विभेदक (गणित): Difference between revisions
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अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर- | अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-परिशुद्ध रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि ''x'' एक चर है, तो ''x'' के मान में परिवर्तन को प्रायः Δ''x'' (उच्चारण ''[[डेल्टा (ग्रीक)|डेल्टा]] x'') कहा जाता है। विभेदक ''dx'' चर ''x'' में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं। | ||
गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग | गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि ''y,'' ''x'' का एक फलन है, तो ''y'' का विभेदक ''dy'' सूत्र द्वारा ''dx'' से संबंधित है | ||
<math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | <math display=block>dy = \frac{dy}{dx} \,dx,</math> | ||
कहाँ <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है। | कहाँ <math>\frac{dy}{dx} \,</math>x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न विभेदक Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है। | ||
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* अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक]] की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है। | * अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, [[चिकना कई गुना|सुचारू बहुरूपता]] और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|पुलबैक]] की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है। | ||
* [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] [[स्टोचैस्टिक अंतर|प्रसंभाव्य विभेदक]] की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है। | * [[स्टोचैस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्य गणना]] [[स्टोचैस्टिक अंतर|प्रसंभाव्य विभेदक]] की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है। | ||
* [[स्टिल्ट्स अभिन्न|स्टील्जे समाकल]] में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक | * [[स्टिल्ट्स अभिन्न|स्टील्जे समाकल]] में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः [[श्रृंखला नियम]] और विभेदक के लिए [[प्रॉडक्ट नियम|उत्पाद नियम]] के अनुरूप होता है। | ||
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=== रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक === | === रेखीय मानचित्र के रूप में विभेदक === | ||
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट समष्टि]], एक [[बनच स्थान|बनच]] [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |समष्टि]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल प्रकार है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग <math>\mathbb{R}</math>, <math>\mathbb{R}^n</math>, एक[[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष | हिल्बर्ट समष्टि]], एक [[बनच स्थान|बनच]] [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष |समष्टि]], या अधिक सामान्यतः, एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] पर किया जा सकता है। वास्तविक रेखा के प्रकरण की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के विभेदक को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है। | ||
==== R पर रैखिक मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ==== R पर रैखिक मानचित्र के रूप में विभेदक ==== | ||
कल्पना करना <math>f(x)</math> <math>\mathbb{R}</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर <math>x</math> को <math>f(x)</math> में एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र|तत्समक मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या <math>p</math> को अपने पास ले जाता है: <math>x(p)=p</math>। तब <math>f(x)</math> <math>x</math> के साथ <math>f</math> का सम्मिश्र है, जिसका | कल्पना करना <math>f(x)</math> <math>\mathbb{R}</math> पर एक वास्तविक मूल्यवान फलन है। हम चर <math>x</math> को <math>f(x)</math> में एक संख्या के बदले एक फलन के रूप में पुनर्व्याख्या कर सकते हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा पर [[पहचान मानचित्र|तत्समक मानचित्र]], जो वास्तविक संख्या <math>p</math> को अपने पास ले जाता है: <math>x(p)=p</math>। तब <math>f(x)</math> <math>x</math> के साथ <math>f</math> का सम्मिश्र है, जिसका <math>p</math> पर मूल्य <math>f(x(p))=f(p)</math> है। विभेदक <math>\operatorname{d}f</math> (जो निश्चित रूप से <math>f</math> पर निर्भर करता है) तब एक फलन है जिसका <math>p</math> पर मान (प्रायः पर <math>df_p</math>) एक संख्या नहीं है, लेकिन <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र है। क्योंकि <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक एक रेखीय मानचित्र <math>1\times 1</math> आव्यूह द्वारा दिया जाता है, यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें <math>df_p</math> को एक अतिसूक्ष्म के रूप में सोचने और मानक अत्यल्प <math>dx_p</math> के साथ तुलना करने की अनुमति देता है, जो पुनः <math>\mathbb{R}</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक केवल सर्वसमिका मानचित्र (प्रविष्टि <math>1</math> के साथ <math>1\times 1</math> आव्यूह) है। सर्वसमिका यह गुण है कि यदि <math>\varepsilon</math> बहुत छोटा है, तो <math>dx_p(\varepsilon)</math> बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। विभेदक <math>df_p</math>में समान गुण होते हैं, क्योंकि यह <math>dx_p</math> का एक गुणक है, और यह गुणक परिभाषा के अनुसार <math>f'(p)</math> है। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं कि <math>df_p=f'(p)\,dx_p</math>, और इसलिए <math>df=f'\,dx</math> है। इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि <math>f'</math>विभेदकों <math>df</math> और <math>dx</math> का अनुपात है। | ||
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<math display="block">\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .</math> | <math display="block">\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .</math> | ||
अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> को <math>\mathbb{R}^n</math> मानक निर्देशांक <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के साथ <math>f</math> के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि <math>x_j(p)</math> <math>p\in\mathbb{R}^n</math>का <math>j</math>-वाँ घटक है )। फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु <math>p</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं और इसलिए, यदि <math>f</math> <math>p</math> पर अवकलनीय है, तो हम <math>\operatorname{d}f_p</math> लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | अब हम एक आयामी प्रकरण में उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं और अभिव्यक्ति <math>f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> को <math>\mathbb{R}^n</math> मानक निर्देशांक <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के साथ <math>f</math> के सम्मिश्र के रूप में सोच सकते हैं (ताकि <math>x_j(p)</math> <math>p\in\mathbb{R}^n</math>का <math>j</math>-वाँ घटक है )। फिर भेद <math>\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p</math> एक बिंदु <math>p</math> पर <math>\mathbb{R}^n</math> से <math>\mathbb{R}</math> तक रैखिक मानचित्रों के [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] के लिए एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार]] बनाते हैं और इसलिए, यदि <math>f</math> <math>p</math> पर अवकलनीय है, तो हम <math>\operatorname{d}f_p</math> लिख सकते हैं इन आधार तत्वों के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में:<math display="block">df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.</math> | ||
गुणांक <math>D_j f(p)</math> <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के संबंध में <math>p</math> पर <math>f</math> के आंशिक व्युत्पन्न (परिभाषा के अनुसार) है। इसलिए, यदि <math>f</math> सभी <math>\mathbb{R}^n</math> पर अवकलनीय है, तो हम अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: | गुणांक <math>D_j f(p)</math> <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> के संबंध में <math>p</math> पर <math>f</math> के आंशिक व्युत्पन्न (परिभाषा के अनुसार) है। इसलिए, यदि <math>f</math> सभी <math>\mathbb{R}^n</math> पर अवकलनीय है, तो हम अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: | ||
Revision as of 16:48, 24 April 2023
गणित में, विभेदक गणना के आरम्भिक दिनों से प्राप्त कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है,[1] एक परिशुद्ध आधार पर रखें, जैसे कि अत्यणु विभेदक और फलानो के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है।[2]
इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे गणना, विभेदक ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति में किया जाता है।
परिचय
अवकलन शब्द का प्रयोग गणना में गैर-परिशुद्ध रूप से कुछ परिवर्ती मात्रा में एक अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक चर है, तो x के मान में परिवर्तन को प्रायः Δx (उच्चारण डेल्टा x) कहा जाता है। विभेदक dx चर x में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई प्रकार हैं।
गणना का उपयोग करके, व्युत्पन्न का उपयोग गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि y, x का एक फलन है, तो y का विभेदक dy सूत्र द्वारा dx से संबंधित है
मूलभूत धारणाएं
- गणना में, विभेदक किसी फलन के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है।
- कुल विभेदक कई चर के फलानो के लिए इसका सामान्यीकरण है।
- गणना के पारंपरिक दृष्टिकोण में, विभेदक (जैसे dx, dy, dt, आदि) की व्याख्या अतिसूक्ष्म के रूप में की जाती है। अतिसूक्ष्म को परिशुद्ध से परिभाषित करने के कई प्रकार हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, पूर्णतः वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।
- विभेदक Rn से Rm तक एक फलन के आंशिक व्युत्पन्न के जैकबियन आव्यूह का दूसरा नाम है (विशेष रूप से जब इस आव्यूह को एक रैखिक मानचित्र के रूप में देखा जाता है)।
- अधिक सामान्यतः, विभेदक या पुशफॉरवर्ड, सुचारू बहुरूपता और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड संचालन के मध्य मानचित्र के व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। पुलबैक की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए विभेदक का भी उपयोग किया जाता है।
- प्रसंभाव्य गणना प्रसंभाव्य विभेदक की धारणा और प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के लिए संबंधित गणना प्रदान करता है।
- स्टील्जे समाकल में समाकलक को एक फलन के विभेदक के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, समाकल के अंतर्गत दिखाई देने वाला विभेदक यथार्थत: एक विभेदक के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस समाकल के लिए भागों के सूत्रों द्वारा प्रतिस्थापन और एकीकरण द्वारा एकीकरण, क्रमशः श्रृंखला नियम और विभेदक के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप होता है।
इतिहास और उपयोग
गणना के विकास में अतिसूक्ष्म मात्रा ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। आर्किमिडीज ने उनका उपयोग किया, यद्यपि वह यह नहीं मानता था कि अतिसूक्ष्म से जुड़े तर्क कठोर थे।[3] आइजैक न्यूटन ने उन्हें प्रवाह के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह गॉटफ्रीड लीबनिज थे जिन्होंने अतिसूक्ष्म मात्राओं के लिए विभेदक शब्द सृष्ट और उनके लिए संकेतन प्रस्तावित किया जो आज भी उपयोग किया जाता है।
लीबनिज के संकेतन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के व्युत्पन्न को प्रायः dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या लाग्रेंज के संकेतन में) ẏ या y′ के रूप में निरूपित किया जाएगा। इस रूप में विभेदक के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक में है। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न परिवर्तन की तात्कालिक दर है (लेखाचित्र की स्पर्श रेखा का ढलान), जो अनुपात Δy/Δx की सीमा लेकर प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि Δx स्वेच्छतः छोटा हो जाता है। विभेदक भी आयामी विश्लेषण के साथ संगत होते हैं, जहां एक विभेदक जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं।
17वीं शताब्दी CE के दौरान गणना गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को विभेदक, धाराप्रवाह और ''असीम रूप से छोटे'' जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि बिशप बर्कले के 1734 विश्लेषक में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ विश्लेषक ''आवांछित प्रतिबिम्ब के दिवंगत मात्रा'' के प्रतिकूल उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में असीम प्रगति हुई।19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और व्युत्पन्न के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला हैं।
20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी गणना, विभेदक ज्यामिति, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से विभेदक; विभेदक और अतिसूक्ष्म दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है।
विभेदक का उपयोगअभिन्न के लिए संकेतन में भी किया जाता है क्योंकि एक समाकल को अनंत मात्रा के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक लेखाचित्र के अंतर्गत क्षेत्र लेखाचित्र को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों का योग करके प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे
दृष्टिकोण
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