विनम्र संख्या: Difference between revisions

Revision as of 23:17, 22 April 2023

15 = 4 + 5 + 6 विज़ुअल रूप से एक विनम्र विस्तार का प्रतिनिधित्व करने वाला एक युवा आरेख हैं।

संख्या सिद्धांत में, विनम्र संख्या एक सकारात्मक पूर्णांक है जिसे दो या दो से अधिक निरंतर सकारात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। एक धनात्मक पूर्णांक जो विनम्र नहीं होते है उसे विनम्र कहा जाता है।^[1]^[2] अशिष्ट संख्याएं पर बिल्कुल दो की घात हैं, और विनम्र संख्याएं प्राकृतिक संख्याएं होते हैं तथा जिस पर दो की घात नहीं हैं।

विनम्र संख्याओं को सीढ़ी संख्या भी कहा जाता है क्योंकि छोटा आरेख जो ग्राफिक रूप से एक विनम्र संख्या के विभाजन को निरंतर पूर्णांकों में दर्शाते हैं वो सीढ़ियों के समान हैं।^[3]^[4]^[5] यदि योग में सभी संख्याएँ एक से अधिक हैं, तो इस तरह से बनने वाली संख्याओं को समलम्बाकार संख्याएँ भी कहा जाता है क्योंकि वे एक समलम्बाकार में व्यवस्थित बिंदुओं के पैटर्न का प्रतिनिधित्व करती हैं।^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]

सिल्वेस्टर ,^[13] मेसन,,^[14]^[15] लेवेक, ^[16] और कई अन्य हाल के लेखकों द्वारा निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और इस प्रकार के प्रतिनिधित्व की संख्या की गणना करने की समस्या का अध्ययन किया गया है।^[1]^[2]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] तथा विनम्र संख्याएँ रेनहार्ड्ट बहुभुजों की भुजाओं की संभावित संख्याओं का वर्णन करती हैं।^[24]

उदाहरण और लक्षण वर्णन

पहले कुछ विनम्र संख्याएँ हैं

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ...

विनम्र संख्याओं में वास्तव में दो की घात होती हैं।^[13]लैम्बेक-मोजर प्रमेय से यह पता चलता है कि nवीं विनम्र संख्या f(n + 1) है,

जहां

f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\rfloor .

विनम्रता

एक सकारात्मक संख्या की शिष्टता को उन विधियों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक x के लिए, x की शिष्टता x के विषम संख्या के विभाजकों की संख्या के समान होती है जो एक से अधिक हैं।^[13] और ये 1, 2, 3,... विनम्र संख्या है

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ...

उदाहरण के लिए, 9 की शिष्टता 2 है क्योंकि इसमें दो विषम विभाजक हैं, 3 और 9, और दो विनम्र निरूपण हैं

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

15 की विनम्रता 3 है क्योंकि इसमें तीन विषम विभाजक हैं, 3, 5 और 15, और ^[25] तीन विनम्र प्रतिनिधित्व हैं जैसा कि हम क्राइबेज खिलाड़ियों से परिचित है

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8।

संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके, 2 से अधिक सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात लेकर, उन सभी में 1 जोड़कर, इस प्रकार प्राप्त संख्याओं को आपस में गुणा करके और 1 घटाकर धनात्मक संख्या की विनम्रता की गणना करने का एक आसान विधि होती हैं। उदाहरण के लिए 90 में विनम्रता 5 है क्योंकि $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ है; और 3 और 5 की घात क्रमशः 2 और 1 हैं, और इस विधि को प्रारंभ करना $(2+1)\times (1+1)-1=5$ .आवश्यक हैं

विषम भाजक से विनम्र अभ्यावेदन का निर्माण

विषम भाजक और विनम्र अभ्यावेदन के मध्य संबंध देखने के लिए, मान लें कि एक संख्या x में विषम भाजक y > 1 है। पुनः x/y पर केंद्रित y क्रमागत पूर्णांकों (क्योंकी उनका औसत मान x/y हो) का योग x हो:तो

x=\sum _{i={\frac {x}{y}}-{\frac {y-1}{2}}}^{{\frac {x}{y}}+{\frac {y-1}{2}}}i.

इस योग के कुछ पद शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं। यद्यपि, यदि कोई शब्द शून्य है तो इसे छोड़ा जा सकता है और सकारात्मक शब्दों को रद्द करने के लिए किसी भी नकारात्मक शब्द का उपयोग किया जा सकता है, जिससे x के लिए एक विनम्र प्रतिनिधित्व हो सकता है।और यह इसकी मांग है कि y > 1 के अनुरूप है कि एक विनम्र प्रतिनिधित्व में एक से अधिक शब्द हैं; y = 1 के लिए समान निर्माण प्रारंभ करने से केवल तुच्छ एक-शब्द प्रतिनिधित्व x = x हो जाएगा।उदाहरण के लिए, विनम्र संख्या x = 14 में एक गैर-तुच्छ विषम भाजक 7. है, इसलिए यह 14/7 = 2 पर केंद्रित निरंतर 7 संख्याओं का योग है:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

पहला पद, -1,के उपरांत के +1 को रद्द करता है, और दूसरा पद, शून्य,को छोड़ा जा सकता है, जिससे विनम्र प्रतिनिधित्व होता है।

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5।

इसके विपरीत, इस निर्माण से x का हर विनम्र प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यदि किसी निरूपण में पदों की विषम संख्या है, तो x/y मध्य पद है, जबकि यदि इसमें पदों की समानता संख्या है और इसका न्यूनतम मान m है तो इसे एक अद्वितीय विधियों से लंबे अनुक्रम के साथ बढ़ाया जा सकता है। 2m − 1 संख्या −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m − 2, m सम्मिलित करके समान योग और विषम संख्या − 1 हैं.इस विस्तार के उपरांत, पुनः से, x/y मध्य पद है। इस निर्माण के द्वारा, एक संख्या के विनम्र निरूपण और एक से अधिक विषम विभाजकों को एक पत्राचार में रखा जा सकता है | एक-से-एक पत्राचार, विनम्र संख्या और शिष्टता के लक्षण वर्णन का एक विशेषण प्रमाण देता है।^[13]^[26] अधिक सामान्यतः, एक ही विचार दो-से-एक पत्राचार देता है, एक ओर, निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व (शून्य, ऋणात्मक संख्याओं और एकल-अवधि के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है) और दूसरी ओर विषम विभाजक का प्रतिनिधित्व करता हैं। .^[15]

इस परिणाम के एक अन्य सामान्यीकरण में कहा गया है कि, किसी भी n के लिए, n के विभाजनों की संख्या विषम संख्याओं में k विशिष्ट मानों के समान होती है, n के विभाजनों की संख्या भिन्न-भिन्न संख्याओं में होती है, जिनमें निरंतर संख्याओं के k अधिकतम रन होते हैं।^[13]^[27]^[28] यहां एक रन एक या एक से अधिक निरंतर मान हैं जैसे अगले बड़े और अगले छोटे निरंतरमान विभाजन का हिस्सा नहीं हैं; उदाहरण के लिए विभाजन 10 = 1 + 4 + 5 में दो रन ,1 और 4 + 5 हैं। एक विनम्र प्रतिनिधित्व में एक ही रन होता है, और एक मान d वाला विभाजन उत्पाद d ⋅ (n/d) के रूप में n के गुणनखंड के समान होता है, इसलिए इस परिणाम का विशेष स्थिति k = 1 पुनः से विनम्र प्रतिनिधित्व और विषम कारकों के मध्य समानता बताता है।

चतुर्भुज संख्या

यदि एक विनम्र निरूपण 1 से प्रारंभ होता है, तो इस प्रकार प्रस्तुत की गई संख्या एक त्रिभुजाकार संख्या है

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.

अन्यथा, यह दो गैर-निरंतर त्रिकोणीय संख्याओं का अंतर है

i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2).

इस दूसरे स्थिति को ट्रेपोजॉइडल संख्या कहा जाता है।^[12] कोई विनम्र संख्याओं पर भी विचार कर सकता है जो ट्रैपोज़ाइडल नहीं हैं। केवल ऐसी संख्याएँ त्रिकोणीय संख्याएँ हैं जिनमें केवल एक गैर-तुच्छ विषम भाजक है, क्योंकि उन संख्याओं के लिए, पहले वर्णित आक्षेप के अनुसार, विषम भाजक त्रिकोणीय प्रतिनिधित्व से समान है और कोई अन्य विनम्र प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है। इस प्रकार, गैर-ट्रेपोज़ाइडल विनम्र संख्या में एक विषम प्राइम द्वारा दो गुणा की घात का रूप होना चाहिए। जैसा कि जोन्स और लॉर्ड निरीक्षण करते हैं,^[12]इस फॉर्म के साथ बिल्कुल दो प्रकार की त्रिकोणीय संख्याएँ हैं:

सम पूर्ण संख्या 2^n − 1(2ⁿ − 1) एक मेरसेन प्राइम 2ⁿ − 1 के गुणनफल से बनती है जिसकी दो की निकटतम घात होती हैं
फर्मेट प्राइम 2ⁿ + 1 के उत्पाद 2^n − 1(2ⁿ + 1) के दो की निकटतम आधी घात के साथ है।

उदाहरण के लिए, पूर्ण संख्या 28 = 2^3 − 1(2³ − 1) और संख्या 136 = 2^4 − 1(2⁴ + 1) दोनों इस प्रकार के विनम्र संख्या हैं। यह अनुमान लगाया गया है कि असीम रूप से कई मेरसेन प्राइम हैं, इस स्थिति में इस प्रकार की असीम रूप से कई विनम्र संख्याएँ भी हैं।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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-  }}.</ref> अशिष्ट संख्याएं बिल्कुल [[दो की शक्ति|दो की घात]] हैं, और विनम्र संख्याएं [[प्राकृतिक संख्या]]एं हैं जो दो की घात नहीं हैं।
+  }}.</ref> अशिष्ट संख्याएं पर बिल्कुल [[दो की शक्ति|दो की घात]] हैं, और विनम्र संख्याएं [[प्राकृतिक संख्या]]एं  होते हैं तथा जिस पर दो की घात नहीं हैं।
-विनम्र संख्याओं को [[सीढ़ी]] संख्याएं भी कहा जाता है क्योंकि छोटा आरेख जो ग्राफिक रूप से एक विनम्र संख्या के [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)]] को निरंतर पूर्णांकों में दर्शाते हैं सीढ़ियों के समान हैं।<ref>{{citation|title=Thinking Mathematically|first1=John|last1=Mason|first2=Leone|last2=Burton|author2-link=Leone Burton|first3=Kaye|last3=Stacey|author3-link=Kaye Stacey|publisher=Addison-Wesley|year=1982|isbn=978-0-201-10238-3}}.</ref><ref>{{citation|last1=Stacey|first1=K.|author-link=Kaye Stacey|last2=Groves|first2=S.|year=1985|title=Strategies for Problem Solving|publisher=Latitude|location=Melbourne}}.</ref><ref>{{citation|last1=Stacey|first1=K.|author-link=Kaye Stacey|last2=Scott|first2=N.|year=2000|contribution=Orientation to deep structure when trying examples: a key to successful problem solving|editor1-first=J.|editor1-last=Carillo|editor2-first=L. C.|editor2-last=Contreras|title=Resolucion de Problemas en los Albores del Siglo XXI: Una vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos|pages=119–147|publisher=Hergue|location=Huelva, Spain|url=http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/2000/ScottStacey-OrientationTo.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080726085811/http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/2000/ScottStacey-OrientationTo.pdf|archive-date=2008-07-26}}.</ref> यदि योग में सभी संख्याएँ एक से अधिक हैं, तो इस तरह से बनने वाली संख्याओं को समलम्बाकार संख्याएँ भी कहा जाता है क्योंकि वे एक समलम्बाकार में व्यवस्थित बिंदुओं के पैटर्न का प्रतिनिधित्व करती हैं।<ref>{{citation|doi=10.2307/2689901|title=Trapezoidal numbers|first1=Carlton|last1=Gamer|first2=David W.|last2=Roeder|first3=John J.|last3=Watkins|journal=Mathematics Magazine|volume=58|issue=2|year=1985|pages=108–110|jstor=2689901}}.</ref><ref>{{citation|title=Les nombres trapézoïdaux|last=Jean|first=Charles-É.|url=http://www.recreomath.qc.ca/art_trapezoidaux_n.htm|journal=Bulletin de l'AMQ|date=March 1991|pages=6–11|format=French}}.</ref><ref>{{citation|title=Discovering relationships and patterns by exploring trapezoidal numbers|first1=Paul W.|last1=Haggard|first2=Kelly L.|last2=Morales|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=24|issue=1|year=1993|pages=85–90|doi=10.1080/0020739930240111}}.</ref><ref>{{citation|title=The case of trapezoidal numbers|last=Feinberg-McBrian|first=Carol|journal=Mathematics Teacher|volume=89|issue=1|pages=16–24|year=1996|doi=10.5951/MT.89.1.0016 }}.</ref><ref>{{citation|first=Jim|last=Smith|title=Trapezoidal numbers|journal=Mathematics in School|volume=5|year=1997|page=42}}.</ref><ref>{{citation|first=T.|last=Verhoeff|title=Rectangular and trapezoidal arrangements|url=http://www.emis.de/journals/JIS/trapzoid.html|journal=Journal of Integer Sequences|volume=2|pages=16|year=1999|id=Article 99.1.6|bibcode=1999JIntS...2...16V}}.</ref><ref name="JonesLord99">{{citation|title=Characterising non-trapezoidal numbers|first1=Chris|last1=Jones|first2=Nick|last2=Lord|journal=The Mathematical Gazette|volume=83|issue=497|year=1999|pages=262–263|doi=10.2307/3619053|jstor=3619053|s2cid=125545112 }}.</ref>
+विनम्र संख्याओं को [[सीढ़ी]] संख्या भी कहा जाता है क्योंकि छोटा आरेख जो ग्राफिक रूप से एक विनम्र संख्या के [[विभाजन (संख्या सिद्धांत)|विभाजन]] को निरंतर पूर्णांकों में दर्शाते हैं वो सीढ़ियों के समान हैं।<ref>{{citation|title=Thinking Mathematically|first1=John|last1=Mason|first2=Leone|last2=Burton|author2-link=Leone Burton|first3=Kaye|last3=Stacey|author3-link=Kaye Stacey|publisher=Addison-Wesley|year=1982|isbn=978-0-201-10238-3}}.</ref><ref>{{citation|last1=Stacey|first1=K.|author-link=Kaye Stacey|last2=Groves|first2=S.|year=1985|title=Strategies for Problem Solving|publisher=Latitude|location=Melbourne}}.</ref><ref>{{citation|last1=Stacey|first1=K.|author-link=Kaye Stacey|last2=Scott|first2=N.|year=2000|contribution=Orientation to deep structure when trying examples: a key to successful problem solving|editor1-first=J.|editor1-last=Carillo|editor2-first=L. C.|editor2-last=Contreras|title=Resolucion de Problemas en los Albores del Siglo XXI: Una vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos|pages=119–147|publisher=Hergue|location=Huelva, Spain|url=http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/2000/ScottStacey-OrientationTo.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080726085811/http://staff.edfac.unimelb.edu.au/~kayecs/publications/2000/ScottStacey-OrientationTo.pdf|archive-date=2008-07-26}}.</ref> यदि योग में सभी संख्याएँ एक से अधिक हैं, तो इस तरह से बनने वाली संख्याओं को समलम्बाकार संख्याएँ भी कहा जाता है क्योंकि वे एक समलम्बाकार में व्यवस्थित बिंदुओं के पैटर्न का प्रतिनिधित्व करती हैं।<ref>{{citation|doi=10.2307/2689901|title=Trapezoidal numbers|first1=Carlton|last1=Gamer|first2=David W.|last2=Roeder|first3=John J.|last3=Watkins|journal=Mathematics Magazine|volume=58|issue=2|year=1985|pages=108–110|jstor=2689901}}.</ref><ref>{{citation|title=Les nombres trapézoïdaux|last=Jean|first=Charles-É.|url=http://www.recreomath.qc.ca/art_trapezoidaux_n.htm|journal=Bulletin de l'AMQ|date=March 1991|pages=6–11|format=French}}.</ref><ref>{{citation|title=Discovering relationships and patterns by exploring trapezoidal numbers|first1=Paul W.|last1=Haggard|first2=Kelly L.|last2=Morales|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=24|issue=1|year=1993|pages=85–90|doi=10.1080/0020739930240111}}.</ref><ref>{{citation|title=The case of trapezoidal numbers|last=Feinberg-McBrian|first=Carol|journal=Mathematics Teacher|volume=89|issue=1|pages=16–24|year=1996|doi=10.5951/MT.89.1.0016 }}.</ref><ref>{{citation|first=Jim|last=Smith|title=Trapezoidal numbers|journal=Mathematics in School|volume=5|year=1997|page=42}}.</ref><ref>{{citation|first=T.|last=Verhoeff|title=Rectangular and trapezoidal arrangements|url=http://www.emis.de/journals/JIS/trapzoid.html|journal=Journal of Integer Sequences|volume=2|pages=16|year=1999|id=Article 99.1.6|bibcode=1999JIntS...2...16V}}.</ref><ref name="JonesLord99">{{citation|title=Characterising non-trapezoidal numbers|first1=Chris|last1=Jones|first2=Nick|last2=Lord|journal=The Mathematical Gazette|volume=83|issue=497|year=1999|pages=262–263|doi=10.2307/3619053|jstor=3619053|s2cid=125545112 }}.</ref>
-[[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर|सिल्वेस्टर]] ,<ref name="Sylvester">{{citation|title=A constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion|first=J. J.|author2=Franklin, F|last=Sylvester|author-link=James Joseph Sylvester|journal=American Journal of Mathematics|volume=5|issue=1|year=1882|pages=251–330|doi=10.2307/2369545|jstor=2369545|url=https://rcin.org.pl/dlibra/publication/edition/119380/content }}. In [https://archive.org/details/collectedmathem04sylvrich The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester (December 1904)], H. F. Baker, ed. Sylvester defines the ''class'' of a partition into distinct integers as the number of blocks of consecutive integers in the partition, so in his notation a polite partition is of first class.</ref> मेसन,,<ref>{{citation|title=On the representations of a number as a sum of consecutive integers|first=T. E.|last=Mason|journal=Proceedings of the Indiana Academy of Science|year=1911|pages=273–274}}.</ref><ref name="Mason1912">{{citation|last=Mason|first=Thomas E.|title=On the representation of an integer as the sum of consecutive integers|journal=American Mathematical Monthly|volume=19|year=1912|issue=3|pages=46–50|doi=10.2307/2972423|mr=1517654|jstor=2972423}}.</ref> लेवेक, <ref>{{citation|title=On representations as a sum of consecutive integers|first=W. J.|last=Leveque|author-link=William J. LeVeque|journal=Canadian Journal of Mathematics|volume=2|year=1950|pages=399–405|mr=0038368|doi=10.4153/CJM-1950-036-3|s2cid=124093945 }},</ref> और कई अन्य हाल के लेखकों द्वारा निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और इस प्रकार के प्रतिनिधित्व की संख्या की गणना करने की समस्या का अध्ययन किया गया है।<ref name="Adams1993" /><ref name="Griggs1991" /><ref>{{citation|last=Pong|first=Wai Yan|title=Sums of consecutive integers|journal=College Math. J.|volume=38|year=2007|issue=2|pages=119–123|doi=10.1080/07468342.2007.11922226 |mr=2293915|arxiv=math/0701149|bibcode=2007math......1149P|s2cid=14169613 }}.</ref><ref>{{citation|last1=Britt|first1=Michael J. C.|last2=Fradin|first2=Lillie|last3=Philips|first3=Kathy|last4=Feldman|first4=Dima|last5=Cooper|first5=Leon N.|title=On sums of consecutive integers|journal=Quart. Appl. Math.|volume=63|year=2005|issue=4|pages=791–792|mr=2187932|doi=10.1090/S0033-569X-05-00991-1|doi-access=free}}.</ref><ref>{{citation|last=Frenzen|first=C. L.|title=Proof without words: sums of consecutive positive integers|journal=Math. Mag.|volume=70|year=1997|issue=4|pages=294|doi=10.1080/0025570X.1997.11996560 |mr=1573264|jstor=2690871}}.</ref><ref>{{citation|last=Guy|first=Robert|title=Sums of consecutive integers|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=20|year=1982|issue=1|pages=36–38|zbl=0475.10014|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/20-1/guy.pdf}}.</ref><ref>{{citation|title=Sums of consecutive positive integers|first=Tom M.|last=Apostol|author-link=Tom M. Apostol|journal=The Mathematical Gazette|volume=87|issue=508|year=2003|pages=98–101|doi=10.1017/S002555720017216X |jstor=3620570|s2cid=125202845 }}.</ref><ref>{{citation|last1=Prielipp|first1=Robert W.|last2=Kuenzi|first2=Norbert J.|title=Sums of consecutive positive integers|journal=Mathematics Teacher|volume=68|issue=1|pages=18–21|year=1975|doi=10.5951/MT.68.1.0018 }}.</ref><ref>{{citation|last=Parker|first=John|title=Sums of consecutive integers|journal=Mathematics in School|volume=27|issue=2|pages=8–11|year=1998}}.</ref> विनम्र संख्याएँ  [[रेनहार्ड्ट बहुभुज]]ों  की भुजाओं की संभावित संख्या का वर्णन करती हैं।<ref>{{citation|last=Mossinghoff|first=Michael J.|doi=10.1016/j.jcta.2011.03.004|issue=6|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|mr=2793611|pages=1801–1815|series=Series A|title=Enumerating isodiametric and isoperimetric polygons|volume=118|year=2011|doi-access=free}}</ref>
+[[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर|सिल्वेस्टर]] ,<ref name="Sylvester">{{citation|title=A constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion|first=J. J.|author2=Franklin, F|last=Sylvester|author-link=James Joseph Sylvester|journal=American Journal of Mathematics|volume=5|issue=1|year=1882|pages=251–330|doi=10.2307/2369545|jstor=2369545|url=https://rcin.org.pl/dlibra/publication/edition/119380/content }}. In [https://archive.org/details/collectedmathem04sylvrich The collected mathematical papers of James Joseph Sylvester (December 1904)], H. F. Baker, ed. Sylvester defines the ''class'' of a partition into distinct integers as the number of blocks of consecutive integers in the partition, so in his notation a polite partition is of first class.</ref> मेसन,,<ref>{{citation|title=On the representations of a number as a sum of consecutive integers|first=T. E.|last=Mason|journal=Proceedings of the Indiana Academy of Science|year=1911|pages=273–274}}.</ref><ref name="Mason1912">{{citation|last=Mason|first=Thomas E.|title=On the representation of an integer as the sum of consecutive integers|journal=American Mathematical Monthly|volume=19|year=1912|issue=3|pages=46–50|doi=10.2307/2972423|mr=1517654|jstor=2972423}}.</ref> लेवेक, <ref>{{citation|title=On representations as a sum of consecutive integers|first=W. J.|last=Leveque|author-link=William J. LeVeque|journal=Canadian Journal of Mathematics|volume=2|year=1950|pages=399–405|mr=0038368|doi=10.4153/CJM-1950-036-3|s2cid=124093945 }},</ref> और कई अन्य हाल के लेखकों द्वारा निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने और इस प्रकार के प्रतिनिधित्व की संख्या की गणना करने की समस्या का अध्ययन किया गया है।<ref name="Adams1993" /><ref name="Griggs1991" /><ref>{{citation|last=Pong|first=Wai Yan|title=Sums of consecutive integers|journal=College Math. J.|volume=38|year=2007|issue=2|pages=119–123|doi=10.1080/07468342.2007.11922226 |mr=2293915|arxiv=math/0701149|bibcode=2007math......1149P|s2cid=14169613 }}.</ref><ref>{{citation|last1=Britt|first1=Michael J. C.|last2=Fradin|first2=Lillie|last3=Philips|first3=Kathy|last4=Feldman|first4=Dima|last5=Cooper|first5=Leon N.|title=On sums of consecutive integers|journal=Quart. Appl. Math.|volume=63|year=2005|issue=4|pages=791–792|mr=2187932|doi=10.1090/S0033-569X-05-00991-1|doi-access=free}}.</ref><ref>{{citation|last=Frenzen|first=C. L.|title=Proof without words: sums of consecutive positive integers|journal=Math. Mag.|volume=70|year=1997|issue=4|pages=294|doi=10.1080/0025570X.1997.11996560 |mr=1573264|jstor=2690871}}.</ref><ref>{{citation|last=Guy|first=Robert|title=Sums of consecutive integers|journal=[[Fibonacci Quarterly]]|volume=20|year=1982|issue=1|pages=36–38|zbl=0475.10014|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/20-1/guy.pdf}}.</ref><ref>{{citation|title=Sums of consecutive positive integers|first=Tom M.|last=Apostol|author-link=Tom M. Apostol|journal=The Mathematical Gazette|volume=87|issue=508|year=2003|pages=98–101|doi=10.1017/S002555720017216X |jstor=3620570|s2cid=125202845 }}.</ref><ref>{{citation|last1=Prielipp|first1=Robert W.|last2=Kuenzi|first2=Norbert J.|title=Sums of consecutive positive integers|journal=Mathematics Teacher|volume=68|issue=1|pages=18–21|year=1975|doi=10.5951/MT.68.1.0018 }}.</ref><ref>{{citation|last=Parker|first=John|title=Sums of consecutive integers|journal=Mathematics in School|volume=27|issue=2|pages=8–11|year=1998}}.</ref>  तथा विनम्र संख्याएँ  [[रेनहार्ड्ट बहुभुज]]ों  की भुजाओं की संभावित संख्याओं का वर्णन करती हैं।<ref>{{citation|last=Mossinghoff|first=Michael J.|doi=10.1016/j.jcta.2011.03.004|issue=6|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|mr=2793611|pages=1801–1815|series=Series A|title=Enumerating isodiametric and isoperimetric polygons|volume=118|year=2011|doi-access=free}}</ref>
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 == उदाहरण और लक्षण वर्णन ==
 पहले कुछ विनम्र संख्याएँ हैं
-: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... {{OEIS|id=A138591}}
+: 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ...
-विनम्र संख्याएं वास्तव में दो की घात होती हैं।<ref name="Sylvester"/>लैम्बेक-मोजर प्रमेय से यह पता चलता है कि nवीं विनम्र संख्या f(n + 1) है, जहां
+विनम्र संख्याओं में वास्तव में दो की घात होती हैं।<ref name="Sylvester"/>लैम्बेक-मोजर प्रमेय से यह पता चलता है कि nवीं विनम्र संख्या f(n + 1) है,
+जहां
 :<math>f(n)=n+\left\lfloor\log_2\left(n+\log_2 n\right)\right\rfloor.</math>
 == विनम्रता ==
-एक सकारात्मक संख्या की शिष्टता को उन विधियों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक x के लिए, x की शिष्टता x के [[विषम संख्या]]  के वि[[भाजक]]ों की संख्या के समान है जो एक से अधिक हैं।<ref name="Sylvester"/> और ये अंक 1, 2, 3,... की विनम्रता है
+एक सकारात्मक संख्या की शिष्टता को उन विधियों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रत्येक x के लिए, x की शिष्टता x के [[विषम संख्या]]  के वि[[भाजक]]ों की संख्या के समान होती है जो एक से अधिक हैं।<ref name="Sylvester"/> और ये 1, 2, 3,...  विनम्र संख्या है
-: 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... {{OEIS|id=A069283}}.
+: 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ...
 उदाहरण के लिए, 9 की शिष्टता 2 है क्योंकि इसमें दो विषम विभाजक हैं, 3 और 9, और दो विनम्र निरूपण हैं
 :9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;
 की विनम्रता 3 है क्योंकि इसमें तीन विषम विभाजक हैं, 3, 5 और 15, और <ref>{{citation|first1=Ronald|last1=Graham|author1-link=Ronald Graham|first3=Oren|last3=Patashnik|author3-link=Oren Patashnik|first2=Donald|last2=Knuth|author2-link=Donald Knuth|title=Concrete Mathematics|publisher=Addison-Wesley|page=65|contribution=Problem 2.30|isbn=978-0-201-14236-5|year=1988|title-link=Concrete Mathematics}}.</ref> तीन विनम्र प्रतिनिधित्व हैं जैसा कि हम [[ क्राइबेज | क्राइबेज]] खिलाड़ियों से परिचित है
 : 15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8।
-संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके, 2 से अधिक सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात लेकर, उन सभी में 1 जोड़कर, इस प्रकार प्राप्त संख्याओं को आपस में गुणा करके और 1 घटाकर धनात्मक संख्या की विनम्रता की गणना करने का एक आसान विधि होती हैं। उदाहरण के लिए 90 में विनम्रता 5 है क्योंकि <math>90 = 2 \times 3^2 \times 5^1</math>; 3 और 5 की घात क्रमशः 2 और 1 हैं, और इस विधि को प्रारंभ करना <math>(2+1) \times (1+1)-1 = 5</math>.आवश्यक हैं
+संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके, 2 से अधिक सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात लेकर, उन सभी में 1 जोड़कर, इस प्रकार प्राप्त संख्याओं को आपस में गुणा करके और 1 घटाकर धनात्मक संख्या की विनम्रता की गणना करने का एक आसान विधि होती हैं। उदाहरण के लिए 90 में विनम्रता 5 है क्योंकि <math>90 = 2 \times 3^2 \times 5^1</math> है; और 3 और 5 की घात क्रमशः 2 और 1 हैं, और इस विधि को प्रारंभ करना <math>(2+1) \times (1+1)-1 = 5</math>.आवश्यक हैं
 == विषम भाजक से विनम्र अभ्यावेदन का निर्माण ==
 विषम भाजक और विनम्र अभ्यावेदन के मध्य संबंध देखने के लिए, मान लें कि एक संख्या x में विषम भाजक y > 1 है। पुनः x/y पर केंद्रित y क्रमागत पूर्णांकों (क्योंकी उनका औसत मान x/y हो) का योग x हो:तो
 :<math>x=\sum_{i=\frac{x}{y} - \frac{y-1}{2}}^{\frac{x}{y} + \frac{y-1}{2}}i.</math>
-इस योग के कुछ पद शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं। यद्यपि, यदि कोई शब्द शून्य है तो इसे छोड़ा जा सकता है और सकारात्मक शब्दों को रद्द करने के लिए किसी भी नकारात्मक शब्द का उपयोग किया जा सकता है, जिससे x के लिए एक विनम्र प्रतिनिधित्व हो सकता है। यह इसकी मांग है कि y > 1 के अनुरूप है कि एक विनम्र प्रतिनिधित्व में एक से अधिक शब्द हैं; y = 1 के लिए समान निर्माण प्रारंभ करने से केवल तुच्छ एक-शब्द प्रतिनिधित्व x = x हो जाएगा।उदाहरण के लिए, विनम्र संख्या x = 14 में एक गैर-तुच्छ विषम भाजक 7. है, इसलिए यह 14/7 = 2 पर केंद्रित निरंतर 7 संख्याओं का योग है:
+इस योग के कुछ पद शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं। यद्यपि, यदि कोई शब्द शून्य है तो इसे छोड़ा जा सकता है और सकारात्मक शब्दों को रद्द करने के लिए किसी भी नकारात्मक शब्द का उपयोग किया जा सकता है, जिससे x के लिए एक विनम्र प्रतिनिधित्व हो सकता है।और यह इसकी मांग है कि y > 1 के अनुरूप है कि एक विनम्र प्रतिनिधित्व में एक से अधिक शब्द हैं; y = 1 के लिए समान निर्माण प्रारंभ करने से केवल तुच्छ एक-शब्द प्रतिनिधित्व x = x हो जाएगा।उदाहरण के लिए, विनम्र संख्या x = 14 में एक गैर-तुच्छ विषम भाजक 7. है, इसलिए यह 14/7 = 2 पर केंद्रित निरंतर 7 संख्याओं का योग है:
 :14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).
-पहला पद, -1,के उपरांत के +1 को रद्द करता है, और दूसरा पद, शून्य,को छोड़ा जा सकता है, जिससे विनम्र प्रतिनिधित्व होता है
+पहला पद, -1,के उपरांत के +1 को रद्द करता है, और दूसरा पद, शून्य,को छोड़ा जा सकता है, जिससे विनम्र प्रतिनिधित्व होता है।
 :14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5।
-इसके विपरीत, इस निर्माण से x का हर विनम्र प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यदि किसी निरूपण में पदों की विषम संख्या है, तो x/y मध्य पद है, जबकि यदि इसमें पदों की समानता (गणित) संख्या है और इसका न्यूनतम मान m है तो इसे एक अद्वितीय विधियों से लंबे अनुक्रम के साथ बढ़ाया जा सकता है। 2m − 1 संख्या −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m − 2, m सम्मिलित करके समान योग और विषम संख्या − 1 हैं.इस विस्तार के उपरांत, पुनः से, x/y मध्य पद है। इस निर्माण के द्वारा, एक संख्या के विनम्र निरूपण और एक से अधिक विषम विभाजकों को एक पत्राचार में रखा जा सकता है | एक-से-एक पत्राचार, विनम्र संख्या और शिष्टता के लक्षण वर्णन का एक [[विशेषण प्रमाण]] देता है।<ref name="Sylvester"/><ref>{{citation|title=The inquisitive problem solver|publisher=Mathematical Association of America|year=2002|author-link=Paul Vaderlind|first1=Paul|last1=Vaderlind|first2=Richard K.|last2=Guy|author2-link=Richard K. Guy|first3=Loren C.|last3=Larson|isbn=978-0-88385-806-6|pages=205–206}}.</ref> अधिक सामान्यतः, एक ही विचार दो-से-एक पत्राचार देता है, एक ओर, निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व (शून्य, ऋणात्मक संख्याओं और एकल-अवधि के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है) और दूसरी ओर विषम विभाजक का प्रतिनिधित्व करता हैं। .<ref name="Mason1912"/>
+इसके विपरीत, इस निर्माण से x का हर विनम्र प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यदि किसी निरूपण में पदों की विषम संख्या है, तो x/y मध्य पद है, जबकि यदि इसमें पदों की समानता संख्या है और इसका न्यूनतम मान m है तो इसे एक अद्वितीय विधियों से लंबे अनुक्रम के साथ बढ़ाया जा सकता है। 2m − 1 संख्या −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m − 2, m सम्मिलित करके समान योग और विषम संख्या − 1 हैं.इस विस्तार के उपरांत, पुनः से, x/y मध्य पद है। इस निर्माण के द्वारा, एक संख्या के विनम्र निरूपण और एक से अधिक विषम विभाजकों को एक पत्राचार में रखा जा सकता है | एक-से-एक पत्राचार, विनम्र संख्या और शिष्टता के लक्षण वर्णन का एक [[विशेषण प्रमाण]] देता है।<ref name="Sylvester"/><ref>{{citation|title=The inquisitive problem solver|publisher=Mathematical Association of America|year=2002|author-link=Paul Vaderlind|first1=Paul|last1=Vaderlind|first2=Richard K.|last2=Guy|author2-link=Richard K. Guy|first3=Loren C.|last3=Larson|isbn=978-0-88385-806-6|pages=205–206}}.</ref> अधिक सामान्यतः, एक ही विचार दो-से-एक पत्राचार देता है, एक ओर, निरंतर पूर्णांकों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व (शून्य, ऋणात्मक संख्याओं और एकल-अवधि के प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है) और दूसरी ओर विषम विभाजक का प्रतिनिधित्व करता हैं। .<ref name="Mason1912"/>
 इस परिणाम के एक अन्य सामान्यीकरण में कहा गया है कि, किसी भी n के लिए, n के विभाजनों की संख्या विषम संख्याओं में k विशिष्ट मानों के समान होती है, n के विभाजनों की संख्या भिन्न-भिन्न संख्याओं में होती है, जिनमें निरंतर संख्याओं के k अधिकतम रन होते हैं।<ref name="Sylvester"/><ref>{{citation|title=On generalizations of Euler's partition theorem|first=G. E.|last=Andrews|journal=Michigan Mathematical Journal|volume=13|year=1966|pages=491–498|doi=10.1307/mmj/1028999609|mr=0202617|issue=4|doi-access=free}}.</ref><ref>{{citation|title=On a partition theorem of Sylvester|first1=V.|last1=Ramamani|first2=K.|last2=Venkatachaliengar|volume=19|issue=2|year=1972|pages=137–140|doi=10.1307/mmj/1029000844|journal=The Michigan Mathematical Journal|mr=0304323|doi-access=free}}.</ref> यहां एक रन एक या एक से अधिक निरंतर मान हैं जैसे अगले बड़े और अगले छोटे निरंतरमान विभाजन का हिस्सा नहीं हैं; उदाहरण के लिए विभाजन 10 = 1 + 4 + 5 में दो रन ,1 और 4 + 5 हैं। एक विनम्र प्रतिनिधित्व में एक ही रन होता है, और एक मान d वाला विभाजन उत्पाद d ⋅ (n/d) के रूप में n के गुणनखंड के समान होता है, इसलिए इस परिणाम का विशेष स्थिति k = 1 पुनः से विनम्र प्रतिनिधित्व और विषम कारकों के मध्य समानता बताता है।
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 अन्यथा, यह दो गैर-निरंतर त्रिकोणीय संख्याओं का अंतर है
 : <math>i + (i + 1) + (i + 2) + \cdots + j = T_j - T_{i-1} \quad(j > i \geq 2).</math>
-इस दूसरे स्थिति को ट्रेपोजॉइडल संख्या कहा जाता है।<ref name="JonesLord99"/>  कोई विनम्र संख्याओं पर भी विचार कर सकता है जो ट्रैपोज़ाइडल नहीं हैं। केवल ऐसी संख्याएँ त्रिकोणीय संख्याएँ हैं जिनमें केवल एक गैर-तुच्छ विषम भाजक है, क्योंकि उन संख्याओं के लिए, पहले वर्णित आक्षेप के अनुसार, विषम भाजक त्रिकोणीय प्रतिनिधित्व से मेल खाता है और कोई अन्य विनम्र प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है। इस प्रकार, गैर-ट्रेपोज़ाइडल विनम्र संख्या में एक विषम प्राइम द्वारा दो गुणा की घात का रूप होना चाहिए। जैसा कि जोन्स और लॉर्ड निरीक्षण करते हैं,<ref name="JonesLord99"/>इस फॉर्म के साथ बिल्कुल दो प्रकार की त्रिकोणीय संख्याएँ हैं:
+इस दूसरे स्थिति को ट्रेपोजॉइडल संख्या कहा जाता है।<ref name="JonesLord99"/>  कोई विनम्र संख्याओं पर भी विचार कर सकता है जो ट्रैपोज़ाइडल नहीं हैं। केवल ऐसी संख्याएँ त्रिकोणीय संख्याएँ हैं जिनमें केवल एक गैर-तुच्छ विषम भाजक है, क्योंकि उन संख्याओं के लिए, पहले वर्णित आक्षेप के अनुसार, विषम भाजक त्रिकोणीय प्रतिनिधित्व से समान है और कोई अन्य विनम्र प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है। इस प्रकार, गैर-ट्रेपोज़ाइडल विनम्र संख्या में एक विषम प्राइम द्वारा दो गुणा की घात का रूप होना चाहिए। जैसा कि जोन्स और लॉर्ड निरीक्षण करते हैं,<ref name="JonesLord99"/>इस फॉर्म के साथ बिल्कुल दो प्रकार की त्रिकोणीय संख्याएँ हैं:
 #सम पूर्ण संख्या 2<sup>n − 1</sup>(2<sup>n</sup> − 1) एक [[Mersenne prime|मेरसेन प्राइम]] 2<sup>n</sup> − 1 के गुणनफल से बनती है जिसकी दो की  निकटतम घात होती हैं
 #[[फर्मेट प्राइम]] 2<sup>n</sup> + 1 के उत्पाद 2<sup>n − 1</sup>(2<sup>n</sup> + 1)  के दो की निकटतम आधी घात के साथ है।

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