सममित फलन वलय: Difference between revisions

Revision as of 09:44, 16 May 2023

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह S_n के अंगूठी ऑटोआकारिता द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X₁, ..., X_n,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं

X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,

X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,

और

X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,

कुछ और जटिल उदाहरण हैX₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक तीसरी घात योग बहुपद p₃ के लिए न्यूटन की तत्समक ओर जाता है

p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(X₁,...,X_n) = 0 जब भी n < k. कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व e_k होते हैं सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और अंगूठी के किसी भी तत्व को तत्वों e_k में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है।

परिभाषाएँ

सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे Λ_R के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल अवस्था R = 'Z' के लिए है। अंगूठी Λ_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में

सबसे सरल (चूंकि कुछ सीमा तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला की अंगूठी से प्रारंभ होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस शक्ति श्रृंखला अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ_R को परिभाषित करता है इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X₁ शब्द होता है X_i शब्द भी होना चाहिए सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, सबअंगूठी Λ_R एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ_R का प्रत्येक तत्व Λ_R के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ Λ_R k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में

Λ_R का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R[X₁,...,X_n]^S_n के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है। अनिश्चित में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए विशेषण वलय समरूपता ρ_n है समरूप वलय R[X₁,...,X_n₊₁]^S_n+1 पर और अनिश्चित के साथ R[X₁,...,X_n]^S_n, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके X_n₊₁से 0 परिभाषित किया गया है । चूंकि ρ_n गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है $n+1$ (वे X के गुणक हैं X₁X₂...X_n₊₁) । इसका मतलब है कि ρ_n का प्रतिबंध अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρ_n(e_k(X₁,...,X_n₊₁)) = e_k(X₁,...,X_n) for all k ≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ_n तक बढ़ाया जा सकता है R[X₁,...,X_n]^S_n से R[X₁,...,X_n₊₁]^S_n+1, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ_n(e_k(X₁,...,X_n)) = e_k(X₁,...,X_n₊₁) , k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ_n पर अन्तःक्षेपण बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे अंगूठी के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ_n लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। अंगूठी Λ_R तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φ_n सम्मलित अंगूठी की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ_R वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ_n का उपयोग करता है अन्तःक्षेपण रूपवाद φ_n का उल्लेख किए बिना। यह Λ_R के सजातीय घटकों का निर्माण करता है अलग से, एक और ρ_n का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को अंगूठी संरचना से तैयार करता है। यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत अंगूठियो की श्रेणी (गणित) में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। चूंकि यह विवरण कुछ सीमा तक इंजेक्शन आकारिता की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में eमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी R[X₁,...,X_d]^S_d यह d के लिए सममित फलन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को समरूप रूप से मैप किया जाता है, जो कि φn द्वारा अधिक अनिश्चित होता है। सभी के लिए n≥ d। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना

Λ_R के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए e₁ सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। चूँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट)

Λ के तत्व (Λ_n के तत्वों के विपरीत) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।

(यहाँ Λ_n एन अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

सममित फलन को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है

e 2 equals sigma summation Underscript i less than j Endscripts upper X Subscript i Baseline upper X Subscript j

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 [[बीजगणित]] में और विशेष रूप से [[बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स|बीजगणितीय साहचर्य]] में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में [[सममित बहुपद]] की [[अंगूठी (गणित)]] की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या ''n'' से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
-सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और [[द्विरेखीय रूप]] दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।
+सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और [[द्विरेखीय रूप]] दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।
 == सममित बहुपद ==
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 Λ के महत्वपूर्ण गुण<sub>''R''</sub> निम्नलिखित को सम्मलित कीजिए।
-# विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता है<sub>''R''</sub> ग्रेडेड आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फलन के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)।
+# विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता है<sub>''R''</sub> श्रेणीबद्ध आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फलन के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)।
-# Λ<sub>''R''</sub> बहुपद वलय R [Y के लिए ग्रेडेड R-बीजगणित के रूप में [[समरूपी]] है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y<sub>''i''</sub> सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y भेजता है<sub>''i''</sub> तब<sub>''i''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> प्रत्येक i के लिए।
+# Λ<sub>''R''</sub> बहुपद वलय R [Y के लिए श्रेणीबद्ध R-बीजगणित के रूप में [[समरूपी]] है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y<sub>''i''</sub> सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y भेजता है<sub>''i''</sub> तब<sub>''i''</sub>∈ Λ<sub>''R''</sub> प्रत्येक i के लिए।
 # Λ का इनवॉल्यूशन (गणित) [[ automorphism |automorphism]] ω है<sub>''R''</sub> जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है e<sub>''i''</sub> और पूर्ण सजातीय सममित फलन h<sub>''i''</sub> सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फलन पी भी भेजता है<sub>''i''</sub> से (−1)<sup>i−1</sup>प<sub>''i''</sub>, और यह S को इंटरचेंज करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है<sub>λ</sub> और S<sub>λ<sup>t</sup></sub> जहां Λ<sup>t</sup> λ का स्थानान्तरण विभाजन है।
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 * Λ की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला<sub>''R''</sub> है <math>\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}</math>, विभाजन (संख्या सिद्धांत) # पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है);
 * प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ के सजातीय भाग द्वारा गठित आर-मॉड्यूल<sub>''R''</sub> डिग्री एन की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का [[मुफ्त मॉड्यूल]] है, और (की छवि) e<sub>''n''</sub> इस आर-मॉड्यूल का जनरेटर है;
-* सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (एफ<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> जिसमें एफ<sub>''i''</sub> डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का जनरेटर देता है, आर[वाई से ग्रेडेड आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] ऊपर के रूप में Λ<sub>''R''</sub> वाई भेजता है<sub>''i''</sub> एफ के लिए<sub>''i''</sub>; दूसरे शब्दों में, परिवार (f<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> Λ के मुक्त बहुपद जनरेटर का सेट बनाता है<sub>''R''</sub>.
+* सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (एफ<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> जिसमें एफ<sub>''i''</sub> डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का जनरेटर देता है, आर[वाई से श्रेणीबद्ध आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है<sub>1</sub>,और<sub>2</sub>, ...] ऊपर के रूप में Λ<sub>''R''</sub> वाई भेजता है<sub>''i''</sub> एफ के लिए<sub>''i''</sub>; दूसरे शब्दों में, परिवार (f<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> Λ के मुक्त बहुपद जनरेटर का सेट बनाता है<sub>''R''</sub>.
 यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है (h<sub>''i''</sub>)<sub>''i''>0</sub> पूर्ण सजातीय सममित कार्यों की।

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