समाधेय समूह: Difference between revisions
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=== एबेलियन समूह === | === एबेलियन समूह === | ||
हल करने योग्य समूहों का मूल उदाहरण एबेलियन समूह है। वे तुच्छ रूप से हल करने योग्य है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा ही बनाई जाती है। लेकिन गैर-अबेलियन समूह हल करने योग्य हो भी सकते है और नहीं | हल करने योग्य समूहों का मूल उदाहरण एबेलियन समूह है। वे तुच्छ रूप से हल करने योग्य है क्योंकि एक असामान्य श्रृंखला केवल समूह और तुच्छ समूह द्वारा ही बनाई जाती है। लेकिन गैर-अबेलियन समूह हल करने योग्य हो भी सकते है और नहीं भी हो सकते है। | ||
=== [[निलपोटेंट समूह]] === | === [[निलपोटेंट समूह]] === | ||
अधिक | अधिक सामान्यतः, सभी नीलपोटेंट समूह हल करने योग्य होते है। विशेष रूप से, परिमित पी-समूह हल करने योग्य है, क्योंकि सभी परिमित पी-समूह शून्य होते है। | ||
==== चतुष्कोण समूह ==== | ==== चतुष्कोण समूह ==== | ||
विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] | विशेष रूप से, [[चतुर्धातुक समूह]] विस्तार द्वारा दिया गया एक हल करने योग्य समूह है | ||
<math>1 \to \mathbb{Z}/2 \to Q \to \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \to 1</math> | |||
जहां कर्नेल <math>\mathbb{Z}/2</math> द्वारा उत्पन्न उपसमूह है <math>-1</math>. | |||
=== समूह प्रसार === | === समूह प्रसार === | ||
समूह प्रसार हल करने योग्य समूहों के | समूह प्रसार हल करने योग्य समूहों के आद्य उदाहरण बनाते है। अर्थात यदि <math>G</math> और <math>G'</math> हल करने योग्य समूह है, तो कोई प्रसार | ||
<math>1 \to G \to G'' \to G' \to 1</math> | |||
एक हल करने योग्य समूह को परिभाषित करता है <math>G''</math>. वास्तव में, ऐसे समूह विस्तार से सभी हल करने योग्य समूह बनाए जाते है। | |||
=== | === नॉनबेलियन समूह जो गैर-शून्य है === | ||
एक हल करने योग्य, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] एस | एक हल करने योग्य, गैर-शून्य समूह का एक छोटा सा उदाहरण [[सममित समूह]] एस<sub>3</sub> होता है। वास्तव में, सबसे छोटा साधारण गैर-आबेली समूह A<sub>5</sub> होता है, (डिग्री 5 का [[वैकल्पिक समूह]]) यह इस प्रकार है कि 60 से कम क्रम वाले प्रत्येक समूह को हल किया जा सकता है। | ||
=== विषम क्रम के परिमित समूह === | === विषम क्रम के परिमित समूह === | ||
फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का है। | फीट-थॉम्पसन प्रमेय कहता है कि विषम क्रम का प्रत्येक परिमित समूह हल करने योग्य होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक परिमित समूह सरल होता है, तो यह या तो एक प्रधान चक्रीय या सम क्रम का होता है। | ||
=== गैर उदाहरण === | === गैर उदाहरण === | ||
समूह | समूह S<sub>5</sub> हल करने योग्य नहीं होते है - इसकी रचना श्रृंखला {E, A<sub>5</sub>, S<sub>5</sub>} है (और जॉर्डन-होल्डर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अन्य रचना श्रृंखला उसी के बराबर है), कारक समूहों को A<sub>5</sub> और C<sub>2</sub> के लिए समरूपता देता है, और A<sub>5</sub> एबेलियन नहीं है। इस तर्क का सामान्यीकरण करते हुए, इस तथ्य के साथ मिलकर कि A<sub>''n''</sub>, n> 4 के लिए S<sub>''n''</sub> का एक सामान्य, अधिकतम, गैर-अबेलियन सरल उपसमूह है, हम देखते है कि S<sub>''n''</sub> n> 4 के लिए हल करने योग्य नहीं है। यह प्रमाण एक महत्वपूर्ण कदम है कि प्रत्येक n > 4 में डिग्री n के [[बहुपद]] होते है जो कण (एबेल-रफिनी प्रमेय) द्वारा हल नहीं जाता है। इस गुण का उपयोग बैरिंगटन के प्रमेय के प्रमाण में जटिलता सिद्धांत में भी किया जाता है। | ||
=== Gl<sub>2</sub> के उपसमूह === | |||
उपसमूहों पर विचार करें | |||
<math>B = \left\{ \begin{bmatrix} | |||
* & * \\ | * & * \\ | ||
0 & * | 0 & * | ||
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1 & * \\ | 1 & * \\ | ||
0 & 1 | 0 & 1 | ||
\end{bmatrix} \right\}</math> | \end{bmatrix} \right\}</math> | ||
<math>GL_2(\mathbb{F})</math>किसी क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{F}</math>. फिर, समूह भागफल <math>B/U</math> मनमानी तत्वों को ले कर पाया जा सकता है <math>B,U</math>, उन्हें एक साथ गुणा करता है, और पता लगता है कि यह क्या संरचना देता है। तो | |||
<math>\begin{bmatrix} | |||
a & b \\ | a & b \\ | ||
0 & c | 0 & c | ||
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\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2 | </math> | ||
निर्धारक स्थिति पर ध्यान दें <math>GL_2 | |||
</math> तात्पर्य <math>ac \neq 0 | </math> तात्पर्य <math>ac \neq 0 | ||
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</math>. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते है <math>B | </math>. चूँकि हम कोई भी आव्यूह ले सकते है <math>B | ||
</math> और इसे मैट्रिक्स | </math> और इसे मैट्रिक्स से गुणा करता है | ||
<math>\begin{bmatrix} | |||
1 & d \\ | 1 & d \\ | ||
0 & 1 | 0 & 1 | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math>के साथ <math>d = -b/a | </math> | ||
के साथ <math>d = -b/a | |||
</math>, हम एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते है <math>B | </math>, हम एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त कर सकते है <math>B | ||
| Line 121: | Line 141: | ||
a & b \\ | a & b \\ | ||
0 & c | 0 & c | ||
\end{bmatrix}</math></blockquote>तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह | \end{bmatrix}</math></blockquote>तत्व से मेल खाता है <math>(b) \times (a,c)</math> समूह में है। | ||
=== बोरेल उपसमूह === | === बोरेल उपसमूह === | ||
एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और हल करने योग्य है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, | एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए <math>G</math> इसके [[बोरेल उपसमूह]] को एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो बंद, जुड़ा हुआ और हल करने योग्य है <math>G</math>, और यह इन गुणों के साथ अधिकतम संभव उपसमूह है (ध्यान दें कि दूसरे दो सामयिक गुण है)। उदाहरण के लिए, <math>GL_n</math> और <math>SL_n</math> ऊपरी-त्रिकोणीय, या निचले-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह बोरेल उपसमूहों में से दो होते है। ऊपर दिया गया उदाहरण, उपसमूह <math>B</math> में <math>GL_2</math> बोरेल उपसमूह होता है। | ||
==== Gl<sub>3</sub> में बोरेल उपसमूह ==== | |||
<math>GL_3</math> उपसमूह है | |||
<math>B = \left\{ | |||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
* & * & * \\ | * & * & * \\ | ||
| Line 140: | Line 162: | ||
0 & 0 & 1 | 0 & 0 & 1 | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
\right\}</math>सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप<blockquote> | \right\}</math> | ||
सूचना <math>B/U_1 \cong \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times</math>, इसलिए बोरेल समूह का रूप है<blockquote> <math>U\rtimes | |||
(\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times) | (\mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times \times \mathbb{F}^\times) | ||
</math></ | </math></blockquote> | ||
==== साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह ==== | ==== साधारण रेखीय बीजगणितीय समूहों के गुणनफल में बोरेल उपसमूह ==== | ||
उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को | उत्पाद समूह में <math>GL_n \times GL_m</math> बोरेल उपसमूह को फॉर्म के मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया जा सकता है | ||
<math>\begin{bmatrix} | |||
T & 0 \\ | T & 0 \\ | ||
0 & S | 0 & S | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
जहाँ <math>T</math> एक <math>n\times n</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स और <math>S</math> एक <math>m\times m</math> ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। | |||
=== जेड-समूह === | === जेड-समूह === | ||
कोई भी परिमित समूह जिसका | कोई भी परिमित समूह जिसका पी-साइलो उपसमूह चक्रीय होता है, दो चक्रीय समूहों का एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] होता है, विशेष रूप से हल करने योग्य होता है। ऐसे समूहों को जेड-समूह कहा जाता है। | ||
== | == ओईआईएस मान == | ||
क्रम n के साथ हल करने योग्य समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें) | क्रम n के साथ हल करने योग्य समूहों की संख्या है (n = 0 से प्रारंभ करें) | ||
: 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... {{OEIS|id=A201733}} | : 0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15 , 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2 , 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... {{OEIS|id=A201733}} | ||
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== गुण == | == गुण == | ||
हल कई संचालनों के अनुसार बंद होता है। | |||
* यदि G हल करने योग्य है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H हल करने योग्य है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref> | * यदि G हल करने योग्य है, और H, G का एक उपसमूह है, तो H हल करने योग्य है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every subgroup H of a solvable group G is itself solvable|title=Theorem 5.15}}</ref> | ||
* यदि G हल करने योग्य है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H हल करने योग्य है | * यदि G हल करने योग्य है, और G आक्षेप H से एक [[समूह समरूपता]] है, तो H हल करने योग्य है, समकक्ष रूप से (समरूपता प्रमेय द्वारा), यदि G हल करने योग्य है, और एन G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G/n हल करने योग्य है।<ref>Rotman (1995), {{Google books|id=lYrsiaHSHKcC|page=102|text=Every quotient of a solvable group is solvable|title=Theorem 5.16}}</ref> | ||
* पिछली | * पिछली गुण को दो गुण विशेष रूप से, यदि G और H हल करने योग्य है, तो समूह G × H का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य है। | ||
हल समूह प्रसार के अनुसार बंद है: | |||
* यदि | * यदि H और G/H हल करने योग्य है, तो G भी हल करने योग्य है, विशेष रूप से, यदि n और H हल करने योग्य है, तो उनका अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद भी हल करने योग्य है। | ||
यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के | यह [[पुष्पांजलि उत्पाद]] के अनुसार भी बंद है: | ||
* यदि G और | * यदि G और H हल करने योग्य है, और x एक G-सेट है, तो x के संबंध में G और H का पुष्पांजलि उत्पाद भी हल करने योग्य है। | ||
किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के हल करने योग्य समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, | किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, अधिकांश N पर [[व्युत्पन्न लंबाई]] के हल करने योग्य समूह विभिन्न प्रकार के समूहों की एक [[विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित)|विविधता]] बनाते है, क्योंकि वे [[समरूपता]] छवियों, और समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद के अनुसार बंद होते है। असंबद्ध व्युत्पन्न लंबाई के साथ हल करने योग्य समूहों के अनुक्रम का प्रत्यक्ष उत्पाद हल करने योग्य नहीं होता है, इसलिए सभी हल करने योग्य समूहों का वर्ग विविधता नहीं होता है। | ||
== बर्नसाइड प्रमेय == | == बर्नसाइड प्रमेय == | ||
{{main| | {{main|बर्नसाइड प्रमेय}} | ||
बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G | |||
बर्नसाइड के प्रमेय में कहा गया है कि यदि G आदेश (समूह सिद्धांत) p का एक [[परिमित समूह]] है जहां p और q अभाज्य संख्याएं हैं, और a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, तो G हल करने योग्य है। | |||
== संबंधित अवधारणाएं == | == संबंधित अवधारणाएं == | ||
=== सुपरसोल्वेबल समूह === | === सुपरसोल्वेबल समूह === | ||
{{main| | {{main|सुपरसॉल्वेबल ग्रुप}} | ||
विलेयता के सुदृढ़ीकरण के रूप में, एक समूह G को 'सुपरहल करने योग्य समूह' (या 'सुपरहलबल') कहा जाता है, यदि इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते है। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, [[बेशुमार]] समूह सुपरहल करने योग्य समूह नहीं होते है। वास्तव में, सभी सुपरहल करने योग्य समूह समूह अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है, और एक एबेलियन समूह सुपरहल करने योग्य समूह है यदि और केवल यदि यह अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। वैकल्पिक समूह ए<sub>4</sub> एक परिमित हल करने योग्य समूह का एक उदाहरण है जो सुपरहल करने योग्य समूह नहीं है। | विलेयता के सुदृढ़ीकरण के रूप में, एक समूह G को 'सुपरहल करने योग्य समूह' (या 'सुपरहलबल') कहा जाता है, यदि इसमें एक अपरिवर्तनीय सामान्य श्रृंखला होती है जिसके कारक सभी चक्रीय होते है। चूँकि एक सामान्य श्रृंखला की परिभाषा के अनुसार परिमित लंबाई होती है, [[बेशुमार]] समूह सुपरहल करने योग्य समूह नहीं होते है। वास्तव में, सभी सुपरहल करने योग्य समूह समूह अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है, और एक एबेलियन समूह सुपरहल करने योग्य समूह है यदि और केवल यदि यह अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। वैकल्पिक समूह ए<sub>4</sub> एक परिमित हल करने योग्य समूह का एक उदाहरण है जो सुपरहल करने योग्य समूह नहीं है। | ||
Revision as of 07:56, 2 May 2023
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