीकृत करके एक छोटे से बॉक्स के माध्यम से फ्लक्स का पता लगाने के लिए घटाया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ कंडक्टर की सतह के लंबवत होती हैं और यह ध्यान में रखते हुए विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत है, और कंडक्टर के अंदर शून्य है।

विपरीत समस्या, जब विद्युत आवेश वितरण ज्ञात हो और विद्युत क्षेत्र की गणना की जानी चाहिए, तो यह बहुत अधिक कठिन है। किसी दिए गए सतह के माध्यम से कुल प्रवाह विद्युत क्षेत्र के बारे में बहुत कम जानकारी देता है, और मनमाने ढंग से जटिल पैटर्न में सतह के अंदर और बाहर जा सकता है।

एक अपवाद तब होता है जब समस्या में कुछ समरूपता होती है, जो अनिवार्य करती है कि विद्युत क्षेत्र एक समान तरीके से सतह के माध्यम से गुजरता है। तब, यदि कुल फ्लक्स ज्ञात हो, तो प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है। समरूपता के सामान्य उदाहरण जो खुद को गॉस के नियम के लिए उधार देते हैं उनमें शामिल हैं: बेलनाकार समरूपता, तलीय समरूपता और गोलाकार समरूपता। उदाहरण के लिए गौसियन सतह लेख देखें जहां विद्युत क्षेत्रों की गणना करने के लिए इन समरूपताओं का शोषण किया जाता है।

विभेदक रूप

विचलन प्रमेय द्वारा, गॉस के नियम को वैकल्पिक रूप से विभेदक रूप में लिखा जा सकता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}$$

कहाँ ∇ · E विद्युत क्षेत्र का विचलन है, ε₀ निर्वात पारगम्यता है, $\varepsilon _{r}$ सापेक्ष पारगम्यता है, और ρ वॉल्यूम चार्ज घनत्व (चार्ज प्रति यूनिट वॉल्यूम) है।

अभिन्न और विभेदक रूपों की समानता

Main article: Divergence theorem

विचलन प्रमेय द्वारा अभिन्न और अंतर रूप गणितीय रूप से समकक्ष हैं। यहाँ तर्क अधिक विशेष रूप से है।

Outline of proof

The integral form of Gauss' law is:

File:OiintLaTeX.svg${\scriptstyle _{S}}$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$$={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

for any closed surface S containing charge Q. By the divergence theorem, this equation is equivalent to:

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

for any volume V containing charge Q. By the relation between charge and charge density, this equation is equivalent to:

$$\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V$$

for any volume V. In order for this equation to be simultaneously true for every possible volume V, it is necessary (and sufficient) for the integrands to be equal everywhere. Therefore, this equation is equivalent to:

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$$

Thus the integral and differential forms are equivalent.

शामिल समीकरण D फ़ील्ड

See also: Maxwell's equations

निःशुल्क, बाध्य और कुल शुल्क

Main article: Electric polarization

सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाले विद्युत आवेश को मुक्त आवेश के रूप में वर्गीकृत किया जाएगा - उदाहरण के लिए, स्थिर विद्युत में स्थानांतरित होने वाला आवेश, या संधारित्र प्लेट पर आवेश। इसके विपरीत, बाउंड चार्ज केवल परावैद्युत (ध्रुवीय) सामग्री के संदर्भ में उत्पन्न होता है। (सभी सामग्री कुछ हद तक ध्रुवीकरण योग्य हैं।) जब ऐसी सामग्री को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने संबंधित परमाणुओं से बंधे रहते हैं, लेकिन क्षेत्र की प्रतिक्रिया में एक सूक्ष्म दूरी बदलते हैं, ताकि वे एक तरफ अधिक हों। दूसरे की तुलना में परमाणु का। ये सभी सूक्ष्म विस्थापन एक स्थूल शुद्ध आवेश वितरण देने के लिए जुड़ते हैं, और यह बाध्य आवेश का गठन करता है।

यद्यपि सूक्ष्मदर्शी रूप से सभी आवेश मौलिक रूप से समान होते हैं, फिर भी बाउंड चार्ज को फ्री चार्ज से अलग मानने के लिए अक्सर व्यावहारिक कारण होते हैं। परिणाम यह है कि अधिक मौलिक गॉस का नियम, के संदर्भ में E (ऊपर), कभी-कभी नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है, जो कि के संदर्भ में है D और केवल निःशुल्क शुल्क।

अभिन्न रूप

गॉस के नियम का यह सूत्रीकरण कुल आवेश रूप बताता है:

$$\Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }$$

कहाँ Φ_D विद्युत विस्थापन क्षेत्र है |D-क्षेत्र विद्युत प्रवाह एक सतह के माध्यम से S जो वॉल्यूम संलग्न करता है V, और Q_free नि: शुल्क शुल्क है जिसमें निहित है V. प्रवाह Φ_D फ्लक्स के अनुरूप परिभाषित किया गया है Φ_E विद्युत क्षेत्र का E द्वारा S:

$\Phi _{D}=$ File:OiintLaTeX.svg${\scriptstyle _{S}}$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

विभेदक रूप

गॉस के नियम का विभेदक रूप, जिसमें केवल निःशुल्क शुल्क शामिल है, कहता है:

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$$

कहाँ ∇ · D विद्युत विस्थापन क्षेत्र का विचलन है, और ρ_free मुक्त विद्युत आवेश घनत्व है।

कुल और फ्री चार्ज स्टेटमेंट्स की समानता

Proof that the formulations of Gauss's law in terms of free charge are equivalent to the formulations involving total charge.

In this proof, we will show that the equation

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$$

is equivalent to the equation

$$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$$

Note that we are only dealing with the differential forms, not the integral forms, but that is sufficient since the differential and integral forms are equivalent in each case, by the divergence theorem.

We introduce the polarization density P, which has the following relation to E and D:

$$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$$

and the following relation to the bound charge:

$$\rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P}$$

Now, consider the three equations:

$${\begin{aligned}\rho _{\mathrm {bound} }&=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )\\\rho _{\mathrm {free} }&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon _{0}\mathbf {E} )\end{aligned}}$$

The key insight is that the sum of the first two equations is the third equation. This completes the proof: The first equation is true by definition, and therefore the second equation is true if and only if the third equation is true. So the second and third equations are equivalent, which is what we wanted to prove.

रैखिक सामग्री के लिए समीकरण

सजातीय, समदैशिक , फैलाव (प्रकाशिकी), रैखिक सामग्री के बीच एक सरल संबंध है E औरD:

$$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$$

कहाँ ε सामग्री की पारगम्यता है। खालीपन (उर्फ मुक्त स्थान ) के मामले में, ε = ε₀. इन परिस्थितियों में गॉस का नियम परिवर्तित हो जाता है

$$\Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}$$

अभिन्न रूप के लिए, और

$$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}$$

विभेदक रूप के लिए।

व्याख्याएं

बल के क्षेत्रों के संदर्भ में

गॉस के प्रमेय की व्याख्या क्षेत्र की बल रेखाओं के संदर्भ में निम्नानुसार की जा सकती है:

एक बंद सतह के माध्यम से प्रवाह सतह को भेदने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं के परिमाण और दिशा दोनों पर निर्भर करता है। सामान्य तौर पर एक सकारात्मक प्रवाह को इन रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है जो सतह को छोड़ते हैं और इस सतह में प्रवेश करने वाली रेखाओं द्वारा ऋणात्मक प्रवाह होते हैं। इसके परिणामस्वरूप धनात्मक आवेश उत्पन्न होते हैं जिससे धनात्मक प्रवाह होता है और ऋणात्मक आवेश ऋणात्मक प्रवाह बनाते हैं। ये विद्युत क्षेत्र रेखाएँ आवेश के स्रोत से दूरी के एक गुणक द्वारा शक्ति में घटते हुए अनंत तक विस्तारित होंगी। किसी आवेश से निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या जितनी अधिक होती है, आवेश का परिमाण उतना ही अधिक होता है, और क्षेत्र रेखाएँ जितनी निकट होती हैं, विद्युत क्षेत्र का परिमाण उतना ही अधिक होता है। यह विद्युत क्षेत्र के कमजोर होने का स्वाभाविक परिणाम है क्योंकि एक आवेशित कण से दूर चला जाता है, लेकिन सतह क्षेत्र भी बढ़ जाता है जिससे इस कण से निकलने वाला शुद्ध विद्युत क्षेत्र समान रहेगा। दूसरे शब्दों में, विद्युत क्षेत्र का बंद अभिन्न अंग और क्षेत्र के व्युत्पन्न का डॉट उत्पाद मुक्त स्थान की पारगम्यता से विभाजित शुद्ध आवेश के बराबर होगा।

कूलम्ब के नियम से संबंध

कूलम्ब के नियम से गॉस के नियम की व्युत्पत्ति

कड़ाई से बोलते हुए, गॉस का नियम केवल कूलम्ब के नियम से नहीं लिया जा सकता है, क्योंकि कूलम्ब का नियम किसी व्यक्ति के कारण विद्युत क्षेत्र देता है, केवल इलेक्ट्रोस्टैटिक चार्ज प्वाइंट चार्ज । हालाँकि, गॉस के नियम को कूलम्ब के नियम से सिद्ध किया जा सकता है यदि यह मान लिया जाए, इसके अलावा, कि विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत का पालन करता है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत बताता है कि परिणामी क्षेत्र प्रत्येक कण (या अभिन्न, यदि अंतरिक्ष में आवेशों को सुचारू रूप से वितरित किया जाता है) द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है।

Outline of proof

Coulomb's law states that the electric field due to a stationary point charge is:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}$$

where

• e_r is the radial unit vector,
• r is the radius, |r|,
• ε₀ is the electric constant,
• q is the charge of the particle, which is assumed to be located at the origin.

Using the expression from Coulomb's law, we get the total field at r by using an integral to sum the field at r due to the infinitesimal charge at each other point s in space, to give

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}$$

where ρ is the charge density. If we take the divergence of both sides of this equation with respect to r, and use the known theorem

$$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$$

where δ(r) is the Dirac delta function, the result is

$$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s}$$

Using the "sifting property" of the Dirac delta function, we arrive at

$$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},$$

which is the differential form of Gauss' law, as desired.

चूँकि कूलम्ब का नियम केवल स्थिर आवेशों पर लागू होता है, इसलिए यह अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है कि गॉस का नियम केवल इस व्युत्पत्ति के आधार पर गतिमान आवेशों के लिए मान्य होगा। वास्तव में, गॉस का नियम गतिमान आवेशों के लिए मान्य है, और इस संबंध में गॉस का नियम कूलम्ब के नियम से अधिक सामान्य है।

Proof (without Dirac Delta)

Let $\Omega \subseteq R^{3}$ be a bounded open set, and

$$\mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$$

be the electric field, with $\rho (\mathbf {r} ')$ a continuous function (density of charge).

It is true for all $\mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ that $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$.

Consider now a compact set $V\subseteq R^{3}$ having a piecewise smooth boundary $\partial V$ such that $\Omega \cap V=\emptyset$. It follows that $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ and so, for the divergence theorem:

$$\oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV$$

But because $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$,

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0$$

for the argument above ($\Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ and then $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$)

Therefore the flux through a closed surface generated by some charge density outside (the surface) is null.

Now consider $\mathbf {r} _{0}\in \Omega$, and $B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega$ as the sphere centered in $\mathbf {r} _{0}$ having $R$ as radius (it exists because $\Omega$ is an open set).

Let $\mathbf {E} _{B_{R}}$ and $\mathbf {E} _{C}$ be the electric field created inside and outside the sphere respectively. Then,

$\mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$, $\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}$ and $\mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}$

$$\Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S}$$

The last equality follows by observing that $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$, and the argument above.

The RHS is the electric flux generated by a charged sphere, and so:

$$\Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|$$

with $r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})$

Where the last equality follows by the mean value theorem for integrals. Using the squeeze theorem and the continuity of $\rho$, one arrives at:

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})$$

गॉस के नियम से कूलम्ब के नियम की व्युत्पत्ति

कड़े शब्दों में, कूलम्ब का नियम केवल गॉस के नियम से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि गॉस का नियम के कर्ल (गणित) के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है। E (देखें हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन और फैराडे का प्रेरण का नियम | फैराडे का नियम)। हालाँकि, कूलम्ब का नियम गॉस के नियम से सिद्ध किया जा सकता है, यदि यह मान लिया जाए, इसके अलावा, कि एक बिंदु आवेश से विद्युत क्षेत्र गोलाकार रूप से सममित है (यह धारणा, कूलम्ब के नियम की तरह ही, बिल्कुल सही है यदि आवेश स्थिर है, और लगभग सत्य है अगर चार्ज गति में है)।

Outline of proof

Taking S in the integral form of Gauss' law to be a spherical surface of radius r, centered at the point charge Q, we have

$$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

By the assumption of spherical symmetry, the integrand is a constant which can be taken out of the integral. The result is

$$4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$$

where r̂ is a unit vector pointing radially away from the charge. Again by spherical symmetry, E points in the radial direction, and so we get

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$$

which is essentially equivalent to Coulomb's law. Thus the inverse-square law dependence of the electric field in Coulomb's law follows from Gauss' law.

यह भी देखें

• इमेज चार्ज करने का तरीका
• प्वासों के समीकरण के लिए अद्वितीयता प्रमेय
• स्टिग्लर के नियम के उदाहरणों की सूची

संदर्भ

• Gauss, Carl Friedrich (1867). Werke Band 5. Digital version
• Jackson, John David (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X. David J. Griffiths (6th ed.)

बाहरी संबंध

• File:Commons-logo.svg Media related to गॉस का नियम at Wikimedia Commons
• MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• section on Gauss's law in an online textbook
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.