रैखिक फलन (गणना): Difference between revisions

Latest revision as of 11:51, 19 April 2023

रैखिक फलन का ग्राफ:

y(x)=-x+2

किसी गणना और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ (कार्तीय निर्देशांक में) किसी समतल में क्षैतिज रेखा (ज्यामिति) के अनुक्रम में होता हैं।^[1] रैखिक फलन की विशेषता यह है कि जब इनपुट चर को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) के कारण होता हैं।

रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।

गुण

रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें चर (गणित) $x$ के पास अधिकतम डिग्री रहती है:^[2]

f(x)=ax+b

इस प्रकार के फलन को रैखिक फलन कहा जाता है क्योंकि इस फलन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय $(x,f(x))$ के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फलन और रेखा का प्रवणता के रूप में निरूपित करते हैं।

यदि प्रवणता $a=0$ है, जिसका निरंतर फलन $f(x)=b$ है तो क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना इसके रैखिक फलन के वर्ग से बाहर होता हैं।^[3] इस परिभाषा के साथ रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत और न ही क्षैतिज होता है। चूँकि, इस लेख में, $a\neq 0$ होना आवश्यक है, इसलिए स्थिर फलन को रैखिक माना जाता हैं।

यदि $b=0$ हो तब इस स्थिति में रैखिक फलन को सजातीय फलन कहा जाता है। यह ऐसा फलन है जो रेखा को परिभाषित करता है तथा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के कारण यह बिंदु $(x,y)=(0,0)$ से गुजरता है। इस प्रकार उन्नत गणित ग्रंथों में रैखिक फलन शब्द अधिकांशतः विशेष रूप से सजातीय रैखिक फलन को दर्शाते हैं, जबकि शब्द एफाइन फलन का उपयोग सामान्य स्थितियों के लिए किया जाता है, जिसमें $b\neq 0$ सम्मिलित हैं।

किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन $f(x)$ , के लिए अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय $x$ , वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय $x\in \mathbb {R} .$ है, इस प्रकार किसी भी फलन पर विचार कर सकता है, यहाँ पर $x$ क्षेत्र (गणित) में, गुणांक लेते हुए $a, b$ को उस क्षेत्र में संलग्न करते हैं।

मानचित्र $y=f(x)=ax+b$ के साथ ठीक अंतःखण्डित होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा $y$ -अक्ष पर रहती है, इसका $y$ -अवरोधन बिंदु $(x,y)=(0,b).$ $y$ }-अवरोधन मान $y=f(0)=b$ का प्रारंभिक मान $f(x).$ भी कहा जाता है। इस प्रकार यदि $a\neq 0,$ हो तब इस स्थिति में ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा की ओर प्रदर्शित होता हैं जिसमें निम्न अंतःखण्ड होते है- $x$ -अक्ष, $x$ -अवरोधन बिंदु $(x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).$ $x$ }-अवरोधन मान $x=-{\tfrac {b}{a}},$ समीकरण का हल $f(x)=0,$ के फलन $f(x).$ का मूल या शून्य भी कहा जाता है।

प्रवणता

एक रेखा का प्रवणता अनुपात है

{\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}

में बदलाव के बीच

x

, निरूपित

\Delta x

, और इसी में परिवर्तन

y

, निरूपित

\Delta y

किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का प्रवणता (गणित) संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी झुकी हुई है। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख $f(x)=ax+b$ है, इस स्थिति में प्रवणता स्थिर $a$ द्वारा दिया जाता है।

प्रवणता के परिवर्तन की निरंतर दर $f(x)$ को मापता है। x में प्रति इकाई होने वाला परिवर्तन जब भी इनपुट $x$ में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है। इस प्रकार $a$ इकाइयां: $f(x{+}1)=f(x)+a$ , और अधिक सामान्यतः $f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x$ किसी भी संख्या के लिए $\Delta x$ द्वारा प्रदर्शित होती हैं। इस कारण यदि प्रवणता धनात्मक होता है तब $a>0$ होने पर फलन $f(x)$ का मान बढ़ जाता है, यदि $a<0$ , तब इस स्थिति में $f(x)$ का मान कम होता हैं।

अवकल कलन में, सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। रैखिक फलन $f(x)=ax+b$ के लिए इसकी प्रवणता के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर $a$ द्वारा निरूपित करते है, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन $f\,'(x)=a$ होता है।

अवकलन कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी अलग करने योग्य फलन $f(x)$ होता है। किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट रैखिक सन्निकटन $x=c$ हो सकता है। इस प्रकार अद्वितीय रैखिक फलन द्वारा व्युत्पन्न $f\,'(c)$ को इसका रैखिक फलन का प्रवणता कहा जाता है, और फलन को इस प्रकार निरूपित करते हैं : $f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)$ के लिए $x\approx c$ . तथा रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की स्पर्श रेखा $y=f(x)$ है, जहाँ बिंदु $(c,f(c))$ पर व्युत्पन्न प्रवणता $f\,'(c)$ सामान्यतः बिंदु C के साथ परिवर्तित होती रहती है। रैखिक फलन को केवल वास्तविक फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि $f\,'(x)=a$ सभी x के लिए, पुनः $f(x)=ax+b$ के लिए $b=f(0)$ के बराबर होता हैं।

प्रवणता-अवरोधन, बिंदु-प्रवणता, और दो-बिंदु रूप

एक दिया गया रैखिक फलन $f(x)$ इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल प्रवणता-अवरोधन रूप है:

f(x)=ax+b

जिससे कोई तुरंत प्रवणता a और प्रारंभिक मान देख सकता है $f(0)=b$ , जो ग्राफ का y-अवरोधन है $y=f(x)$ .

प्रवणता a और $f(x_{0})=y_{0}$ का ज्ञात मान दिया गया है, हम बिंदु-प्रवणता रूप लिखते हैं:

f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}

चित्रमय शब्दों में, यह रेखा देता है $y=f(x)$ प्रवणता के साथ बिंदु $(x_{0},y_{0})$ से गुजर रहा है।

दो-बिंदु प्रपत्र दो ज्ञात मानों से प्रारंभ होता है इस प्रकार $f(x_{0})=y_{0}$ और $f(x_{1})=y_{1}$ प्रवणता की गणना करता है, $a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ और इसे बिंदु-प्रवणता रूप में सम्मिलित करता है:

f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}

इसका ग्राफ $y=f(x)$ बिन्दुओं से होकर जाने वाली अद्वितीय रेखा $(x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)$ है, इस प्रकार समीकरण $y=f(x)$ निरंतर प्रवणता पर जोर देने के लिए भी लिखा जा सकता है:

{\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}

रैखिक समीकरणों के साथ संबंध

रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं $x,y$ रैखिक संबंध के साथ से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् रैखिक समीकरण $Ax+By=C$ का पालन करता हैं, इस कारण यदि $B\neq 0$ की स्थिति में इस समीकरण को y के लिए हल किया जाता है।

y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,

जहां हम इसे $a=-{\tfrac {A}{B}}$ और $b={\tfrac {C}{B}}$ द्वारा निरूपित करते हैं। किसी बिन्दु y के लिए स्वतंत्र चर को (इनपुट) x से रैखिक फलन के माध्यम से प्राप्त आश्रित चर के लिए आउटपुट के रूप में माना जा सकता है: $y=f(x)=ax+b$ में xy-निर्देशांक समतल के संभावित मान $(x,y)$ किसी लाइन के फलन के ग्राफ़ $f(x)$ द्वारा निरूपित होते हैं। इस कारण यदि $B=0$ की स्थिति में मूल समीकरण में, परिणामी रेखा $x={\tfrac {C}{A}}$ लंबवत होती है, और इसलिए इसे $y=f(x)$ रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

ग्राफ $y=f(x)=ax+b$ की विशेषता चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जाती है। इस प्रकार Y-अवरोधन प्रारंभिक मान $y=f(0)=b$ पर $x=0$ है। इस प्रकार स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति इकाई परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। इस ग्राफ़ में किसी इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, $f(x{+}1)=f(x)+a$ . ऋणात्मक प्रवणता x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक फलन $y=-2x+4$ प्रवणता है, तथा बिन्दु $a=-2$ के लिए Y-अवरोधन बिंदु $(0,b)=(0,4)$ हैं और X-अवरोधन बिंदु $(2,0)$ हैं।

उदाहरण

मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो समीकरण €6×x + €3×y = €12 प्राप्त होता हैं। इस प्रकार y के लिए हल करने से बिंदु-प्रवणता $y=-2x+4$ रूप मिलता है। उपरोक्त समीकरण के अनुसार यदि हम पहले सलामी X की मात्रा को चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फलन $y=f(x)=-2x+4$ के रूप में गणना की जा सकती है। चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, इस कारण सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: $f(x{+}1)=f(x)-2$ , और प्रवणता -2 हो जाता है। इस प्रकार Y-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(0,4)$ केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर होता है; जबकि X-अवरोधन बिंदु $(x,y)=(2,0)$ केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर होता हैं।

ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है। जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना नही कर लेते हैं। इस प्रकार हमें अपने फलन $f(x)$ डोमेन के लिए $0\leq x\leq 2$ को सीमित करना चाहिए।

इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फलन रैखिक फलन द्वारा x की गणना $x=g(y)=-{\tfrac {1}{2}}y+2$ डोमेन के ऊपर $0\leq y\leq 4$ के आधार पर कर सकते हैं।

फलन के अन्य वर्गों के साथ संबंध

यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है तब ( $a \neq 0$ ), तो रैखिक फलन को बहुपद 1 अर्ताथ जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है के लिए उक्त डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह स्थिर फलन के रूप में निरूपित होता है - बहुपद फलन भी इसी प्रकार होता हैं किन्तु यह शून्य अंश का आधार माना जाता हैं।

इस प्रकार सीधी रेखा के आधार पर जब अलग प्रकार की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य फलन का प्रतिनिधित्व कर सकती है।

उदाहरण के लिए यह घातीय वृद्धि का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके कोडोमेन को लघुगणकीय पैमाने पर व्यक्त किया जाता है। इसका आशय यह है कि जब $log (g (x))$ का रैखिक फलन $x$ होता हैं, इस प्रकार फलन $g$ चरघातांकी होता हैं। इस प्रकार रैखिक फलन के साथ उक्त इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फलन के ग्राफ़ के प्रवणता द्वारा निरूपित होता हैं। घातीय फलन के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय फलन के आधार के रूप में जाना जाता है।

यदि किसी फलन के डोमेन और फलन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल से प्रदर्शित होता हैं अर्थात जब $log (y)$ का रैखिक फलन $log (x)$ ) है तो सीधी रेखा शक्ति नियम का प्रतिनिधित्व करती है:

\log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}

आर्किमिडीज़ वक्र को ध्रुवीय समीकरण r द्वारा परिभाषित किया जाता है, दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में रैखिक फलन का ग्राफ इस प्रकार है:

r=f(\theta )=a\theta +b

यह आर्किमिडीयन वक्र है जिसके लिए $a\neq 0$ स्थिति के आधार पर इस समीकरण को परिभाषित किया जाता हैं।

यह भी देखें

एफाइन मानचित्र, सामान्यीकरण
अंकगणितीय प्रगति, पूर्णांक तर्क का रैखिक फलन

संदर्भ

James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417

बाहरी संबंध

[1] Stewart 2012, p. 23

[2] Stewart 2012, p. 24

[3] Swokowski 1983, p. 34

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Polynomial function of degree at most one}}
-{{Distinguish|linear functional|linear map}}
+[[Image:wiki linear function.png|thumb|right|रैखिक फलन का ग्राफ: <math>y(x) = -x + 2</math>]]किसी [[गणना]] और उसके संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक रेखीय फलन ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ ([[कार्तीय निर्देशांक]] में) किसी समतल में क्षैतिज [[रेखा (ज्यामिति)]] के अनुक्रम में होता हैं।<ref>Stewart 2012, p. 23</ref> रैखिक फलन की विशेषता यह है कि जब इनपुट चर को परिवर्तित किया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में होने वाले परिवर्तन के लिए [[आनुपातिकता (गणित)]] के कारण होता हैं।
-{{incomplete|the case of multivariate functions and vector valued functions, which must be considered, as this article is linked to from [[Jacobian matrix]]|date=February 2020}}
-[[Image:wiki linear function.png|thumb|right|रैखिक समारोह का ग्राफ: <math>y(x) = -x + 2</math>]]गणित के [[गणना]] और संबंधित क्षेत्रों में, वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक एक रेखीय फलन एक ऐसा फलन होता है जिसका ग्राफ ([[कार्तीय निर्देशांक]] में) समतल में एक गैर-ऊर्ध्वाधर [[रेखा (ज्यामिति)]] होता है।<ref>Stewart 2012, p. 23</ref> रैखिक कार्यों की विशेषता संपत्ति यह है कि जब इनपुट चर को बदल दिया जाता है, तो आउटपुट में परिवर्तन इनपुट में परिवर्तन के लिए [[आनुपातिकता (गणित)]] होता है।
 रैखिक फलन रैखिक समीकरणों से संबंधित होते हैं।
 == गुण ==
-एक रैखिक फलन एक बहुपद फलन है जिसमें [[चर (गणित)]] {{mvar|x}} के पास अधिकतम एक डिग्री है:<ref>Stewart 2012, p. 24</ref>
+रैखिक फलन ऐसा बहुपद फलन है जिसमें [[चर (गणित)]] {{mvar|x}} के पास अधिकतम डिग्री रहती है:<ref>Stewart 2012, p. 24</ref>
-:<math>f(x)=ax+b</math>.
+:<math>f(x)=ax+b</math>
-इस तरह के एक समारोह को रैखिक कहा जाता है क्योंकि इसका एक फ़ंक्शन का ग्राफ, सभी बिंदुओं का सेट <math>(x,f(x))</math> कार्तीय तल में, एक रेखा (ज्यामिति) है। गुणांक a को फ़ंक्शन और रेखा का ढलान कहा जाता है (नीचे देखें)।
+इस प्रकार के फलन को रैखिक फलन कहा जाता है क्योंकि इस फलन का ग्राफ उपस्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय <math>(x,f(x))</math> के लिए कार्तीय तल के रूप में रेखा ज्यामिति को सुशोभित करता है। इसके गुणांक a को फलन और रेखा का प्रवणता के रूप में निरूपित करते हैं।
-यदि ढलान है <math>a=0</math>, यह एक निरंतर कार्य है <math>f(x)=b</math> एक क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना, जिसे कुछ लेखक रैखिक कार्यों के वर्ग से बाहर करते हैं।<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 34}}</ref> इस परिभाषा के साथ, एक रैखिक बहुपद की घात ठीक एक होगी, और इसका ग्राफ़ एक ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत है और न ही क्षैतिज। चूँकि, इस लेख में, <math>a\neq 0</math> आवश्यक है, इसलिए स्थिर कार्यों को रैखिक माना जाएगा।
+यदि प्रवणता <math>a=0</math> है, जिसका निरंतर फलन <math>f(x)=b</math> है तो क्षैतिज रेखा को परिभाषित करना इसके रैखिक फलन के वर्ग से बाहर होता हैं।<ref>{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 34}}</ref> इस परिभाषा के साथ रैखिक बहुपद की घात ठीक होगी, और इसका ग्राफ़ ऐसी रेखा होगी जो न तो लंबवत और न ही क्षैतिज होता है। चूँकि, इस लेख में, <math>a\neq 0</math> होना आवश्यक है, इसलिए स्थिर फलन को रैखिक माना जाता हैं।
-यदि <math>b=0</math> तब रैखिक कार्य को सजातीय कहा जाता है। ऐसा फ़ंक्शन एक रेखा को परिभाषित करता है जो समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति, अर्थात बिंदु से गुजरती है <math>(x,y)=(0,0)</math>. उन्नत गणित ग्रंथों में, रैखिक फ़ंक्शन शब्द अधिकांशतःविशेष रूप से सजातीय रैखिक कार्यों को दर्शाता है, जबकि शब्द affine फ़ंक्शन का उपयोग सामान्य स्थितियोंके लिए किया जाता है, जिसमें सम्मिलित हैं <math>b\neq0</math>.
+यदि <math>b=0</math> हो तब इस स्थिति में रैखिक फलन को सजातीय फलन कहा जाता है। यह ऐसा फलन है जो रेखा को परिभाषित करता है तथा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के कारण यह बिंदु <math>(x,y)=(0,0)</math> से गुजरता है। इस प्रकार उन्नत गणित ग्रंथों में रैखिक फलन शब्द अधिकांशतः विशेष रूप से सजातीय रैखिक फलन को दर्शाते हैं, जबकि शब्द एफाइन फलन का उपयोग सामान्य स्थितियों के लिए किया जाता है, जिसमें <math>b\neq0</math> सम्मिलित हैं।
-किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन <math>f(x)</math>, के लिए अनुमत इनपुट मानों का सेट {{math|''x''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का संपूर्ण समुच्चय है, <math>x\in \mathbb R.</math> कोई भी ऐसे कार्यों पर विचार कर सकता है {{math|''x''}} एक मनमाने [[क्षेत्र (गणित)]] में, गुणांक लेते हुए {{math|''a, b''}} उस क्षेत्र में।
+किसी रैखिक फलन के फलन का प्राकृतिक डोमेन <math>f(x)</math>, के लिए अनुमत इनपुट मानों का समुच्चय {{math|''x''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का संपूर्ण समुच्चय <math>x\in \mathbb R.</math> है,  इस प्रकार किसी भी फलन पर विचार कर सकता है, यहाँ पर {{math|''x''}} [[क्षेत्र (गणित)]] में, गुणांक लेते हुए {{math|''a, b''}} को उस क्षेत्र में संलग्न करते हैं।
-लेखाचित्र <math>y=f(x)=ax+b</math> के साथ ठीक एक चौराहा होने वाली एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा है {{math|''y''}}-अक्ष, इसका {{math|''y''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,b).</math>  {{math|''y''}}}-अवरोधन मूल्य <math>y=f(0)=b</math> का प्रारंभिक मान भी कहा जाता है <math>f(x).</math> यदि <math>a\neq 0,</math> ग्राफ एक गैर-क्षैतिज रेखा है जिसमें ठीक एक चौराहा होता है {{math|''x''}}-अक्ष, द {{math|''x''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(-\tfrac ba,0).</math>  {{math|''x''}}}-अवरोधन मूल्य <math>x=-\tfrac ba,</math> समीकरण का हल <math>f(x)=0,</math> के फलन का मूल या शून्य भी कहा जाता है <math>f(x).</math>
+मानचित्र <math>y=f(x)=ax+b</math> के साथ ठीक अंतःखण्डित होने वाली गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा {{math|''y''}}-अक्ष पर रहती है, इसका {{math|''y''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,b).</math> {{math|''y''}}}-अवरोधन मान <math>y=f(0)=b</math> का प्रारंभिक मान <math>f(x).</math> भी कहा जाता है। इस प्रकार यदि <math>a\neq 0,</math> हो तब इस स्थिति में ग्राफ गैर-क्षैतिज रेखा की ओर प्रदर्शित होता हैं जिसमें निम्न अंतःखण्ड होते है- {{math|''x''}}-अक्ष,  {{math|''x''}}-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(-\tfrac ba,0).</math> {{math|''x''}}}-अवरोधन मान <math>x=-\tfrac ba,</math> समीकरण का हल <math>f(x)=0,</math> के फलन  <math>f(x).</math> का मूल या शून्य भी कहा जाता है।
+== प्रवणता ==
+[[File:Slope picture.svg|thumb|right|128px|एक रेखा का प्रवणता अनुपात है <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> में बदलाव के बीच {{mvar|x}}, निरूपित <math>\Delta x</math>, और इसी में परिवर्तन {{mvar|y}}, निरूपित <math>\Delta y</math>]]किसी गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का [[ढलान (गणित)|प्रवणता (गणित)]] संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी झुकी हुई है। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख <math>f(x) = ax + b</math> है, इस स्थिति में प्रवणता स्थिर {{mvar|a}} द्वारा दिया जाता है।
+प्रवणता के परिवर्तन की निरंतर दर <math>f(x)</math> को मापता है। x में प्रति इकाई होने वाला परिवर्तन जब भी इनपुट {{mvar|x}} में इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है। इस प्रकार {{mvar|a}} इकाइयां: <math>f(x{+}1)=f(x)+a</math>, और अधिक सामान्यतः <math>f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x</math> किसी भी संख्या के लिए <math>\Delta x</math> द्वारा प्रदर्शित होती हैं। इस कारण यदि प्रवणता धनात्मक होता है तब <math>a > 0</math> होने पर फलन <math>f(x)</math> का मान बढ़ जाता है, यदि <math>a < 0</math>, तब इस स्थिति में <math>f(x)</math> का मान कम होता हैं।
-== ढलान ==
+अवकल कलन में, सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। रैखिक फलन <math>f(x)=ax+b</math> के लिए इसकी प्रवणता के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर {{mvar|a}} द्वारा निरूपित करते है, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन <math>f\,'(x)=a</math> होता है।
-[[File:Slope picture.svg|thumb|right|128px|एक रेखा का ढलान अनुपात है <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> में बदलाव के बीच {{mvar|x}}, निरूपित <math>\Delta x</math>, और इसी में परिवर्तन {{mvar|y}}, निरूपित <math>\Delta y</math>]]एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा का [[ढलान (गणित)]] एक संख्या है जो यह मापती है कि रेखा कितनी तेजी से झुकी हुई है (राइज़-ओवर-रन)। यदि रेखा रैखिक फलन का आलेख है <math>f(x) = ax + b</math>, यह ढलान स्थिर द्वारा दिया गया है {{mvar|a}}.
-ढलान के परिवर्तन की निरंतर दर को मापता है <math>f(x)</math> एक्स में प्रति यूनिट परिवर्तन: जब भी इनपुट {{mvar|x}} में एक इकाई की वृद्धि होती है, तो उत्पादन में परिवर्तन होता है {{mvar|a}} इकाइयां: <math>f(x{+}1)=f(x)+a</math>, और अधिक सामान्यतः <math>f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x</math> किसी भी संख्या के लिए <math>\Delta x</math>. यदि ढलान धनात्मक है, <math>a > 0</math>, फिर समारोह <math>f(x)</math> यह बढ़ रहा है; यदि <math>a < 0</math>, तब <math>f(x)</math> गिरते हुए
+अवकलन कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी [[अलग करने योग्य समारोह|अलग करने योग्य फलन]]  <math>f(x)</math> होता है। किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट [[रैखिक सन्निकटन]] <math>x=c</math> हो सकता है। इस प्रकार अद्वितीय रैखिक फलन द्वारा व्युत्पन्न <math>f\,'(c)</math> को इसका रैखिक फलन का प्रवणता कहा जाता है, और फलन को इस प्रकार निरूपित करते हैं : <math>f(x) \approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)</math> के लिए <math>x\approx c</math>. तथा रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की [[स्पर्श रेखा]] <math>y=f(x)</math> है, जहाँ बिंदु <math>(c,f(c))</math> पर  व्युत्पन्न प्रवणता <math>f\,'(c)</math> सामान्यतः बिंदु C के साथ परिवर्तित होती रहती है। रैखिक फलन को केवल वास्तविक फलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि <math>f\,'(x)=a</math> सभी x के लिए, पुनः <math>f(x)=ax+b</math> के लिए <math>b=f(0)</math> के बराबर होता हैं।
-अवकल कलन में, एक सामान्य फलन का व्युत्पन्न परिवर्तन की दर को मापता है। एक रैखिक कार्य <math>f(x)=ax+b</math> इसकी ढलान के बराबर परिवर्तन की निरंतर दर है {{mvar|a}}, इसलिए इसका व्युत्पन्न स्थिर फलन है <math>f\,'(x)=a</math>.
+== प्रवणता-अवरोधन, बिंदु-प्रवणता, और दो-बिंदु रूप ==
+एक दिया गया रैखिक फलन <math>f(x)</math> इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल प्रवणता-अवरोधन रूप है:
+:<math>f(x)= ax+b</math>
+जिससे कोई तुरंत प्रवणता a और प्रारंभिक मान देख सकता है <math>f(0)=b</math>, जो ग्राफ का y-अवरोधन है <math>y=f(x)</math>.
-डिफरेंशियल कैलकुलस का मूल विचार यह है कि कोई भी [[अलग करने योग्य समारोह]] फंक्शन होता है <math>f(x)</math> (आवश्यक रूप से रैखिक नहीं) किसी दिए गए बिंदु के निकट निकट [[रैखिक सन्निकटन]] हो सकता है <math>x=c</math> एक अद्वितीय रैखिक कार्य द्वारा। व्युत्पन्न <math>f\,'(c)</math> इस रैखिक समारोह का ढलान है, और सन्निकटन है: <math>f(x) \approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)</math> के लिए <math>x\approx c</math>. रेखीय सन्निकटन का ग्राफ ग्राफ की [[स्पर्श रेखा]] है <math>y=f(x)</math> बिंदु पर <math>(c,f(c))</math>. व्युत्पन्न ढलान <math>f\,'(c)</math> सामान्यतः बिंदु सी के साथ बदलता रहता है। रैखिक कार्यों को केवल वास्तविक कार्यों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका व्युत्पन्न स्थिर है: यदि <math>f\,'(x)=a</math> सभी एक्स के लिए, फिर <math>f(x)=ax+b</math> के लिए <math>b=f(0)</math>.
+प्रवणता a और <math>f(x_0)=y_0</math> का ज्ञात मान दिया गया है, हम बिंदु-प्रवणता रूप लिखते हैं:
+:<math>f(x) = a(x{-}x_0)+y_0</math>
+चित्रमय शब्दों में, यह रेखा देता है <math>y=f(x)</math> प्रवणता के साथ बिंदु <math>(x_0,y_0)</math> से गुजर रहा है।
-== ढाल-अवरोधन, बिंदु-ढलान, और दो-बिंदु रूप ==
+दो-बिंदु प्रपत्र दो ज्ञात मानों से प्रारंभ होता है इस प्रकार <math>f(x_0)=y_0</math> और <math>f(x_1)=y_1</math> प्रवणता की गणना करता है, <math>a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> और इसे बिंदु-प्रवणता रूप में सम्मिलित करता है:
-एक दिया गया रैखिक कार्य <math>f(x)</math> इसके विभिन्न गुणों को प्रदर्शित करते हुए कई मानक सूत्रों में लिखा जा सकता है। सबसे सरल ढलान-अवरोधन रूप है:
+:<math>f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0\!) + y_0</math>
-:<math>f(x)= ax+b</math>,
+इसका ग्राफ <math>y=f(x)</math> बिन्दुओं से होकर जाने वाली अद्वितीय रेखा <math>(x_0,y_0\!), (x_1,y_1\!)</math> है, इस प्रकार समीकरण <math>y=f(x)</math> निरंतर प्रवणता पर जोर देने के लिए भी लिखा जा सकता है:
-जिससे कोई तुरंत ढलान a और प्रारंभिक मान देख सकता है <math>f(0)=b</math>, जो ग्राफ का y-अवरोधन है <math>y=f(x)</math>.
+:<math>\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>
-एक ढलान a और एक ज्ञात मान दिया गया है <math>f(x_0)=y_0</math>, हम बिंदु-ढलान रूप लिखते हैं:
-:<math>f(x) = a(x{-}x_0)+y_0</math>.
-चित्रमय शब्दों में, यह रेखा देता है <math>y=f(x)</math> ढलान के साथ बिंदु से गुजर रहा है <math>(x_0,y_0)</math>.
-दो-बिंदु प्रपत्र दो ज्ञात मानों से प्रारंभ होता है <math>f(x_0)=y_0</math> और <math>f(x_1)=y_1</math>. एक ढलान की गणना करता है <math>a=\tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math> और इसे बिंदु-ढलान रूप में सम्मिलित करता है:
-:<math>f(x) = \tfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x{-}x_0\!) + y_0</math>.
-इसका ग्राफ <math>y=f(x)</math> बिन्दुओं से होकर जाने वाली अद्वितीय रेखा है <math>(x_0,y_0\!), (x_1,y_1\!)</math>. समीकरण <math>y=f(x)</math> निरंतर ढलान पर जोर देने के लिए भी लिखा जा सकता है:
-:<math>\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}</math>.
 == रैखिक समीकरणों के साथ संबंध ==
-[[Image:wiki linearna funkcija eks1.png|thumb|right]]<!-- are PNG and a translit from a foreign language necessary? --> रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं से उत्पन्न होते हैं <math>x,y</math> एक रैखिक संबंध के साथ, अर्थात् एक रैखिक समीकरण का पालन करना <math>Ax+By=C</math>. यदि  <math>B\neq 0</math>, कोई इस समीकरण को y के लिए हल कर सकता है
+[[Image:wiki linearna funkcija eks1.png|thumb|right]]रैखिक फलन सामान्यतः चरों से संबंधित व्यावहारिक समस्याओं <math>x,y</math> रैखिक संबंध के साथ से उत्पन्न होते हैं, अर्थात् रैखिक समीकरण <math>Ax+By=C</math> का पालन करता हैं, इस कारण यदि <math>B\neq 0</math> की स्थिति में इस समीकरण को y के लिए हल किया जाता है।
 :<math>y = -\tfrac{A}{B}x +\tfrac{C}{B}=ax+b,</math>
-जहां हम निरूपित करते हैं <math>a=-\tfrac{A}{B}</math> और <math>b=\tfrac{C}{B}</math>. यही है, कोई y को एक स्वतंत्र चर (इनपुट) x से एक रैखिक कार्य के माध्यम से प्राप्त एक आश्रित चर (आउटपुट) के रूप में मान सकता है: <math>y = f(x) = ax+b</math>. xy-निर्देशांक तल में, के संभावित मान <math>(x,y)</math> एक लाइन, फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं <math>f(x)</math>. यदि <math>B=0</math> मूल समीकरण में, परिणामी रेखा <math>x=\tfrac{C}{A}</math> लंबवत है, और इस रूप में नहीं लिखा जा सकता है <math>y=f(x)</math>.
+जहां हम इसे  <math>a=-\tfrac{A}{B}</math> और <math>b=\tfrac{C}{B}</math>  द्वारा निरूपित करते हैं। किसी बिन्दु y के लिए स्वतंत्र चर को (इनपुट) x से रैखिक फलन के माध्यम से प्राप्त आश्रित चर के लिए आउटपुट के रूप में माना जा सकता है: <math>y = f(x) = ax+b</math> में xy-निर्देशांक समतल के संभावित मान <math>(x,y)</math> किसी लाइन के फलन के ग्राफ़ <math>f(x)</math> द्वारा निरूपित होते हैं। इस कारण यदि <math>B=0</math> की स्थिति में मूल समीकरण में, परिणामी रेखा <math>x=\tfrac{C}{A}</math> लंबवत होती है, और इसलिए इसे <math>y=f(x)</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
-ग्राफ की विशेषताएं <math>y = f(x) = ax+b</math> चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती है। Y-अवरोधन प्रारंभिक मान है <math>y=f(0)=b</math> पर <math>x=0</math>. स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति यूनिट परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। ग्राफ़ में, एक इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, <math>f(x{+}1) = f(x) + a</math>. नकारात्मक ढलान x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी दर्शाता है।
+ग्राफ <math>y = f(x) = ax+b</math> की विशेषता चर x और y के संदर्भ में व्याख्या की जाती है। इस प्रकार Y-अवरोधन प्रारंभिक मान <math>y=f(0)=b</math> पर <math>x=0</math> है। इस प्रकार स्लोप a इनपुट x में आउटपुट y प्रति इकाई परिवर्तन के परिवर्तन की दर को मापता है। इस ग्राफ़ में किसी इकाई को दाईं ओर ले जाने पर (x को 1 से बढ़ाने पर) y-मान को a से ऊपर ले जाता है: अर्थात, <math>f(x{+}1) = f(x) + a</math>. ऋणात्मक प्रवणता x में प्रत्येक वृद्धि के लिए y में कमी को दर्शाता है।
-उदाहरण के लिए, रैखिक कार्य <math>y = -2x + 4</math> ढलान है <math>a=-2</math>, वाई-अवरोधन बिंदु <math>(0,b)=(0,4)</math>, और एक्स-अवरोधन बिंदु <math>(2,0)</math>.
+उदाहरण के लिए, रैखिक फलन <math>y = -2x + 4</math> प्रवणता है, तथा बिन्दु <math>a=-2</math> के लिए Y-अवरोधन बिंदु <math>(0,b)=(0,4)</math> हैं और X-अवरोधन बिंदु <math>(2,0)</math> हैं।
 === उदाहरण ===
-मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो €6×x + €3×y = €12। y के लिए हल करने से बिंदु-ढलान रूप मिलता है <math>y = -2x + 4</math>, ऊपरोक्त अनुसार। यही है, यदि हम पहले सलामी एक्स की मात्रा चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फ़ंक्शन के रूप में गणना की जा सकती है <math>y = f(x) = -2x + 4</math>. चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, एक किलो सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: <math>f(x{+}1) = f(x) - 2</math>, और ढलान -2 है। Y-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,4)</math> केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर है; जबकि एक्स-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(2,0)</math> केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर है।
+मान लीजिए कि सलामी और सॉसेज की कीमत €6 और €3 प्रति किलोग्राम है, और हम €12 कीमत खरीदना चाहते हैं। हम प्रत्येक की कितनी मात्रा खरीद सकते हैं? यदि x किलोग्राम सलामी और y किलोग्राम सॉसेज की कीमत कुल €12 है, तो समीकरण €6×x + €3×y = €12 प्राप्त होता हैं। इस प्रकार y के लिए हल करने से बिंदु-प्रवणता  <math>y = -2x + 4</math> रूप मिलता है। उपरोक्त समीकरण के अनुसार यदि हम पहले सलामी X की मात्रा को चुनते हैं, तो सॉसेज की मात्रा को फलन <math>y = f(x) = -2x + 4</math> के रूप में गणना की जा सकती है। चूँकि सलामी की कीमत सॉसेज से दुगनी होती है, इस कारण सलामी जोड़ने से सॉसेज में 2 किलो कमी आ जाती है: <math>f(x{+}1) = f(x) - 2</math>, और प्रवणता -2 हो जाता है। इस प्रकार Y-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(0,4)</math> केवल 4 किलो सॉसेज खरीदने के बराबर होता है; जबकि X-अवरोधन बिंदु <math>(x,y)=(2,0)</math> केवल 2 किलो सलामी खरीदने के बराबर होता हैं।
-ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है (जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना न करें)। इस प्रकार हमें अपने कार्य को सीमित करना चाहिए <math>f(x)</math> डोमेन के लिए <math>0\le x\le 2</math>.
+ध्यान दें कि ग्राफ़ में x या y के ऋणात्मक मान वाले बिंदु सम्मिलित हैं, जिनका मूल चर के संदर्भ में कोई अर्थ नहीं है। जब तक कि हम कसाई को मांस बेचने की कल्पना नही कर लेते हैं। इस प्रकार हमें अपने फलन <math>f(x)</math> डोमेन के लिए <math>0\le x\le 2</math> को सीमित करना चाहिए।
-इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन रैखिक फ़ंक्शन द्वारा x की गणना कर सकते हैं: <math>x = g(y) = -\tfrac12 y +2</math> डोमेन के ऊपर <math>0\le y \le 4</math>.
+इसके अतिरिक्त, हम y को स्वतंत्र चर के रूप में चुन सकते हैं, और व्युत्क्रम फलन रैखिक फलन द्वारा x की गणना  <math>x = g(y) = -\tfrac12 y +2</math> डोमेन के ऊपर <math>0\le y \le 4</math> के आधार पर कर सकते हैं।
-== कार्यों के अन्य वर्गों के साथ संबंध ==
+== फलन के अन्य वर्गों के साथ संबंध ==
-यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है ({{math|''a'' ≠ 0}}), तो एक रैखिक फलन को एक [[बहुपद]] 1 बहुपद (जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है) की डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह एक स्थिर फलन है - एक बहुपद फलन भी, किन्तु शून्य अंश का।
+यदि चर का गुणांक शून्य नहीं है तब ({{math|''a'' ≠ 0}}), तो रैखिक फलन को [[बहुपद]] 1 अर्ताथ जिसे रैखिक बहुपद भी कहा जाता है के लिए उक्त डिग्री द्वारा दर्शाया जाता है, अन्यथा यह स्थिर फलन के रूप में निरूपित होता है - बहुपद फलन भी इसी प्रकार होता हैं किन्तु यह शून्य अंश का आधार माना जाता हैं।
-एक सीधी रेखा, जब एक अलग तरह की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
+इस प्रकार सीधी रेखा के आधार पर जब अलग प्रकार की समन्वय प्रणाली में खींची जाती है, तो अन्य फलन का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
-उदाहरण के लिए, यह एक [[घातीय वृद्धि]] का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके [[कोडोमेन]] को [[लघुगणकीय पैमाने]] में व्यक्त किया जाता है। इसका मतलब है कि कब {{math|[[logarithm|log]](''g''(''x''))}} का एक रैखिक कार्य है {{mvar|x}}, कार्यक्रम {{mvar|g}} चरघातांकी है। रैखिक कार्यों के साथ, एक इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट एक निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ का ढलान है। घातीय कार्यों के साथ, एक इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट एक निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय कार्य के आधार के रूप में जाना जाता है।
+उदाहरण के लिए यह [[घातीय वृद्धि]] का प्रतिनिधित्व कर सकता है जब इसके [[कोडोमेन]] को [[लघुगणकीय पैमाने]] पर व्यक्त किया जाता है। इसका आशय यह है कि जब {{math|[[logarithm|log]](''g''(''x''))}} का रैखिक फलन {{mvar|x}} होता हैं, इस प्रकार फलन {{mvar|g}} चरघातांकी होता हैं। इस प्रकार रैखिक फलन के साथ उक्त इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित राशि से बढ़ जाता है, जो कि फलन के ग्राफ़ के प्रवणता द्वारा निरूपित होता हैं। घातीय फलन के साथ, इकाई द्वारा इनपुट बढ़ाने से आउटपुट निश्चित गुणक से बढ़ जाता है, जिसे घातीय फलन के आधार के रूप में जाना जाता है।
-यदि किसी फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल में हैं (अर्थात, जब {{math|[[logarithm|log]](''y'')}} का एक रैखिक कार्य है {{math|[[logarithm|log]](''x'')}}), तो सीधी रेखा एक शक्ति कानून का प्रतिनिधित्व करती है:
+यदि किसी फलन के डोमेन और फलन के मान दोनों लॉगरिदमिक स्केल से प्रदर्शित होता हैं अर्थात जब {{math|[[logarithm|log]](''y'')}} का रैखिक फलन {{math|[[logarithm|log]](''x'')}}) है तो सीधी रेखा शक्ति नियम का प्रतिनिधित्व करती है:
 :<math>\log_r y = a \log_r x + b \quad\Rightarrow\quad y = r^b\cdot x^a</math>
-[[File:Archimedean-Spiral.png|thumb|आर्किमिडीज़ सर्पिल को ध्रुवीय समीकरण r = द्वारा परिभाषित किया गया है {{frac|1|2}θ + 2]]दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में एक रैखिक कार्य का ग्राफ:
+आर्किमिडीज़ वक्र को ध्रुवीय समीकरण r द्वारा परिभाषित किया जाता है, दूसरी ओर, ध्रुवीय निर्देशांक के संदर्भ में रैखिक फलन का ग्राफ इस प्रकार है:
 :<math>r =f(\theta ) = a\theta  + b</math>
-एक [[आर्किमिडीयन सर्पिल]] है यदि <math>a \neq 0</math> और एक चक्र अन्यथा।
+यह [[आर्किमिडीयन सर्पिल|आर्किमिडीयन वक्र]] है जिसके लिए <math>a \neq 0</math> स्थिति के आधार पर इस समीकरण को परिभाषित किया जाता हैं।
 == यह भी देखें ==
-* Affine नक्शा, एक सामान्यीकरण
+* एफाइन मानचित्र, सामान्यीकरण
-* [[अंकगणितीय प्रगति]], पूर्णांक तर्क का एक रैखिक कार्य
+* [[अंकगणितीय प्रगति]], पूर्णांक तर्क का रैखिक फलन
 == टिप्पणियाँ ==
 {{Reflist}}
 == संदर्भ ==
 * James Stewart (2012), ''Calculus: Early Transcendentals'', edition 7E, Brooks/Cole. {{isbn|978-0-538-49790-9}}
 * {{citation|first=Earl W.|last=Swokowski|title=Calculus with analytic geometry|edition=Alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|place=Boston|isbn=0871503417|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok}}
 == बाहरी संबंध ==
 * https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
@@ Line 92: / Line 85: @@
 {{Polynomials}}
-{{Authority control}}
-[[Category: गणना]] [[Category: बहुपद कार्य]]
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+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:गणना]]
+[[Category:बहुपद कार्य]]

v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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गुण

प्रवणता

प्रवणता-अवरोधन, बिंदु-प्रवणता, और दो-बिंदु रूप

रैखिक समीकरणों के साथ संबंध

उदाहरण

फलन के अन्य वर्गों के साथ संबंध

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