अनुरूप किलिंग सदिश क्षेत्र

अनुरूप ज्यामिति में, मेट्रिक_टेंसर के साथ आयाम n के कई गुना पर अनुरूप किलिंग वेक्टर फ़ील्ड | (छद्म) रीमैनियन मीट्रिक $g$ (जिसे कंफर्मल किलिंग वेक्टर, सीकेवी या कंफर्मल कॉलिनेशन भी कहा जाता है), वेक्टर फील्ड है $X$ जिसका (स्थानीय रूप से परिभाषित) प्रवाह (गणित) अनुरूप परिवर्तनों को परिभाषित करता है, अर्थात संरक्षित करता है $g$ पैमाने तक और अनुरूप संरचना को संरक्षित करना। कई समतुल्य सूत्रीकरण, जिन्हें कंफर्मल किलिंग समीकरण कहा जाता है, प्रवाह के झूठ व्युत्पन्न के संदर्भ में मौजूद हैं, उदा। ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ किसी समारोह के लिए $\lambda$ कई गुना पर। के लिए $n\neq 2$ उस स्थान की अनुरूप समरूपता को निर्दिष्ट करने वाले समाधानों की सीमित संख्या होती है, लेकिन दो आयामों में, अनुरूप_क्षेत्र_सिद्धांत#दो_आयाम होता है। किलिंग का नाम विल्हेम हत्या को संदर्भित करता है, जिसने सबसे पहले किलिंग वेक्टर क्षेत्रों की जांच की।

डेंसिटाइज़्ड मेट्रिक टेन्सर और कन्फ़ॉर्मल किलिंग वेक्टर्स

वेक्टर क्षेत्र $X$ किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है यदि और केवल तभी जब इसका प्रवाह मीट्रिक टेन्सर को संरक्षित करता है $g$ (कई गुना के प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसेट के लिए कड़ाई से बोलना, प्रवाह को केवल परिमित समय के लिए परिभाषित करने की आवश्यकता है)। गणितीय रूप से तैयार किया गया, $X$ मार रहा है अगर और केवल अगर यह संतुष्ट करता है

${\mathcal {L}}_{X}g=0.$

कहाँ ${\mathcal {L}}_{X}$ झूठ व्युत्पन्न है।

अधिक आम तौर पर, w-किलिंग वेक्टर फ़ील्ड परिभाषित करें $X$ सदिश क्षेत्र के रूप में जिसका (स्थानीय) प्रवाह घनत्वित मीट्रिक को संरक्षित करता है $g\mu _{g}^{w}$, कहाँ $\mu _{g}$ द्वारा परिभाषित मात्रा घनत्व है $g$ (यानी स्थानीय $\mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}$) और $w\in \mathbf {R}$ इसका वजन है। ध्यान दें कि किलिंग वेक्टर फ़ील्ड संरक्षित करता है $\mu _{g}$ और इसलिए स्वचालित रूप से इस अधिक सामान्य समीकरण को भी संतुष्ट करता है। यह भी ध्यान दें $w=-2/n$ अद्वितीय वजन है जो संयोजन बनाता है $g\mu _{g}^{w}$ मीट्रिक के स्केलिंग के तहत अपरिवर्तनीय। इसलिए, इस मामले में, स्थिति केवल अनुरूप संरचना पर निर्भर करती है। अब $X$ is a w-Killing vector field if and only if

${\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.$

तब से ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}$ यह इसके बराबर है

${\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.$ दोनों पक्षों के निशान लेते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं $2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)$. इसलिए के लिए $w\neq -2/n$, अनिवार्य रूप से $\operatorname {div} (X)=0$ और डब्ल्यू-किलिंग वेक्टर फ़ील्ड केवल सामान्य किलिंग वेक्टर फ़ील्ड है जिसका प्रवाह मीट्रिक को संरक्षित करता है। हालाँकि, के लिए $w=-2/n$, के प्रवाह मे $X$ केवल अनुरूप संरचना को संरक्षित करना है और परिभाषा के अनुसार, अनुरूप किलिंग वेक्टर क्षेत्र है।

समतुल्य फॉर्मूलेशन

निम्नलिखित समकक्ष हैं

1. $X$ अनुरूप हत्या सदिश क्षेत्र है,
2. (स्थानीय रूप से परिभाषित) का प्रवाह $X$ अनुरूप संरचना को संरक्षित करता है,
3. ${\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,$
4. ${\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,$
5. ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ किसी समारोह के लिए $\lambda .$

ऊपर की चर्चा प्रतीत होता है कि अधिक सामान्य अंतिम रूप को छोड़कर सभी की समानता साबित होती है। हालाँकि, अंतिम दो रूप भी समतुल्य हैं: निशान लेने से पता चलता है कि यह आवश्यक है $\lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)$.

अंतिम रूप यह स्पष्ट करता है कि कोई भी किलिंग वेक्टर भी अनुरूप किलिंग वेक्टर है $\lambda \cong 0.$

अनुरूप हत्या समीकरण

उसका उपयोग करना ${\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }$ कहाँ $\nabla$ लेवी सिविटा का व्युत्पन्न है $g$ (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न), और $X^{\flat }=g(X,\cdot )$ का दोहरा 1 रूप है $X$ (उर्फ एसोसिएटेड कोवैरिएंट वेक्टर उर्फ ​​​​वेक्टर कम सूचकांकों के साथ), और ${}^{\mathrm {symm} }$ सममित भाग पर प्रक्षेपण है, कोई सार सूचकांक अंकन में अनुरूप किलिंग समीकरण लिख सकता है

$\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.$

अनुरूप किलिंग समीकरण लिखने के लिए अन्य सूचकांक संकेतन है

$X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.$

उदाहरण

सपाट जगह

में $n$-डायमेंशनल फ्लैट स्पेस, जो कि [[छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] या छद्म-यूक्लिडियन स्पेस है, वहां विश्व स्तर पर फ्लैट निर्देशांक मौजूद हैं जिसमें हमारे पास निरंतर मीट्रिक है $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$ जहां हस्ताक्षर के साथ अंतरिक्ष में $(p,q)$, हमारे पास घटक हैं $(\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$. इन निर्देशांकों में, कनेक्शन घटक गायब हो जाते हैं, इसलिए सहसंयोजक व्युत्पन्न समन्वय व्युत्पन्न है। समतल स्थान में अनुरूप किलिंग समीकरण है

$\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.$

फ्लैट स्पेस कन्फर्मल किलिंग इक्वेशन के समाधान में फ्लैट स्पेस किलिंग समीकरण के समाधान शामिल हैं, जिसकी चर्चा किलिंग वेक्टर फील्ड्स पर लेख में की गई है। ये फ्लैट स्पेस के आइसोमेट्रीज़ के पोंकारे समूह को उत्पन्न करते हैं। ansatz को ध्यान में रखते हुए $X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },$, हम इसके एंटीसिमेट्रिक भाग को हटा देते हैं $M^{\mu \nu }$ क्योंकि यह ज्ञात समाधानों से मेल खाता है, और हम नए समाधानों की तलाश कर रहे हैं। तब $M^{\mu \nu }$ सममित है। यह इस प्रकार है कि यह समानता है, के साथ $M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }$ वास्तव में $\lambda$, और संबंधित किलिंग वेक्टर $X^{\mu }=\lambda x^{\mu }$.

सामान्य समाधान से हैं $n$ अधिक जनरेटर, जिसे विशेष अनुरूप परिवर्तन के रूप में जाना जाता है, द्वारा दिया गया

$X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },$

जहां का ट्रेसलेस हिस्सा $c_{\mu \nu \rho }$ ऊपर $\mu ,\nu$ गायब हो जाता है, इसलिए इसके द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है $c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }$.

General solution to the conformal Killing equation

हम टेलर का विस्तार करते हैं $X_{\mu }$ में $x^{\mu }$ प्रपत्र की शर्तों का एक (अनंत) रैखिक संयोजन प्राप्त करने के लिए

$X_{\mu }=a_{\mu \mu _{1}\cdots \mu _{n}}x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{n}},$

जहां टेंसर $\mathbf {a}$ के आदान-प्रदान के तहत सममित है $\mu _{i},\mu _{j}$ लेकिन जरूरी नहीं $\mu$ साथ $\mu _{i}$.

सादगी के लिए, हम तक सीमित हैं $n=2$, जो बाद में उच्च आदेश शर्तों के लिए सूचनात्मक होगा। अनुरूप हत्या समीकरण देता है

$a_{\mu \nu \rho }+a_{\nu \mu \rho }-{\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }a^{\sigma }{}_{\sigma \rho }=0.$

अब हम प्रोजेक्ट करते हैं $a_{\mu \nu \rho }$ दो स्वतंत्र टेंसरों में: इसके पहले दो सूचकांकों पर एक ट्रेसलेस और शुद्ध ट्रेस भाग। शुद्ध अंश स्वचालित रूप से समीकरण को संतुष्ट करता है और वह है $c_{\mu \nu \rho }$ उत्तर में। ट्रेसलेस पार्ट ${\tilde {a}}_{\mu \nu \rho }$ दिखाते हुए नियमित किलिंग समीकरण को संतुष्ट करता है ${\tilde {\mathbf {a} }}$ पहले दो सूचकांकों पर विषम है। यह दूसरे दो सूचकांकों पर सममित है। इससे पता चलता है कि सूचकांकों के चक्रीय क्रमचय के तहत, ${\tilde {\mathbf {a} }}$ एक ऋण चिह्न उठाता है। तीन चक्रीय क्रमपरिवर्तन के बाद, हम सीखते हैं ${\tilde {\mathbf {a} }}=0$.

उच्च आदेश शर्तें गायब हो जाती हैं (पूर्ण होने के लिए)

साथ में, $n$ अनुवाद, $n(n-1)/2$ लोरेंत्ज़ परिवर्तन, $1$ फैलाव और $n$ विशेष अनुरूप परिवर्तनों में अनुरूप बीजगणित शामिल होता है, जो छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अनुरूप समूह उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

• Affine वेक्टर क्षेत्र
• वक्रता संरेखन
• आइंस्टीन कई गुना
• होमोथेटिक वेक्टर क्षेत्र
• अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर
• हत्या वेक्टर क्षेत्र
• पदार्थ संरेखन
• स्पेसटाइम समरूपता

संदर्भ

• Wald, R. M. (1984). General Relativity. The University of Chicago Press.