सहवाद

सह-सीमावाद (W,M,N)

गणित में, सह-सीमावाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सह-सीमावाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सह-सीमावाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।

प्रसमष्‍टि M और N के बीच एक सह-सीमावाद एक सुसंहत प्रसमष्‍टि W है, जिसकी सीमा M और N का $\partial W=M\sqcup N$ असंयुक्‍त सम्मिलन है।

सह-सीमावाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और स्वयं में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सह-सीमावाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना अपेक्षाकृत अधिक आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सह-सीमावाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सह-सीमावाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद मोर्स सिद्धांत के साथ अधिकतम संयोजित होते हैं, और h-सह-सीमावाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सह-सीमावाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सह-सीमावाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।

परिभाषा

प्रसमष्‍टि

सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि प्रतिवेश (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी यूक्लिडियन समष्टि $\mathbb {R} ^{n}$ के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की स्वीकृति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.$

यूक्लिडियन समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय के बिना पड़ोस होमियोमॉर्फिक के बिना वे बिंदु M के सीमा बिंदु हैं; M की सीमा $\partial M$ द्वारा दर्शाया गया है। अंत में, परिभाषा के अनुसार, एक संवृत प्रसमष्टि सीमा के बिना एक सुसंहत समष्टि ($\partial M=\emptyset$) होता है।

सह-सीमावाद

एक $(n+1)$-आयाम सह-सीमावाद एक पंचगुण $(W;M,N,i,j)$ है। जिसमे एक $(n+1)$ आयामी सुसंहत अवकल प्रसमष्‍टि $W$ संवृत किया हुआ और $n$-प्रसमष्‍टि $M$, $N$ और अन्तः स्थापित $i\colon M\hookrightarrow \partial W$, $j\colon N\hookrightarrow \partial W$ द्वारा असंबद्ध छवियों के साथ जैसे कि

$\partial W=i(M)\sqcup j(N)~.$

शब्दावली को सामान्य रूप से $(W;M,N)$ के लिए संक्षिप्त की जाती है। M और N को समरूप कहा जाता है यदि इस तरह का एक सह-सीमावाद सम्मिलित है। सभी प्रसमष्‍टि एक निश्चित दिए गए प्रसमष्‍टि M के लिए समरूप M के सह-सीमावाद वर्ग का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक संवृत प्रसमष्‍टि M गैर-सुसंहत प्रसमष्‍टि M × [0, 1) की सीमा है; इस कारण से हमें आवश्यकता है कि W को सह-सीमावाद की परिभाषा में सुसंहत होना चाहिए। हालाँकि ध्यान दें कि W को संयोजित करने की आवश्यकता नहीं है; परिणामस्वरूप, यदि M = ∂W₁ और N = ∂W₂, तो M और N सहसमन्वय हैं।

उदाहरण

सह-सीमावाद का सबसे सरल उदाहरण इकाई अंतराल I = [0, 1] होता है। यह 0-आयामी प्रसमष्‍टि {0}, {1} के बीच एक 1-आयामी सह-सीमावाद है। अधिक सामान्य रूप से, किसी भी संवृत प्रसमष्‍टि M के लिए, (M × I; M × {0} , M × {1} ) M × {0} से M × {1} तक सह-सीमावाद है।

File:Pair of pants cobordism (pantslike).svg

एकल वृत्त (शीर्ष पर) और असंबद्ध वृत्तों की एक जोड़ी (नीचे) के बीच एक सह-सीमा।

यदि M में एक वृत्त है, और N में दो वृत्त हैं, तो M और N मिलकर पैंट (गणित) W की एक जोड़ी की सीमा बनाते हैं (दाईं ओर का चित्र देखें)। इस प्रकार पैंट के युग्म M और N के बीच एक सह-सीमावाद है। M और N के बीच एक सरल सह-सीमावाद तीन बिम्ब के असंयुक्त सम्मिलन द्वारा दिया जाता है।

पैंट के युग्म एक अधिक सामान्य सह-सीमावाद का एक उदाहरण है: किसी भी दो n-आयामी प्रसमष्‍टि M, M' के लिए, अलग सम्मिलन $M\sqcup M'$ संसक्त राशि $M\mathbin {\#} M'$ के अनुरूप है। पूर्व उदाहरण एक विशेष स्थिति है। क्योंकि संसक्त योग $\mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}$ के लिए $\mathbb {S} ^{1}$ समरूपीय है। संयोजित राशि $M\mathbin {\#} M'$ असंबद्ध सम्मिलन से $M\sqcup M'$ प्राप्त किया जाता है। अंत:स्थापन पर प्रसमष्टि द्वारा $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}$ में $M\sqcup M'$ और सह-सीमावाद प्रसमष्टि का चिन्ह है।

शब्दावली

एक n-प्रसमष्‍टि M को अशक्त-समरूप कहा जाता है यदि M और रिक्त प्रसमष्‍टि के बीच एक सह-संबंध है; दूसरे शब्दों में, यदि M कुछ (n + 1)-प्रसमष्‍टि की संपूर्ण सीमा है। उदाहरण के लिए, वृत्त अशक्त है क्योंकि यह एक डिस्क को सीमित करता है। अधिक सामान्य रूप से, एक n-गोला अशक्त-सहवर्ती होता है क्योंकि यह एक (n + 1) -डिस्क को बांधता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक उन्मुख सतह अशक्त-समन्वय है, क्योंकि यह एक हैंडलबॉडी की सीमा है। दूसरी ओर, 2n-आयामी वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि $\mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )$ एक (सुसंहत) संवृत प्रसमष्‍टि है जो प्रसमष्‍टि की सीमा नहीं है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

सामान्य सीमावाद की समस्या विभिन्न स्थितियों के अधीन प्रसमष्‍टि के सह-सीमावाद वर्गों की गणना करना है।

अतिरिक्त संरचना वाले अशक्त-सह-संबंधों को पूरक कहा जाता है। सीमावाद और सह-सीमावाद का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा परस्पर विनिमय के रूप में किया जाता है; दूसरे उन्हें अलग करते हैं। जब कोई अपने स्वयं के अधिकार में वस्तुओं के रूप में सह-सीमावाद वर्गों के अध्ययन से अंतर करना चाहता है, तो वह तुल्यता प्रश्न को प्रसमष्‍टि की सीमावाद कहते हैं, और प्रसमष्‍टि वस्तुओं के रूप में सह-सीमावाद का अध्ययन करता है।

सीमवाद शब्द फ्रांसीसी बोर्ड से आया है, जिसका अर्थ सीमा है। इसलिए सीमावाद सीमाओं का अध्ययन है। सह-सीमावाद का अर्थ संयुक्त रूप से बाध्य है, इसलिए M और N समरूप हैं यदि वे संयुक्त रूप से प्रसमष्‍टि बाध्य हैं; अर्थात, यदि उनका असम्बद्ध सम्मिलन एक सीमा है। इसके अतिरिक्त, सह-सीमावाद समूह एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत बनाते हैं।

प्रकार

उपरोक्त परिभाषा का सबसे मौलिक रूप है। इसे उन्मुख सीमवाद भी कहा जाता है। कई स्थितियों में, प्रश्न में प्रसमष्टि उन्मुख होते हैं, या GG-संरचना के रूप में संदर्भित कुछ अन्य अतिरिक्त संरचना ले जाते हैं। यह क्रमशः "उन्मुख सह सीमवाद" और "G-संरचना के साथ सह सीमवाद" को उत्पन्न करता है। अनुकूल तकनीकी परिस्थितियों में ये एक श्रेणीबद्ध वलय बनाते हैं जिसे सह सीमवाद वलय $\Omega _{*}^{G}$ कहा जाता है, आयाम द्वारा क्रमिक के साथ, अलग संघ द्वारा जोड़ और कार्तीय गुणनफल द्वारा गुणा किया जाता है। सह सीमवाद समूह $\Omega _{*}^{G}$ एक सामान्यीकृत सजातीय (सजातीयता) सिद्धांत के गुणांक समूह हैं।

जब अतिरिक्त संरचना होती है, तो सह-सीमावाद की धारणा को अधिक परिशुद्ध रूप से तैयार किया जाना चाहिए: डब्ल्यू पर एक जी-संरचना एम और एन पर जी-संरचना तक सीमित है।

मूल उदाहरण G = O गैर-उन्मुख सह-सीमावाद के लिए G = SO उन्मुख सह-सीमावाद के लिए और G = U जटिल प्रसमष्टि का उपयोग करके जटिल सह-सीमावाद के लिए हैं। रॉबर्ट ई. स्टोंग द्वारा और भी बहुत अधिक विस्तृत किया गया है।

इसी तरह, शल्य चिकित्सा सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य मानचित्रों पर शल्य चिकित्सा है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी सीमवाद वर्ग के अंदर दूसरे सामान्य मानचित्र में परिवर्तित कर देती है।

अतिरिक्त संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, प्रसमष्‍टि की विभिन्न धारणाओं को ध्यान में रखना भी संभव है, विशेष रूप से खंडश: रैखिक (पीएल) और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के विभिन्न विचारों को ध्यान में रखना भी संभव है। यह सीमावाद समूहों $\Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)$ को उत्पन्न करता है, जिनकी गणना करना अलग-अलग प्रतिवर्त की तुलना में कठिन है।

शल्य चिकित्सा का निर्माण

याद करें कि सामान्य रूप से, यदि X, Y प्रसमष्‍टि सीमा के साथ हैं, तो गुणनफल प्रसमष्‍टि की सीमा ∂(X × Y) = (∂X × Y) ∪ (X × ∂Y) है।

अब, आयाम n = p + q का प्रसमष्टि M दिया गया अन्तः स्थापन $\varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,$को n-प्रसमष्‍टि परिभाषित करें

$N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)$

प्रसमष्टि सिद्धांत द्वारा प्राप्त किया गया $\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}$ के आंतरिक भाग को प्रतिच्छेद करके संश्लेषित करके $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}$ प्रसमष्टि द्वारा प्राप्त किया गया, उनकी सीमा के साथ

$\partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).$

प्रसमष्टि का चिन्ह

$W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)$

प्राथमिक सह-सीमावाद (W; M, N) को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि 'M' 'N' से प्रसमष्टि द्वारा $\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N$ प्राप्त किया जाता है। इसे प्रतिवर्त प्रसमष्टि कहते हैं।

मारस्टन मोर्स, रेने थॉम और जॉन मिल्नोर के काम से, प्रत्येक सह-सीमावाद प्राथमिक सह-सीमावाद का एक संघ है।

उदाहरण

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चित्र .1

ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, वृत्त पर एक शल्य चिकित्सा में एक प्रतिलिपि कर्तन $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}$ और संश्लिष्ट $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}$ होती है। चित्र 1 में चित्र दिखाते हैं कि ऐसा करने का परिणाम या तो (i) $\mathbb {S} ^{1}$ दोबारा, या (ii) की दो प्रतियां $\mathbb {S} ^{1}$है।

चित्र 2a

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चित्र 2b

2-गोले पर प्रसमष्टि के लिए, अधिक संभावनाएँ हैं, क्योंकि हम या $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ या $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$ तो प्रतिच्छेद कर प्रारंभ कर सकते हैं।

1. $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}$: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$ – that is, two disks - and it's clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)
2. File:Sphere-surgery4.png

   चित्र 2c इस आकृति को 3-समष्टि में अन्तः स्थापित नहीं किया जा सकता है।
   $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}$: Having cut out two disks $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2},$ we glue back in the cylinder $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.$ There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the torus $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$ but if they are different, we obtain the Klein bottle (Fig. 2c).

मोर्स फलन

मान लीजिए कि f एक (n + 1)-विमीय प्रसमष्‍टि पर एक मोर्स फलन है, और मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण मान है, जिसकी पूर्व छवि में ठीक एक महत्वपूर्ण बिंदु है। यदि इस महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक p+1 है, तो स्तर-समुच्चय N := f⁻¹(c + ε) M := f⁻¹(c − ε) एक p-प्रसमष्टि द्वारा से प्राप्त होता है। प्रतिलोम प्रतिबिम्ब W := f⁻¹([c − ε, c + ε]) एक सह-सीमावाद (W; M, N) को परिभाषित करता है जिसे इस प्रसमष्टि के चिन्ह से पहचाना जा सकता है।

ज्यामिति, और मोर्स सिद्धांत और हैंडलबॉडीके साथ संबंध

एक सह सीमवाद (W; M, N) को देखते हुए एक सामान्य फलन :W → [0, -1] जैसे कि f⁻¹(0) = M, F⁻¹(1) = N सम्मिलित है। सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के आंतरिक भाग में होते हैं। इस समुच्चयन में f को सह-सीमावाद पर मोर्स फलन कहा जाता है। सह-सीमावाद (W; M, N) M पर प्रसमष्टि के अनुक्रम के संकेत का एक संघ है, F के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक नियंत्रण अपघटन संलग्न करके प्रसमष्‍टि W, M × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।

3-आयामी सह-सीमावाद $W=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}-\mathbb {D} ^{3}$ 2-गोले के बीच $M=\mathbb {S} ^{2}$ और 2- टोरस्र्स $N=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1},$ प्रसमष्टि द्वारा m से प्राप्त n के साथ $\mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\subset M,$और W ने M × I से 1-नियंत्रण संलग्न करके $\mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {D} ^{2}$ प्राप्त किया

मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-सीमावाद पर मोर्स फलन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं त्रिक (W; M, N) के एक निर्धारित अपघटन को उत्पन्न करती हैं। इसके विपरीत, एक सह-सीमावाद के नियंत्रण अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फलन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत संस्थापन में यह प्रक्रिया प्रबंध अपघटन और मोर्स फलनों के बीच एक सह-सीमावाद के बीच समानता होती है।

इतिहास

सह-सीमावाद मूल 1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा (असफल) प्रयास में थीं, जो सजातीय को विशुद्ध रूप से प्रसमष्टि के संदर्भ में परिभाषित (ड्यूडोने 1989, पृष्ठ 289) करने के लिए था। पोंकारे ने एक साथ सजातीय और सह-सीमावाद दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमवाद और सजातीय के बीच संबंधों के लिए सह-सीमावाद को एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में देखें।

प्रसमष्‍टि पर ज्यामितीय फलन में लेव पोंट्रीगिन द्वारा सीमवाद को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, होमोटॉपी (समस्थेयता) सिद्धांत के माध्यम से सह-सीमावाद समूहों की गणना की जा सकती है। सह-सीमावाद सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के तंत्र का भाग बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक के प्रारंभ में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर सुचकांक प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

1980 के दशक में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सुसंहत प्रसमष्‍टि के साथ श्रेणी (गणित) और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में सह-सीमावाद ने सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र k सिद्धांत के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक मौलिक भूमिका निभाई, जो क्वांटम सांस्थिति का एक महत्वपूर्ण भाग है।

श्रेणीबद्ध स्वरूप

सह-सीमावाद वर्गों के अतिरिक्त, सह-सीमावाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। सह-सीमावाद एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं प्रसमष्‍टि संवृत होती हैं और जिनकी आकृतियां सह-सीमावाद होती हैं। सामान्य रूप से, रचना को सिरे-से-सिरे तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें सिरे से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उत्पादन (W ′ ∪_N W; M, P) होता है। सह-सीमावाद एक प्रकार का सह-विस्तार M → W ← N है। श्रेणी एक डैगर सुसंहत श्रेणी है।

एक सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सह-सीमावाद की एक श्रेणी से सदिश समष्टि की एक श्रेणी के लिए एकपदीय फलननिर्धारक है। यही है, यह फलननिर्धारक है जिसका मान प्रसमष्‍टि के असंबद्ध सम्मिलन पर प्रत्येक घटक प्रसमष्‍टि पर इसके मानो के प्रदिश गुणनफल के समतुल्य है।

निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत सामान्य है, लेकिन सह-सीमावाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त को परिबद्ध बिम्ब एक अशक्त (0-एरी) संक्रियक से अनुरूप है, जबकि बेलन 1-एरी संक्रियक और पैंट के युग्म एक बाइनरी संक्रियक से अनुरूप है।

असंबद्ध सह-सीमावाद

Further information: सह समरूपता सिद्धांतों की सूची § गैर-उन्मुख सह-सीमवाद

संवृत अनियंत्रित n-आयाम प्रसमष्‍टि के सह-सीमावाद वर्गों के समुच्चय को सामान्य रूप से ${\mathfrak {N}}_{n}$ द्वारा (अतिरिक्त अधिक व्यवस्थित $\Omega _{n}^{\text{O}}$) निरूपित किया जाता है; यह संक्रियक के रूप में असंयुक्त सम्मिलन के साथ एक एबेलियन समूह है। अधिक विशेष रूप से, यदि [M] और [N] क्रमशः प्रसमष्‍टि M और N के सह-सीमावाद वर्गों को दर्शाता है, तो हम $[M]+[N]=[M\sqcup N]$ परिभाषित करते हैं ; यह एक सुपरिभाषित संक्रिया है जो ${\mathfrak {N}}_{n}$ एक एबेलियन समूह में वक्रित है। इस समूह का सर्वसमिका तत्व $[\emptyset ]$ वर्ग है। सभी संवृत n-प्रसमष्‍टि से मिलकर जो सीमाएं हैं। इसके अतिरिक्त $[M]+[M]=[\emptyset ]$ प्रत्येक M के बाद से $M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])$ हमारे पास है। इसलिए, ${\mathfrak {N}}_{n}$ एक सदिश समष्टि $\mathbb {F} _{2}$ है, प्रसमष्‍टि का कार्टेशियन गुणनफल $[M][N]=[M\times N],$ को परिभाषित करता है, इसलिए

${\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}$

एक वर्गीकृत बीजगणित है, जिसमें आयाम द्वारा क्रमिक दी गई है।

सह-सीमावाद वर्ग $[M]\in {\mathfrak {N}}_{n}$ एक संवृत अनियमित n-आयाम प्रसमष्‍टि N का निर्धारण M की स्टिफ़ेल-व्हिटनी विशेषता संख्याओं द्वारा किया जाता है, जो स्पर्शरेखा बंडल के स्थिर समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है। इस प्रकार यदि M के पास एक स्थिर रूप से तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल $[M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}$ है। 1954 में रेने थॉम ने प्रमाणित किया

${\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]$

प्रत्येक आयाम $x_{i}$ में एक जनरेटर $i\neq 2^{j}-1$ के साथ बहुपद बीजगणित है। इस प्रकार दो अनियंत्रित संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M, n अनुरूप हैं, यदि $[M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},$ और केवल यदि प्रत्येक संग्रह के लिए $\left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)$ पूर्णांकों के k-टपल का $i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1$ है। जैसे कि $i_{1}+\cdots +i_{k}=n$ स्टिफ़ेल-व्हिटनी संख्याएँ समतुल्य हैं

$\left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}$

साथ $w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ Iवे स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग और $[M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)$ $\mathbb {F} _{2}$- गुणांक मौलिक वर्ग है।

यहां तक कि i के लिए $x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]$, चुनना संभव है, i-आयामी वास्तविक प्रक्षेपी का सह-सीमावाद वर्ग समष्टि है।

निम्न-आयामी गैर-उन्मुख सह-समूहवाद समूह हैं

${\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}$

यह दिखाता है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक 3-आयामी संवृत प्रसमष्‍टि 4-प्रसमष्‍टि (सीमा के साथ) की सीमा है।

यूलर विशेषता $\chi (M)\in \mathbb {Z}$ एक अनियंत्रित प्रसमष्‍टि m का मापांक 2 एक गैर-उन्मुख सह-सीमावाद प्रतिवर्त है। यह समीकरण द्वारा निहित है

$\chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}$

सीमा के साथ किसी भी सुसंहत प्रसमष्‍टि $W$ के लिए

इसलिए, $\chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2$ एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह समरूपता है। उदाहरण के लिए, किसी $i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N}$ के लिए

$\chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.$

विशेष रूप से वास्तविक प्रक्षेपण समष्टि का ऐसा गुणनफल शून्य-सह-सीमावाद नहीं है। मॉड 2 यूलर विशेषता मानचित्र $\chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2$ सभी के लिए $i\in \mathbb {N} ,$ और $i=1$ के लिए एक समूह समरूपता है।

इसके अतिरिक्त, $\chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)$ के कारण, ये समूह समरूपता वर्गीकृत बीजगणित के समरूपता में एकत्रित होते हैं:

${\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}$

अतिरिक्त संरचना के साथ प्रसमष्‍टि सहकारिता

सह-सीमावाद को प्रसमष्‍टि के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें अतिरिक्त संरचना होती है, विशेष रूप से एक अभिविन्यास है। यह x-संरचना (या g-संरचना) की धारणा का उपयोग करके सामान्य तरीके से औपचारिक बना दिया गया है। बहुत संक्षेप में, पर्याप्त उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में M के विसर्जन का सामान्य बंडल ν $\mathbb {R} ^{n+k}$ m से ग्रासमानियन तक एक मानचित्र को उत्पन्न करता है, जो बदले में लंबकोणीय समूह के वर्गीकरण स्थान की :ν: M → Gr(n, n + k) → BO(k) उप-समष्टि है। रिक्त समष्टि और मानचित्र X_k → X_k+1 के संग्रह को देखते हुए X_k → BO(k) के साथ BO(k) → BO(k+1), के समावेशन के साथ संगत, एक एक्स-संरचना एक मानचित्र के लिए ν की ${\tilde {\nu }}:M\to X_{k}$ उत्थापन है x-संरचना के साथ केवल प्रसमष्‍टि और सह-सीमावाद को ध्यान में रखते हुए सह-सीमावाद की अधिक सामान्य धारणा को उत्पन्न करता है। विशेष रूप से, X_k BG(k) द्वारा दिया जा सकता है, जहां G(k) → O(k) कुछ समूह समरूपता है। इसे G-संरचना के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में G = O, लंबकोणीय समूह सम्मिलित है, जो गैर-उन्मुख सह-सीमावाद को वापस दे रहा है, लेकिन उपसमूह SO(k) भी है, जो उन्मुख सह-सीमावाद को उत्पन्न करता है, प्रचक्रण समूह एकात्मक समूह U (K) और सामान्य समूह संरचना युक्त सह-सीमावाद को उत्पन्न करता है।

परिणामी सह-सीमावाद समूहों को पुनः असम्बद्ध स्थिति के अनुरूप परिभाषित किया जाता है। इसे $\Omega _{*}^{G}$ द्वारा निरूपित किया जाता है

उन्मुख सह-सीमावाद

Further information: सह-समरूपता सिद्धांतों की सूची § उन्मुख सह-सीमावाद

उन्मुख सह-सीमावाद SO-संरचना के साथ प्रसमष्‍टि है। समान रूप से, सभी प्रसमष्‍टि को उन्मुखता और सह-सीमावाद (W, M, N) स्पष्टता के लिए उन्मुख सह-सीमावाद के रूप में भी जाना जाता है जैसे कि सीमा (प्रेरित उन्मुख के साथ) $M\sqcup (-N)$ है, जहां -N प्रतिवर्त अनुस्थापन के साथ N को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, बेलन की सीमा M × I और $M\sqcup (-M)$ होती है: दोनों सिरों के विपरीत अभिनत हैं। यह असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के अर्थ में भी सही परिभाषा है।

गैर-उन्मुख सह-सीमावाद समूह के विपरीत, जहां प्रत्येक तत्व दो-वक्र है, 2M सामान्य रूप से एक उन्मुख सीमा नहीं है, अर्थात, 2[M] ≠ 0 जब इसमें $\Omega _{*}^{\text{SO}}$ विचार किया जाता है। उन्मुख सह-सीमावाद समूहों को मॉड्यूलो टोरसन द्वारा दिया जाता है

$\Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],$

उन्मुख सह सीमवाद वर्गों द्वारा उत्पन्न बहुपद बीजगणित

$y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}$

जटिल प्रक्षेप्य समष्टि (थॉम, 1952)। उन्मुख सह-सीमावाद समूह $\Omega _{*}^{\text{SO}}$ स्टिफ़ेल-व्हिटनी और पोंट्रजगिन विशेषता संख्याओं (वॉल, 1960) द्वारा निर्धारित किया जाता है। दो उन्मुख प्रसमष्‍टि उन्मुख समरूप हैं यदि और केवल यदि उनके स्टिफ़ेल-व्हिटनी और पोंट्रेजगिन संख्या समान हैं।

निम्न-आयामी उन्मुख सह-सीमावाद समूह हैं:

${\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}$

एक उन्मुख 4i-आयामी प्रसमष्‍टि M के प्रसमष्‍टि के संकेत को प्रतिच्छेदन के रूप में हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे $H^{2i}(M)\in \mathbb {Z}$ और द्वारा दर्शाया गया है। यह एक उन्मुख सह-सीमावाद प्रतिवर्त है, जिसे हिरजेब्रुक संकेत प्रमेय द्वारा पोंट्रजगिन संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।

उदाहरण के लिए, किसी भी i₁, ..., i_k ≥ 1 के लिए

$\sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.$

संकेत मानचित्र $\sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z}$ सभी i ≥ 1 के लिए आच्छादक है, और i = 1 के लिए एक तुल्याकारिता है।

असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में सहकारिता

प्रत्येक सदिश बंडल सिद्धांत (वास्तविक, जटिल आदि) में एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत होता है जिसे K-सिद्धांत कहा जाता है। इसी प्रकार, प्रत्येक सह-सीमावाद सिद्धांत Ω^G के पास सजातीय (सीमावाद) समूहों के साथ एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत $\Omega _{n}^{G}(X)$ है, और सह समरूपता (सहसंवाद) समूह $\Omega _{G}^{n}(X)$ किसी भी समष्टि X के लिए होता है। सामान्यीकृत सजातीय समूह $\Omega _{*}^{G}(X)$ X में सहप्रसरण हैं, और सामान्यीकृत सह समरूपता समूह $\Omega _{G}^{*}(X)$ हैं, X में सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण हैं। ऊपर परिभाषित सह-सीमावाद समूह, इस दृष्टिकोण से, एक बिंदु के $\Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})$ समरूप समूह हैं। तब $\Omega _{n}^{G}(X)$ M एक संवृत n-आयामी प्रसमष्‍टि M (G- संरचना के साथ) और f : M → X एक मानचित्र के साथ युग्म (M, f) के सीमवाद वर्गों का समूह है। इस तरह के युग्म (M, F), (N, G) सीमांत हैं यदि G-सह-सीमावाद सम्मिलित है (W; M, N) मानचित्र H के साथ: W → X, जो M पर F तक सीमित है, और N पर G.

एक n-आयाम प्रसमष्‍टि M में एक सजातीय (गणित) [M] ∈ H_n(M) है। जिसमें गुणांक के साथ $\mathbb {Z} /2$ सामान्य रूप से, और $\mathbb {Z}$ की उन्मुख स्थिति में, एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित करना

${\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}$

जो सामान्य रूप से एक समरूपता होने से बहुत दूर है।

समष्टि के सीमावाद और सह-सीमावाद सिद्धांत आयाम स्वयंसिद्ध के अतिरिक्त एलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं। इसका तात्पर्य यह नहीं है कि समूह $\Omega _{G}^{n}(X)$ प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है जब कोई एक बिंदु के सह-सीमावाद सिद्धांत और समष्टि X के समरूपता को पहचानता है, हालांकि अतियाह-हिर्जेब्रुक वर्णक्रमीय अनुक्रम गणना के लिए एक प्रारंभिक बिंदु देता है। संगणना केवल तभी आसान होती है जब विशेष सह-सीमावाद सिद्धांत

$\Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).$

यह अनियंत्रित सह-संघवाद के लिए सही है। अन्य सह-सीमावाद सिद्धांत इस तरह से सामान्य समरूपता को कम नहीं करते हैं, विशेष रूप से पोंट्रेजगिन-थॉम निर्माण संरचना सह-सीमावाद, उन्मुख सह-सीमावाद और जटिल सह-सीमावाद है। विशेष रूप से अंतिम-नामित सिद्धांत का उपयोग बीजगणितीय प्ररुपविज्ञानी द्वारा संगणनात्मक उपकरण के रूप में किया जाता है उदाहरण के लिए, क्षेत्रों के समरूप समूहों के लिए है।

सह-सीमावाद सिद्धांतों को थॉम स्पेक्ट्रम MG द्वारा दर्शाया गया है: एक समूह G दिया गया है, थॉम वर्णक्रमीय थॉम समष्टि MG_n से बना है। ध्यान दें कि समान समूहों के लिए भी, थॉम दीप्ति रेखा बहुत अलग हो सकता है: MSO और MO बहुत अलग हैं, उन्मुख और गैर-उन्मुख सहकारीवाद के बीच अंतर को दर्शाते हैं।

दीप्ति रेखाओ के दृष्टिकोण से, गैर-उन्मुख सह-सीमावाद एलेनबर्ग-मैकलेन स्पेक्ट्रम का एक गुणनफल है। ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा - MO = H (π_∗(MO)) - जबकि उन्मुख सह-सीमावाद ईलेनबर्ग-मैकलेन दीप्ति रेखा का तर्कसंगत रूप से एक गुणनफल है, और 2 पर, लेकिन विषम भाजक पर नहीं: उन्मुख सह-सीमावाद स्पेक्ट्रम MSO, MO की तुलना में अधिक जटिल है।

यह भी देखें

• h-सह-सीमावाद
• लिंक समरूपता
• सह समरूपता सिद्धांतों की सूची
• सममिती पूरक
• सह-सीमावाद परिकल्पना
• सह-सीमावाद का वलय
• सीमावाद की समयरेखा

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Bordism on the Manifold Atlas.
• B-Bordism on the Manifold Atlas.