सममित फलन वलय: Difference between revisions

Revision as of 10:01, 16 May 2023

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह S_n के अंगूठी स्वत:आकारिता द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X₁, ..., X_n,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं

X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,

और

X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,

कुछ और जटिल उदाहरण हैX₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक तीसरी घात योग बहुपद p₃ के लिए न्यूटन की तत्समक ओर जाता है

p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(X₁,...,X_n) = 0 जब भी n < k. कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व e_k होते हैं सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और अंगूठी के किसी भी तत्व को तत्वों e_k में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है।

परिभाषाएँ

सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे Λ_R के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल अवस्था R = 'Z' के लिए है। अंगूठी Λ_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में

सबसे सरल (चूंकि कुछ सीमा तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला की अंगूठी से प्रारंभ होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस शक्ति श्रृंखला अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ_R को परिभाषित करता है इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X₁ शब्द होता है X_i शब्द भी होना चाहिए सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, उपअंगूठी Λ_R एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ_R का प्रत्येक तत्व Λ_R के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ Λ_R k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का �

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 #S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
 #S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।
-ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X<sub>1</sub> शब्द होता है X<sub>''i''</sub> शब्द भी होना चाहिए सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ<sub>''R''</sub> एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ<sub>''R''</sub> का प्रत्येक तत्व Λ<sub>''R''</sub> के [[सजातीय बहुपद]] तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e<sub>''k''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।
+ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X<sub>1</sub> शब्द होता है X<sub>''i''</sub> शब्द भी होना चाहिए सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, उपअंगूठी Λ<sub>''R''</sub> एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ<sub>''R''</sub> का प्रत्येक तत्व Λ<sub>''R''</sub> के [[सजातीय बहुपद]] तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e<sub>''k''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।
 ==== बीजगणितीय सीमा के रूप में ====
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 * Λ<sub>''R''</sub> का उपअंगूठी n चर में R पर सममित बहुपदों की अंगूठी के लिए अधिकतम n में डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न समरूप है;
 * Λ<sub>''R''</sub> की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला है <math>\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}</math>, विभाजन (संख्या सिद्धांत)  पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है);
-* प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ<sub>''R''</sub> के सजातीय भाग द्वारा गठित R-मॉड्यूल डिग्री n की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का [[मुफ्त मॉड्यूल]] है, और (की छवि) e<sub>''n''</sub> इस R-मॉड्यूल का जनरेटर है;
+* प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ<sub>''R''</sub> के सजातीय भाग द्वारा गठित R-मॉड्यूल डिग्री n की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न उपअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का [[मुफ्त मॉड्यूल]] है, और (की छवि) e<sub>''n''</sub> इस R-मॉड्यूल का उत्पादक है;
-* सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (F<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> जिसमें F<sub>''i''</sub> डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का जनरेटर देता है, ''R''[''Y''<sub>1</sub>,''Y''<sub>2</sub>, ...] से श्रेणीबद्ध आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है ऊपर के रूप में Λ<sub>''R''</sub> Y<sub>''i''</sub> भेजता है F<sub>''i''</sub> के लिए; दूसरे शब्दों में, परिवार (f<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> Λ<sub>''R''</sub> के मुक्त बहुपद जनरेटर का सेट बनाता है।
+* सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (F<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> जिसमें F<sub>''i''</sub> डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का उत्पादक देता है, ''R''[''Y''<sub>1</sub>,''Y''<sub>2</sub>, ...] से श्रेणीबद्ध आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है ऊपर के रूप में Λ<sub>''R''</sub> Y<sub>''i''</sub> भेजता है F<sub>''i''</sub> के लिए; दूसरे शब्दों में, परिवार (f<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> Λ<sub>''R''</sub> के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाता है।
-यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है  पूर्ण सजातीय सममित कार्यों की (h<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> ।यदि R में क्षेत्र है (गणित)<math>\mathbb Q</math> परिमेय संख्याओं के संबंध में, यह परिवार पर भी लागू होता है (''p<sub>i</sub>'')<sub>''i''>0</sub> शक्ति योग सममित कार्यों की। यह बताता है कि इन परिवारों में से प्रत्येक के पहले n तत्व सममित बहुपदों के सेट को n चर में परिभाषित करते हैं जो सममित बहुपदों की उस अंगूठी के मुक्त बहुपद जनरेटर हैं।
+यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है  पूर्ण सजातीय सममित कार्यों की (h<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> ।यदि R में क्षेत्र है (गणित)<math>\mathbb Q</math> परिमेय संख्याओं के संबंध में, यह परिवार पर भी लागू होता है (''p<sub>i</sub>'')<sub>''i''>0</sub> शक्ति योग सममित कार्यों की। यह बताता है कि इन परिवारों में से प्रत्येक के पहले n तत्व सममित बहुपदों के सेट को n चर में परिभाषित करते हैं जो सममित बहुपदों की उस अंगूठी के मुक्त बहुपद उत्पादक हैं।
-तथ्य यह है कि पूर्ण सजातीय सममित कार्य Λ<sub>''R''</sub> के मुक्त बहुपद जनरेटर का सेट बनाते हैं पहले से ही स्वत:आकारिता के अस्तित्व को दर्शाता है ω प्राथमिक सममित कार्यों को पूर्ण सजातीय कार्यों में भेज रहा है, जैसा कि संपत्ति 3 में उल्लिखित है। तथ्य यह है कि ω Λ<sub>''R''</sub> का अंतर्वलन है ऊपर दिए गए संबंधों के पहले सेट द्वारा व्यक्त प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता से अनुसरण करता है।
+तथ्य यह है कि पूर्ण सजातीय सममित कार्य Λ<sub>''R''</sub> के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाते हैं पहले से ही स्वत:आकारिता के अस्तित्व को दर्शाता है ω प्राथमिक सममित कार्यों को पूर्ण सजातीय कार्यों में भेज रहा है, जैसा कि संपत्ति 3 में उल्लिखित है। तथ्य यह है कि ω Λ<sub>''R''</sub> का अंतर्वलन है ऊपर दिए गए संबंधों के पहले सेट द्वारा व्यक्त प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता से अनुसरण करता है।
-सममित कार्यों की अंगूठी Λ<sub>'''Z'''</sub> पूर्णांक Z का ऍक्स्प वलय है। यह Λ-अंगूठी  भी प्राकृतिक फैशन में है; वास्तव में यह जनरेटर में सार्वभौमिक लैम्ब्डा-अंगूठी है।
+सममित कार्यों की अंगूठी Λ<sub>'''Z'''</sub> पूर्णांक Z का ऍक्स्प वलय है। यह प्राकृतिक अंदाज में लैम्ब्डा-अंगूठी  भी है; वास्तव में यह एक उत्पादक में सार्वभौमिक लैम्ब्डा-अंगूठी है।
 === निर्माण कार्य ===
-Λ की पहली परिभाषा<sub>''R''</sub> के सबअंगूठी के रूप में <math>R[[X_1, X_2, ...]]</math> सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ के लिए आंतरिक हैं<sub>''R''</sub>, इन भावों में RX में संक्रियाएँ सम्मलित हैं<sub>1</sub>,एक्स<sub>2</sub>,...;t किन्तु इसके उपसमूह Λ के बाहर<sub>''R''</sub>t, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित X में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है<sub>''i''</sub>. हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (एक्स) लिखेंगे।
+Λ<sub>''R''</sub> की पहली परिभाषा के उपअंगूठी के रूप में <math>R[[X_1, X_2, ...]]</math> सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ<sub>''R''</sub> के लिए आंतरिक हैं, इन भावों में ''R''[[''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>2</sub>,...;''t'']] में संक्रियाएँ सम्मलित हैं किन्तु इसके उपसमूह Λ<sub>''R''</sub>t के बाहर, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित X<sub>''i''</sub> में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है। हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (X) लिखेंगे।
-प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फलन है
+प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए उत्पादक फलन है
 :<math>E(t) = \sum_{k \geq 0} e_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty (1+X_it).</math>
 इसी प्रकार किसी के पास पूर्ण सजातीय सममित कार्य हैं
 :<math>H(t) = \sum_{k \geq 0} h_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{k \geq 0} (X_it)^k\right) = \prod_{i=1}^\infty \frac1{1-X_it}.</math>
 स्पष्ट तथ्य यह है कि <math>E(-t)H(t) = 1 = E(t)H(-t)</math> प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता की व्याख्या करता है।
-शक्ति योग सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+शक्ति योग सममित कार्यों के लिए उत्पादक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>P(t) = \sum_{k>0} p_k(X)t^k = \sum_{k>0}\sum_{i=1}^\infty (X_it)^k = \sum_{i=1}^\infty\frac{X_it}{1-X_it} = \frac{tE'(-t)}{E(-t)} = \frac{tH'(t)}{H(t)}</math>
-((मैकडॉनल्ड, 1979) पी(टी) को Σ के रूप में परिभाषित करता है<sub>''k''>0</sub>पी<sub>''k''</sub>(एक्स) टी<sup>k−1</sup>, और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है)। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज सम्मलित हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है
+((मैकडॉनल्ड, 1979) पी(टी) को Σ के रूप में परिभाषित करता है<sub>''k''>0</sub>पी<sub>''k''</sub>(X) टी<sup>k−1</sup>, और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है)। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज सम्मलित हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है
 :<math>P(t) = -t\frac d{dt}\log(E(-t)) = t\frac d{dt}\log(H(t)),</math>
 जिसकी मात्रा समान है, किन्तु इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, जिससे निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक परिभाषित किया जा सके (द्वारा <math>\textstyle\log(1-tS) = -\sum_{i>0} \frac1i(tS)^i</math>).

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सममित बहुपद

सममित कार्यों की अंगूठी

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औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में