इकाई वृत्त: Difference between revisions

Revision as of 11:31, 24 March 2023

एक इकाई वृत्त का चित्रण। चर t एक कोण माप है।

इकाई वृत्त, 1 की परिधि को अनियंत्रित करने के कार्य का एनीमेशन, 1 के त्रिज्या वाला एक वृत्त। चूंकि

C = 2 πr

, इकाई वृत्त की परिधि

2π

है।

गणित में, एक इकाई वृत्त इकाई त्रिज्या का एक वृत्त होता है - अर्थात, 1 की त्रिज्या।^[1] प्रायः, विशेष रूप से त्रिकोणमिति में, इकाई वृत्त यूक्लिडियन समतल में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूल(0, 0) पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त होता है। सांस्थिति में, इसे प्रायः $S 1$ के रूप में निरूपित किया जाता है क्योंकि यह एक आयामी इकाई $n$ -वृत्त है।^{[note 1]}

यदि $(x, y)$ इकाई वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है, तो $| x |$ और $| y |$ एक समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई है जिसके कर्ण की लंबाई 1 है। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, $x$ और $y$ समीकरण

x^{2}+y^{2}=1

को संतुष्ट करते हैं।

चूँकि $x 2 = (- x) 2$ सभी $x$ के लिए, और चूँकि $x$ - या $y$ -अक्ष के विषय में किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब भी इकाई वृत्त पर है, उपरोक्त समीकरण इकाई वृत्त पर सभी बिंदुओं $(x, y)$ के लिए मान्य है, न मात्र प्रथम चतुर्थांश में।

इकाई वृत्त के अंतःस्थ को विवृत इकाई डिस्क कहा जाता है, जबकि इकाई वृत्त के अंतःस्थ को इकाई वृत्त के साथ ही बंद इकाई डिस्क कहा जाता है।

अन्य इकाई वृत्तों को परिभाषित करने के लिए दूरी की अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि रीमानियन वृत्त; अतिरिक्त उदाहरणों के लिए मानदंड(गणित) पर लेख देखें।

सम्मिश्र समतल में

File:Unitycircle-complex.gif

कोणों के साथ इकाई वृत्त का एनिमेशन

सम्मिश्र समतल में, इकाई परिमाण की संख्या को इकाई सम्मिश्र संख्या कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं का $z$ समूह है जैसे कि $|z|=1$ । वास्तविक और काल्पनिक अवयवों $z=x+iy$ में विभाजित होने पर, यह स्थिति $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1$ है।

सम्मिश्र चरघातांकी फलन $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ का उपयोग करके धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण माप $\theta$ द्वारा सम्मिश्र इकाई वृत्त को प्राचलीकरण किया जा सकता है(यूलर का सूत्र देखें।)

सम्मिश्र गुणन संक्रिया के अंतर्गत, इकाई सम्मिश्र संख्याएँ समूह(गणित) होती हैं जिन्हें वृत्त समूह कहा जाता है, जिसे सामान्यतः $\mathbb {T}$ निरूपित किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इकाई सम्मिश्र संख्या को चरण कारक कहा जाता है।

इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलन

File:Circle-trig6.svg

कोण के सभी त्रिकोणमितीय फलन

θ

(थीटा) का निर्माण ज्यामितीय रूप से O पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त के रूप में किया जा सकता है।

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इकाई वृत्त(शीर्ष) और उसके ग्राफ(नीचे) पर ज्या फलन

कोण $θ$ के त्रिकोणमितीय फलन कोज्या और ज्या को इकाई वृत्त पर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि $(x, y)$ इकाई वृत्त पर एक बिंदु है, और यदि अर्धरेखा मूल $(0, 0)$ को $(x, y)$ धनात्मक x-अक्ष से कोण $θ$ बनाता है,(जहाँ वामावर्त घूमना धनात्मक है) , फिर

\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.

समीकरण

x 2 + y 2 = 1

सम्बन्ध

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

देता है।

इकाई वृत्त यह भी दर्शाता है कि ज्या और कोज्या आवधिक फलन हैं, किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए तत्समक

\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )

\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )

के साथ।

त्रिकोणमितीय फलनों की आवधिकता को दर्शाने के लिए इकाई वृत्त पर निर्मित त्रिभुजों का भी उपयोग किया जा सकता है। सबसे पूर्व, इकाई वृत्त पर $O$ से एक बिंदु $P(x 1, y 1)$ तक एक त्रिज्या $OP$ का निर्माण करें जैसे कि $0 < t < .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2$ के साथ एक कोण $t$ $x$ -अक्ष की धनात्मक भुजा के साथ बनता है। अब बिंदु $Q(x 1,0)$ और रेखा खंड $PQ ⊥ OQ$ पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज $△OPQ$ है जिसमें $∠QOP = t$ है। चूंकि $PQ$ की लंबाई $y 1$ है, $OQ$ की लंबाई $x 1$ है, और $OP$ की लंबाई 1 इकाई वृत्त पर त्रिज्या के रूप में, $sin(t) = y 1$ और $cos(t) = x 1$ है। इन तुल्यताओं को स्थापित करने के बाद, एक अन्य त्रिज्या $OR$ को मूल से वृत्त पर एक बिंदु $R(- x 1, y 1)$ पर इस प्रकार ले जाएं कि $x$ -अक्ष की ऋणात्मक भुजा के साथ वही कोण $t$ बन जाए। अब एक बिंदु $S(- x 1,0)$ और रेखा खंड $RS ⊥ OS$ पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज $△ORS$ साथ $∠SOR = t$ है। इसलिए यह देखा जा सकता है कि, क्योंकि $∠ROQ = π - t$ , $R$ पर है $(cos(π - t), sin(π - t))$ उसी प्रकार जैसे P पर $(cos(t), sin(t))$ है। निष्कर्ष यह है कि, चूंकि $(- x 1, y 1)$ $(cos(π - t), sin(π - t))$ के समान है और $(x 1, y 1)$ $(cos(t),sin(t))$ के समान है, यह सच है कि $sin(t) = sin(π - t)$ और $-cos(t) = cos(π - t)$ । इस प्रकार से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि $tan(π - t) = -tan(t)$ , चूँकि $tan(t) = y 1 / x 1$ और $tan(π - t) = y 1 / - x 1$ । उपरोक्त का सरल प्रदर्शन समानता $sin(π / 4) = sin(3π / 4) = 1 / \sqrt 2$ में देखा जा सकता है।

समकोण त्रिभुजों के साथ कार्य करते समय, ज्या, कोज्या, और अन्य त्रिकोणमितीय फलन मात्र शून्य से अधिक और $π$ /2 से कम के कोण मापों के लिए अर्थपूर्ण होते हैं। यद्यपि, जब इकाई वृत्त के साथ परिभाषित किया जाता है, तो ये फलन किसी भी वास्तविक संख्या-मानित कोण माप के लिए अर्थपूर्ण मान उत्पन्न करते हैं - यहां तक कि 2 $π$ से भी अधिक । वस्तुत:, सभी छह मानक त्रिकोणमितीय फलन - ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक, और व्युत्क्रमज्या, साथ ही दक्ष दक्ष और पूर्व व्युत्क्रमज्या जैसे पुरातन फलन - एक इकाई वृत्त के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।

इकाई वृत्त का उपयोग करके, लेबल किए गए कोणों के अतिरिक्त कई कोणों के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के मानों को त्रिकोणमितीय तत्समक और अंतर तत्समक का उपयोग करके हाथ से सरलता से गणना की जा सकती है।

File:Unit circle angles color.svg

इकाई वृत्त, निश्चित त्रिकोणमितीय स्थिरांक दिखा रहा है

सम्मिश्र गतिशीलता

File:Erays.png

सम्मिश्र गतिकी में इकाई वृत्त

क्रमिक विकास फलन के साथ गतिशील प्रणाली(परिभाषा) का जूलिया समूह:

f_{0}(x)=x^{2}

एक इकाई वृत्त है। यह सबसे सरल स्थिति है इसलिए इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

↑ Confusingly, in geometry a unit circle is often considered to be a 2-sphere—not a 1-sphere. The unit circle is "embedded" in a 2-dimensional plane that contains both height and width—hence why it is called a 2-sphere in geometry. However, the surface of the circle itself is one-dimensional, which is why topologists classify it as a 1-sphere. For further discussion, see the technical distinction between a circle and a disk.^[2]

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "यूनिट सर्कल". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-05-05.
↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Unit sphere

यह भी देखें

कोण माप
पाइथागोरस त्रिकोणमितीय तत्समक
रिमानियन वृत्त
इकाई कोण
इकाई डिस्क
इकाई वृत्त
इकाई अतिपरवलय
इकाई वर्ग
फेर(इकाई)
जेड-रूपांतरण

श्रेणी:मंडलियां श्रेणी:1(संख्या) श्रेणी:त्रिकोणमिति श्रेणी:फूरियर विश्लेषण श्रेणी:विश्लेषणात्मक ज्यामिति

[3] Confusingly, in geometry a unit circle is often considered to be a 2-sphere—not a 1-sphere. The unit circle is "embedded" in a 2-dimensional plane that contains both height and width—hence why it is called a 2-sphere in geometry. However, the surface of the circle itself is one-dimensional, which is why topologists classify it as a 1-sphere. For further discussion, see the technical distinction between a circle and a disk.^[2]

[1] Weisstein, Eric W. "यूनिट सर्कल". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-05-05.

[Unit_sphere-2] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Unit sphere

[1]

[note 1]

[2]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{Trigonometry}}
 [[Image:Unit circle.svg|thumb|alt=Unit circle|एक इकाई वृत्त का चित्रण। चर t एक [[कोण]] माप है।]]
-[[File:2pi-unrolled.gif|thumb|इकाई वृत्त, 1 की त्रिज्या वाला वृत्त, की परिधि को खोलने के कार्य का ऐनिमेशन चूंकि {{math|1=''C'' = 2''πr''}}, एक इकाई वृत्त की परिधि है {{math|2π}}.]]गणित में, एक इकाई वृत्त इकाई त्रिज्या का एक वृत्त होता है - अर्थात, 1 की त्रिज्या।<ref>{{Cite web|title=यूनिट सर्कल|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitCircle.html|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com |language=en|access-date=2020-05-05}}</ref> अक्सर, विशेष रूप से [[त्रिकोणमिति]] में, यूनिट सर्कल [[यूक्लिडियन विमान]] में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मूल (0, 0) पर केंद्रित त्रिज्या 1 का चक्र होता है। [[टोपोलॉजी]] में, इसे अक्सर के रूप में निरूपित किया जाता है {{math|''S''<sup>1</sup>}} क्योंकि यह एक एक आयामी इकाई n-sphere| है{{math|''n''}}-वृत्त।<ref name="Unit sphere">{{Cite web|title=अति क्षेत्र|url=https://mathworld.wolfram.com/अति क्षेत्र.html|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-05-06}}</ref>{{refn|group="note"|Confusingly, in geometry a unit circle is often considered to be a 2-sphere—not a 1-sphere. The unit circle is "embedded" in a 2-dimensional plane that contains both height and width—hence why it is called a 2-sphere in geometry. However, the surface of the circle itself is one-dimensional, which is why topologists classify it as a 1-sphere. For further discussion, see the [[Circle|technical distinction between a circle and a disk]].<ref name = "Unit sphere" />}}
+[[File:2pi-unrolled.gif|thumb|इकाई वृत्त, 1 की परिधि को अनियंत्रित करने के कार्य का एनीमेशन, 1 के त्रिज्या वाला एक वृत्त। चूंकि {{math|1=''C'' = 2''πr''}}, इकाई वृत्त की परिधि {{math|2π}} है।]]गणित में, एक इकाई वृत्त इकाई त्रिज्या का एक वृत्त होता है - अर्थात, 1 की त्रिज्या।<ref>{{Cite web|title=यूनिट सर्कल|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitCircle.html|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com |language=en|access-date=2020-05-05}}</ref> प्रायः, विशेष रूप से [[त्रिकोणमिति]] में, इकाई वृत्त [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन समतल]] में कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में मूल(0, 0) पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त होता है। [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, इसे प्रायः {{math|''S''<sup>1</sup>}} के रूप में निरूपित किया जाता है क्योंकि यह एक आयामी इकाई {{math|''n''}}-वृत्त है।{{refn|group="note"|Confusingly, in geometry a unit circle is often considered to be a 2-sphere—not a 1-sphere. The unit circle is "embedded" in a 2-dimensional plane that contains both height and width—hence why it is called a 2-sphere in geometry. However, the surface of the circle itself is one-dimensional, which is why topologists classify it as a 1-sphere. For further discussion, see the [[Circle|technical distinction between a circle and a disk]].<ref name = "Unit sphere" />}}
-यदि {{math|(''x'', ''y'')}} यूनिट सर्कल की परिधि पर एक बिंदु है, तो {{math|{{abs|''x''}}}} और {{math|{{abs|''y''}}}} एक समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई है जिसके कर्ण की लंबाई 1 है। इस प्रकार, [[पाइथागोरस प्रमेय]] द्वारा, {{math|''x''}} और {{math|''y''}} समीकरण को संतुष्ट करें
+यदि {{math|(''x'', ''y'')}} इकाई वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है, तो {{math|{{abs|''x''}}}} और {{math|{{abs|''y''}}}} एक समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई है जिसके कर्ण की लंबाई 1 है। इस प्रकार, [[पाइथागोरस प्रमेय]] द्वारा, {{math|''x''}} और {{math|''y''}} समीकरण
-<math display="block">x^2 + y^2 = 1.</math>
+<math display="block">x^2 + y^2 = 1</math> को संतुष्ट करते हैं।
-तब से {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}} सबके लिए {{math|''x''}}, और यूनिट सर्कल पर किसी भी बिंदु के प्रतिबिंब के बाद से {{math|''x''}}- या {{math|''y''}}-एक्सिस यूनिट सर्कल पर भी है, उपरोक्त समीकरण सभी बिंदुओं के लिए है {{math|(''x'', ''y'')}} यूनिट सर्कल पर, न केवल पहले चतुर्थांश में।
-यूनिट सर्कल के इंटीरियर को ओपन [[यूनिट डिस्क]] कहा जाता है, जबकि यूनिट सर्कल के इंटीरियर को यूनिट सर्कल के साथ ही बंद यूनिट डिस्क कहा जाता है।
+चूँकि {{math|1=''x''<sup>2</sup> = (−''x'')<sup>2</sup>}} सभी {{math|''x''}} के लिए, और चूँकि {{math|''x''}}- या {{math|''y''}}-अक्ष के विषय में किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब भी इकाई वृत्त पर है, उपरोक्त समीकरण इकाई वृत्त पर सभी बिंदुओं {{math|(''x'', ''y'')}} के लिए मान्य है, न मात्र प्रथम चतुर्थांश में।
-अन्य इकाई वृत्तों को परिभाषित करने के लिए दूरी की अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि रीमानियन वृत्त; अतिरिक्त उदाहरणों के लिए [[मानदंड (गणित)]] पर लेख देखें।
+इकाई वृत्त के अंतःस्थ को विवृत [[यूनिट डिस्क|इकाई डिस्क]] कहा जाता है, जबकि इकाई वृत्त के अंतःस्थ को इकाई वृत्त के साथ ही बंद इकाई डिस्क कहा जाता है।
-== जटिल विमान में ==
+अन्य इकाई वृत्तों को परिभाषित करने के लिए दूरी की अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि रीमानियन वृत्त; अतिरिक्त उदाहरणों के लिए [[मानदंड (गणित)|मानदंड(गणित]]) पर लेख देखें।
-{{main|unit complex numbers}}
-[[File:Unitycircle-complex.gif|thumb|कोणों के साथ यूनिट सर्कल का एनिमेशन]]जटिल तल में, इकाई परिमाण की संख्या को इकाई [[जटिल संख्या]] कहा जाता है। यह जटिल संख्याओं का समूह है {{mvar|z}} ऐसा है कि <math>|z| = 1.</math> वास्तविक और काल्पनिक घटकों में विभाजित होने पर <math>z = x + iy,</math> यह स्थिति है <math>|z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2 = 1.</math>
-जटिल इकाई चक्र को कोण माप द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है <math>\theta</math> जटिल चरघातांकी फलन का उपयोग करके धनात्मक वास्तविक अक्ष से, <math>z = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.</math> (यूलर का सूत्र देखें।)
-जटिल गुणन संक्रिया के अंतर्गत, इकाई सम्मिश्र संख्याएँ [[समूह (गणित)]] होती हैं जिन्हें वृत्त समूह कहा जाता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है <math>\mathbb{T}.</math> [[क्वांटम यांत्रिकी]] में, एक इकाई जटिल संख्या को [[चरण कारक]] कहा जाता है।
+== सम्मिश्र समतल में ==
+{{main|इकाई सम्मिश्र संख्या}}
+[[File:Unitycircle-complex.gif|thumb|कोणों के साथ इकाई वृत्त का एनिमेशन]]सम्मिश्र समतल में, इकाई परिमाण की संख्या को इकाई [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं का {{mvar|z}} समूह है जैसे कि <math>|z| = 1</math>। वास्तविक और काल्पनिक अवयवों <math>z = x + iy</math> में विभाजित होने पर, यह स्थिति <math>|z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2 = 1</math> है।
+सम्मिश्र चरघातांकी फलन <math>z = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta</math> का उपयोग करके धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण माप <math>\theta</math> द्वारा सम्मिश्र इकाई वृत्त को प्राचलीकरण किया जा सकता है(यूलर का सूत्र देखें।)
-== यूनिट सर्कल == पर त्रिकोणमितीय कार्य
+सम्मिश्र गुणन संक्रिया के अंतर्गत, इकाई सम्मिश्र संख्याएँ [[समूह (गणित)|समूह(गणित]]) होती हैं जिन्हें वृत्त समूह कहा जाता है, जिसे सामान्यतः <math>\mathbb{T}</math>निरूपित किया जाता है। [[क्वांटम यांत्रिकी]] में, इकाई सम्मिश्र संख्या को [[चरण कारक]] कहा जाता है।
-[[Image:Circle-trig6.svg|right|thumb|300px|कोण के सभी त्रिकोणमितीय कार्य {{math|''θ''}} (थीटा) का निर्माण ज्यामितीय रूप से O पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त के रूप में किया जा सकता है।]]
-[[File:Periodic sine.PNG|thumb|यूनिट सर्कल (शीर्ष) और उसके ग्राफ (नीचे) पर साइन फ़ंक्शन]][[त्रिकोणमितीय कार्य]] कोण के कोसाइन और साइन होते हैं {{math|''θ''}} यूनिट सर्कल पर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि {{math|(''x'', ''y'')}} यूनिट सर्कल पर एक बिंदु है, और यदि किरण मूल से है {{math|(0, 0)}} को {{math|(''x'', ''y'')}} कोण बनाता है {{math|''θ''}} सकारात्मक से {{math|''x''}}-एक्सिस, (जहां वामावर्त मोड़ सकारात्मक है), फिर
+== इकाई वृत्त पर त्रिकोणमितीय फलन ==
+[[Image:Circle-trig6.svg|right|thumb|300px|कोण के सभी त्रिकोणमितीय फलन {{math|''θ''}}(थीटा) का निर्माण ज्यामितीय रूप से O पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त के रूप में किया जा सकता है।]]
+[[File:Periodic sine.PNG|thumb|इकाई वृत्त(शीर्ष) और उसके ग्राफ(नीचे) पर ज्या फलन ]]कोण {{math|''θ''}} के [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय फलन]] कोज्या और ज्या को इकाई वृत्त पर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि {{math|(''x'', ''y'')}} इकाई वृत्त पर एक बिंदु है, और यदि अर्धरेखा मूल {{math|(0, 0)}} को {{math|(''x'', ''y'')}} धनात्मक x-अक्ष से कोण {{math|''θ''}} बनाता है,(जहाँ वामावर्त घूमना धनात्मक है) , फिर
 <math display="block">\cos \theta = x \quad\text{and}\quad \sin \theta = y.</math>
-समीकरण {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}} सम्बन्ध देता है
+समीकरण {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1}} सम्बन्ध
-<math display="block"> \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.</math>
+<math display="block"> \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1</math> देता है।
-यूनिट सर्कल यह भी दर्शाता है कि पहचान के साथ साइन और [[कोज्या]] आवधिक कार्य हैं
-<math display="block">\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)</math>
-<math display="block">\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta)</math>
-किसी भी [[पूर्णांक]] के लिए {{math|''k''}}.
-त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता को दर्शाने के लिए इकाई वृत्त पर निर्मित त्रिभुजों का भी उपयोग किया जा सकता है। सबसे पहले, एक त्रिज्या बनाएँ {{math|OP}} उत्पत्ति से {{math|O}} एक स्तर तक {{math|P(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} यूनिट सर्कल पर ऐसा है कि एक कोण {{math|''t''}} साथ {{math|0 < ''t'' < {{sfrac|π|2}}}} की धनात्मक भुजा से बनता है {{math|''x''}}-एक्सिस। अब एक बिंदु पर विचार करें {{math|Q(''x''<sub>1</sub>,0)}} और रेखा खंड {{math|PQ ⊥ OQ}}. परिणाम एक समकोण त्रिभुज है {{math|△OPQ}} साथ {{math|1=∠QOP = ''t''}}. चूंकि {{math|PQ}} लंबाई है {{math|''y''<sub>1</sub>}}, {{math|OQ}} लंबाई {{math|''x''<sub>1</sub>}}, और {{math|OP}} यूनिट सर्कल पर त्रिज्या के रूप में लंबाई 1 है, {{math|1=sin(''t'') = ''y''<sub>1</sub>}} और {{math|1=cos(''t'') = ''x''<sub>1</sub>}}. इन तुल्यताओं को स्थापित करने के बाद, एक और त्रिज्या लें {{math|OR}} उत्पत्ति से एक बिंदु तक  {{math|R(−''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} वृत्त पर ऐसा है कि समान कोण {{math|''t''}} की ऋणात्मक भुजा से बनता है {{math|''x''}}-एक्सिस। अब एक बिंदु पर विचार करें {{math|S(−''x''<sub>1</sub>,0)}} और रेखा खंड {{math|RS ⊥ OS}}. परिणाम एक समकोण त्रिभुज है {{math|△ORS}} साथ {{math|1=∠SOR = ''t''}}. इसलिए यह देखा जा सकता है कि, क्योंकि {{math|1=∠ROQ = π − ''t''}}, {{math|R}} पर है {{math|(cos(π − ''t''), sin(π − ''t''))}} उसी तरह जिस पर पी है {{math|(cos(''t''), sin(''t''))}}. निष्कर्ष यह है कि, चूंकि  {{math|(−''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} वैसा ही है जैसा कि {{math|(cos(π − ''t''), sin(π − ''t''))}} और {{math|(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} वैसा ही है जैसा कि {{math|(cos(''t''),sin(''t''))}}, यह सच है कि {{math|1=sin(''t'') = sin(π − ''t'')}} और {{math|1=−cos(''t'') = cos(π − ''t'')}}. इसी से अंदाजा लगाया जा सकता है {{math|1=tan(π − ''t'') = −tan(''t'')}}, जबसे {{math|1=tan(''t'') = {{sfrac|''y''<sub>1</sub>|''x''<sub>1</sub>}}}} और {{math|1=tan(π − ''t'') = {{sfrac|''y''<sub>1</sub>|−''x''<sub>1</sub>}}}}. उपरोक्त का एक सरल प्रदर्शन समानता में देखा जा सकता है {{math|1=sin({{sfrac|π|4}}) = sin({{sfrac|3π|4}}) = {{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}}}.
-समकोण त्रिभुजों के साथ कार्य करते समय, ज्या, कोज्या, और अन्य त्रिकोणमितीय फलन केवल शून्य से अधिक और इससे कम के कोण मापों के लिए अर्थपूर्ण होते हैं {{sfrac|{{pi}}|2}}. हालांकि, जब यूनिट सर्कल के साथ परिभाषित किया जाता है, तो ये फ़ंक्शन किसी भी [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान कोण माप के लिए अर्थपूर्ण मान उत्पन्न करते हैं - यहां तक कि 2 से अधिक वाले भी{{pi}}. वास्तव में, सभी छह मानक त्रिकोणमितीय कार्य - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक, और कोसेकेंट, साथ ही [[उसका संस्करण]] और [[अमल में लाना]] जैसे पुरातन कार्य - एक इकाई वृत्त के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।
+इकाई वृत्त यह भी दर्शाता है कि ज्या और [[कोज्या]] आवधिक फलन हैं, किसी भी [[पूर्णांक]] {{math|''k''}} के लिए तत्समक<math display="block">\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)</math><math display="block">\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta)</math>के साथ।
-यूनिट सर्कल का उपयोग करके, लेबल किए गए कोणों के अलावा कई कोणों के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मानों को त्रिकोणमितीय पहचान#कोण योग और अंतर पहचान का उपयोग करके हाथ से आसानी से गणना की जा सकती है।
-[[Image:Unit circle angles color.svg|thumb|300px|यूनिट सर्कल, [[सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक]] दिखा रहा है]] <!--Get a picture with the tangent values show-->
+त्रिकोणमितीय फलनों की आवधिकता को दर्शाने के लिए इकाई वृत्त पर निर्मित त्रिभुजों का भी उपयोग किया जा सकता है। सबसे पूर्व, इकाई वृत्त पर {{math|O}} से एक बिंदु {{math|P(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} तक एक त्रिज्या {{math|OP}} का निर्माण करें जैसे कि {{math|0 < ''t'' < {{sfrac|π|2}}}} के साथ एक कोण {{math|''t''}} {{math|''x''}}-अक्ष की धनात्मक भुजा के साथ बनता है। अब बिंदु {{math|Q(''x''<sub>1</sub>,0)}} और रेखा खंड {{math|PQ ⊥ OQ}} पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज {{math|△OPQ}} है जिसमें {{math|1=∠QOP = ''t''}} है। चूंकि {{math|PQ}} की लंबाई {{math|''y''<sub>1</sub>}} है, {{math|OQ}} की लंबाई {{math|''x''<sub>1</sub>}} है, और {{math|OP}} की लंबाई 1 इकाई वृत्त पर त्रिज्या के रूप में, {{math|1=sin(''t'') = ''y''<sub>1</sub>}} और {{math|1=cos(''t'') = ''x''<sub>1</sub>}}है। इन तुल्यताओं को स्थापित करने के बाद, एक अन्य त्रिज्या {{math|OR}} को मूल से वृत्त पर एक बिंदु {{math|R(−''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} पर इस प्रकार ले जाएं कि {{math|''x''}}-अक्ष की ऋणात्मक भुजा के साथ वही कोण {{math|''t''}} बन जाए। अब एक बिंदु {{math|S(−''x''<sub>1</sub>,0)}} और रेखा खंड {{math|RS ⊥ OS}} पर विचार करें। परिणाम एक समकोण त्रिभुज {{math|△ORS}} साथ {{math|1=∠SOR = ''t''}} है। इसलिए यह देखा जा सकता है कि, क्योंकि {{math|1=∠ROQ = π − ''t''}}, {{math|R}} पर है {{math|(cos(π − ''t''), sin(π − ''t''))}} उसी प्रकार जैसे P पर {{math|(cos(''t''), sin(''t''))}} है। निष्कर्ष यह है कि, चूंकि {{math|(−''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} {{math|(cos(π − ''t''), sin(π − ''t''))}} के समान है और {{math|(''x''<sub>1</sub>,''y''<sub>1</sub>)}} {{math|(cos(''t''),sin(''t''))}} के समान है, यह सच है कि {{math|1=sin(''t'') = sin(π − ''t'')}} और {{math|1=−cos(''t'') = cos(π − ''t'')}}। इस प्रकार से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि {{math|1=tan(π − ''t'') = −tan(''t'')}}, चूँकि {{math|1=tan(''t'') = {{sfrac|''y''<sub>1</sub>|''x''<sub>1</sub>}}}} और {{math|1=tan(π − ''t'') = {{sfrac|''y''<sub>1</sub>|−''x''<sub>1</sub>}}}}। उपरोक्त का सरल प्रदर्शन समानता {{math|1=sin({{sfrac|π|4}}) = sin({{sfrac|3π|4}}) = {{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}}} में देखा जा सकता है।
+समकोण त्रिभुजों के साथ कार्य करते समय, ज्या, कोज्या, और अन्य त्रिकोणमितीय फलन मात्र शून्य से अधिक और {{sfrac|{{pi}}|2}} से कम के कोण मापों के लिए अर्थपूर्ण होते हैं। यद्यपि, जब इकाई वृत्त के साथ परिभाषित किया जाता है, तो ये फलन किसी भी [[वास्तविक संख्या]]-मानित कोण माप के लिए अर्थपूर्ण मान उत्पन्न करते हैं - यहां तक कि 2{{pi}} से भी अधिक । वस्तुत:, सभी छह मानक त्रिकोणमितीय फलन - ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक, और व्युत्क्रमज्या, साथ ही [[उसका संस्करण|दक्ष दक्ष]] और [[अमल में लाना|पूर्व व्युत्क्रमज्या]] जैसे पुरातन फलन - एक इकाई वृत्त के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।
-== जटिल गतिशीलता ==
+इकाई वृत्त का उपयोग करके, लेबल किए गए कोणों के अतिरिक्त कई कोणों के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फलन के मानों को त्रिकोणमितीय तत्समक और अंतर तत्समक का उपयोग करके हाथ से सरलता से गणना की जा सकती है।
-{{Main|Complex dynamics}}
-[[Image:Erays.png|right|thumb|जटिल गतिकी में इकाई चक्र]]विकास कार्य के साथ डायनेमिक सिस्टम (परिभाषा) का [[जूलिया सेट]]:
-<math display="block">f_0(x) = x^2</math>
-एक इकाई वृत्त है। यह सबसे सरल मामला है इसलिए इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
+[[Image:Unit circle angles color.svg|thumb|300px|इकाई वृत्त, [[सटीक त्रिकोणमितीय स्थिरांक|निश्चित त्रिकोणमितीय स्थिरांक]] दिखा रहा है]]
+== सम्मिश्र गतिशीलता ==
+{{Main|सम्मिश्र गतिशीलता}}
+[[Image:Erays.png|right|thumb|सम्मिश्र गतिकी में इकाई वृत्त]]क्रमिक विकास फलन के साथ गतिशील प्रणाली(परिभाषा) का [[जूलिया सेट|जूलिया समूह]]:
+<math display="block">f_0(x) = x^2</math>एक इकाई वृत्त है। यह सबसे सरल स्थिति है इसलिए इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
 ==टिप्पणियाँ==
 {{Reflist|group=note}}
@@ Line 53: / Line 49: @@
 == यह भी देखें ==
-<!-- Keep See also in one column -->
 * [[कोण माप]]
-*पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान
+*पाइथागोरस त्रिकोणमितीय तत्समक
-* रिमानियन सर्कल
+* रिमानियन वृत्त
 * [[इकाई कोण]]
-* यूनिट डिस्क
+* इकाई डिस्क
-*[[इकाई क्षेत्र]]
+*[[इकाई क्षेत्र|इकाई वृत्त]]
-*[[यूनिट हाइपरबोला]]
+*[[यूनिट हाइपरबोला|इकाई अतिपरवलय]]
 *[[इकाई वर्ग]]
-* बारी (इकाई)
+* फेर(इकाई)
 *जेड-रूपांतरण
 श्रेणी:मंडलियां
-श्रेणी:1 (संख्या)
+श्रेणी:1(संख्या)
 श्रेणी:त्रिकोणमिति
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