हुक का नियम: Difference between revisions

Revision as of 21:44, 14 May 2023

हुक का नियम: बल विस्तार के समानुपाती होता है

बूरदां नलिका हुक के नियम पर आधारित हैं। ऊपर कुंडलित धातु नलिका के अंदर गैस के विकृति द्वारा बनाया गया बल इसे विकृति के समानुपाती मात्रा में दाब कम है।

File:Balancier avec ressort spiral.png

कई यांत्रिक-घड़ी और घड़ियों के मूल में संतुलन चक्र हुक के नियम पर निर्भर करता है। चूंकि कुंडलित स्प्रिंग द्वारा उत्पन्न टोक़ पहिया द्वारा घुमाए गए कोण के समानुपाती होता है, इसके दोलनों की अवधि लगभग स्थिर होती है।

भौतिकी में, हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि बल () को कुछ दूरी (x) स्केल द्वारा उस दूरी के संबंध में रैखिक रूप से विस्तारित या संपीड़ित करने की आवश्यकता होती है- अर्थात F_s = kx है, जहाँ k स्प्रिंग की एक स्थिर कारक विशेषता (अर्थात, इसकी दृढता) है, और x स्प्रिंग के कुल संभावित विरूपण की तुलना में छोटा है। नियम का नाम 17वीं सदी के ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी रॉबर्ट हुक के नाम पर रखा गया है। उन्होंने पहली बार 1676 में नियम को को लैटिन विपर्यय के रूप में बताया था।^[1]^[2] उन्होंने 1678^[3] में यूट टेंसियो, सिक विस ("जैसा विस्तार, इसलिए बल" या "विस्तार बल के समानुपातिक है") के रूप में अपने विपर्यय का समाधान प्रकाशित किया। हूक ने 1678 के काम में कहा है कि वह 1660 से नियम के बारे में जानता था।

हूक का समीकरण कई अन्य स्थितियों में (अधिकांश सीमा तक) होता है जहां एक प्रत्यास्थ (भौतिकी) पिंड विरूपण (भौतिकी) होता है, जैसे कि एक ऊंची इमारत पर हवा का बहना, और एक संगीतकार गिटार की एक तार (संगीत) बजाता है। प्रत्यास्थ पिंड या पदार्थ जिसके लिए इस समीकरण को ग्रहण किया जा सकता है, उसे रैखिक प्रत्यास्थ या हुकियन कहा जाता है।

हुक का नियम प्रयुक्त बलों के लिए स्प्रिंग्स और अन्य प्रत्यास्थ निकायों की वास्तविक प्रतिक्रिया के लिए केवल एक प्रथम-क्रम रैखिक सन्निकटन है। एक बार जब बल कुछ सीमा से अधिक हो जाते हैं, तो यह अंततः विफल हो जाना चाहिए, क्योंकि किसी भी पदार्थ को एक निश्चित न्यूनतम आकार से अधिक संकुचित नहीं किया जा सकता है, या बिना किसी स्थायी विरूपण या परिवर्तन के अधिकतम आकार से आगे बढ़ाया जा सकता है। उन प्रत्यास्थ सीमाओं तक पहुंचने से पहले कई पदार्थों हूक के नियम से स्पष्ट रूप से विचलित हो जाएंगी।

दूसरी ओर, हूक का नियम अधिकांश ठोस पिंडों के लिए एक परिशुद्ध सन्निकटन है, जब तक कि बल और विकृति अधिकतम कम हैं। इस कारण से, विज्ञान और अभियांत्रिकी की सभी शाखाओं में हूक के नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह भूकंप विज्ञान, आणविक यांत्रिकी और ध्वनिकी जैसे कई विषयों की नींव है। यह स्प्रिंग पैमाने, दाबमापी, ताप-वैद्युत धारामापी और यांत्रिक घड़ी के संतोलक चक्र के पीछे भी मूलभूत सिद्धांत है।

प्रत्यास्थता का आधुनिक सिद्धांत हूक के नियम को यह कहने के लिए सामान्यीकृत करता है कि एक प्रत्यास्थ वस्तु या पदार्थ का विरूपण (यांत्रिकी) उस पर प्रयुक्त प्रतिबल (यांत्रिकी) के समानुपाती होता है। हालांकि, चूंकि सामान्य प्रतिबल और दाब में कई स्वतंत्र घटक हो सकते हैं, आनुपातिकता कारक अब केवल एक वास्तविक संख्या नहीं हो सकता है, बल्कि एक रैखिक मानचित्र (एक प्रदिश) है जिसे वास्तविक संख्याओं के आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इस सामान्य रूप में, हुक का नियम उन पदार्थों के आंतरिक गुणों के संदर्भ में जटिल वस्तुओं के लिए प्रतिबल और दाब के बीच संबंध को कम करना संभव बनाता है जिससे वे बने हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समान अनुप्रस्थ परिच्छेद (ज्यामिति) के साथ एक सजातीय छड़ खींचे जाने पर साधारण स्प्रिंग की तरह व्यवहार करेगी, जिसकी कठोरता k इसके अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक और इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होगी।

औपचारिक परिभाषा

रैखिक स्प्रिंग्स के लिए

साधारण कुंडलित वक्रता स्प्रिंग पर विचार करें जिसका एक सिरा किसी स्थिर वस्तु से जुड़ा है, जबकि मुक्त सिरे को एक बल द्वारा खींचा जा रहा है जिसका परिमाण F_s है। मान लीजिए कि स्प्रिंग यांत्रिक संतुलन की स्थिति में पहुंच गया है, जहां इसकी लंबाई अब नहीं बदल रही है। मान लीजिए $x$ वह राशि हो जिससे स्प्रिंग का मुक्त सिरा अपनी विश्रांत की स्थिति (जब इसे खींचा नहीं जा रहा हो) से विस्थापित हो गया। हूक का नियम कहता है कि

F_{s}=kx

या, समकक्ष रूप से,

x={\frac {F_{s}}{k}}

जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो स्प्रिंग का अभिलाक्षणिक है। इसके अतिरिक्त, जब स्प्रिंग संकुचित होता है तो वही सूत्र होता है, उस स्थिति में एफएस और एक्स दोनों ऋणात्मक होते हैं। इस सूत्र के अनुसार, लगाए गए बल Fs का आरेख विस्थापन x के फलन के रूप में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी, जिसका प्रवणता k है।

स्प्रिंग के लिए हुक का नियम कभी-कभी, लेकिन संभव्यता ही कभी, सम्मेलन के अंतर्गत कहा गया है कि F_s स्प्रिंग द्वारा प्रत्यवस्थान बल है जो इसके मुक्त सिरे को खींच रहा है। ऐसे में समीकरण बन जाता है

F_{s}=-kx

क्योंकि प्रत्यवस्थान बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।

सामान्य अदिश स्प्रिंग्स

हूक का स्प्रिंग नियम सामान्य रूप से किसी भी प्रत्यास्थ वस्तु पर प्रयुक्त होता है, यादृच्छिक रूप से जटिलता के रूप में, जब तक विरूपण और प्रतिबल दोनों को समान संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है।

उदाहरण के लिए, जब दो समानांतर प्लेटों से जुड़ा रबर का एक ब्लॉक कर्षण या संपीड़न के अतिरिक्त अपरूपण से विकृत होता है, तो अपरूपण बल F_s और प्लेटों का पार्श्वमार्ग में विस्थापन x हुक के नियम (छोटे पर्याप्त विरूपण के लिए) का अनुसरण करता है।

हुक का नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक प्रत्यक्ष इस्पात छड या ठोस किरण (जैसे कि इमारतों में उपयोग की जाने वाली किरण-पुंज), दोनों सिरों पर समर्थित होती है, जिसे किसी मध्यवर्ती बिंदु पर रखे गए भार F द्वारा मोड़ा जाता है। इस स्थिति में विस्थापन x किरण का विचलन है, जिसे इसके अभारित आकार के सापेक्ष अनुप्रस्थ दिशा में मापा जाता है।

यह नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक तानित हुए इस्पात के तार को एक सिरे से जुड़े उत्तोलक को कर्षण वक्रित किया जाता है। इस स्थिति में दाब F_s को उत्तोलक पर लगाए गए बल के रूप में लिया जा सकता है, और x को इसके वृत्ताकार पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी के रूप में लिया जा सकता है। या समतुल्य रूप से, F_s को उत्तोलक द्वारा तार के सिरे में लगाया गया आघूर्ण बल हो सकता है, और x वह कोण हो सकता है जिसके द्वारा वह सिरा वक्रित होता है। किसी भी स्थिति में F, x के समानुपाती होता है हालाँकि स्थिर k प्रत्येक स्थिति में भिन्न होता है।

सदिश सूत्रीकरण

कुंडलिनी स्प्रिंग के स्थिति में जो अपनी धुरी (गणित) के साथ विस्तृत या संकुचित होता है, प्रयुक्त (या प्रत्यवस्थान) बल और परिणामी वृद्धि या संपीड़न की समान (जो उक्त अक्ष की दिशा है) दिशा होती है। इसलिए, यदि F_s और x को सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है, तो हुक का समीकरण अभी भी मान्य है और कहता है कि बल सदिश एक निश्चित अदिश द्वारा गुणा किया गया सदिश है।

सामान्य प्रदिश समघात

अलग दिशा के बल के अधीन होने पर कुछ प्रत्यास्थ निकाय एक दिशा में विकृत हो जाएंगे। एक उदाहरण गैर-वर्ग आयताकार अनुप्रस्थ परिच्छेद वाला एक क्षैतिज लकड़ी का बीम है जो अनुप्रस्थ भार से बंकित है जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज है। ऐसे स्थितियों में, विस्थापन x का परिमाण बल F_s के परिमाण के समानुपाती होगा, जब तक कि बाद वाले की (और इसका मान बहुत बड़ा नहीं है) दिशा समान रहती है; अतः हुक के नियम F_s = −kx का अदिश संस्करण वैध होगा। हालाँकि, बल और विस्थापन सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक नहीं होंगे, क्योंकि उनकी अलग-अलग दिशाएँ हैं। इसके अतिरिक्त , उनके परिमाणों के बीच k का अनुपात सदिश F_s की दिशा पर निर्भर करेगा।

फिर भी, ऐसे स्थितियों में प्रायः बल और विरूपण सदिशों के बीच एक निश्चित रेखीय मानचित्र होता है, जब तक कि वे अपेक्षाकृत अधिक छोटे होते हैं। अर्थात्, सदिशों से सदिशों तक एक फलन κ होता है, जैसे कि $F = κ (X)$ , और $κ (α X 1 + β X 2) = α κ (X 1) + β κ (X 2)$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $α$ , $β$ और किसी भी विस्थापन सदिश $X 1$ , $X 2$ के लिए इस तरह के फलन को (द्वितीय क्रम) प्रदिश कहा जाता है।

यादृच्छिक से कार्तीय समन्वय प्रणाली के संबंध में, बल और विस्थापन सदिश को वास्तविक संख्याओं के 3 × 1 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर उन्हें जोड़ने वाले प्रदिश κ को वास्तविक गुणांक के 3 × 3 आव्यूह κ द्वारा दर्शाया जा सकता है, जब विस्थापन सदिश द्वारा गुणा किया जाता है, तो बल सदिश देता है:

\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}

अर्थात्,

F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}

i = 1, 2, 3 के लिए, इसलिए हुक के नियम F = κX को तब भी मान्य कहा जा सकता है जब X और F परिवर्तनशील दिशाओं वाले सदिश हों, सिवाय इसके कि वस्तु की कठोरता एकल वास्तविक संख्या k के अतिरिक्त एक प्रदिश κ है।

सतत माध्यम के लिए हुक का नियम

File:Hookes law nanoscale.jpg

(a) एक बहुलक नैनोस्प्रिंग की योजनाबद्ध कुंडल त्रिज्या, R, प्रवणता, P, स्प्रिंग की लंबाई, , और घूर्णन की संख्या, N, क्रमशः 2.5 माइक्रोन, 2.0 माइक्रोन, 13 माइक्रोन और 4 हैं। नैनोस्प्रिंग के इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मलेख, भारित करने से पहले (बी-ई), विस्तृत (f), संपीड़ित (g), बंकन (h), और प्रतिलब्ध (i) सभी पैमाना छड़ 2μm हैं। स्प्रिंग प्रयुक्त बल के विपरीत एक रैखिक प्रतिक्रिया का अनुसरण करता है, नैनो-पैमाना पर हुक के नियम की वैधता का प्रदर्शन करता है।^[4]

एक सतत यांत्रिकी प्रत्यास्थ पदार्थ (जैसे रबड़ का एक ब्लॉक, बायलर की परत, या इस्पात छड) के अंदर पदार्थ के प्रतिबल और विकृति एक रैखिक संबंध से जुड़े होते हैं। यह गणितीय रूप से हुक के स्प्रिंग नियम के समान है और प्रायः इसे इसी नाम से संदर्भित किया जाता है।

हालाँकि, किसी बिंदु के आसपास ठोस माध्यम में प्रतिबल की स्थिति को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। पदार्थ का समान समूह, फिर वह कितना भी छोटा क्यों न हो, समान समय में अलग-अलग दिशाओं में संकुचित, कर्षण और अपरूपण किया जा सकता है। इसी तरह, उस खंड में प्रतिबल एक साथ अपकर्षण, कर्षण और अपरूपण हो सकता है।

इस जटिलता को प्रग्रहण करने के लिए, एक बिंदु के आसपास माध्यम की प्रासंगिक स्थिति को दो-द्वितीय क्रम के प्रदिश, प्रतिबल प्रदिश $ε$ (विस्थापन के बदले में $X$ ) और कौशी प्रतिबल प्रदिश $σ$ (पुनर्स्थापना बल $F$ के बदले मे) द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। सतत माध्यम के लिए हुक के स्प्रिंग नियम का अनुरूप है

{\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},

जहां

c

एक चतुर्थ क्रम का प्रदिश है (अर्थात, दूसरे क्रम के प्रदिशो के बीच एक रेखीय मानचित्र) जिसे सामान्य रूप से संदृढता प्रदिश या प्रत्यास्थ प्रदिश कहा जाता है। कोई इसे इस रूप में भी लिख सकता है

{\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},

जहां प्रदिश

s

, जिसे संदृढता प्रदिश कहा जाता है, उक्त रेखीय मानचित्र के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रतिबल और विकृति प्रदिशो को 3 × 3 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है

{\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}

नौ संख्या σ_ij और नौ संख्या ε_kl के बीच एक रैखिक मानचित्रण होने के कारण, संदृढता प्रदिश c को 3 × 3 × 3 × 3 = 81 वास्तविक संख्या c_ijkl के आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है। हुक का नियम तब कहता है

\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}

जहां

i, j = 1,2,3

.

तीनों प्रदिश सामान्य रूप से माध्यम के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न होते हैं, और समय के साथ-साथ भिन्न भी हो सकते हैं। प्रतिबल प्रदिश $ε$ केवल बिंदु के प्रतिवेश में मध्यम कणों के विस्थापन को निर्दिष्ट करता है, जबकि प्रतिबल प्रदिश $σ$ उन बलों को निर्दिष्ट करता है जो माध्यम के प्रतिवेश खंड एक दूसरे पर कार्य कर रहे हैं। इसलिए, वे पदार्थ की संरचना और भौतिक स्थिति से स्वतंत्र हैं। संदृढता प्रदिश $c$ , दूसरी ओर, पदार्थ का एक गुण है, और प्रायः तापमान, विकृति और सूक्ष्म जैसे भौतिक अवस्था चर पर निर्भर करता है।

σ, ε, और c की अंतर्निहित समरूपता के कारण, उत्तरार्द्ध के केवल 21 प्रत्यास्थ गुणांक स्वतंत्र हैं।^[5] विषमलंबाक्ष क्रिस्टल के लिए पदार्थ 9 की समरूपता, षट्कोणीय संरचना के लिए 5, और घन समरूपता के लिए 3 की समरूपता द्वारा इस संख्या को और कम किया जा सकता है।^[6] समदैशिक माध्यम के लिए जिसमें किसी भी दिशा में समान भौतिक गुण होते हैं, और $c$ को केवल दो स्वतंत्र संख्याओं, विस्तृत मापांक K और अपरूपण मापांक G तक घटाया जा सकता है, जो क्रमशः आयतन में परिवर्तन और अपरूपण विकृति के लिए पदार्थ के प्रतिरोध की मात्रा निर्धारित करता है। .

समवृत्तिक नियम

चूंकि हुक का नियम दो राशियों के बीच एक सरल आनुपातिकता है, इसके सूत्र और परिणाम गणितीय रूप से कई अन्य भौतिक नियमों के समान हैं, जैसे कि तरल पदार्थ की गति का वर्णन करने वाले, या विद्युत क्षेत्र द्वारा परावैद्युत का आयनिक ध्रुवीकरण होता है।

विशेष रूप से, टेन्सर समीकरण σ = cε प्रत्यास्थ प्रतिबल को विकृति से संबंधित समीकरण τ = με̇ के समान है जो श्यान तरल पदार्थों के प्रवाह में श्यान प्रतिबल प्रदिश τ और विकृति दर प्रदिश ε̇ से संबंधित है; हालांकि पूर्व स्थिर प्रतिबल (विरूपण की राशि से संबंधित) से संबंधित है, जबकि बाद वाला गतिशील विकृति (विरूपण की दर से संबंधित) से संबंधित है।

माप की इकाइयाँ

इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, विस्थापन मीटर (m) में मापा जाता है, और न्यूटन (N or kg·m/s²) में बलों को मापा जाता है। इसलिए, स्प्रिंग स्थिरांक k, और प्रदिश κ के प्रत्येक तत्व को न्यूटन प्रति मीटर (N/m), या किलोग्राम प्रति सेकंड वर्ग (kg/s²) में मापा जाता है।

निरंतर मीडिया के लिए, प्रतिबल प्रदिश σ का प्रत्येक तत्व एक क्षेत्र द्वारा विभाजित बल है; इसलिए इसे दबाव की इकाइयों, अर्थात् पास्कल (Pa, या N/m², या kg/(m·s²)) में मापा जाता है। प्रतिबल प्रदिश के तत्व $ε$ आयामहीन होते हैं जिन्हे विस्थापनों को दूरियों से विभाजित किया जाता है। इसलिए, $c ijkl$ की प्रविष्टि को विकृति की इकाइयों में भी व्यक्त किया जाता है।

प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए सामान्य अनुप्रयोग

वस्तुएं जो एक बल द्वारा विकृत होने के बाद शीघ्र से अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त कर लेती हैं, उनकी पदार्थ के अणुओं या परमाणुओं के साथ स्थिर संतुलन की प्रारंभिक स्थिति में वापस आती हैं, प्रायः हुक के नियम का अनुसरण करती हैं।

तनाव-प्रतिबल वक्र कम-कार्बन इस्पात के लिए, प्रतिबल (प्रति इकाई क्षेत्र पर बल) और प्रतिबल के बीच संबंध दर्शाता है जिसके परिणामस्वरूप दबाव/ कर्षण, विरूपण के रूप में जाना जाता है। हुक का नियम केवल मूल और उत्पादन बिंदु (2) के बीच वक्र के भाग के लिए मान्य है। * अधिकतम सामर्थ्य * उत्पादन शक्ति (उत्पादन बिंदु) * विच्छेद * विकृति दृढ़ क्षेत्र * मध्यकृशन क्षेत्र * स्पष्ट प्रतिबल (F/A0) * वास्तविक प्रतिबल (F/A)

हुक का नियम केवल कुछ पदार्थों के लिए कुछ संभारण शर्तों के अंतर्गत प्रयुक्त होता है। अधिकांश अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में इस्पात रैखिक-प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित करता है; हूक का नियम इसके पूरे प्रत्यास्थ श्रेणी (अर्थात, उत्पादन (अभियांत्रिकी) के नीचे के प्रतिबलों के लिए) के लिए मान्य है। कुछ अन्य पदार्थों के लिए, जैसे कि एल्यूमीनियम, हुक का नियम केवल प्रत्यास्थ सीमा के एक भाग के लिए मान्य है। इन पदार्थों के लिए एक आनुपातिक सीमा प्रतिबल परिभाषित किया गया है, जिसके नीचे रैखिक सन्निकटन से जुड़ी त्रुटियां नगण्य हैं।

रबर को सामान्य रूप से एक गैर-हुकेन पदार्थ के रूप में माना जाता है क्योंकि इसकी प्रत्यास्थ प्रतिबल पर निर्भर होती है और तापमान और भारण दर के प्रति संवेदनशील होती है।

परिमित प्रतिबल सिद्धांत के स्थिति में हुक के नियम का सामान्यीकरण नव-हुकियन ठोस और मूनी-रिवलिन ठोस के मॉडल द्वारा प्रदान किया गया है।

व्युत्पन्न सूत्र

एक समान छड़ का तनाव प्रतिबल

किसी भी प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ की एक छड़ को रैखिक स्प्रिंग (उपकरण) के रूप में देखा जा सकता है। रॉड की लंबाई L और अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्र A है। इसका तन्य प्रतिबल σ प्रत्यास्थ के मापांक E द्वारा इसके आंशिक विस्तार या विकृति ε के रैखिक रूप से आनुपातिक है:

\sigma =E\varepsilon .

प्रत्यास्थ के मापांक को प्रायः स्थिर माना जा सकता है। बदले में,

\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}

(अर्थात, लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन), और तब से

\sigma ={\frac {F}{A}}\,,

यह इस प्रकार है कि:

\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.

लंबाई में परिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.

स्प्रिंग ऊर्जा

एक स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U el (x)$ द्वारा दिया जाता है

U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}

जो स्प्रिंग को संवर्धित रूप से संपीडित करने में लगने वाली ऊर्जा को जोड़ने से आता है। अर्थात्, विस्थापन पर बल का समाकलन होता है। चूंकि बाहरी बल की दिशा विस्थापन के समान ही होती है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा सदैव गैर-ऋणात्मक होती है।

यह विभव $U el$ को $Ux$ -तल पर परवलय के रूप में देखा जा सकता है जैसे कि $Uel(x) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2kx2$ होता है। चूंकि स्प्रिंग धनात्मक $x$ -दिशा में विस्तृत है, स्थैतिज ऊर्जा परवलयिक रूप से बढ़ती है स्प्रिंग के संकुचित होने पर भी ऐसा ही होता है। चूँकि स्थैतिज ऊर्जा में परिवर्तन एक स्थिर दर से बदलता है:

{\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.

ध्यान दें कि विस्थापन और त्वरण शून्य होने पर भी U में परिवर्तन स्थिर रहता है।

विश्रांत बल स्थिरांक (सामान्यीकृतअनुवृत्ति स्थिरांक)

विश्रांत बल स्थिरांक (सामान्यीकृत अनुवृत्ति स्थिरांक के व्युत्क्रम) आणविक प्रणालियों के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, जो सामान्य कठोर बल स्थिरांक के विपरीत होते हैं, और इस प्रकार उनका उपयोग प्रतिक्रियाशील संक्रमण अवस्थाओ और रासायनिक प्रतिक्रिया के उत्पादों के लिए गणना किए गए बल क्षेत्रों के बीच सार्थक सहसंबंध बनाने की स्वीकृति देता है। जिस प्रकार स्थितिज ऊर्जा को आंतरिक निर्देशांकों में द्विघात रूप में लिखा जा सकता है, उसी प्रकार इसे सामान्यीकृत बलों के रूप में भी लिखा जा सकता है। परिणामी गुणांकों को अनुवृत्ति स्थिरांक कहा जाता है। सामान्य मोड विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना, अणु के किसी भी आंतरिक समन्वय के लिए अनुवृत्ति स्थिरांक की गणना के लिए एक प्रत्यक्ष विधि सम्मिलित है।^[7] सहसंयोजक बंधन शक्ति निरूपक के रूप में विश्रांत बल स्थिरांक (प्रतिलोम अनुवृत्ति स्थिरांक) की उपयुक्तता को 1980 के प्रारंभ में प्रदर्शित किया गया था। हाल ही में, गैर-सहसंयोजक बंधन शक्ति निरूपक के रूप में उपयुक्तता का भी प्रदर्शन किया गया था।^[8]

सरल आवर्ती दोलक

File:Mass-spring-system.png

एक स्प्रिंग द्वारा निलंबित द्रव्यमान एक हार्मोनिक ऑसीलेटर का शास्त्रीय उदाहरण है

स्प्रिंग के सिरे से जुड़ा द्रव्यमान m सरल आवर्ती दोलक का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। द्रव्यमान पर आंशिक कर्षण और फिर इसे छोड़ कर, प्रणाली संतुलन स्थिति के बारे में ज्यावक्रीय दोलन गति में स्थापित हो जाएगा। जिस सीमा तक स्प्रिंग हुक के नियम का अनुसरण करती है, और कोई घर्षण और स्प्रिंग के द्रव्यमान की उपेक्षा कर सकता है, दोलन का आयाम स्थिर रहेगा और इसकी आवृत्ति f इसके आयाम से स्वतंत्र होगी, जो केवल द्रव्यमान और स्प्रिंग की कठोरता से निर्धारित होती है:

f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}

इस घटना ने परिशुद्ध यांत्रिक-घड़ी और घड़ियों के निर्माण को संभव बनाया जिन्हें जहाजों और लोगों की पॉकेट पर ले जाया जा सकता था।

गुरुत्व मुक्त स्थान में घूर्णन

यदि द्रव्यमान m एक वसंत से जुड़ा होता है जिसमें निरंतर k बल होता है और मुक्त स्थान में घूमता है, तो स्प्रिंग प्रतिबल (F_t) आवश्यक अभिकेन्द्र बल (F_C) की आपूर्ति करेगा:

F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r

तब से

F t = F c

और

x = r

तब:

k=m\omega ^{2}

दिया गया है कि

ω = 2π f

यह उपरोक्त के समान आवृत्ति समीकरण की ओर जाता है:

f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}

निरंतर माध्यम के लिए रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत EDIT

Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below.

आइसोट्रोपिक पदार्थ

आइसोट्रोपिक पदार्थों की विशेषता उन गुणों से होती है जो अंतरिक्ष में दिशा से स्वतंत्र होते हैं। आइसोटोपिक पदार्थों से जुड़े भौतिक समीकरणों को उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए चुनी गई समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र होना चाहिए। प्रतिबल प्रदिश एक सममित प्रदिश है। चूंकि किसी भी प्रदिश का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) किसी भी समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, एक सममित प्रदिश का सबसे पूर्ण समन्वय-मुक्त अपघटन इसे एक निरंतर प्रदिश और एक ट्रेसलेस सममित प्रदिश के योग के रूप में प्रस्तुत करना है।^[9] इस प्रकार रिक्की कलन में:

\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)

जहां

δ ij

क्रोनकर डेल्टा है। प्रत्यक्ष प्रदिश संकेतन में:

{\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})

जहां

I

दूसरे क्रम का आइडेंटिटी प्रदिश है।

दाईं ओर पहला शब्द स्थिर प्रदिश है, जिसे वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन प्रदिश के रूप में भी जाना जाता है, और दूसरा शब्द ट्रैसलेस सिमेट्रिक प्रदिश है, जिसे डेविएटोरिक स्ट्रेन प्रदिश या अपरूपण प्रदिश के रूप में भी जाना जाता है।

आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का सबसे सामान्य रूप अब इन दो प्रदिशो के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:

\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})

जहां

K

थोक मापांक है और

G

अपरूपण मापांक है।

प्रत्यास्थ मॉड्यूलस के बीच संबंधों का उपयोग करके, इन समीकरणों को अन्य तरीकों से भी व्यक्त किया जा सकता है। समदैशिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का एक सामान्य रूप, प्रत्यक्ष प्रदिश संकेतन में व्यक्त किया गया है ^[10] ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}$ जहां $λ = K - 2 / 3 G = c 1111 - 2 c 1212$ और $μ = G = c 1212$ लेमे स्थिरांक हैं, $I$ दूसरी रैंक की पहचान प्रदिश है, और I चौथी रैंक की पहचान प्रदिश का सममित हिस्सा है। इंडेक्स संकेतन में:

\sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)

उलटा संबंध है^[11]

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}

इसलिए, संबंध में अनुवृत्ति प्रदिश

ε = s : σ

है

{\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}

यंग के मापांक और पॉसों के अनुपात के संदर्भ में, आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम को तब व्यक्त किया जा सकता है

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}

यह वह रूप है जिसमें अभियांत्रिकी में प्रतिबल प्रदिश के संदर्भ में प्रतिबल व्यक्त किया जाता है। विस्तारित रूप में अभिव्यक्ति है

{\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}

जहां

E

यंग का मापांक है और

ν

प्वासों का अनुपात है। (3-डी प्रत्यास्थ देखें)।

Derivation of Hooke's law in three dimensions

The three-dimensional form of Hooke's law can be derived using Poisson's ratio and the one-dimensional form of Hooke's law as follows. Consider the strain and stress relation as a superposition of two effects: stretching in direction of the load (1) and shrinking (caused by the load) in perpendicular directions (2 and 3),

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}

where

ν

is Poisson's ratio and

E

is Young's modulus.

We get similar equations to the loads in directions 2 and 3,

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}

and

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}

Summing the three cases together ( $ε i = ε i' + ε i ″ + ε i ‴$ ) we get

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}

or by adding and subtracting one

νσ

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}

and further we get by solving

σ 1

\sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.

Calculating the sum

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}

and substituting it to the equation solved for

σ 1

gives

{\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}

where

μ

and

λ

are the Lamé parameters.

Similar treatment of directions 2 and 3 gives the Hooke's law in three dimensions.

आव्यूह रूप में, समदैशिक पदार्थों के लिए हुक के नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

जहां

γ ij = 2 ε ij

अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति है। व्युत्क्रम संबंध के रूप में लिखा जा सकता है

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

जिसे Lame स्थिरांक के लिए सरल बनाया जा सकता है:

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

सदिश संकेतन में यह बन जाता है

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)

जहां

I

पहचान प्रदिश है।

विमान प्रतिबल

प्लेन स्ट्रेस के अंतर्गत # प्लेन स्ट्रेस की स्थिति, $σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0$ . उस स्थिति में हुक का नियम रूप ले लेता है

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

सदिश संकेतन में यह बन जाता है

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)

व्युत्क्रम संबंध सामान्य रूप से कम रूप में लिखा जाता है

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

प्लेन स्ट्रेन

अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत के अंतर्गत#विमान प्रतिबल की स्थिति, $ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0$ . इस स्थिति में हुक का नियम रूप लेता है

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

अनिसोट्रोपिक पदार्थ

प्रतिबल की समरूपता (भौतिकी) ( $σ ij = σ ji$ ) और सामान्यीकृत हुक के नियम ( $σ ij = c ijkl ε kl$ ) इसका आशय है $c ijkl = c jikl$ . इसी प्रकार, अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत की समरूपता का तात्पर्य है $c ijkl = c ijlk$ . इन समरूपताओं को संदृढता प्रदिश c की छोटी समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 81 से घटाकर 36 कर देता है।

यदि इसके अतिरिक्त, चूंकि विस्थापन प्रवणता और कौशी प्रतिबल कार्य संयुग्मी हैं, तो प्रतिबल-प्रतिबल संबंध एक विकृति ऊर्जा घनत्व क्रियात्मक (कार्यात्मक) से प्राप्त किया जा सकता है। $U$ ), तब

\sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.

विभेदीकरण के क्रम की एकपक्षीय का तात्पर्य है

c ijkl = c klij

. इन्हें संदृढता प्रदिश की प्रमुख समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 36 से घटाकर 21 कर देता है। प्रमुख और छोटी समरूपता दर्शाती है कि संदृढता प्रदिश में केवल 21 स्वतंत्र घटक हैं।

आव्यूह प्रतिनिधित्व (संदृढता प्रदिश)

आव्यूह संकेतन में हुक के नियम के अनिसोट्रोपिक रूप को व्यक्त करना प्रायः उपयोगी होता है, जिसे वायगट संकेतन भी कहा जाता है। ऐसा करने के लिए हम प्रतिबल और विकृति प्रदिश की समरूपता का लाभ उठाते हैं और उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट प्रणाली में छह-आयामी सदिश के रूप में व्यक्त करते हैं ( $e 1, e 2, e 3$ ) जैसा

[{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

फिर संदृढता प्रदिश (सी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

[{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}

और हुक का नियम इस प्रकार लिखा जाता है

[{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.

इसी प्रकार अनुवृत्ति प्रदिश (ओं) को इस रूप में लिखा जा सकता है

c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}

[1] The anagram was given in alphabetical order, ceiiinosssttuu, representing Ut tensio, sic vis – "As the extension, so the force": Petroski, Henry (1996). Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing. Cambridge, MA: Harvard University Press. p. 11. ISBN 978-0674463684.

[2] See http://civil.lindahall.org/design.shtml, where one can find also an anagram for catenary.

[3] Robert Hooke, De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.

[4] Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "कॉइल स्प्रिंग आकार के पॉलिमर नैनोवायरों के आकार पर निर्भर नैनोमैकेनिक्स". Scientific Reports. 5: 17152. Bibcode:2015NatSR...517152U. doi:10.1038/srep17152. PMC 4661696. PMID 26612544.

[5] Belen'kii; Salaev (1988). "परत क्रिस्टल में विरूपण प्रभाव". Uspekhi Fizicheskikh Nauk. 155 (5): 89. doi:10.3367/UFNr.0155.198805c.0089.

[6] Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (2014-12-05). "विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों में आवश्यक और पर्याप्त लोचदार स्थिरता की स्थिति". Physical Review B (in English). 90 (22): 224104. arXiv:1410.0065. Bibcode:2014PhRvB..90v4104M. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121. S2CID 54058316.

[7] Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "निरर्थक आंतरिक निर्देशांक और कुछ नई अंतर्दृष्टि में अनुपालन स्थिरांक पर एक नज़र". J. Chem. Phys. 131 (17): 174112–174116. Bibcode:2009JChPh.131q4112V. doi:10.1063/1.3259834. PMID 19895003.

[8] Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). "Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study". Phys. Chem. Chem. Phys. 14 (19): 6787–6795. Bibcode:2012PCCP...14.6787P. doi:10.1039/C2CP40290D. PMID 22461011.

[9] Symon, Keith R. (1971). "Chapter 10". यांत्रिकी. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.

[Simo98-10] Simo, J. C.; Hughes, T. J. R. (1998). कम्प्यूटेशनल अयोग्यता. Springer. ISBN 9780387975207.

[Milton02-11] Milton, Graeme W. (2002). कंपोजिट का सिद्धांत. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251.

[Slaughter-12] Slaughter, William S. (2001). लोच का रैखिक सिद्धांत. Birkhäuser. ISBN 978-0817641177.

[Boresi-13] Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). सामग्री के उन्नत यांत्रिकी (5th ed.). Wiley. ISBN 9780471600091.

[Tan-14] Tan, S. C. (1994). टुकड़े टुकड़े सम्मिश्र में तनाव सांद्रता. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775.

[15] Ranganathan, S.I.; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "यूनिवर्सल इलास्टिक अनिसोट्रॉपी इंडेक्स". Physical Review Letters. 101 (5): 055504–1–4. Bibcode:2008PhRvL.101e5504R. doi:10.1103/PhysRevLett.101.055504. PMID 18764407.

[1]

[2]

[3]

[4]

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[15]

Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$ . The minus sign leads to $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

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 {{short description|Physical law: force needed to deform a spring scales linearly with distance}}
-{{Use dmy dates|date=October 2017}}
 [[File:Hookes-law-springs.png|thumb|हुक का नियम: बल विस्तार के समानुपाती होता है]]
-[[File:Manometer anim 02.gif|thumb|[[भौंरा ट्यूब]] हुक के नियम पर आधारित हैं। ऊपर कुंडलित धातु ट्यूब के अंदर गैस के [[दबाव]] द्वारा बनाया गया बल इसे दबाव के समानुपाती मात्रा में खोल देता है।]]
+[[File:Manometer anim 02.gif|thumb| [[भौंरा ट्यूब|बूरदां नलिका]] हुक के नियम पर आधारित हैं। ऊपर कुंडलित धातु नलिका के अंदर गैस के [[दबाव|विकृति]] द्वारा बनाया गया बल इसे विकृति के समानुपाती मात्रा में दाब कम है।]]
-[[File:Balancier avec ressort spiral.png|thumb|कई यांत्रिक घड़ियों और घड़ियों के मूल में संतुलन चक्र हुक के नियम पर निर्भर करता है। चूंकि कुंडलित स्प्रिंग द्वारा उत्पन्न टोक़ पहिया द्वारा घुमाए गए कोण के समानुपाती होता है, इसके दोलनों की अवधि लगभग स्थिर होती है।]]
+[[File:Balancier avec ressort spiral.png|thumb|कई यांत्रिक-घड़ी और घड़ियों के मूल में संतुलन चक्र हुक के नियम पर निर्भर करता है। चूंकि कुंडलित स्प्रिंग द्वारा उत्पन्न टोक़ पहिया द्वारा घुमाए गए कोण के समानुपाती होता है, इसके दोलनों की अवधि लगभग स्थिर होती है।]]
 {{Continuum mechanics|solid}}
-भौतिकी में, हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि बल ({{mvar|F}}) किसी [[वसंत (उपकरण)|स्प्रिंग (उपकरण)]]उपकरण) को कुछ दूरी तक बढ़ाने या संपीड़ित करने के लिए आवश्यक ({{mvar|x}}) समानुपातिकता (गणित)#प्रत्यक्ष_आनुपातिकता उस दूरी के संबंध में—अर्थात्, {{nowrap|{{math|1=''F{{sub|s}}'' = ''kx''}},}} जहां {{mvar|k}} स्प्रिंग की एक स्थिर कारक विशेषता है (अर्थात, इसकी [[कठोरता]]), और {{mvar|x}} स्प्रिंग के कुल संभावित विरूपण की तुलना में छोटा है। नियम का नाम 17वीं सदी के ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[रॉबर्ट हुक]] के नाम पर रखा गया है। उन्होंने पहली बार 1676 में नियम को लैटिन [[अनाग्राम]] के रूप में बताया।<ref>The anagram was given in alphabetical order, ''ceiiinosssttuu'', representing {{lang|la|Ut tensio, sic vis}} – "As the extension, so the force": {{cite book|last=Petroski|first=Henry|author-link=Henry Petroski|title=Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing|url=https://archive.org/details/inventionbydesig00petr|url-access=registration|year=1996|publisher=Harvard University Press|location=Cambridge, MA|isbn=978-0674463684|page=[https://archive.org/details/inventionbydesig00petr/page/11 11]}}</ref><ref>See http://civil.lindahall.org/design.shtml, where one can find also an anagram for [[catenary]].</ref> उन्होंने 1678 में अपने विपर्यय का समाधान प्रकाशित किया<ref>[[Robert Hooke]], ''De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies'', London, 1678.</ref> जैसा: {{lang|la|ut tensio, sic vis}} (विस्तार के रूप में, इसलिए बल या विस्तार बल के समानुपाती होता है)। हूक ने 1678 के काम में कहा है कि वह 1660 से नियम के बारे में जानता था।
+भौतिकी में, हुक का नियम एक अनुभवजन्य नियम है जो बताता है कि बल () को कुछ दूरी (x) स्केल द्वारा उस दूरी के संबंध में रैखिक रूप से विस्तारित या संपीड़ित करने की आवश्यकता होती है- अर्थात  ''F<sub>s</sub>'' = ''kx'' है, जहाँ k स्प्रिंग की एक स्थिर कारक विशेषता  (अर्थात, इसकी  दृढता) है, और x स्प्रिंग के कुल संभावित विरूपण की तुलना में छोटा है। नियम का नाम 17वीं सदी के ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी [[रॉबर्ट हुक]] के नाम पर रखा गया है। उन्होंने पहली बार 1676 में नियम को को लैटिन विपर्यय के रूप में बताया था।<ref>The anagram was given in alphabetical order, ''ceiiinosssttuu'', representing {{lang|la|Ut tensio, sic vis}} – "As the extension, so the force": {{cite book|last=Petroski|first=Henry|author-link=Henry Petroski|title=Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing|url=https://archive.org/details/inventionbydesig00petr|url-access=registration|year=1996|publisher=Harvard University Press|location=Cambridge, MA|isbn=978-0674463684|page=[https://archive.org/details/inventionbydesig00petr/page/11 11]}}</ref><ref>See http://civil.lindahall.org/design.shtml, where one can find also an anagram for [[catenary]].</ref> उन्होंने 1678<ref>[[Robert Hooke]], ''De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies'', London, 1678.</ref> में यूट टेंसियो, सिक विस ("जैसा विस्तार, इसलिए बल" या "विस्तार बल के समानुपातिक है") के रूप में अपने विपर्यय का समाधान प्रकाशित किया। हूक ने 1678 के काम में कहा है कि वह 1660 से नियम के बारे में जानता था।
-हूक का समीकरण कई अन्य स्थितियों में (कुछ हद तक) होता है जहां एक [[लोच (भौतिकी)|प्रत्यास्थ (भौतिकी)]] पिंड [[विरूपण (भौतिकी)]] है, जैसे कि एक ऊंची इमारत पर हवा का बहना, और एक संगीतकार गिटार की एक तार (संगीत) बजाता है। एक प्रत्यास्थ पिंड या पदार्थ जिसके लिए इस समीकरण को ग्रहण किया जा सकता है, उसे [[रैखिक लोच|रैखिक प्रत्यास्थ]] कहा जाता है। रैखिक-प्रत्यास्थ या हुकियन।
+हूक का समीकरण कई अन्य स्थितियों में (अधिकांश सीमा तक) होता है जहां एक [[लोच (भौतिकी)|प्रत्यास्थ (भौतिकी)]] पिंड [[विरूपण (भौतिकी)]] होता है, जैसे कि एक ऊंची इमारत पर हवा का बहना, और एक संगीतकार गिटार की एक तार (संगीत) बजाता है। प्रत्यास्थ पिंड या पदार्थ जिसके लिए इस समीकरण को ग्रहण किया जा सकता है, उसे [[रैखिक लोच|रैखिक प्रत्यास्थ]]  या हुकियन कहा जाता है।
-हुक का नियम प्रयुक्त बलों के लिए स्प्रिंग्स और अन्य प्रत्यास्थ निकायों की वास्तविक प्रतिक्रिया के लिए केवल एक [[टेलर श्रृंखला]] | प्रथम-क्रम रैखिक सन्निकटन है। एक बार जब बल कुछ सीमा से अधिक हो जाते हैं, तो यह अंततः विफल हो जाता है, क्योंकि कोई भी पदार्थ एक निश्चित न्यूनतम आकार से परे संकुचित नहीं हो सकती है, या बिना किसी स्थायी विरूपण या राज्य के परिवर्तन के अधिकतम आकार से आगे बढ़ाया जा सकता है। उन प्रत्यास्थ सीमाओं तक पहुंचने से पहले कई सामग्रियां हूक के नियम से स्पष्ट रूप से विचलित हो जाएंगी।
+हुक का नियम प्रयुक्त बलों के लिए स्प्रिंग्स और अन्य प्रत्यास्थ निकायों की वास्तविक प्रतिक्रिया के लिए केवल एक प्रथम-क्रम रैखिक सन्निकटन है। एक बार जब बल कुछ सीमा से अधिक हो जाते हैं, तो यह अंततः विफल हो जाना चाहिए, क्योंकि किसी भी पदार्थ को एक निश्चित न्यूनतम आकार से अधिक संकुचित नहीं किया जा सकता है, या बिना किसी स्थायी विरूपण या परिवर्तन के अधिकतम आकार से आगे बढ़ाया जा सकता है। उन प्रत्यास्थ सीमाओं तक पहुंचने से पहले कई पदार्थों हूक के नियम से स्पष्ट रूप से विचलित हो जाएंगी।
-दूसरी ओर, हूक का नियम अधिकांश ठोस पिंडों के लिए एक सटीक सन्निकटन है, जब तक कि बल और विकृति अपेक्षाकृत अधिक कम हैं। इस कारण से, विज्ञान और अभियांत्रिकी की सभी शाखाओं में हूक के नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह [[भूकंप विज्ञान]], [[आणविक यांत्रिकी]] और ध्वनिकी जैसे कई विषयों की नींव है। यह [[ वसंत पैमाने | स्प्रिंग पैमाने]] , [[ दबाव नापने का यंत्र ]], [[ बिजली की शक्ति नापने का यंत्र ]] और [[ यांत्रिक घड़ी ]] के बैलेंस व्हील के पीछे भी मूलभूत सिद्धांत है।
+दूसरी ओर, हूक का नियम अधिकांश ठोस पिंडों के लिए एक परिशुद्ध सन्निकटन है, जब तक कि बल और विकृति अधिकतम कम हैं। इस कारण से, विज्ञान और अभियांत्रिकी की सभी शाखाओं में हूक के नियम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और यह भूकंप विज्ञान, आणविक यांत्रिकी और ध्वनिकी जैसे कई विषयों की नींव है। यह स्प्रिंग पैमाने, दाबमापी, ताप-वैद्युत धारामापी और यांत्रिक घड़ी के संतोलक चक्र के पीछे भी मूलभूत सिद्धांत है।
-प्रत्यास्थता का आधुनिक सिद्धांत हूक के नियम को यह कहने के लिए सामान्यीकृत करता है कि एक प्रत्यास्थ वस्तु या पदार्थ का [[विरूपण (यांत्रिकी)]] (विरूपण) उस पर प्रयुक्त [[तनाव (यांत्रिकी)|प्रतिबल (यांत्रिकी)]] के समानुपाती होता है। हालांकि, चूंकि सामान्य प्रतिबल और प्रतिबल में कई स्वतंत्र घटक हो सकते हैं, आनुपातिकता कारक अब केवल एक वास्तविक संख्या नहीं हो सकता है, बल्कि एक रैखिक मानचित्र (एक [[टेन्सर|प्रदिश]]) है जिसे वास्तविक संख्याओं के [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है।
+प्रत्यास्थता का आधुनिक सिद्धांत हूक के नियम को यह कहने के लिए सामान्यीकृत करता है कि एक प्रत्यास्थ वस्तु या पदार्थ का [[विरूपण (यांत्रिकी)]]  उस पर प्रयुक्त [[तनाव (यांत्रिकी)|प्रतिबल (यांत्रिकी)]] के समानुपाती होता है। हालांकि, चूंकि सामान्य प्रतिबल और दाब में कई स्वतंत्र घटक हो सकते हैं, आनुपातिकता कारक अब केवल एक वास्तविक संख्या नहीं हो सकता है, बल्कि एक रैखिक मानचित्र (एक [[टेन्सर|प्रदिश]]) है जिसे वास्तविक संख्याओं के [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] द्वारा दर्शाया जा सकता है।
-इस सामान्य रूप में, हुक का नियम उन पदार्थों के आंतरिक गुणों के संदर्भ में जटिल वस्तुओं के लिए प्रतिबल और प्रतिबल के बीच संबंध को कम करना संभव बनाता है जिससे वे बने हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समान अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) के साथ एक [[सजातीय]] छड़ एक साधारण स्प्रिंग की तरह व्यवहार करेगी जब उसे खींचा जाएगा, एक कठोरता के साथ {{mvar|k}} इसके क्रॉस-सेक्शन क्षेत्र के सीधे आनुपातिक और इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती।
+इस सामान्य रूप में, हुक का नियम उन पदार्थों के आंतरिक गुणों के संदर्भ में जटिल वस्तुओं के लिए प्रतिबल और दाब के बीच संबंध को कम करना संभव बनाता है जिससे वे बने हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि समान अनुप्रस्थ परिच्छेद (ज्यामिति) के साथ एक सजातीय छड़ खींचे जाने पर साधारण स्प्रिंग की तरह व्यवहार करेगी, जिसकी कठोरता k इसके अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक और इसकी लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होगी।
 == औपचारिक परिभाषा ==
 === रैखिक स्प्रिंग्स के लिए ===
-एक साधारण [[ कुंडलित वक्रता ]] स्प्रिंग पर विचार करें जिसका एक सिरा किसी स्थिर वस्तु से जुड़ा है, जबकि मुक्त सिरे को एक बल द्वारा खींचा जा रहा है जिसका परिमाण है {{mvar|F<sub>s</sub>}}. मान लीजिए कि स्प्रिंग [[यांत्रिक संतुलन]] की स्थिति में पहुंच गया है, जहां इसकी लंबाई अब नहीं बदल रही है। होने देना {{mvar|x}} वह राशि हो जिससे स्प्रिंग का मुक्त सिरा अपनी आराम की स्थिति से विस्थापित हो गया (जब इसे खींचा नहीं जा रहा हो)। हूक का नियम कहता है कि <math display="block" qid=Q170282>F_s = kx</math> या, समकक्ष, <math display="block">x = \frac{F_s}{k}</math> जहां {{mvar|k}} एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो स्प्रिंग की विशेषता है। इसके अतिरिक्त, एक ही सूत्र धारण करता है जब स्प्रिंग को संकुचित किया जाता है {{mvar|F<sub>s</sub>}} और {{mvar|x}} उस स्थिति में दोनों ऋणात्मक। इस सूत्र के अनुसार, प्रयुक्त बल के एक कार्य का ग्राफ {{mvar|F<sub>s</sub>}} विस्थापन के एक फलन के रूप में {{mvar|x}} [[कार्तीय निर्देशांक]]ों से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी, जिसका ढाल है {{mvar|k}}.
+साधारण [[ कुंडलित वक्रता ]] स्प्रिंग पर विचार करें जिसका एक सिरा किसी स्थिर वस्तु से जुड़ा है, जबकि मुक्त सिरे को एक बल द्वारा खींचा जा रहा है जिसका परिमाण F<sub>s</sub> है। मान लीजिए कि स्प्रिंग [[यांत्रिक संतुलन]] की स्थिति में पहुंच गया है, जहां इसकी लंबाई अब नहीं बदल रही है। मान लीजिए {{mvar|x}} वह राशि हो जिससे स्प्रिंग का मुक्त सिरा अपनी विश्रांत की स्थिति  (जब इसे खींचा नहीं जा रहा हो) से विस्थापित हो गया। हूक का नियम कहता है कि <math display="block" qid=Q170282>F_s = kx</math> या, समकक्ष रूप से, <math display="block">x = \frac{F_s}{k}</math> जहाँ k एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, जो स्प्रिंग का अभिलाक्षणिक है। इसके अतिरिक्त, जब स्प्रिंग संकुचित होता है तो वही सूत्र होता है, उस स्थिति में एफएस और एक्स दोनों ऋणात्मक होते हैं। इस सूत्र के अनुसार, लगाए गए बल Fs का आरेख विस्थापन x के फलन के रूप में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी, जिसका प्रवणता k है।
-एक स्प्रिंग के लिए हुक का नियम कभी-कभी, लेकिन संभव्यता ही कभी, सम्मेलन के अंतर्गत कहा गया है कि {{mvar|F<sub>s</sub>}} जो कुछ भी इसके मुक्त सिरे को खींच रहा है, उस पर स्प्रिंग द्वारा लगाया गया प्रत्यानयन बल है। ऐसे में समीकरण बन जाता है <math display="block">F_s = -kx</math> क्योंकि प्रत्यानयन बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।
+स्प्रिंग के लिए हुक का नियम कभी-कभी, लेकिन संभव्यता ही कभी, सम्मेलन के अंतर्गत कहा गया है कि F<sub>s</sub> स्प्रिंग द्वारा प्रत्यवस्थान बल है जो इसके मुक्त सिरे को खींच रहा है। ऐसे में समीकरण बन जाता है <math display="block">F_s = -kx</math> क्योंकि  प्रत्यवस्थान बल की दिशा विस्थापन की दिशा के विपरीत होती है।
-=== सामान्य स्केलर स्प्रिंग्स ===
+=== सामान्य अदिश स्प्रिंग्स ===
-हूक का स्प्रिंग नियम सामान्य रूप से किसी भी प्रत्यास्थ वस्तु पर प्रयुक्त होता है, यादृच्छिक ढंग से जटिलता के रूप में, जब तक विरूपण और प्रतिबल दोनों को एक ही संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है।
+हूक का स्प्रिंग नियम सामान्य रूप से किसी भी प्रत्यास्थ वस्तु पर प्रयुक्त होता है, यादृच्छिक रूप से जटिलता के रूप में, जब तक विरूपण और प्रतिबल दोनों को समान संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है।
-उदाहरण के लिए, जब दो समानांतर प्लेटों से जुड़ा रबर का एक ब्लॉक खींच या संपीड़न के अतिरिक्त सरल कर्तन द्वारा विकृत होता है, तो अपरूपण बल {{math|''F<sub>s</sub>''}} और पार्श्व में प्लेटों का विस्थापन {{mvar|x}} हुक के नियम का अनुसरण करें (पर्याप्त छोटी विकृतियों के लिए)।
+उदाहरण के लिए, जब दो समानांतर प्लेटों से जुड़ा रबर का एक ब्लॉक कर्षण या संपीड़न के अतिरिक्त अपरूपण से विकृत होता है, तो अपरूपण बल ''F<sub>s</sub>'' और प्लेटों का पार्श्वमार्ग में विस्थापन x हुक के नियम  (छोटे पर्याप्त विरूपण के लिए) का अनुसरण करता है।
-हुक का नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक सीधी स्टील बार या कंक्रीट बीम (जैसे कि इमारतों में इस्तेमाल की जाने वाली बीम), दोनों सिरों पर समर्थित होती है, वजन से मुड़ी होती है {{mvar|F}} किसी मध्यवर्ती बिंदु पर रखा गया। विस्थापन {{mvar|x}} इस स्थिति में बीम का विचलन है, जिसे अनुप्रस्थ दिशा में मापा जाता है, इसके अनलोड आकार के सापेक्ष।
+हुक का नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक प्रत्यक्ष इस्पात छड या ठोस किरण (जैसे कि इमारतों में उपयोग की जाने वाली किरण-पुंज), दोनों सिरों पर समर्थित होती है, जिसे किसी मध्यवर्ती बिंदु पर रखे गए भार F द्वारा मोड़ा जाता है। इस स्थिति में विस्थापन x किरण का विचलन है, जिसे इसके अभारित आकार के सापेक्ष अनुप्रस्थ दिशा में मापा जाता है।
-यह नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक तने हुए स्टील के तार को एक सिरे से जुड़े लीवर को खींचकर मरोड़ा जाता है। ऐसे में प्रतिबल {{mvar|F<sub>s</sub>}} को लीवर पर लगाए गए बल के रूप में लिया जा सकता है, और {{mvar|x}} उसके द्वारा अपने वृत्ताकार पथ के साथ तय की गई दूरी के रूप में। या, समकक्ष, कोई दे सकता है {{mvar|F<sub>s</sub>}} लीवर द्वारा तार के अंत में लगाया गया [[ टॉर्कः ]] हो, और {{mvar|x}} वह कोण हो जिससे वह सिरा मुड़ता है। किसी भी स्थिति में {{mvar|F<sub>s</sub>}} के लिए आनुपातिक है {{mvar|x}} (हालांकि स्थिर {{mvar|k}} प्रत्येक स्थिति में अलग है।)
+यह नियम तब भी प्रयुक्त होता है जब एक तानित हुए इस्पात के तार को एक सिरे से जुड़े उत्तोलक को कर्षण वक्रित किया जाता है। इस स्थिति में दाब F<sub>s</sub> को उत्तोलक पर लगाए गए बल के रूप में लिया जा सकता है, और x को इसके वृत्ताकार पथ के साथ निर्धारित की गई दूरी के रूप में लिया जा सकता है। या समतुल्य रूप से, F<sub>s</sub> को उत्तोलक द्वारा तार के सिरे में लगाया गया आघूर्ण बल हो सकता है, और x वह कोण हो सकता है जिसके द्वारा वह सिरा वक्रित होता है। किसी भी स्थिति में F, x के समानुपाती होता है हालाँकि स्थिर k प्रत्येक स्थिति में भिन्न होता है।
 === सदिश सूत्रीकरण ===
-एक पेचदार स्प्रिंग के स्थिति में जो अपनी धुरी (गणित) के साथ फैला या संकुचित होता है, प्रयुक्त (या बहाल) बल और परिणामी बढ़ाव या संपीड़न की एक ही दिशा होती है (जो उक्त अक्ष की दिशा है)। इसलिए, अगर {{mvar|F<sub>s</sub>}} और {{mvar|x}} को [[वेक्टर (गणित)|सदिश (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है, हुक का [[समीकरण]] अभी भी कायम है और कहता है कि बल सदिश [[विस्थापन (वेक्टर)|विस्थापन (सदिश)]] एक निश्चित स्केलर (गणित) से गुणा है।
+कुंडलिनी स्प्रिंग के स्थिति में जो अपनी धुरी (गणित) के साथ विस्तृत या संकुचित होता है, प्रयुक्त (या प्रत्यवस्थान) बल और परिणामी वृद्धि या संपीड़न की समान  (जो उक्त अक्ष की दिशा है) दिशा होती है। इसलिए, यदि F<sub>s</sub> और x को सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है, तो हुक का समीकरण अभी भी मान्य है और कहता है कि बल सदिश एक निश्चित अदिश द्वारा गुणा किया गया सदिश है।
-=== सामान्य प्रदिश रूप ===
+=== सामान्य प्रदिश समघात ===
-एक अलग दिशा के बल के अधीन होने पर कुछ प्रत्यास्थ निकाय एक दिशा में विकृत हो जाएंगे। एक उदाहरण गैर-स्क्वायर आयताकार क्रॉस सेक्शन वाला एक क्षैतिज लकड़ी का बीम है जो अनुप्रस्थ भार से मुड़ा हुआ है जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज है। ऐसे स्थितियों में, विस्थापन का परिमाण {{mvar|x}} बल के परिमाण के समानुपाती होगा {{mvar|F<sub>s</sub>}}, जब तक बाद की दिशा समान रहती है (और इसका मान बहुत बड़ा नहीं है); इसलिए हुक के नियम का अदिश संस्करण {{math|1=''F<sub>s</sub>'' = −''kx''}} रोक लेंगे। हालाँकि, बल और विस्थापन सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक नहीं होंगे, क्योंकि उनकी अलग-अलग दिशाएँ हैं। इसके अतिरिक्त, अनुपात {{mvar|k}} उनके परिमाण के बीच सदिश की दिशा पर निर्भर करेगा {{mvar|F<sub>s</sub>}}.
+अलग दिशा के बल के अधीन होने पर कुछ प्रत्यास्थ निकाय एक दिशा में विकृत हो जाएंगे। एक उदाहरण गैर-वर्ग आयताकार अनुप्रस्थ परिच्छेद वाला एक क्षैतिज लकड़ी का बीम है जो अनुप्रस्थ भार से  बंकित है जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज है। ऐसे स्थितियों में, विस्थापन x का परिमाण बल F<sub>s</sub> के परिमाण के समानुपाती होगा, जब तक कि बाद वाले की  (और इसका मान बहुत बड़ा नहीं है) दिशा समान रहती है; अतः हुक के नियम ''F<sub>s</sub>'' = −''kx'' का अदिश संस्करण वैध होगा। हालाँकि, बल और विस्थापन सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक नहीं होंगे, क्योंकि उनकी अलग-अलग दिशाएँ हैं। इसके अतिरिक्त , उनके परिमाणों के बीच k का अनुपात सदिश F<sub>s</sub> की दिशा पर निर्भर करेगा।
-फिर भी, ऐसे स्थितियों में प्रायः बल और विरूपण सदिशों के बीच एक निश्चित रेखीय नक्शा होता है, जब तक कि वे अपेक्षाकृत अधिक छोटे होते हैं। अर्थात्, एक कार्य है (गणित) {{mvar|'''κ'''}} वैक्टर से वैक्टर तक, जैसे कि {{math|1='''F''' = '''''κ'''''('''X''')}}, और {{math|1='''''κ'''''(''α'''''X'''<sub>1</sub> + ''β'''''X'''<sub>2</sub>) = ''α'''κ'''''('''X'''<sub>1</sub>) + ''β'''κ'''''('''X'''<sub>2</sub>)}} किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|α}}, {{mvar|β}} और कोई भी विस्थापन सदिश {{math|'''X'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''X'''<sub>2</sub>}}. इस तरह के फलन को (द्वितीय क्रम) प्रदिश कहा जाता है।
+फिर भी, ऐसे स्थितियों में प्रायः बल और विरूपण सदिशों के बीच एक निश्चित रेखीय मानचित्र होता है, जब तक कि वे अपेक्षाकृत अधिक छोटे होते हैं। अर्थात्, सदिशों से सदिशों तक एक फलन '''κ''' होता है, जैसे कि {{math|1='''F''' = '''''κ'''''('''X''')}}, और {{math|1='''''κ'''''(''α'''''X'''<sub>1</sub> + ''β'''''X'''<sub>2</sub>) = ''α'''κ'''''('''X'''<sub>1</sub>) + ''β'''κ'''''('''X'''<sub>2</sub>)}} किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{mvar|α}}, {{mvar|β}} और किसी भी विस्थापन सदिश {{math|'''X'''<sub>1</sub>}}, {{math|'''X'''<sub>2</sub>}} के लिए इस तरह के फलन को (द्वितीय क्रम) प्रदिश कहा जाता है।
-यादृच्छिक कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में, बल और विस्थापन वैक्टर को वास्तविक संख्याओं के 3 × 1 आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर प्रदिश {{math|'''κ'''}}<nowiki> उन्हें जोड़ने को 3 × 3 आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है {{mvar|</nowiki>'''κ'''}वास्तविक गुणांकों का }, कि, जब [[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्यूह गुणनफल]] विस्थापन सदिश द्वारा, बल सदिश देता है:
+यादृच्छिक से कार्तीय समन्वय प्रणाली के संबंध में, बल और विस्थापन सदिश को वास्तविक संख्याओं के 3 × 1 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है। फिर उन्हें जोड़ने वाले प्रदिश κ को वास्तविक गुणांक के 3 × 3 आव्यूह '''κ''' द्वारा दर्शाया जा सकता है, जब विस्थापन सदिश द्वारा गुणा किया जाता है, तो बल सदिश देता है:<math display="block"> \mathbf{F} \,=\,
-<math display="block"> \mathbf{F} \,=\,
   \begin{bmatrix} F_1\\ F_2 \\ F_3 \end{bmatrix} \,=\,
   \begin{bmatrix}
@@ Line 54: / Line 52: @@
   \begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}
   \,=\, \boldsymbol{\kappa} \mathbf{X}</math>
-वह है, <math display="block">F_i = \kappa_{i1} X_1 + \kappa_{i2} X_2 + \kappa_{i3} X_3</math> के लिए {{math|1=''i'' = 1, 2, 3}}. इसलिए, हुक का नियम {{math|1='''F''' = '''''κ''X'''}} को प्रग्रहण करने के लिए भी कहा जा सकता है {{math|'''X'''}} और {{math|'''F'''}} परिवर्तनशील दिशाओं वाले सदिश हैं,  इसके अतिरिक्त  कि वस्तु की कठोरता एक प्रदिश है {{mvar|'''κ'''}}, एक वास्तविक संख्या के अतिरिक्त {{mvar|k}}.
-=== निरंतर मीडिया के लिए हुक का नियम ===
-{{main|linear elasticity}}
-[[File:Hookes law nanoscale.jpg|thumb|upright=1.3|(ए) एक बहुलक नैनोस्प्रिंग की योजनाबद्ध। कुंडल त्रिज्या, आर, पिच, पी, स्प्रिंग की लंबाई, एल, और घुमावों की संख्या, एन, क्रमशः 2.5 माइक्रोन, 2.0 माइक्रोन, 13 माइक्रोन और 4 हैं। नैनोस्प्रिंग के इलेक्ट्रॉन माइक्रोग्राफ, लोड करने से पहले (बी-ई), विस्तृत (एफ), संपीड़ित (जी), मुड़ा हुआ (एच), और बरामद (i)। सभी स्केल बार 2μm हैं। स्प्रिंग प्रयुक्त बल के खिलाफ एक रैखिक प्रतिक्रिया का अनुसरण करता है, नैनोस्केल पर हुक के नियम की वैधता का प्रदर्शन करता है।<ref>{{cite journal | doi=10.1038/srep17152| pmid=26612544| pmc=4661696| title=कॉइल स्प्रिंग आकार के पॉलिमर नैनोवायरों के आकार पर निर्भर नैनोमैकेनिक्स|journal=Scientific Reports| volume=5| pages=17152|year=2015| last1=Ushiba|first1=Shota| last2=Masui|first2=Kyoko| last3=Taguchi|first3=Natsuo| last4=Hamano|first4=Tomoki| last5=Kawata|first5=Satoshi| last6=Shoji|first6=Satoru| bibcode=2015NatSR...517152U}}</ref>]]एक सतत यांत्रिकी प्रत्यास्थ पदार्थ (जैसे रबड़ का एक ब्लॉक, [[ बायलर ]] की दीवार, या स्टील बार) के अंदर पदार्थ के प्रतिबल और उपभेद एक रैखिक संबंध से जुड़े होते हैं जो हुक के स्प्रिंग नियम के समान गणितीय रूप से समान होता है, और प्रायः होता है उस नाम से जाना जाता है।
-हालाँकि, किसी बिंदु के आसपास ठोस माध्यम में प्रतिबल की स्थिति को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। पदार्थ का एक ही पार्सल, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, एक ही समय में अलग-अलग दिशाओं में संकुचित, खींचा और कतरा जा सकता है। इसी तरह, उस पार्सल में प्रतिबल एक साथ धकेलना, खींचना और कतरना हो सकता है।
+अर्थात्, <math display="block">F_i = \kappa_{i1} X_1 + \kappa_{i2} X_2 + \kappa_{i3} X_3</math> i = 1, 2, 3 के लिए, इसलिए हुक के नियम '''F = κX''' को तब भी मान्य कहा जा सकता है जब '''X''' और '''F''' परिवर्तनशील दिशाओं वाले सदिश हों, सिवाय इसके कि वस्तु की कठोरता  एकल वास्तविक संख्या k के अतिरिक्त एक प्रदिश '''κ''' है।
-इस जटिलता को पकड़ने के लिए, एक बिंदु के आसपास माध्यम की प्रासंगिक स्थिति को दो-द्वितीय क्रम के प्रदिश, [[ तनाव टेंसर | प्रतिबल प्रदिश]] द्वारा दर्शाया जाना चाहिए {{math|'''ε'''}} (विस्थापन के बदले में {{math|'''X'''}}) और कौशी प्रतिबल प्रदिश {{math|'''σ'''}} (पुनर्स्थापना बल की जगह {{math|'''F'''}}). निरंतर मीडिया के लिए हुक के स्प्रिंग नियम का अनुरूप है <math display="block"> \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{c} \boldsymbol{\varepsilon},</math> जहां {{math|'''c'''}} एक चौथे क्रम का प्रदिश है (अर्थात, दूसरे क्रम के टेंसरों के बीच एक रेखीय मानचित्र) जिसे सामान्य रूप से [[कठोरता टेंसर|कठोरता प्रदिश]] या [[लोच टेंसर|प्रत्यास्थ प्रदिश]] कहा जाता है। कोई इसे इस रूप में भी लिख सकता है <math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{s} \boldsymbol{\sigma},</math> जहां प्रदिश {{math|'''s'''}}, जिसे कठोरता प्रदिश कहा जाता है, उक्त रेखीय मानचित्र के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।
+=== सतत माध्यम के लिए हुक का नियम ===
+{{main| रैखिक प्रत्यास्थाता}}
+[[File:Hookes law nanoscale.jpg|thumb|upright=1.3|(a) एक बहुलक नैनोस्प्रिंग की योजनाबद्ध कुंडल त्रिज्या, R, प्रवणता, P, स्प्रिंग की लंबाई, , और घूर्णन की संख्या, N, क्रमशः 2.5 माइक्रोन, 2.0 माइक्रोन, 13 माइक्रोन और 4 हैं। नैनोस्प्रिंग के इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मलेख, भारित करने से पहले (बी-ई), विस्तृत (f), संपीड़ित (g), बंकन (h), और  प्रतिलब्ध (i) सभी पैमाना छड़ 2μm हैं। स्प्रिंग प्रयुक्त बल के विपरीत एक रैखिक प्रतिक्रिया का अनुसरण करता है, नैनो-पैमाना पर हुक के नियम की वैधता का प्रदर्शन करता है।<ref>{{cite journal | doi=10.1038/srep17152| pmid=26612544| pmc=4661696| title=कॉइल स्प्रिंग आकार के पॉलिमर नैनोवायरों के आकार पर निर्भर नैनोमैकेनिक्स|journal=Scientific Reports| volume=5| pages=17152|year=2015| last1=Ushiba|first1=Shota| last2=Masui|first2=Kyoko| last3=Taguchi|first3=Natsuo| last4=Hamano|first4=Tomoki| last5=Kawata|first5=Satoshi| last6=Shoji|first6=Satoru| bibcode=2015NatSR...517152U}}</ref>]]एक सतत यांत्रिकी प्रत्यास्थ पदार्थ (जैसे रबड़ का एक ब्लॉक, [[ बायलर | बायलर]] की परत, या इस्पात छड) के अंदर पदार्थ के प्रतिबल और विकृति एक रैखिक संबंध से जुड़े होते हैं। यह गणितीय रूप से हुक के स्प्रिंग नियम के समान है और प्रायः इसे इसी नाम से संदर्भित किया जाता है।
-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रतिबल और प्रतिबल टेंसरों को 3 × 3 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है
+हालाँकि, किसी बिंदु के आसपास ठोस माध्यम में प्रतिबल की स्थिति को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। पदार्थ का समान समूह, फिर वह कितना भी छोटा क्यों न हो, समान समय में अलग-अलग दिशाओं में संकुचित, कर्षण और अपरूपण किया जा सकता है। इसी तरह, उस खंड में प्रतिबल एक साथ अपकर्षण,  कर्षण और अपरूपण हो सकता है।
+इस जटिलता को प्रग्रहण करने के लिए, एक बिंदु के आसपास माध्यम की प्रासंगिक स्थिति को दो-द्वितीय क्रम के प्रदिश, [[ तनाव टेंसर | प्रतिबल प्रदिश]]  {{math|'''ε'''}} (विस्थापन के बदले में {{math|'''X'''}}) और कौशी प्रतिबल प्रदिश {{math|'''σ'''}} (पुनर्स्थापना बल {{math|'''F'''}} के बदले मे) द्वारा दर्शाया जाना चाहिए। सतत माध्यम के लिए हुक के स्प्रिंग नियम का अनुरूप है <math display="block"> \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{c} \boldsymbol{\varepsilon},</math> जहां {{math|'''c'''}} एक चतुर्थ क्रम का प्रदिश है (अर्थात, दूसरे क्रम के प्रदिशो के बीच एक रेखीय मानचित्र) जिसे सामान्य रूप से [[कठोरता टेंसर|संदृढता प्रदिश]] या [[लोच टेंसर|प्रत्यास्थ प्रदिश]] कहा जाता है। कोई इसे इस रूप में भी लिख सकता है <math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{s} \boldsymbol{\sigma},</math> जहां प्रदिश {{math|'''s'''}}, जिसे संदृढता प्रदिश कहा जाता है, उक्त रेखीय मानचित्र के व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है।
+कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, प्रतिबल और विकृति प्रदिशो को 3 × 3 आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है
 <math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} \,=\, \begin{bmatrix}
 \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13}\\
@@ Line 75: / Line 75: @@
 \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}
 \end{bmatrix}</math>
-नौ नंबरों के बीच एक रेखीय मानचित्रण होना {{math|''σ<sub>ij</sub>''}} और नौ नंबर {{math|''ε<sub>kl</sub>''}}, कठोरता प्रदिश {{math|'''c'''}} के आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है {{math|1=3 × 3 × 3 × 3 = 81}} वास्तविक संख्या {{math|''c<sub>ijkl</sub>''}}. हुक का नियम तब कहता है
+नौ संख्या ''σ<sub>ij</sub>'' और नौ संख्या ''ε<sub>kl</sub>'' के बीच एक रैखिक मानचित्रण होने के कारण, संदृढता प्रदिश c को 3 × 3 × 3 × 3 = 81 वास्तविक संख्या ''c<sub>ijkl</sub>'' के आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है। हुक का नियम तब कहता है<math display="block">\sigma_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 c_{ijkl} \varepsilon_{kl}</math>
-<math display="block">\sigma_{ij} = \sum_{k=1}^3 \sum_{l=1}^3 c_{ijkl} \varepsilon_{kl}</math>
 जहां {{math|1=''i'',''j'' = 1,2,3}}.
-तीनों प्रदिश सामान्य रूप से माध्यम के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न होते हैं, और समय के साथ-साथ भिन्न भी हो सकते हैं। प्रतिबल प्रदिश {{math|'''ε'''}} केवल बिंदु के प्रतिवेश में मध्यम कणों के विस्थापन को निर्दिष्ट करता है, जबकि प्रतिबल प्रदिश {{math|'''σ'''}} उन बलों को निर्दिष्ट करता है जो माध्यम के प्रतिवेश पार्सल एक दूसरे पर कार्य कर रहे हैं। इसलिए, वे पदार्थ की संरचना और भौतिक स्थिति से स्वतंत्र हैं। कठोरता प्रदिश {{math|'''c'''}}, दूसरी ओर, पदार्थ का एक गुण है, और प्रायः तापमान, दबाव और [[ सूक्ष्म ]] जैसे भौतिक अवस्था चर पर निर्भर करता है।
+तीनों प्रदिश सामान्य रूप से माध्यम के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक भिन्न होते हैं, और समय के साथ-साथ भिन्न भी हो सकते हैं। प्रतिबल प्रदिश {{math|'''ε'''}} केवल बिंदु के प्रतिवेश में मध्यम कणों के विस्थापन को निर्दिष्ट करता है, जबकि प्रतिबल प्रदिश {{math|'''σ'''}} उन बलों को निर्दिष्ट करता है जो माध्यम के प्रतिवेश खंड एक दूसरे पर कार्य कर रहे हैं। इसलिए, वे पदार्थ की संरचना और भौतिक स्थिति से स्वतंत्र हैं। संदृढता प्रदिश {{math|'''c'''}}, दूसरी ओर, पदार्थ का एक गुण है, और प्रायः तापमान, विकृति और [[ सूक्ष्म ]] जैसे भौतिक अवस्था चर पर निर्भर करता है।
-की अंतर्निहित समरूपता के कारण {{math|'''σ'''}}, {{math|'''ε'''}}, और {{math|'''c'''}}, बाद के केवल 21 प्रत्यास्थ गुणांक स्वतंत्र हैं।<ref>{{cite journal| last1=Belen'kii| last2=Salaev| date=1988|title=परत क्रिस्टल में विरूपण प्रभाव| journal=Uspekhi Fizicheskikh Nauk| volume=155|issue=5| pages=89| doi=10.3367/UFNr.0155.198805c.0089}}</ref> पदार्थ की समरूपता द्वारा इस संख्या को और कम किया जा सकता है: 9 एक [[ऑर्थोरोम्बिक क्रिस्टल सिस्टम|ऑर्थोरोम्बिक क्रिस्टल प्रणाली]] क्रिस्टल के लिए, 5 [[हेक्सागोनल क्रिस्टल परिवार]] संरचना के लिए, और 3 [[ घन क्रिस्टल प्रणाली ]] समरूपता के लिए।<ref>{{Cite journal | last1=Mouhat|first1=Félix| last2=Coudert|first2=François-Xavier| date=2014-12-05 | title=विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों में आवश्यक और पर्याप्त लोचदार स्थिरता की स्थिति| url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.90.224104| journal=Physical Review B|language=en|volume=90|issue=22| pages=224104| doi=10.1103/PhysRevB.90.224104| issn=1098-0121|arxiv=1410.0065| bibcode=2014PhRvB..90v4104M| s2cid=54058316}}</ref> [[ समदैशिक ]] मीडिया के लिए (जिसमें किसी भी दिशा में समान भौतिक गुण होते हैं), {{math|'''c'''}} को केवल दो स्वतंत्र संख्याओं, थोक मापांक तक घटाया जा सकता है {{mvar|K}} और अपरूपण मापांक {{mvar|G}}, जो क्रमशः मात्रा में परिवर्तन और अपरूपण विकृतियों के लिए पदार्थ के प्रतिरोध को मापता है।
+'''σ''', '''ε''', और '''c''' की अंतर्निहित समरूपता के कारण, उत्तरार्द्ध के केवल 21 प्रत्यास्थ गुणांक स्वतंत्र हैं।<ref>{{cite journal| last1=Belen'kii| last2=Salaev| date=1988|title=परत क्रिस्टल में विरूपण प्रभाव| journal=Uspekhi Fizicheskikh Nauk| volume=155|issue=5| pages=89| doi=10.3367/UFNr.0155.198805c.0089}}</ref> विषमलंबाक्ष क्रिस्टल के लिए पदार्थ 9 की समरूपता, षट्कोणीय संरचना के लिए 5, और घन समरूपता के लिए 3 की समरूपता द्वारा इस संख्या को और कम किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal | last1=Mouhat|first1=Félix| last2=Coudert|first2=François-Xavier| date=2014-12-05 | title=विभिन्न क्रिस्टल प्रणालियों में आवश्यक और पर्याप्त लोचदार स्थिरता की स्थिति| url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevB.90.224104| journal=Physical Review B|language=en|volume=90|issue=22| pages=224104| doi=10.1103/PhysRevB.90.224104| issn=1098-0121|arxiv=1410.0065| bibcode=2014PhRvB..90v4104M| s2cid=54058316}}</ref> [[ समदैशिक ]] माध्यम के लिए जिसमें किसी भी दिशा में समान भौतिक गुण होते हैं, और {{math|'''c'''}} को केवल दो स्वतंत्र संख्याओं, विस्तृत मापांक K और अपरूपण मापांक G तक घटाया जा सकता है, जो क्रमशः आयतन में परिवर्तन और अपरूपण विकृति के लिए पदार्थ के प्रतिरोध की मात्रा निर्धारित करता है। .
-== अनुरूप नियम ==
+== समवृत्तिक नियम ==
-चूंकि हुक का नियम दो मात्राओं के बीच एक सरल आनुपातिकता है, इसके सूत्र और परिणाम गणितीय रूप से कई अन्य भौतिक नियमों के समान हैं, जैसे कि [[तरल]] पदार्थ की गति का वर्णन करने वाले, या [[विद्युत क्षेत्र]] द्वारापरावैद्युत का [[आयनिक ध्रुवीकरण]]।
+चूंकि हुक का नियम दो राशियों के बीच एक सरल आनुपातिकता है, इसके सूत्र और परिणाम गणितीय रूप से कई अन्य भौतिक नियमों के समान हैं, जैसे कि [[तरल]] पदार्थ की गति का वर्णन करने वाले, या [[विद्युत क्षेत्र]] द्वारा परावैद्युत का [[आयनिक ध्रुवीकरण]] होता है।
-विशेष रूप से, प्रदिश समीकरण {{math|1='''σ''' = '''cε'''}} इलास्टिक स्ट्रेस को स्ट्रेन से संबंधित करना पूरी तरह से समीकरण के समान है {{math|1='''τ''' = '''με&#x307;'''}} [[चिपचिपा तनाव टेंसर|चिपचिपा प्रतिबल प्रदिश]] से संबंधित {{math|'''τ'''}} और [[तनाव दर टेंसर|प्रतिबल दर प्रदिश]] {{math|'''ε&#x307;'''}} चिपचिपापन तरल पदार्थ के प्रवाह में; हालांकि पूर्व [[ स्थिति-विज्ञान ]] स्ट्रेस (विरूपण की मात्रा से संबंधित) से संबंधित है, जबकि बाद वाला [[गतिकी (भौतिकी)]]भौतिकी) स्ट्रेस (विरूपण की दर से संबंधित) से संबंधित है।
+विशेष रूप से, टेन्सर समीकरण σ = cε प्रत्यास्थ प्रतिबल को विकृति से संबंधित समीकरण τ = με̇ के समान है जो श्यान तरल पदार्थों के प्रवाह में  श्यान प्रतिबल प्रदिश τ और विकृति दर प्रदिश ε̇ से संबंधित है; हालांकि पूर्व स्थिर प्रतिबल (विरूपण की राशि से संबंधित) से संबंधित है, जबकि बाद वाला गतिशील विकृति (विरूपण की दर से संबंधित) से संबंधित है।
 == माप की इकाइयाँ ==
-[[इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] में, विस्थापन मीटर (एम) में मापा जाता है, और [[न्यूटन (यूनिट)]] एस (एन या किग्रा·एम/एस) में बल<sup>2</sup>). इसलिए, स्प्रिंग स्थिरांक {{mvar|k}}, और प्रदिश का प्रत्येक तत्व {{math|'''κ'''}}, न्यूटन प्रति मीटर (N/m), या किलोग्राम प्रति वर्ग सेकंड (kg/s) में मापा जाता है<sup>2</sup>).
+[[इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली]] में, विस्थापन मीटर (m) में मापा जाता है, और न्यूटन (N or kg·m/s<sup>2</sup>) में बलों को मापा जाता है। इसलिए, स्प्रिंग स्थिरांक k, और प्रदिश κ के प्रत्येक तत्व को न्यूटन प्रति मीटर (N/m), या किलोग्राम प्रति सेकंड वर्ग (kg/s<sup>2</sup>) में मापा जाता है।
+निरंतर मीडिया के लिए, प्रतिबल प्रदिश σ का प्रत्येक तत्व एक क्षेत्र द्वारा विभाजित बल है; इसलिए इसे दबाव की इकाइयों, अर्थात् पास्कल (Pa, या N/m<sup>2</sup>, या kg/(m·s<sup>2</sup>)) में मापा जाता है। प्रतिबल प्रदिश के तत्व {{math|'''ε'''}} आयामहीन होते हैं जिन्हे विस्थापनों को दूरियों से विभाजित किया जाता है। इसलिए,  {{mvar|c<sub>ijkl</sub>}}  की प्रविष्टि को विकृति की इकाइयों में भी व्यक्त किया जाता है।
+== प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए सामान्य अनुप्रयोग ==
+वस्तुएं जो एक बल द्वारा विकृत होने के बाद शीघ्र से अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त कर लेती हैं, उनकी पदार्थ के अणुओं या परमाणुओं के साथ स्थिर संतुलन की प्रारंभिक स्थिति में वापस आती हैं, प्रायः हुक के नियम का अनुसरण करती हैं।
+[[File:Stress v strain A36 2.svg|thumb|263x263px|[[तनाव-प्रतिबल वक्र]] कम-कार्बन इस्पात के लिए, [[प्रतिबल (यांत्रिक)|प्रतिबल]] (प्रति इकाई क्षेत्र पर बल) और [[विरूपण (यांत्रिकी)|प्रतिबल]] के बीच संबंध दर्शाता है जिसके परिणामस्वरूप दबाव/ कर्षण, विरूपण के रूप में जाना जाता है। हुक का नियम केवल मूल और उत्पादन बिंदु (2) के बीच वक्र के भाग के लिए मान्य है।
-निरंतर मीडिया के लिए, प्रतिबल प्रदिश का प्रत्येक तत्व {{math|'''σ'''}} एक क्षेत्र द्वारा विभाजित बल है; इसलिए इसे दबाव की इकाइयों में मापा जाता है, अर्थात् [[पास्कल (यूनिट)]] s (Pa, या N/m<sup>2</sup>, या किग्रा/(मि·से<sup>2</sup>). प्रतिबल प्रदिश के तत्व {{math|'''ε'''}} आयामहीन होते हैं (विस्थापनों को दूरियों से विभाजित किया जाता है)। इसलिए, की प्रविष्टियाँ {{mvar|c<sub>ijkl</sub>}} को दबाव की इकाइयों में भी व्यक्त किया जाता है।
+* अधिकतम सामर्थ्य
+* उत्पादन शक्ति (उत्पादन बिंदु)
+* विच्छेद
+* विकृति दृढ़ क्षेत्र
+* मध्यकृशन क्षेत्र
-== प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए सामान्य आवेदन ==
+* स्पष्ट प्रतिबल (F/A0)
-{{Stress v strain A36 2.svg |caption=[[Stress–strain curve]] for low-carbon steel, showing the relationship between the [[stress (mechanics)|stress]] (force per unit area) and [[Deformation (mechanics)|strain]] (resulting compression/stretching, known as deformation). Hooke's law is only valid for the portion of the curve between the origin and the yield point (2).}}
-वस्तुएं जो एक बल द्वारा विकृत होने के बाद शीघ्र से अपने मूल आकार को पुनः प्राप्त कर लेती हैं, उनकी पदार्थ के अणुओं या परमाणुओं के साथ स्थिर संतुलन की प्रारंभिक स्थिति में लौट आती हैं, प्रायः हुक के नियम का अनुसरण करती हैं।
+* वास्तविक प्रतिबल (F/A)
-हुक का नियम केवल कुछ पदार्थों के लिए कुछ लोडिंग शर्तों के अंतर्गत प्रयुक्त होता है। अधिकांश अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में स्टील रैखिक-प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित करता है; हूक का नियम इसके पूरे प्रत्यास्थ रेंज (अर्थात, [[ उपज (इंजीनियरिंग) | उपज (अभियांत्रिकी)]] के नीचे के तनावों के लिए) के लिए मान्य है। कुछ अन्य पदार्थों के लिए, जैसे कि एल्यूमीनियम, हुक का नियम केवल प्रत्यास्थ सीमा के एक हिस्से के लिए मान्य है। इन पदार्थों के लिए एक [[आनुपातिक सीमा]] प्रतिबल परिभाषित किया गया है, जिसके नीचे रैखिक सन्निकटन से जुड़ी त्रुटियां नगण्य हैं।
+]]
+हुक का नियम केवल कुछ पदार्थों के लिए कुछ संभारण शर्तों के अंतर्गत प्रयुक्त होता है। अधिकांश अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में इस्पात रैखिक-प्रत्यास्थ व्यवहार प्रदर्शित करता है; हूक का नियम इसके पूरे प्रत्यास्थ श्रेणी (अर्थात, [[ उपज (इंजीनियरिंग) | उत्पादन (अभियांत्रिकी)]] के नीचे के प्रतिबलों के लिए) के लिए मान्य है। कुछ अन्य पदार्थों के लिए, जैसे कि एल्यूमीनियम, हुक का नियम केवल प्रत्यास्थ सीमा के एक भाग के लिए मान्य है। इन पदार्थों के लिए एक [[आनुपातिक सीमा]] प्रतिबल परिभाषित किया गया है, जिसके नीचे रैखिक सन्निकटन से जुड़ी त्रुटियां नगण्य हैं।
-रबर को सामान्य रूप से एक गैर-हुकेन पदार्थ के रूप में माना जाता है क्योंकि इसकी प्रत्यास्थ प्रतिबल पर निर्भर होती है और तापमान और लोडिंग दर के प्रति संवेदनशील होती है।
+रबर को सामान्य रूप से एक गैर-हुकेन पदार्थ के रूप में माना जाता है क्योंकि इसकी प्रत्यास्थ प्रतिबल पर निर्भर होती है और तापमान और भारण दर के प्रति संवेदनशील होती है।
 [[परिमित तनाव सिद्धांत|परिमित प्रतिबल सिद्धांत]] के स्थिति में हुक के नियम का सामान्यीकरण [[नव-हुकियन ठोस]] और मूनी-रिवलिन ठोस के मॉडल द्वारा प्रदान किया गया है।
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 == व्युत्पन्न सूत्र ==
-=== एक समान पट्टी का प्रतिबल प्रतिबल ===
+=== एक समान छड़ का तनाव प्रतिबल ===
-किसी भी प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ की एक छड़ को रैखिक स्प्रिंग (उपकरण) के रूप में देखा जा सकता है। छड़ की लम्बाई होती है {{mvar|L}} और पार के अनुभागीय क्षेत्र {{mvar|A}}. इसका [[तन्यता तनाव|तन्यता प्रतिबल]] {{mvar|σ}} इसके भिन्नात्मक विस्तार या प्रतिबल के रैखिक रूप से आनुपातिक है {{mvar|ε}} [[लोच के मापांक|प्रत्यास्थ के मापांक]] द्वारा {{mvar|E}}:
+किसी भी प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ की एक छड़ को रैखिक स्प्रिंग (उपकरण) के रूप में देखा जा सकता है। रॉड की लंबाई L और अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्र  A है। इसका तन्य प्रतिबल σ प्रत्यास्थ के मापांक E द्वारा इसके आंशिक विस्तार या विकृति ε के रैखिक रूप से आनुपातिक है:
 <math display="block">\sigma = E \varepsilon.</math>
-प्रत्यास्थ के मापांक को प्रायः स्थिर माना जा सकता है। के बदले में,
+प्रत्यास्थ के मापांक को प्रायः स्थिर माना जा सकता है। बदले में,
 <math display="block">\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}</math>
 (अर्थात, लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन), और तब से
@@ Line 121: / Line 130: @@
 === स्प्रिंग ऊर्जा ===
-संभावित ऊर्जा {{math|''U''<sub>el</sub>(''x'')}} एक स्प्रिंग में संग्रहीत द्वारा दिया जाता है <math display="block">U_\mathrm{el}(x) = \tfrac 1 2 kx^2</math> जो स्प्रिंग को संवर्धित रूप से संपीडित करने में लगने वाली ऊर्जा को जोड़ने से आता है। अर्थात्, विस्थापन पर बल का समाकलन। चूंकि बाहरी बल की दिशा विस्थापन के समान ही होती है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है।
+एक स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा {{math|''U''<sub>el</sub>(''x'')}} द्वारा दिया जाता है <math display="block">U_\mathrm{el}(x) = \tfrac 1 2 kx^2</math> जो स्प्रिंग को संवर्धित रूप से संपीडित करने में लगने वाली ऊर्जा को जोड़ने से आता है। अर्थात्, विस्थापन पर बल का समाकलन होता है। चूंकि बाहरी बल की दिशा विस्थापन के समान ही होती है, स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा सदैव गैर-ऋणात्मक होती है।
-यह क्षमता {{math|''U''<sub>el</sub>}} पर [[परवलय]] के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|Ux}}-विमान ऐसा कि {{math|1=''U''<sub>el</sub>(''x'') = {{sfrac|1|2}}''kx''<sup>2</sup>}}. चूंकि स्प्रिंग धनात्मक में विस्तृत है {{mvar|x}}-दिशा, संभावित ऊर्जा परवलयिक रूप से बढ़ती है (स्प्रिंग के संकुचित होने पर भी ऐसा ही होता है)। चूँकि संभावित ऊर्जा में परिवर्तन एक स्थिर दर से बदलता है:
+यह विभव {{math|''U''<sub>el</sub>}} को   {{mvar|Ux}}-तल पर [[परवलय]] के रूप में देखा जा सकता है जैसे कि {{math|1=''U''<sub>el</sub>(''x'') = {{sfrac|1|2}}''kx''<sup>2</sup>}} होता है। चूंकि स्प्रिंग धनात्मक  {{mvar|x}}-दिशा में विस्तृत है, स्थैतिज ऊर्जा परवलयिक रूप से बढ़ती है स्प्रिंग के संकुचित होने पर भी ऐसा ही होता है। चूँकि स्थैतिज ऊर्जा में परिवर्तन एक स्थिर दर से बदलता है:
 <math display="block"> \frac{d^2 U_\mathrm{el}}{dx^2}=k\,.</math>
-ध्यान दें कि परिवर्तन में परिवर्तन {{mvar|U}} विस्थापन और त्वरण शून्य होने पर भी स्थिर रहता है।
+ध्यान दें कि विस्थापन और त्वरण शून्य होने पर भी U में परिवर्तन स्थिर रहता है।
-=== शिथिल बल स्थिरांक (सामान्यीकृत [[अनुपालन स्थिर]]ांक) ===
+=== विश्रांत बल स्थिरांक (सामान्यीकृतअनुवृत्ति स्थिरांक) ===
-आराम से बल स्थिरांक (सामान्यीकृत [[अनुपालन स्थिरांक]] के व्युत्क्रम) आणविक प्रणालियों के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, जो सामान्य कठोर बल स्थिरांक के विपरीत होते हैं, और इस प्रकार उनका उपयोग [[अभिकारक]]ों, संक्रमण अवस्थाओं और उत्पादों के लिए गणना किए गए बल क्षेत्रों के बीच सार्थक सहसंबंध बनाने की अनुमति देता है। एक [[रासायनिक प्रतिक्रिया]]। जिस प्रकार स्थितिज ऊर्जा को आंतरिक निर्देशांकों में द्विघात रूप में लिखा जा सकता है, उसी प्रकार इसे सामान्यीकृत बलों के रूप में भी लिखा जा सकता है। परिणामी गुणांकों को अनुपालन स्थिरांक कहा जाता है। सामान्य मोड विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना, अणु के किसी भी आंतरिक समन्वय के लिए अनुपालन स्थिरांक की गणना के लिए एक प्रत्यक्ष विधि मौजूद है।<ref>{{cite journal| first1=M.|last1=Vijay Madhav| first2=S.|last2=Manogaran| title=निरर्थक आंतरिक निर्देशांक और कुछ नई अंतर्दृष्टि में अनुपालन स्थिरांक पर एक नज़र| journal=J. Chem. Phys.| date=2009| volume=131| issue=17| pages=174112–174116| doi=10.1063/1.3259834| pmid=19895003| bibcode=2009JChPh.131q4112V}}</ref> [[सहसंयोजक बंधन]] शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में शिथिल बल स्थिरांक (प्रतिलोम अनुपालन स्थिरांक) की उपयुक्तता को 1980 के प्रारंभ में प्रदर्शित किया गया था। हाल ही में, गैर-सहसंयोजक बंधन शक्ति वर्णनकर्ता के रूप में उपयुक्तता का भी प्रदर्शन किया गया था।<ref>{{cite journal| first1=Alla|last1=Ponomareva| first2=Yevgen|last2=Yurenko| first3=Roman|last3=Zhurakivsky| first4=Tanja|last4=Van Mourik| first5=Dmytro|last5=Hovorun| title=Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study| journal=Phys. Chem. Chem. Phys.| date=2012|volume=14| issue=19| pages=6787–6795| doi=10.1039/C2CP40290D| pmid=22461011| bibcode=2012PCCP...14.6787P}}</ref>
+विश्रांत बल स्थिरांक (सामान्यीकृत [[अनुपालन स्थिरांक|अनुवृत्ति स्थिरांक]] के व्युत्क्रम) आणविक प्रणालियों के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं, जो सामान्य कठोर बल स्थिरांक के विपरीत होते हैं, और इस प्रकार उनका उपयोग प्रतिक्रियाशील संक्रमण अवस्थाओ और रासायनिक प्रतिक्रिया के उत्पादों के लिए गणना किए गए बल क्षेत्रों के बीच सार्थक सहसंबंध बनाने की स्वीकृति देता है। जिस प्रकार स्थितिज ऊर्जा को आंतरिक निर्देशांकों में द्विघात रूप में लिखा जा सकता है, उसी प्रकार इसे सामान्यीकृत बलों के रूप में भी लिखा जा सकता है। परिणामी गुणांकों को अनुवृत्ति स्थिरांक कहा जाता है। सामान्य मोड विश्लेषण करने की आवश्यकता के बिना, अणु के किसी भी आंतरिक समन्वय के लिए अनुवृत्ति स्थिरांक की गणना के लिए एक प्रत्यक्ष विधि सम्मिलित है।<ref>{{cite journal| first1=M.|last1=Vijay Madhav| first2=S.|last2=Manogaran| title=निरर्थक आंतरिक निर्देशांक और कुछ नई अंतर्दृष्टि में अनुपालन स्थिरांक पर एक नज़र| journal=J. Chem. Phys.| date=2009| volume=131| issue=17| pages=174112–174116| doi=10.1063/1.3259834| pmid=19895003| bibcode=2009JChPh.131q4112V}}</ref> [[सहसंयोजक बंधन]] शक्ति निरूपक के रूप में विश्रांत बल स्थिरांक (प्रतिलोम अनुवृत्ति स्थिरांक) की उपयुक्तता को 1980 के प्रारंभ में प्रदर्शित किया गया था। हाल ही में, गैर-सहसंयोजक बंधन शक्ति निरूपक के रूप में उपयुक्तता का भी प्रदर्शन किया गया था।<ref>{{cite journal| first1=Alla|last1=Ponomareva| first2=Yevgen|last2=Yurenko| first3=Roman|last3=Zhurakivsky| first4=Tanja|last4=Van Mourik| first5=Dmytro|last5=Hovorun| title=Complete conformational space of the potential HIV-1 reverse transcriptase inhibitors d4U and d4C. A quantum chemical study| journal=Phys. Chem. Chem. Phys.| date=2012|volume=14| issue=19| pages=6787–6795| doi=10.1039/C2CP40290D| pmid=22461011| bibcode=2012PCCP...14.6787P}}</ref>
-=== हार्मोनिक ऑसिलेटर ===
+=== सरल आवर्ती दोलक ===
-{{see also|Harmonic oscillator}}
+{{see also|सरल आवर्ती दोलक}}
-[[File:Mass-spring-system.png|thumb|upright|एक स्प्रिंग द्वारा निलंबित द्रव्यमान एक हार्मोनिक ऑसीलेटर का शास्त्रीय उदाहरण है]]एक द्रव्यमान {{mvar|m}} एक स्प्रिंग के अंत से जुड़ी एक [[लयबद्ध दोलक]] का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। द्रव्यमान पर थोड़ा सा खींचकर और फिर इसे छोड़ कर, प्रणाली संतुलन की स्थिति के बारे में [[साइन लहर]] दोलन गति में स्थिर हो जाएगा। जिस हद तक कमानी हुक के नियम का अनुसरण करती है, और कोई घर्षण और कमानी के द्रव्यमान की उपेक्षा कर सकता है, दोलन का आयाम स्थिर रहेगा; और इसकी [[आवृत्ति]] {{mvar|f}} इसके आयाम से स्वतंत्र होगा, केवल द्रव्यमान और स्प्रिंग की कठोरता से निर्धारित होता है:
+[[File:Mass-spring-system.png|thumb|upright|एक स्प्रिंग द्वारा निलंबित द्रव्यमान एक हार्मोनिक ऑसीलेटर का शास्त्रीय उदाहरण है]]स्प्रिंग के सिरे से जुड़ा द्रव्यमान m सरल आवर्ती दोलक का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। द्रव्यमान पर आंशिक कर्षण और फिर इसे छोड़ कर, प्रणाली संतुलन स्थिति के बारे में  ज्यावक्रीय दोलन गति में स्थापित हो जाएगा। जिस सीमा तक स्प्रिंग हुक के नियम का अनुसरण करती है, और कोई घर्षण और स्प्रिंग के द्रव्यमान की उपेक्षा कर सकता है, दोलन का आयाम स्थिर रहेगा और इसकी आवृत्ति f इसके आयाम से स्वतंत्र होगी, जो केवल द्रव्यमान और स्प्रिंग की कठोरता से निर्धारित होती है:
 <math display="block">f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt\frac{k}{m}</math>
-इस घटना ने सटीक यांत्रिक घड़ियों और घड़ियों के निर्माण को संभव बनाया जिन्हें जहाजों और लोगों की जेबों पर ले जाया जा सकता था।
+इस घटना ने परिशुद्ध यांत्रिक-घड़ी और घड़ियों के निर्माण को संभव बनाया जिन्हें जहाजों और लोगों की पॉकेट पर ले जाया जा सकता था।
 === गुरुत्व मुक्त स्थान में घूर्णन ===
-यदि द्रव्यमान {{mvar|m}} बल स्थिरांक वाले स्प्रिंग से जुड़े थे {{mvar|k}} और मुक्त स्थान में घूमते हुए, स्प्रिंग प्रतिबल ({{math|''F''<sub>t</sub>}}) आवश्यक केन्द्रापसारक बल की आपूर्ति करेगा ({{math|''F''<sub>c</sub>}}):
+यदि द्रव्यमान m एक वसंत से जुड़ा होता है जिसमें निरंतर k बल होता है और मुक्त स्थान में घूमता है, तो स्प्रिंग प्रतिबल (''F''<sub>t</sub>) आवश्यक अभिकेन्द्र बल (''F''<sub>C</sub>) की आपूर्ति करेगा:
 <math display="block">F_\mathrm{t} = kx\,; \qquad F_\mathrm{c} = m \omega^2 r</math>
-तब से {{math|1=''F''<sub>t</sub> = ''F''<sub>c</sub>}} और {{math|1=''x'' = ''r''}}, तब:
+तब से {{math|1=''F''<sub>t</sub> = ''F''<sub>c</sub>}} और {{math|1=''x'' = ''r''}} तब:
 <math display="block">k = m \omega^2</math>
-मान लें कि {{math|1=''ω'' = 2π''f''}}, यह उपरोक्त के समान आवृत्ति समीकरण की ओर जाता है:
+दिया गया है कि {{math|1=''ω'' = 2π''f''}}  यह उपरोक्त के समान आवृत्ति समीकरण की ओर जाता है:
 <math display="block">f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt\frac{k}{m}</math>
-== निरंतर मीडिया के लिए रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत ==
+== निरंतर माध्यम के लिए रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत '''EDIT''' ==
 {{See also|Elasticity tensor}}
 {{Einstein_summation_convention}}
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 दाईं ओर पहला शब्द स्थिर प्रदिश है, जिसे वॉल्यूमेट्रिक स्ट्रेन प्रदिश के रूप में भी जाना जाता है, और दूसरा शब्द ट्रैसलेस सिमेट्रिक प्रदिश है, जिसे डेविएटोरिक स्ट्रेन प्रदिश या [[कतरनी टेंसर|अपरूपण प्रदिश]] के रूप में भी जाना जाता है।
-आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का सबसे सामान्य रूप अब इन दो टेंसरों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
+आइसोटोपिक पदार्थों के लिए हुक के नियम का सबसे सामान्य रूप अब इन दो प्रदिशो के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
 <math display="block"> \sigma_{ij}=3K\left(\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)
   +2G\left(\varepsilon_{ij}-\tfrac{1}{3}\varepsilon_{kk}\delta_{ij}\right)\,; \qquad
@@ Line 182: / Line 191: @@
 उलटा संबंध है<ref name=Milton02>{{cite book |last=Milton |first=Graeme W. |year=2002 |title=कंपोजिट का सिद्धांत|publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521781251 |series=Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics }}</ref>
 <math display="block"> \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2\mu}\boldsymbol{\sigma} - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} = \frac{1}{2G} \boldsymbol{\sigma} + \left(\frac{1}{9K} - \frac{1}{6G}\right)\operatorname{tr}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} </math>
-इसलिए, संबंध में अनुपालन प्रदिश {{math|1='''ε''' = '''s''' : '''σ'''}} है
+इसलिए, संबंध में अनुवृत्ति प्रदिश {{math|1='''ε''' = '''s''' : '''σ'''}} है
 <math display="block"> \mathsf{s} = - \frac{\lambda}{2\mu(3\lambda+2\mu)}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \frac{1}{2\mu}\mathsf{I}
   = \left(\frac{1}{9K} - \frac{1}{6G}\right)\mathbf{I}\otimes\mathbf{I} + \frac{1}{2G}\mathsf{I} </math>
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 === अनिसोट्रोपिक पदार्थ ===
-प्रतिबल की समरूपता (भौतिकी) ({{math|1=''σ<sub>ij</sub>'' = ''σ<sub>ji</sub>''}}) और सामान्यीकृत हुक के नियम ({{math|1=''σ<sub>ij</sub>'' = ''c<sub>ijkl</sub>ε<sub>kl</sub>''}}) इसका आशय है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>jikl</sub>''}}. इसी प्रकार, [[अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत|अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत]] की समरूपता का तात्पर्य है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>ijlk</sub>''}}. इन समरूपताओं को कठोरता प्रदिश c की छोटी समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 81 से घटाकर 36 कर देता है।
+प्रतिबल की समरूपता (भौतिकी) ({{math|1=''σ<sub>ij</sub>'' = ''σ<sub>ji</sub>''}}) और सामान्यीकृत हुक के नियम ({{math|1=''σ<sub>ij</sub>'' = ''c<sub>ijkl</sub>ε<sub>kl</sub>''}}) इसका आशय है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>jikl</sub>''}}. इसी प्रकार, [[अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत|अतिसूक्ष्म प्रतिबल सिद्धांत]] की समरूपता का तात्पर्य है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>ijlk</sub>''}}. इन समरूपताओं को संदृढता प्रदिश c की छोटी समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 81 से घटाकर 36 कर देता है।
 यदि इसके अतिरिक्त, चूंकि विस्थापन प्रवणता और कौशी प्रतिबल कार्य संयुग्मी हैं, तो प्रतिबल-प्रतिबल संबंध एक विकृति ऊर्जा घनत्व क्रियात्मक (कार्यात्मक) से प्राप्त किया जा सकता है।{{mvar|U}}), तब
 <math display="block"> \sigma_{ij} = \frac{\partial U}{\partial \varepsilon_{ij}} \quad \implies \quad
 c_{ijkl} = \frac{\partial^2 U}{\partial \varepsilon_{ij}\partial \varepsilon_{kl}}\,. </math>
-विभेदीकरण के क्रम की एकपक्षीय का तात्पर्य है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>klij</sub>''}}. इन्हें कठोरता प्रदिश की प्रमुख समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 36 से घटाकर 21 कर देता है। प्रमुख और छोटी समरूपता दर्शाती है कि कठोरता प्रदिश में केवल 21 स्वतंत्र घटक हैं।
+विभेदीकरण के क्रम की एकपक्षीय का तात्पर्य है {{math|1=''c<sub>ijkl</sub>'' = ''c<sub>klij</sub>''}}. इन्हें संदृढता प्रदिश की प्रमुख समरूपता कहा जाता है। यह प्रत्यास्थ स्थिरांक की संख्या को 36 से घटाकर 21 कर देता है। प्रमुख और छोटी समरूपता दर्शाती है कि संदृढता प्रदिश में केवल 21 स्वतंत्र घटक हैं।
-==== आव्यूह प्रतिनिधित्व (कठोरता प्रदिश) ====
+==== आव्यूह प्रतिनिधित्व (संदृढता प्रदिश) ====
-आव्यूह संकेतन में हुक के नियम के अनिसोट्रोपिक रूप को व्यक्त करना प्रायः उपयोगी होता है, जिसे [[वायगट नोटेशन|वायगट संकेतन]] भी कहा जाता है। ऐसा करने के लिए हम प्रतिबल और विकृति प्रदिश की समरूपता का लाभ उठाते हैं और उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट प्रणाली में छह-आयामी वैक्टर के रूप में व्यक्त करते हैं ({{math|'''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>,'''e'''<sub>3</sub>}}) जैसा
+आव्यूह संकेतन में हुक के नियम के अनिसोट्रोपिक रूप को व्यक्त करना प्रायः उपयोगी होता है, जिसे [[वायगट नोटेशन|वायगट संकेतन]] भी कहा जाता है। ऐसा करने के लिए हम प्रतिबल और विकृति प्रदिश की समरूपता का लाभ उठाते हैं और उन्हें ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट प्रणाली में छह-आयामी सदिश के रूप में व्यक्त करते हैं ({{math|'''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>,'''e'''<sub>3</sub>}}) जैसा
 <math display="block">
   [\boldsymbol{\sigma}] \,=\, \begin{bmatrix}\sigma_{11}\\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} \,\equiv\,
@@ Line 340: / Line 349: @@
 \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix}
   </math>
-फिर कठोरता प्रदिश (सी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+फिर संदृढता प्रदिश (सी) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block">
   [\mathsf{c}] \,=\, \begin{bmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1131} & c_{1112} \\
@@ Line 358: / Line 367: @@
 और हुक का नियम इस प्रकार लिखा जाता है
 <math display="block"> [\boldsymbol{\sigma}] = [\mathsf{C}][\boldsymbol{\varepsilon}] \qquad \text{or} \qquad \sigma_i = C_{ij} \varepsilon_j \,. </math>
-इसी प्रकार अनुपालन प्रदिश (ओं) को इस रूप में लिखा जा सकता है
+इसी प्रकार अनुवृत्ति प्रदिश (ओं) को इस रूप में लिखा जा सकता है
 <math display="block">
   [\mathsf{s}] \,=\, \begin{bmatrix}
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 ==== समन्वय प्रणाली का परिवर्तन ====
-यदि एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ को एक संदर्भ विन्यास से दूसरे में घुमाया जाता है, तो पदार्थ रोटेशन के संबंध में सममित होती है यदि घुमाए गए विन्यास में कठोरता प्रदिश के घटक संबंध द्वारा संदर्भ विन्यास में घटकों से संबंधित होते हैं<ref name=Slaughter>{{cite book |last=Slaughter |first=William S. |year=2001 |title=लोच का रैखिक सिद्धांत|publisher=Birkhäuser |isbn= 978-0817641177 }}</ref>
+यदि एक रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ को एक संदर्भ विन्यास से दूसरे में घुमाया जाता है, तो पदार्थ रोटेशन के संबंध में सममित होती है यदि घुमाए गए विन्यास में संदृढता प्रदिश के घटक संबंध द्वारा संदर्भ विन्यास में घटकों से संबंधित होते हैं<ref name=Slaughter>{{cite book |last=Slaughter |first=William S. |year=2001 |title=लोच का रैखिक सिद्धांत|publisher=Birkhäuser |isbn= 978-0817641177 }}</ref>
 <math display="block"> c_{pqrs} = l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl} </math>
 जहां {{mvar|l<sub>ab</sub>}} एक [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] के घटक हैं {{math|[''L'']}}. यही संबंध व्युत्क्रमों के लिए भी है।
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 ==== ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ ====
 {{Main|Orthotropic material}}
-[[ऑर्थोट्रोपिक सामग्री|ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ]] में समरूपता के तीन [[ ओर्थोगोनल ]] प्लेन होते हैं। यदि आधार वैक्टर ({{math|'''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>,'''e'''<sub>3</sub>}}) समरूपता के विमानों के लिए सामान्य हैं तो समन्वय परिवर्तन संबंध इसका मतलब है
+[[ऑर्थोट्रोपिक सामग्री|ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ]] में समरूपता के तीन [[ ओर्थोगोनल ]] प्लेन होते हैं। यदि आधार सदिश ({{math|'''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>,'''e'''<sub>3</sub>}}) समरूपता के विमानों के लिए सामान्य हैं तो समन्वय परिवर्तन संबंध इसका मतलब है
 <math display="block">
 \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} \,=\,
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 जहां {{mvar|δU}} [[आंतरिक ऊर्जा]] में वृद्धि है और {{mvar|δW}} बाह्य बलों द्वारा किया गया कार्य (भौतिकी) है। कार्य को दो शब्दों में विभाजित किया जा सकता है
 <math display="block"> \delta W = \delta W_\mathrm{s} + \delta W_\mathrm{b} </math>
-जहां {{math|''δW''<sub>s</sub>}} पृष्ठीय बलों द्वारा किया गया कार्य है जबकि {{math|''δW''<sub>b</sub>}} [[शरीर बल|पिंड बल]]ों द्वारा किया गया कार्य है। अगर {{math|''δ'''''u'''}} विस्थापन क्षेत्र की विविधताओं का एक कलन है {{math|'''u'''}} पिंड में, तो दो बाहरी कार्य शर्तों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+जहां {{math|''δW''<sub>s</sub>}} पृष्ठीय बलों द्वारा किया गया कार्य है जबकि {{math|''δW''<sub>b</sub>}} [[शरीर बल|पिंड बल]]ों द्वारा किया गया कार्य है। यदि {{math|''δ'''''u'''}} विस्थापन क्षेत्र की विविधताओं का एक कलन है {{math|'''u'''}} पिंड में, तो दो बाहरी कार्य शर्तों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block"> \delta W_\mathrm{s} = \int_{\partial\Omega} \mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}\,dS \,; \qquad \delta W_\mathrm{b} = \int_{\Omega} \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\,dV </math>
 जहां {{math|'''t'''}} सतही प्रतिबल (यांत्रिकी) सदिश है, {{math|'''b'''}} बॉडी फोर्स सदिश है, {{mvar|Ω}} पिंड का प्रतिनिधित्व करता है और {{math|∂''Ω''}} इसकी सतह का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतिबल (यांत्रिकी) और सतह कर्षण के बीच संबंध का उपयोग करना, {{math|1='''t''' = '''n''' · '''σ'''}} (जहां {{math|'''n'''}} से बाहर की ओर सामान्य इकाई है {{math|∂''Ω''}}), अपने पास
@@ Line 503: / Line 512: @@
 और इसलिए आंतरिक ऊर्जा घनत्व में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है
 <math display="block"> \delta U_0 = \boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,. </math>
-एक प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ को एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कुल आंतरिक ऊर्जा आंतरिक बलों की संभावित ऊर्जा के बराबर होती है (जिसे प्रत्यास्थ प्रतिबल ऊर्जा भी कहा जाता है)। इसलिए, आंतरिक ऊर्जा घनत्व उपभेदों का एक कार्य है, {{math|1=''U''<sub>0</sub> = ''U''<sub>0</sub>('''ε''')}} और आंतरिक ऊर्जा की भिन्नता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+एक प्रत्यास्थ (भौतिकी) पदार्थ को एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कुल आंतरिक ऊर्जा आंतरिक बलों की स्थैतिज ऊर्जा के बराबर होती है (जिसे प्रत्यास्थ प्रतिबल ऊर्जा भी कहा जाता है)। इसलिए, आंतरिक ऊर्जा घनत्व उपभेदों का एक कार्य है, {{math|1=''U''<sub>0</sub> = ''U''<sub>0</sub>('''ε''')}} और आंतरिक ऊर्जा की भिन्नता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 <math display="block"> \delta U_0 = \frac{\partial U_0}{\partial\boldsymbol{\varepsilon}}:\delta\boldsymbol{\varepsilon} \,. </math>
 चूंकि प्रतिबल की भिन्नता मनमाना है, एक प्रत्यास्थ पदार्थ का प्रतिबल-प्रतिबल संबंध किसके द्वारा दिया जाता है
@@ Line 513: / Line 522: @@
 इंडेक्स संकेतन में
 <math display="block"> \frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial\varepsilon_{kl}} = \text{constant} = c_{ijkl} \,. </math>
-दाहिनी ओर के स्थिरांक के लिए चार सूचकों की आवश्यकता होती है और यह चौथी कोटि की मात्रा है। हम यह भी देख सकते हैं कि यह मात्रा एक प्रदिश होनी चाहिए क्योंकि यह एक रैखिक परिवर्तन है जो प्रतिबल प्रदिश को प्रतिबल प्रदिश में ले जाता है। हम यह भी दिखा सकते हैं कि स्थिरांक चौथे क्रम के टेंसरों के लिए प्रदिश रूपांतरण नियमों का अनुसरण करता है।
+दाहिनी ओर के स्थिरांक के लिए चार सूचकों की आवश्यकता होती है और यह चौथी कोटि की मात्रा है। हम यह भी देख सकते हैं कि यह मात्रा एक प्रदिश होनी चाहिए क्योंकि यह एक रैखिक परिवर्तन है जो प्रतिबल प्रदिश को प्रतिबल प्रदिश में ले जाता है। हम यह भी दिखा सकते हैं कि स्थिरांक चौथे क्रम के प्रदिशो के लिए प्रदिश रूपांतरण नियमों का अनुसरण करता है।
 == यह भी देखें ==

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हुक का नियम: Difference between revisions

Revision as of 21:44, 14 May 2023

औपचारिक परिभाषा

रैखिक स्प्रिंग्स के लिए

सामान्य अदिश स्प्रिंग्स

सदिश सूत्रीकरण

सामान्य प्रदिश समघात

सतत माध्यम के लिए हुक का नियम

समवृत्तिक नियम

माप की इकाइयाँ

प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए सामान्य अनुप्रयोग

व्युत्पन्न सूत्र

एक समान छड़ का तनाव प्रतिबल

स्प्रिंग ऊर्जा

विश्रांत बल स्थिरांक (सामान्यीकृतअनुवृत्ति स्थिरांक)

सरल आवर्ती दोलक

गुरुत्व मुक्त स्थान में घूर्णन

निरंतर माध्यम के लिए रैखिक प्रत्यास्थ सिद्धांत EDIT

आइसोट्रोपिक पदार्थ

विमान प्रतिबल

प्लेन स्ट्रेन

अनिसोट्रोपिक पदार्थ

आव्यूह प्रतिनिधित्व (संदृढता प्रदिश)

समन्वय प्रणाली का परिवर्तन

ऑर्थोट्रोपिक पदार्थ

अनुप्रस्थ आइसोट्रोपिक पदार्थ

यूनिवर्सल इलास्टिक अनिसोट्रॉपी इंडेक्स

थर्मोडायनामिक आधार

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

बाहरी संबंध

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