रैखिक फलन (गणना)

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रैखिक फलन का ग्राफ: $y(x)=-x+2$

किसी गणना और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ (कार्तीय निर्देशांक में) किसी समतल में क्षैतिज रेखा (ज्यामिति) के अनुक्रम में होता हैं। रैखिक फलन की विशेषता यह है कि जब इनपुट चर को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) के कारण होता हैं।

रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।

गुण

रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें चर (गणित) x के पास अधिकतम डिग्री रहती है:

$f(x)=ax+b$

इस प्रकार के फलन को रैखिक फलन कहा जाता है क्योंकि इस फलन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय $(x,f(x))$ के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फलन और रेखा का प्रवणता के रूप में निरूपित करते हैं।

यदि प्रवणता $a=0$ है, जिसका निरंतर फलन $f(x)=b$ है तो क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना इसके रैखिक फलन के वर्ग से बाहर होता हैं। इस परिभाषा के साथ रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत और न ही क्षैतिज होता है। चूँकि, इस लेख में, $a\neq 0$ होना आवश्यक है, इसलिए स्थिर फलन को रैखिक माना जाता हैं।

यदि $b=0$ हो तब इस स्थिति में रैखिक फलन को सजातीय फलन कहा जाता है। यह ऐसा फलन है जो रेखा को परिभाषित करता है तथा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के कारण यह बिंदु $(x,y)=(0,0)$ से गुजरता है। इस प्रकार उन्नत गणित ग्रंथों में रैखिक फलन शब्द अधिकांशतः विशेष रूप से सजातीय रैखिक फलन को दर्शाते हैं, जबकि शब्द एफाइन फलन का उपयोग सामान्य स्थितियों के लिए किया जाता है, जिसमें $b\neq 0$ सम्मिलित हैं।

किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन $f(x)$, के लिए अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय x, वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय $x\in \mathbb {R} .$ है, इस प्रकार किसी भी फलन पर विचार कर सकता है, यहाँ पर x क्षेत्र (गणित) में, गुणांक लेते हुए a, b को उस क्षेत्र में संलग्न करते हैं।

मानचित्र $y=f(x)=ax+b$ के साथ ठीक अंतःखण्डित होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष पर रहती है, इसका y-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(0,b).$ y}-अवरोधन मान $y=f(0)=b$ का प्रारंभिक मान $f(x).$ भी कहा जाता है। इस प्रकार यदि $a\neq 0,$ हो तब इस स्थिति में ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा की ओर प्रदर्शित होता हैं जिसमें निम्न अंतःखण्ड होते है- x-अक्ष, x-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ x}-अवरोधन मान $x=-{\tfrac {b}{a}},$ समीकरण का हल $f(x)=0,$ के फलन $f(x).$ का मूल या शून्य भी कहा जाता है।

प्रवणता

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एक रेखा का प्रवणता अनुपात है ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ में बदलाव के बीच x, निरूपित $\Delta x$, और इसी में परिवर्तन y, निरूपित $\Delta y$

किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का प्रवणता (गणित) संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी झुकी हुई है। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख $f(x)=ax+b$ है, इस स्थिति में प्रवणता स्थिर a द्वारा दिया जाता है।

प्रवणता के परिवर्तन की निरंतर दर $f(x)$ को मापता है। x में प्रति इकाई होने वाला परिवर्तन जब भी इनपुट x में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है। इस प्रकार a इकाइयां: $f(x{+}1)=f(x)+a$, और अधिक सामान्यतः $f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$ किसी भी संख्या के लिए $\Delta x$ द्वारा प्रदर्शित होती हैं। इस कारण यदि प्रवणता धनात्मक होता है तब $a>0$ होने पर फलन $f(x)$ का मान बढ़ जाता है, यदि $a<0$, तब इस स्थिति में $f(x)$ का मान कम होता हैं।

अवकल कलन में, सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। रैखिक फलन $f(x)=ax+b$ के लिए इसकी प्रवणता के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर a द्वारा निरूपित करते है, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन $f\,'(x)=a$ होता है।

अवकलन कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी अलग करने योग्य फलन $f(x)$ होता है। किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट रैखिक सन्निकटन $x=c$ हो सकता है। इस प्रकार अद्वितीय रैखिक फलन द्वारा व्युत्पन्न $f\,'(c)$ को इसका रैखिक फलन का प्रवणता कहा जाता है, और फलन को इस प्रकार निरूपित करते हैं : $f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)$ के लिए $x\approx c$. तथा रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की स्पर्श रेखा $y=f(x)$ है, जहाँ बिंदु $(c,f(c))$ पर व्युत्पन्न प्रवणता $f\,'(c)$ सामान्यतः बिंदु C के साथ परिवर्तित होती रहती है। रैखिक फलन को केवल वास्तविक फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि $f\,'(x)=a$ सभी x के लिए, पुनः $f(x)=ax+b$ के लिए $b=f(0)$ के बराबर होता हैं।

प्रवणता-अवरोधन, बिंदु-प्रवणता, और दो-बिंदु रूप

एक दिया गया रैखिक फलन $f(x)$ इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल प्रवणता-अवरोधन रूप है:

$f(x)=ax+b$

जिससे कोई तुरंत प्रवणता a और प्रारंभिक मान देख सकता है $f(0)=b$, जो ग्राफ का y-अवरोधन है $y=f(x)$.

प्रवणता a और $f(x_{0})=y_{0}$ का ज्ञात मान दिया गया है, हम बिंदु-प्रवणता रूप लिखते हैं:

$f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}$

चित्रमय शब्दों में, यह रेखा देता है $y=f(x)$ प्रवणता के साथ बिंदु $(x_{0},y_{0})$ से गुजर रहा है।

दो-बिंदु प्रपत्र दो ज्ञात मानों से प्रारंभ होता है इस प्रकार $f(x_{0})=y_{0}$ और $f(x_{1})=y_{1}$ प्रवणता की गणना करता है, $a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ और इसे बिंदु-प्रवणता रूप में सम्मिलित करता है:

$f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}$

इसका ग्राफ $y=f(x)$ बिन्दुओं से होकर जाने वाली अद्वितीय रेखा $(x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)$ है, इस प्रकार समीकरण $y=f(x)$ निरंतर प्रवणता पर जोर देने के लिए भी लिखा जा सकता है:

${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

रैखिक समीकरणों के साथ संबंध

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रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं $x,y$ रैखिक संबंध के साथ से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् रैखिक समीकरण $Ax+By=C$ का पालन करता हैं, इस कारण यदि $B\neq 0$ की स्थिति में इस समीकरण को y के लिए हल किया जाता है।

$y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,$

जहां हम इसे $a=-{\tfrac {A}{B}}$ और $b={\tfrac {C}{B}}$ द्वारा निरूपित करते हैं। किसी बिन्दु y के लिए स्वतंत्र चर को (इनपुट) x से रैखिक फलन के माध्यम से प्राप्त आश्रित चर के लिए आउटपुट के रूप में माना जा सकता है: $y=f(x)=ax+b$ में xy-निर्देशांक समतल के संभावित मान $(x,y)$ किसी लाइन के फलन के ग्राफ़ $f(x)$ द्वारा निरूपित होते हैं। इस कारण यदि $B=0$ की स्थिति में मूल समीकरण में, परिणामी रेखा $x={\tfrac {C}{A}}$ लंबवत होती है, और इसलिए इसे $y=f(x)$ रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

ग्राफ $y=f(x)=ax+b$ की विशेषता चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जाती है। इस प्रकार Y-अवरोधन प्रारंभिक मान $y=f(0)=b$ पर $x=0$ है। इस प्रकार स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति इकाई परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। इस ग्राफ़ में किसी इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, $f(x{+}1)=f(x)+a$. ऋणात्मक प्रवणता x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक फलन $y=-2x+4$ प्रवणता है, तथा बिन्दु $a=-2$ के लिए Y-अवरोधन बिंदु $(0,b)=(0,4)$ हैं और X-अवरोधन बिंदु $(2,0)$ हैं।

उदाहरण

मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो समीकरण €6×x + €3×y = €12 प्राप्त होता हैं। इस प्रकार y के लिए हल करने से बिंदु-प्रवणता $y=-2x+4$ रूप मिलता है। उपरोक्त समीकरण के अनुसार यदि हम पहले सलामी X की मात्रा को चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फलन $y=f(x)=-2x+4$ के रूप में गणना की जा सकती है। चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, इस कारण सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: $f(x{+}1)=f(x)-2$, और प्रवणता -2 हो जाता है। इस प्रकार Y-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(0,4)$ केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर होता है; जबकि X-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(2,0)$ केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर होता हैं।

ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है। जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना नही कर लेते हैं। इस प्रकार हमें अपने फलन $f(x)$ डोमेन के लिए $0\leq x\leq 2$ को सीमित करना चाहिए।

इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फलन रैखिक फलन द्वारा x की गणना $x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2$ डोमेन के ऊपर $0\leq y\leq 4$ के आधार पर कर सकते हैं।

फलन के अन्य वर्गों के साथ संबंध

यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है तब (a ≠ 0), तो रैखिक फलन को बहुपद 1 अर्ताथ जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है के लिए उक्त डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह स्थिर फलन के रूप में निरूपित होता है - बहुपद फलन भी इसी प्रकार होता हैं किन्तु यह शून्य अंश का आधार माना जाता हैं।

इस प्रकार सीधी रेखा के आधार पर जब अलग प्रकार की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य फलन का प्रतिनिधित्व कर सकती है।

उदाहरण के लिए यह घातीय वृद्धि का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके कोडोमेन को लघुगणकीय पैमाने पर व्यक्त किया जाता है। इसका आशय यह है कि जब log(g(x)) का रैखिक फलन x होता हैं, इस प्रकार फलन g चरघातांकी होता हैं। इस प्रकार रैखिक फलन के साथ उक्त इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फलन के ग्राफ़ के प्रवणता द्वारा निरूपित होता हैं। घातीय फलन के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय फलन के आधार के रूप में जाना जाता है।

यदि किसी फलन के डोमेन और फलन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल से प्रदर्शित होता हैं अर्थात जब log(y) का रैखिक फलन log(x)) है तो सीधी रेखा शक्ति नियम का प्रतिनिधित्व करती है:

$\log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}$

आर्किमिडीज़ वक्र को ध्रुवीय समीकरण r द्वारा परिभाषित किया जाता है, दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में रैखिक फलन का ग्राफ इस प्रकार है:

$r=f(\theta )=a\theta +b$

यह आर्किमिडीयन वक्र है जिसके लिए $a\neq 0$ स्थिति के आधार पर इस समीकरण को परिभाषित किया जाता हैं।

यह भी देखें

• एफाइन मानचित्र, सामान्यीकरण
• अंकगणितीय प्रगति, पूर्णांक तर्क का रैखिक फलन

संदर्भ

• James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417

बाहरी संबंध

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• http://www.corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf