क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता

क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता अंतरिक्ष-समय और कणों की विशेषताओं का वर्णन करती है जो क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में और मानक मॉडल (गणितीय सूत्रीकरण) और संघनित पदार्थ भौतिकी के गणितीय सूत्रीकरण में अनुप्रयोगों के साथ कुछ परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तित हैं। सामान्य रुप से भौतिक सिद्धांतों और मॉडलों को तैयार करने के लिए भौतिकी में समरूपता, अपरिवर्तनीय भौतिकी और संरक्षण नियन भौतिकी, सैद्धांतिक भौतिकी रूप से महत्वपूर्ण बाधाएँ हैं। इन समस्याओं को हल करने और क्या हो सकता है इसका पूर्वानुमान करने के लिए विभिन्न तरीके हैं। जबकि संरक्षण नियम सदैव प्रत्यक्ष समस्या का जवाब नहीं देते हैं वे सही बाधाएं और कई समस्याओं को हल करने के लिए पहला चरण बनाते हैं।

यह लेख निरंतर समरूपता के साथ-साथ उनके क्वांटम संचालक भौतिकी मे परस्परिक क्रिया के रूप मे बीच के संबंध की रूपरेखा देता है और उन्हें लाई समूहों से संबंधित करता है तथा लोरेंत्ज़ समूह और पॉइंकेयर समूह में सापेक्ष परिवर्तन करता है।

संकेतन

इस आलेख में प्रयुक्त संकेतन विनियमन इस प्रकार हैं। बोल्डफेस सदिश, यूक्लिडियन सदिश, आव्यूह (गणित) और प्रदिश संक्रियक को इंगित करता है, जबकि क्वांटम स्थिति ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करते हैं। चौड़ी टोपियां संक्रियकों के लिए हैं, संकीर्ण टोपियां यूनिट सदिश के लिए हैं (प्रदिश तालिका संकेतन में उनके घटकों सहित)। दोहराए गए प्रदिश सूचकांकों पर योग फलन का उपयोग किया जाता है, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए। मिन्कोव्स्की मीट्रिक हस्ताक्षर (+−−−) है।

गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में तरंग फलन पर समरूपता परिवर्तन

सतत समरूपता

सामान्यतः निरंतर समरूपता और संरक्षण नियमों के बीच नोथेर की प्रमेय द्वारा दिया जाता है।

मौलिक क्वांटम संक्रियक का रूप उदाहरण के लिए आंशिक समय व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा और एक स्थानिक प्रवणता के रूप में गति स्पष्ट हो जाती है जब कोई प्रारंभिक अवस्था पर विचार करता है फिर इसके एक पैरामीटर को अपेक्षाकृत रूप से परिवर्तित कर देता है। यह विस्थापन (लंबाई), अवधि (समय) और कोण (घूर्णन) के लिए किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इन राशियों के संरक्षण को दर्शाते हुए लंबाई और कोणों में इस प्रकार के परिवर्तन करके कुछ राशियों के आक्रमण को देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, केवल एक-कण तरंग पर परिवर्तन रूप में कार्य करता है:

$${\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')$$

माना जाता है कि जहां ${\widehat {\Omega }}$ एक एकात्मक संक्रियक को दर्शाता है। अंतरिक्ष, समय और घूर्णन के परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले संक्रियकों के लिए सामान्यतः यूनिटेरिटी की आवश्यकता होती है, क्योंकि इस स्थिति के मानदंड (कुछ घूर्णन के साथ कण को ​​​​खोजने की कुल संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं) इन परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होना चाहिए। व्युत्क्रम हर्मिटियन संयुग्म ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$ है परिणामों को कई-कण तरंगों तक विस्तृत किया जा सकता है। मानक के रूप में डायराक संकेतन में लिखे गए, क्वांटम स्थैतिक सदिश पर परिवर्तन हैं:

$${\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle$$

इस समीकरण मे ${\widehat {\Omega }}$ परिवर्तन ψ(r, t) को ψ(r′, t′) और व्युत्क्रम ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dagger }$ परिवर्तन ψ(r′, t′) वापस ψ(r, t), है तो संक्रियक ${\widehat {A}}$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय ${\widehat {\Omega }}$ संतुष्ट है:

$${\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi$$

और इस प्रकार:

$$[{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0$$

किसी भी स्थिति के लिए ψ वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले क्वांटम संक्रियकों को हर्मिटियन संक्रियक होने की भी आवश्यकता होती है ताकि उनके आइगेन मान ​​​​वास्तविक संख्याएं हों अर्थात संक्रियक अपने हर्मिटियन संयुग्म ${\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }$के बराबर हो सके।

लाई समूह सिद्धांत का अवलोकन

For एक पूर्ण प्रदर्शनी और विवरण, see लाई समूह and जनरेटर (गणित).

क्वांटम सिद्धांत से संबंधित समूह सिद्धांत के प्रमुख बिंदु निम्नलिखित हैं, पूरे लेख में उदाहरण दिए गए हैं। आव्यूह समूहों का उपयोग करने वाले वैकल्पिक दृष्टिकोण के लिए, हॉल की पुस्तकें देखें।

माना कि G एक लाई समूह है यह एक ऐसा समूह है जो स्थानीय रूप से परिमित संख्या से पैरामीटर है N वास्तविक संख्या सतत फलन पैरामीटर ξ₁, ξ₂, ..., ξ_N. अधिक गणितीय भाषा में, इसका तात्पर्य यह है कि G एक समतल बहुआयामी है जो एक समूह भी है जिसके लिए समूह संक्रियक हैं।

• समूह का आयाम, N, इसके पैरामीटर्स की संख्या है।
• समूह तत्व (गणित) s, g, में G पैरामीटर के फलन (गणित) हैं:
  $$g=G(\xi _{1},\xi _{2},\dots )$$
  और शून्य पर समुच्चय सभी पैरामीटर समूह के पहचान तत्व को वापस करते हैं:
  $$I=G(0,0,\dots )$$
  समूह तत्व प्रायः आव्यूह होते हैं जो सदिश पर कार्य करते हैं या फलन पर कार्य करने वाले परिवर्तन होते हैं।
• समूह के मूल समूह पैरामीटर के संबंध में समूह तत्वों के आंशिक व्युत्पन्न हैं जिसके परिणाम का मूल्यांकन तब किया जाता है जब पैरामीटर शून्य पर समुच्चय होता है:
  $$X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}$$
  बहुआयामी की भाषा में मूल पहचान पर G के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व हैं। मूल समूह को अत्यल्प समूह तत्वों या G के लाई बीजगणित के तत्वों के रूप में भी जाना जाता है। (नीचे कम्यूटेटर की चर्चा देखें।) सैद्धांतिक भौतिकी में जनरेटर का एक पहलू यह है कि वे खुद को समरूपता के अनुरूप संक्रियकों के रूप में निर्मित कर सकते हैं, जिन्हें मैट्रिक्स के रूप में या अंतर संक्रियकों के रूप में लिखा जा सकता है। क्वांटम सिद्धांत में, समूह के एकात्मक प्रतिनिधित्व के लिए, जनरेटर को एक कारक की आवश्यकता होती है i:
  $$X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}$$
  समूह के जनरेटर एक सदिश स्थान बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि जनरेटर के रैखिक संयोजन भी एक जनरेटर बनाते हैं।
• जनरेटर (चाहे मैट्रिसेस या डिफरेंशियल संक्रियक) कम्यूटेटर को संतुष्ट करते हैं:
  $$\left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}$$
  कहाँ f_abc समूह के (आधार पर निर्भर) संरचना स्थिरांक हैं। यह सदिश अंतरिक्ष संपत्ति के साथ मिलकर एक समूह के सभी जनरेटर का सेट एक लाइ बीजगणित बनाता है। कोष्ठक के प्रतिसममिति के कारण, समूह के संरचना स्थिरांक पहले दो सूचकांकों में प्रतिसममित हैं।
• समूह प्रतिनिधित्व तब उन तरीकों का वर्णन करता है जो समूह G (या इसका लाई बीजगणित) सदिश स्थान पर कार्य कर सकता है। (सदिश स्थान हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक हैमिल्टनियन के लिए ईजेनवेक्टरों का स्थान G इसके समरूपता समूह के रूप में।) हम पूंजी का उपयोग करके प्रतिनिधित्व को निरूपित करते हैं D. कोई तब अंतर कर सकता है D लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए, जिसे अक्सर द्वारा भी निरूपित किया जाता है D. ये दो अभ्यावेदन निम्नानुसार संबंधित हैं:
  $$D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}$$
  आइंस्टीन नोटेशन के बिना j. प्रतिनिधित्व रैखिक संचालक हैं जो समूह तत्वों को लेते हैं और रचना नियम को संरक्षित करते हैं:
  $$D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).$$

एक प्रतिनिधित्व जिसे अन्य अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग में विघटित नहीं किया जा सकता है, उसे अलघुकरणीय कहा जाता है। एक सुपरस्क्रिप्टेड संख्या द्वारा अलघुकरणीय अभ्यावेदन को लेबल करना पारंपरिक है n कोष्ठक में, के रूप में D⁽ⁿ⁾, या यदि एक से अधिक संख्याएँ हैं, तो हम लिखते हैं D^{(n, m, ...)}.

क्वांटम सिद्धांत में एक अतिरिक्त सूक्ष्मता उत्पन्न होती है, जहां दो सदिश जो एक स्केलर द्वारा गुणन से भिन्न होते हैं, एक ही भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहां, प्रतिनिधित्व की प्रासंगिक धारणा एक प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व है, जो केवल स्केलर तक संरचना कानून को संतुष्ट करता है। क्वांटम मैकेनिकल स्पिन के संदर्भ में, ऐसे अभ्यावेदन को spinor कहा जाता है।

गति और ऊर्जा अनुवाद और समय के विकास के जनरेटर के रूप में, और रोटेशन

अंतरिक्ष अनुवाद संक्रियक (क्वांटम यांत्रिकी) ${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$ एक अत्यल्प विस्थापन द्वारा अंतरिक्ष निर्देशांक को स्थानांतरित करने के लिए एक तरंग समारोह पर कार्य करता है Δr. मुखर अभिव्यक्ति ${\widehat {T}}$ के टेलर विस्तार द्वारा जल्दी से निर्धारित किया जा सकता है ψ(r + Δr, t) के बारे में r, फिर (पहले क्रम की अवधि को ध्यान में रखते हुए और दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों की उपेक्षा करते हुए), संवेग संचालक द्वारा अंतरिक्ष डेरिवेटिव को बदलें ${\widehat {\mathbf {p} }}$. इसी तरह समय अनुवाद संक्रियक के लिए टाइम पैरामीटर पर कार्य करने के लिए, टेलर का विस्तार ψ(r, t + Δt) के बारे में है t, और समय व्युत्पन्न ऊर्जा संक्रियक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया ${\widehat {E}}$.

Name	Translation operator ${\widehat {T}}$	Time translation/evolution operator ${\widehat {U}}$
Action on wavefunction	${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)$	${\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)$
Infinitesimal operator	${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}$	${\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}$
Finite operator	$\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$	$\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)$
Generator	Momentum operator ${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$	Energy operator ${\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

लियोनहार्ड यूलर के कारण, उन सीमाओं के रूप में परिभाषा के अनुसार घातीय कार्य उत्पन्न होते हैं, और इन्हें शारीरिक और गणितीय रूप से निम्नानुसार समझा जा सकता है। एक शुद्ध अनुवाद कई छोटे अनुवादों से बना हो सकता है, इसलिए एक सीमित वेतन वृद्धि के लिए अनुवाद संक्रियक प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित करें Δr द्वारा Δr/N और Δt द्वारा Δt/N, कहाँ N एक धनात्मक अशून्य पूर्णांक है। फिर ऐसे N का परिमाण बढ़ता है Δr और Δt दिशाओं को अपरिवर्तित छोड़ते हुए और भी छोटा हो जाता है। वेवफंक्शन पर इनफिनिटिमल संक्रियकों का अभिनय N बार और सीमा के रूप में लेना N अनंत की ओर जाता है परिमित संचालक देता है।

स्पेस और टाइम ट्रांसलेशन कम्यूट करते हैं, जिसका मतलब है कि संक्रियक और जनरेटर कम्यूट करते हैं।

Commutators

Operators	Generators
$\left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$
$\left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन के लिए, समय में ऊर्जा का संरक्षण किया जाता है और क्वांटम अवस्थाएँ स्थिर अवस्थाएँ होती हैं: हैमिल्टनियन के ईजेनस्टेट्स ऊर्जा आइगेनवेल्यूज़ हैं E:

$${\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)$$

और सभी स्थिर राज्यों का रूप है

$$\psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})$$

कहाँ t₀ प्रारंभिक समय है, आमतौर पर शून्य पर सेट होता है क्योंकि प्रारंभिक समय सेट होने पर निरंतरता का कोई नुकसान नहीं होता है।

एक वैकल्पिक अंकन है ${\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})$.

घूर्णन के जनरेटर के रूप में कोणीय गति

कक्षीय कोणीय गति

रोटेशन संक्रियक एक निरंतर कोण द्वारा एक कण के स्थानिक निर्देशांक को घुमाने के लिए एक वेवफंक्शन पर कार्य करता है Δθ:

$${R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)$$

कहाँ r′ एक इकाई वेक्टर द्वारा परिभाषित अक्ष के बारे में घुमाए गए निर्देशांक हैं ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ एक कोणीय वृद्धि के माध्यम से Δθ, द्वारा दिए गए:

$$\mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.$$

कहाँ ${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})$ अक्ष और कोण पर निर्भर रोटेशन मैट्रिक्स है। समूह सैद्धांतिक भाषा में, रोटेशन मैट्रिक्स समूह तत्व हैं, और कोण और धुरी हैं $\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ त्रि-आयामी विशेष ओर्थोगोनल समूह, SO(3) के पैरामीटर हैं। मानक आधार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के बारे में रोटेशन मैट्रिसेस # मानक आधार में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ कोण के माध्यम से Δθ, और घूर्णन के संगत जनरेटर J = (J_x, J_y, J_z), हैं:

${\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \Delta \theta }}\right|_{\Delta \theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

आमतौर पर परिभाषित धुरी के बारे में घूर्णन के लिए ${\hat {\mathbf {a} }}$रोटेशन मैट्रिक्स तत्व हैं:

$$[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}$$

कहाँ δ_ij क्रोनकर डेल्टा है, और ε_ijk लेवी-सिविता प्रतीक है।

अंतरिक्ष और समय के अनुवाद की तुलना में घूर्णी संचालक का निर्धारण कैसे किया जाए, यह उतना स्पष्ट नहीं है। हम एक विशेष मामले पर विचार कर सकते हैं (रोटेशन के बारे में x, y, या z-अक्ष) तो सामान्य परिणाम का अनुमान लगाएं, या सीधे सामान्य रोटेशन मैट्रिक्स और टेंसर इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करें δ_ij और ε_ijk. छोटे से मेल खाती है जो अत्यल्प रोटेशन संक्रियक, व्युत्पन्न करने के लिए Δθ, हम छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करते हैं sin(Δθ) ≈ Δθ और cos(Δθ) ≈ 1, फिर टेलर के बारे में विस्तार करें r या r_i, पहला ऑर्डर टर्म रखें, और कोणीय संवेग संक्रियक घटकों को प्रतिस्थापित करें।

	Rotation about ${\hat {\mathbf {e} }}_{z}$	Rotation about ${\hat {\mathbf {a} }}$
Action on wavefunction	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)$	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)$
Infinitesimal operator	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}$	${\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end{aligned}}$
Infinitesimal rotations	${\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Same
Finite rotations	$\lim _{N\to \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}$	Same
Generator	z-component of the angular momentum operator ${\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Full angular momentum operator ${\widehat {\mathbf {L} }}$.

z}-कोणीय गति के घटक द्वारा परिभाषित अक्ष के साथ घटक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है ${\hat {\mathbf {a} }}$, डॉट उत्पाद का उपयोग करना ${\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}$.

फिर से, कई छोटे घुमावों से एक परिमित घुमाव बनाया जा सकता है Δθ द्वारा Δθ/N और सीमा के रूप में लेना N अनंत की ओर जाता है परिमित घुमाव के लिए परिमित परिचालक देता है।

एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णन होता है, उदाहरण के लिए कोणों के माध्यम से घूर्णन θ₁ और θ₂ अक्ष के बारे में i लिखा जा सकता है

$$R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.$$

हालाँकि, विभिन्न अक्षों के बारे में घुमाव कम्यूट नहीं करते हैं। सामान्य रूपान्तरण नियमों को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.$$

इस अर्थ में, कक्षीय कोणीय संवेग में घूर्णन के सामान्य ज्ञान गुण होते हैं। उपरोक्त कम्यूटेटर में से प्रत्येक को रोजमर्रा की वस्तु को पकड़कर और दोनों संभावित क्रमों में किसी भी दो अलग-अलग अक्षों के बारे में एक ही कोण से घुमाकर आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है; अंतिम विन्यास अलग हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, रोटेशन का एक और रूप है जो गणितीय रूप से कक्षीय मामले के समान दिखाई देता है, लेकिन इसके अलग-अलग गुण हैं, जिनका वर्णन आगे किया गया है।

स्पिन कोणीय गति

पिछली सभी मात्राओं की शास्त्रीय परिभाषाएँ हैं। स्पिन क्वांटम यांत्रिकी में कणों के पास एक मात्रा है, बिना किसी शास्त्रीय एनालॉग के, जिसमें कोणीय गति की इकाइयाँ होती हैं। स्पिन वेक्टर संक्रियक को निरूपित किया जाता है ${\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})$. इसके घटकों के eigenvalues ​​​​संभावित परिणाम हैं (इकाइयों में $\hbar$) आधार दिशाओं में से एक पर प्रक्षेपित स्पिन की माप।

एक अक्ष के बारे में (साधारण स्थान का) घुमाव ${\hat {\mathbf {a} }}$ कोण के माध्यम से θ यूनिट वेक्टर के बारे में ${\hat {a}}$ अंतरिक्ष में एक बिंदु पर एक मल्टीकंपोनेंट वेव फ़ंक्शन (स्पिनर) पर अभिनय करने वाले अंतरिक्ष में प्रतिनिधित्व किया जाता है:

Spin rotation operator (finite)

${\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)$

हालांकि, कक्षीय कोणीय गति के विपरीत जिसमें z-प्रक्षेपण क्वांटम संख्या होती हैℓ केवल धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक मान (शून्य सहित) ले सकता है, z-प्रोजेक्शन स्पिन क्वांटम संख्या s सभी धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-पूर्णांक मान ले सकता है। प्रत्येक चक्रण क्वांटम संख्या के लिए घूर्णी आव्यूह होते हैं।

दिए गए जेड-प्रक्षेपण स्पिन क्वांटम संख्या एस के लिए घातांक का मूल्यांकन एक (2s + 1)-आयामी स्पिन मैट्रिक्स देता है। यह एक स्पिनर को 2s + 1 घटकों के कॉलम वेक्टर के रूप में परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु पर स्पिन मैट्रिक्स के अनुसार घुमाए गए समन्वय प्रणाली में परिवर्तित हो जाता है।

एस = 1/2 के सबसे सरल गैर-तुच्छ मामले के लिए, स्पिन संक्रियक द्वारा दिया जाता है

$${\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$$

जहां मानक प्रतिनिधित्व में पॉल मैट्रिसेस हैं:

$$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$$

कुल कोणीय गति

कुल कोणीय गति संक्रियक कक्षीय और स्पिन का योग है

$${\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}$$

और बहु-कण प्रणालियों के लिए एक महत्वपूर्ण मात्रा है, विशेष रूप से परमाणु भौतिकी और बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं और अणुओं की क्वांटम रसायन शास्त्र में।

हमारे पास एक समान रोटेशन मैट्रिक्स है:

$${\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)$$

=== क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर === में संरक्षित मात्रा

एन आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसीलेटर का गतिशील समरूपता समूह विशेष एकात्मक समूह एसयू (एन) है। एक उदाहरण के रूप में, एसयू(2) और एसयू(3) के संगत लाई बीजगणित के अपरिमेय जनरेटर की संख्या क्रमशः तीन और आठ हैं। यह इन प्रणालियों में ठीक तीन और आठ स्वतंत्र संरक्षित मात्राओं (हैमिल्टनियन के अलावा) की ओर जाता है।

दो आयामी क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में हैमिल्टनियन और कोणीय गति की अपेक्षित संरक्षित मात्रा है, लेकिन ऊर्जा स्तर के अंतर की अतिरिक्त छिपी हुई संरक्षित मात्रा और कोणीय गति का दूसरा रूप है।

आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी में लोरेंत्ज़ समूह

निम्नलिखित लोरेंत्ज़ समूह का अवलोकन है; स्पेसटाइम में बूस्ट और रोटेशन का उपचार। इस पूरे खंड में, देखें (उदाहरण के लिए) टॉमी ओहल्सन|टी। ओहल्सन (2011) और ई। एबर्स (2004)। लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को तेज़ी से पैरामीट्रिज किया जा सकता है φ त्रि-आयामी इकाई वेक्टर की दिशा में बढ़ावा देने के लिए ${\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})$, और एक घूर्णन कोण θ त्रि-आयामी इकाई वेक्टर के बारे में ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ एक धुरी को परिभाषित करना, इसलिए $\varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})$ और $\theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ लोरेंत्ज़ समूह के छह पैरामीटर एक साथ हैं (तीन रोटेशन के लिए और तीन बूस्ट के लिए)। लोरेंत्ज़ समूह 6-आयामी है।

अंतरिक्ष-समय में शुद्ध घूर्णन

उपरोक्त विचार किए गए रोटेशन मैट्रिसेस और रोटेशन जेनरेटर शुद्ध-रोटेशन लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करते हुए, चार-आयामी मैट्रिक्स के स्पेसलाइक भाग का निर्माण करते हैं। लोरेंत्ज़ समूह के तीन तत्व ${\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}$ और जनरेटर J = (J₁, J₂, J₃) शुद्ध घुमावों के लिए हैं:

${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

घूर्णन आव्यूह किन्हीं चार सदिशों पर कार्य करते हैं A = (A₀, A₁, A₂, A₃) और उसके अनुसार अंतरिक्ष जैसे घटकों को घुमाएँ

$$\mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}$$

समय-समान समन्वय को अपरिवर्तित छोड़कर। मैट्रिक्स अभिव्यक्तियों में, A को कॉलम वेक्टर के रूप में माना जाता है।

स्पेसटाइम में शुद्ध बूस्ट

वेग के साथ बढ़ावा ctanhφ x, y, या z दिशाओं में मानक आधार कार्टेसियन समन्वय प्रणाली द्वारा दिए गए # मानक आधार में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$, बूस्ट ट्रांसफॉर्मेशन मेट्रिसेस हैं। ये मैट्रिसेस ${\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}$ और संबंधित जनरेटर K = (K₁, K₂, K₃) लोरेंत्ज़ समूह के शेष तीन समूह तत्व और जनरेटर हैं:

${\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

बूस्ट मेट्रिसेस किसी भी चार वेक्टर A = (A पर कार्य करता है₀, ए₁, ए₂, ए₃) और समय-जैसी और अंतरिक्ष-जैसी घटकों को मिलाएं:

$$\mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}$$

शब्द बूस्ट दो फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग को संदर्भित करता है, और अनुवाद के जनरेटर के रूप में संवेग के साथ सम्‍मिलित नहीं होना चाहिए, जैसा कि #The Poincare group in relativistic क्वांटम यांत्रिकी और क्षेत्र सिद्धांत में समझाया गया है।

बूस्ट और रोटेशन का संयोजन

रोटेशन के उत्पाद एक और रोटेशन देते हैं (एक उपसमूह का लगातार उदाहरण), जबकि बूस्ट और बूस्ट या रोटेशन और बूस्ट के उत्पादों को शुद्ध बूस्ट या शुद्ध रोटेशन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, किसी भी लोरेन्ट्ज़ परिवर्तन को शुद्ध रोटेशन और शुद्ध बढ़ावा के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अधिक पृष्ठभूमि के लिए देखें (उदाहरण के लिए) बी.आर. डर्नी (2011) और एचएल बर्क एट अल। और उसमें संदर्भ।

बूस्ट और रोटेशन जेनरेटर में दर्शाए गए प्रतिनिधित्व हैं D(K) और D(J) क्रमशः, राजधानी D इस संदर्भ में एक समूह प्रतिनिधित्व#परिभाषाओं को इंगित करता है।

लोरेंत्ज़ समूह के लिए, प्रतिनिधित्व D(K) और D(J) जनरेटर के K और J निम्नलिखित रूपांतरण नियमों को पूरा करें।

Commutators

	Generators	Representations
Pure rotation	$\left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}$	$\left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}$
Pure boost	$\left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}$	$\left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}$
Lorentz transformation	$\left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}$	$\left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}$

सभी कम्यूटेटरों में, रोटेशन के लिए उन लोगों के साथ मिश्रित बढ़ावा देने वाली संस्थाएं, हालांकि अकेले रोटेशन केवल एक और रोटेशन देते हैं। एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन#लाइ बीजगणित जेनरेटर बूस्ट और रोटेशन संक्रियक देता है जो सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन में संयोजित होता है, जिसके तहत स्पेसटाइम निर्देशांक एक बाकी फ्रेम से दूसरे बूस्टेड और/या रोटेटिंग फ्रेम में बदलते हैं। इसी तरह, जनरेटर के अभ्यावेदन को घातांक करने से बढ़ावा और रोटेशन संक्रियकों का प्रतिनिधित्व होता है, जिसके तहत एक कण का स्पिनर क्षेत्र रूपांतरित होता है।

Transformation laws

	Transformations	Representations
Pure boost	${\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)$	$D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)$
Pure rotation	${\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)$	$D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)$
Lorentz transformation	$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]$	$D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]$

साहित्य में, बढ़ावा जनरेटर K और रोटेशन जनरेटर J को कभी-कभी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के लिए एक जनरेटर में जोड़ा जाता है M, प्रविष्टियों के साथ एक एंटीसिमेट्रिक चार-आयामी मैट्रिक्स:

$$M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.$$

और तदनुसार, बूस्ट और रोटेशन पैरामीटर एक अन्य एंटीसिमेट्रिक चार-आयामी मैट्रिक्स में एकत्र किए जाते हैं ω, प्रविष्टियों के साथ:

$$\omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,$$

सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन तब है:

$$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]$$

आइंस्टीन संकेतन α और β के साथ। Λ आव्यूह किन्हीं चार सदिशों 'A' पर कार्य करते हैं = (A₀, ए₁, ए₂, ए₃) और समय-जैसी और अंतरिक्ष-जैसी घटकों को मिलाएं:

$$\mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A}$$

आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी में स्पिनर वेवफंक्शन का रूपांतरण

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, वेवफंक्शन अब एकल-घटक स्केलर फ़ील्ड नहीं हैं, लेकिन अब 2(2s + 1) घटक स्पिनर फ़ील्ड हैं, जहां s कण का स्पिन है। स्पेसटाइम में इन कार्यों के रूपांतरण नीचे दिए गए हैं।

एक उचित ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत (r, t) → Λ(r, t) Minkowski अंतरिक्ष में, सभी एक-कण क्वांटम स्थितियाँ ψ_σ लोरेंत्ज़ समूह के कुछ प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तहत स्थानीय रूप से रूपांतरित {{math|D}लोरेंत्ज़ समूह के }:

$$\psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))$$

कहाँ D(Λ) एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है, दूसरे शब्दों में a (2s + 1)×(2s + 1) आयामी स्क्वायर मैट्रिक्स, और ψ को कॉलम वेक्टर के रूप में माना जाता है जिसमें घटक होते हैं (2s + 1) के अनुमत मान σ:

$$\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}$$

वास्‍तविक अलघुकरणीय अभ्‍यावेदन और स्पिन

के अलघुकरणीय अभ्यावेदन D(K) और D(J), संक्षेप में, लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व को स्पिन करने के लिए बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। नए संक्रियकों को परिभाषित करना:

$$\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,$$

इसलिए A और B केवल एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं, यह इस प्रकार है कि वे सममित रूप से गठित कम्यूटेटर को संतुष्ट करते हैं:

$$\left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,$$

और ये अनिवार्य रूप से कम्यूटेटर हैं जो कक्षीय और स्पिन कोणीय गति संक्रियकों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए, A और B कोणीय संवेग के अनुरूप प्रचालक बीजगणित बनाते हैं; एक ही सीढ़ी संक्रियक # कोणीय गति, जेड-प्रक्षेपण, आदि, स्वतंत्र रूप से एक दूसरे के रूप में उनके प्रत्येक घटक पारस्परिक रूप से कम्यूट करते हैं। स्पिन क्वांटम संख्या के अनुरूप, हम सकारात्मक पूर्णांक या आधा पूर्णांक पेश कर सकते हैं, a, b, मूल्यों के संगत सेट के साथ m = a, a − 1, ... −a + 1, −a और n = b, b − 1, ... −b + 1, −b. उपरोक्त कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले मैट्रिसेस स्पिन ए और बी के समान हैं, जो क्रोनकर डेल्टा मानों को कोणीय गति मैट्रिक्स तत्वों के साथ गुणा करके दिए गए घटक हैं:

$$\left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}$$

$$\left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}$$

$$\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}$$

जहां प्रत्येक मामले में पंक्ति संख्या m′n′ और स्तंभ संख्या mn को अल्पविराम से अलग किया जाता है, और बदले में:

$$\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}$$

और इसी तरह जे^{(एन) </ समर्थन>। तीनों जे(m) मैट्रिक्स प्रत्येक हैं (2m + 1)×(2m + 1) स्क्वायर मेट्रिसेस, और तीन जे(n) प्रत्येक हैं (2n + 1)×(2n + 1) वर्ग मैट्रिक्स। पूर्णांक या आधा-पूर्णांक एम और एन लेखकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समतुल्य नोटेशन द्वारा सभी अलघुकरणीय अभ्यावेदन का अंकन करते हैं: D(m, n) ≡ (m, n) ≡ D(m) ⊗ D(n), जो प्रत्येक हैं [(2m + 1)(2n + 1)]×[(2m + 1)(2n + 1)] वर्ग मैट्रिक्स।}

इसे स्पिन वाले कणों पर लागू करना s;

• बाएं हाथ से काम करने वाला (2s + 1)-कंपोनेंट स्पिनर वास्तविक इरेप्स के तहत रूपांतरित होते हैं D^{(s, 0)},
• दांए हाथ से काम करने वाला (2s + 1)-कंपोनेंट स्पिनर वास्तविक इरेप्स के तहत रूपांतरित होते हैं D^{(0, s)},
• प्रत्यक्ष योग लेना इसका प्रतीक है ⊕ (सरल मैट्रिक्स अवधारणा के लिए मेट्रिसेस का प्रत्यक्ष योग देखें), जिसके तहत प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है 2(2s + 1)-घटक स्पिनर रूपांतरित होते हैं: D^{(m, n)} ⊕ D^{(n, m)} कहाँ m + n = s. ये भी वास्तविक अप्रासंगिक हैं, लेकिन जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, वे जटिल संयुग्मों में विभाजित हो जाते हैं।

इन मामलों में D किसी को संदर्भित करता है D(J), D(K), या एक पूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन D(Λ).

सापेक्ष तरंग समीकरण

Dirac समीकरण और Weyl समीकरण के संदर्भ में, Weyl spinors Weyl समीकरण को संतुष्ट करने वाले Lorentz समूह के सबसे सरल इरेड्यूसिबल स्पिन प्रस्तुतियों के तहत बदलते हैं, क्योंकि इस मामले में स्पिन क्वांटम संख्या सबसे छोटी गैर-शून्य संख्या की अनुमति है: 1/2 . 2-घटक बाएं हाथ का वेइल स्पिनर नीचे रूपांतरित होता है D^{(1/2, 0)} और 2-घटक दाएं हाथ का वेइल स्पिनर नीचे रूपांतरित होता है D^{(0, 1/2)}. डायराक समीकरण को संतुष्ट करने वाले डिराक स्पिनर प्रतिनिधित्व के तहत रूपांतरित होते हैं D^{(1/2, 0)} ⊕ D^{(0, 1/2)}, वेइल स्पिनर्स के लिए इरेप्स का सीधा योग।

== सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्षेत्र सिद्धांत == में पोंकारे समूह

अंतरिक्ष अनुवाद समरूपता, समय अनुवाद समरूपता, घूर्णी समरूपता, और लोरेंत्ज़ बूस्ट, सभी एक साथ मिलकर पोंकारे समूह का गठन करते हैं। समूह तत्व तीन रोटेशन मैट्रिसेस और तीन बूस्ट मैट्रिसेस हैं (जैसा कि लोरेंत्ज़ समूह में है), और एक टाइम ट्रांसलेशन के लिए और तीन स्पेसटाइम में स्पेस ट्रांसलेशन के लिए। प्रत्येक के लिए एक जनरेटर है। इसलिए, पोंकारे समूह 10-आयामी है।

विशेष आपेक्षिकता में, अंतरिक्ष और समय को चार-स्थिति सदिश में एकत्र किया जा सकता है X = (ct, −r), और समानांतर में ऊर्जा और संवेग भी हो सकते हैं जो चार-संवेग सदिश में संयोजित होते हैं P = (E/c, −p). सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी को ध्यान में रखते हुए, समय अवधि और स्थानिक विस्थापन पैरामीटर (कुल चार, समय के लिए एक और अंतरिक्ष के लिए तीन) एक स्पेसटाइम विस्थापन में संयोजित होते हैं ΔX = (cΔt, −Δr), और चार-मोमेंटम संक्रियक प्राप्त करने के लिए एनर्जी और मोमेंटम संक्रियक्स को फोर-मोमेंटम में डाला जाता है,

$${\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,$$

जो स्पेसटाइम अनुवाद के जनक हैं (कुल चार, एक बार और तीन स्पेस):

$${\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.$$

घटक चार-संवेग P (अंतरिक्ष-समय अनुवाद के जनरेटर), और कोणीय गति M (लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर) के बीच रूपांतरण संबंध हैं, जो पॉइनकेयर बीजगणित को परिभाषित करते हैं:

• $[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,$
• ${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,$

जहां η Minkowski मीट्रिक टेन्सर है। (कम्यूटेशन संबंधों में चार-मोमेंटम संक्रियकों के लिए किसी भी टोपी को गिराना आम है)। ये समीकरण अंतरिक्ष और समय के मौलिक गुणों की अभिव्यक्ति हैं जहां तक ​​​​वे आज भी ज्ञात हैं। उनके पास एक शास्त्रीय समकक्ष है जहां कम्यूटेटरों को पॉइसन ब्रैकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में स्पिन का वर्णन करने के लिए, पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर

$$W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },$$

एक कासिमिर संचालक, कुल कोणीय गति के लिए निरंतर स्पिन योगदान है, और पी और डब्ल्यू के बीच और एम और डब्ल्यू के बीच कम्यूटेशन संबंध हैं:

$$\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,$$

$$\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,$$

$$\left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.$$

डब्ल्यू से निर्मित इनवेरिएंट्स, कासिमिर अपरिवर्तनीय के उदाहरणों का उपयोग लोरेंत्ज़ समूह के इरेड्यूसबल अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और कण भौतिकी में समरूपता

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एकात्मक समूह

समूह सिद्धांत गणितीय रूप से समरूपता का विश्लेषण करने का एक अमूर्त तरीका है। एकात्मक संचालक क्वांटम सिद्धांत के लिए सर्वोपरि हैं, इसलिए कण भौतिकी में एकात्मक समूह महत्वपूर्ण हैं। N आयामी एकात्मक वर्ग मैट्रिक्स के समूह को U(N) निरूपित किया जाता है। एकात्मक संचालक आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करते हैं जिसका अर्थ है कि संभावनाएं भी संरक्षित हैं, इसलिए प्रणाली का क्वांटम यांत्रिकी एकात्मक परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। होने देना ${\widehat {U}}$ एक एकात्मक संकारक हो, इसलिए व्युत्क्रम हर्मिटियन आसन्न है ${\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }$, जो हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करता है:

$$\left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0$$

फिर संक्रियक के अनुरूप अवलोकन योग्य ${\widehat {U}}$ संरक्षित है, और हैमिल्टनियन परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है ${\widehat {U}}$.

चूंकि क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियां एक समूह की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय होनी चाहिए, भौतिकविद समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए एकात्मक परिवर्तनों की तलाश करते हैं।

प्रत्येक U(N) के महत्वपूर्ण उपसमूह वे एकात्मक मैट्रिसेस होते हैं जिनमें इकाई निर्धारक होते हैं (या एक-मॉड्यूलर होते हैं): इन्हें विशेष एकात्मक समूह कहा जाता है और इन्हें SU(N) के रूप में चिह्नित किया जाता है।

यू (1) ==

सबसे सरल एकात्मक समूह U(1) है, जो मॉड्यूलस 1 की जटिल संख्या है। यह एक आयामी मैट्रिक्स प्रविष्टि इस रूप की है:

$$U=e^{-i\theta }$$

जिसमें θ समूह का पैरामीटर है, और समूह एबेलियन है क्योंकि एक-आयामी आव्यूह हमेशा आव्यूह गुणन के अंतर्गत आवागमन करते हैं। जटिल अदिश क्षेत्रों के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में Lagrangians अक्सर U(1) परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं। यदि यू (1) समरूपता से जुड़ी एक क्वांटम संख्या है, उदाहरण के लिए इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंटरैक्शन में बेरोन और तीन लेप्टान नंबर, हमारे पास है:

$$U=e^{-ia\theta }$$

यू(2) और एसयू(2)

यू (2) तत्व के तत्व का सामान्य रूप दो जटिल संख्याओं ए और बी द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है:

$$U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix}}$$

और SU(2) के लिए, निर्धारक 1 तक सीमित है:

$$\det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1$$

समूह सैद्धांतिक भाषा में, पाउली मेट्रिसेस दो आयामों में विशेष एकात्मक समूह के जनरेटर हैं, जिन्हें एसयू (2) कहा जाता है। उनका रूपांतरण संबंध कक्षीय कोणीय गति के समान है, 2 के कारक से अलग:

$$[\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c}$$

SU(2) का एक समूह तत्व लिखा जा सकता है:

$$U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}$$

जहां प_jएक पाउली मैट्रिक्स है, और समूह पैरामीटर एक अक्ष के माध्यम से घुमाए गए कोण हैं।

द्वि-आयामी आइसोट्रोपिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर में समरूपता समूह एसयू (2) है, जबकि तर्कसंगत अनिसोट्रोपिक ऑसीलेटर का समरूपता बीजगणित यू (2) का एक गैर-रैखिक विस्तार है।

यू (3) और एसयू (3) ==

आठ गेल-मान आव्यूह λ_n (उनके लिए लेख देखें और संरचना स्थिरांक) क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के लिए महत्वपूर्ण हैं। वे मूल रूप से स्वाद के एसयू (3) सिद्धांत में उत्पन्न हुए थे जो अभी भी परमाणु भौतिकी में व्यावहारिक महत्व का है। वे SU(3) समूह के लिए जनरेटर हैं, इसलिए SU(3) के एक तत्व को SU(2) के एक तत्व के अनुरूप लिखा जा सकता है:

$$U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)$$

कहाँ θ_n आठ स्वतंत्र पैरामीटर हैं। वह λ_n आव्यूह कम्यूटेटर को संतुष्ट करते हैं:

$$\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c}$$

जहां सूचकांक a, b, c मान 1, 2, 3, ..., 8 लें। संरचना स्थिरांक f_abcSU(2) के अनुरूप सभी सूचकांकों में पूरी तरह से विषम हैं। मानक रंग आवेश के आधार पर (लाल के लिए r, हरे के लिए g, नीले के लिए b):

$$|r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$$

कलर स्टेट्स की आइजेनस्टेट्स हैं λ₃ और λ₈ मेट्रिसेस, जबकि अन्य मेट्रिसेस कलर स्टेट्स को एक साथ मिलाते हैं।

आठ ग्लून्स राज्य (8-आयामी कॉलम वैक्टर) एक साथ के आसन्न प्रतिनिधित्व के स्वदेशी हैं SU(3), 8-आयामी प्रतिनिधित्व अपने स्वयं के लाई बीजगणित पर कार्य करता है su(3), के लिए λ₃ और λ₈ मैट्रिक्स। अभ्यावेदन (मानक निरूपण और इसके दोहरे) के टेन्सर उत्पाद बनाकर और उपयुक्त भागफल, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, और अन्य हैड्रॉन लेकर विभिन्न अभ्यावेदन के ईजेनस्टेट्स हैं SU(3) रंग का। SU(3) के निरूपण को उच्चतम भार के एक प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

मैटर और एंटीमैटर

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, सापेक्षवादी तरंग समीकरण प्रकृति की एक उल्लेखनीय समरूपता की भविष्यवाणी करते हैं: प्रत्येक कण में एक समान एंटीपार्टिकल होता है। यह गणितीय रूप से स्पिनर क्षेत्रों में समाहित है जो सापेक्षिक तरंग समीकरणों के समाधान हैं।

चार्ज संयुग्मन कणों और एंटीपार्टिकल्स को स्विच करता है। इस ऑपरेशन द्वारा अपरिवर्तित भौतिक कानूनों और अंतःक्रियाओं में C समरूपता है।

असतत स्पेसटाइम समरूपता

• समता (भौतिकी) बाएं हाथ से दाएं हाथ के स्थानिक निर्देशांक के अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को प्रतिबिंबित करती है। अनौपचारिक रूप से, अंतरिक्ष इसकी दर्पण छवि में परिलक्षित होता है। इस ऑपरेशन द्वारा अपरिवर्तित भौतिक कानूनों और इंटरैक्शन में P समरूपता है।
• टी-समरूपता समय समन्वय को फ़्लिप करती है, जो भविष्य से अतीत तक चलने वाले समय की मात्रा है। समय की एक विचित्र संपत्ति, जो स्थान के पास नहीं है, वह यह है कि यह एकदिशात्मक है: समय में आगे की ओर यात्रा करने वाले कण समय में वापस यात्रा करने वाले एंटीपार्टिकल्स के बराबर होते हैं। इस ऑपरेशन द्वारा अपरिवर्तित भौतिक कानूनों और अंतःक्रियाओं में T समरूपता है।

सी, पी, टी समरूपता

• Parity (physics) § Molecules
• सीपीटी प्रमेय
• सीपी उल्लंघन
• गैर-हर्मिटियन क्वांटम यांत्रिकी
• लोरेंत्ज़ उल्लंघन

गेज सिद्धांत

Main article: Gauge theory

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, स्थानीय समरूपता समूह यू (1) है और एबेलियन समूह है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, स्थानीय समरूपता समूह SU(3) है और गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन है।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंटरैक्शन फोटॉन द्वारा मध्यस्थ होता है, जिसमें विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता नहीं होता है। विद्युत चुम्बकीय टेंसर में गेज समरूपता रखने वाला एक इलेक्ट्रोमैग्नेटिक चार-संभावित क्षेत्र होता है।

मजबूत (रंग) बातचीत ग्लून्स द्वारा मध्यस्थ होती है, जिसमें आठ रंग के आरोप हो सकते हैं। संबंधित ग्लूऑन चार संभावित क्षेत्रों के साथ आठ ग्लूऑन फील्ड स्ट्रेंथ टेंसर हैं, जिनमें से प्रत्येक में गेज समरूपता है।

मजबूत (रंग) इंटरैक्शन

कलर चार्ज

स्पिन संक्रियक के अनुरूप, गेल-मैन मैट्रिसेस के संदर्भ में रंग चार्ज संक्रियक हैं λ_j:

$${\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}$$

और चूंकि कलर चार्ज एक संरक्षित चार्ज है, सभी कलर चार्ज संक्रियकों को हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करनी चाहिए:

$$\left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0$$

समभारिक प्रचक्रण

आइसोस्पिन को मजबूत इंटरैक्शन में संरक्षित किया जाता है।

कमजोर और विद्युत चुम्बकीय बातचीत

द्वैत परिवर्तन

चुंबकीय मोनोपोल को सैद्धांतिक रूप से महसूस किया जा सकता है, हालांकि वर्तमान अवलोकन और सिद्धांत उनके मौजूदा या मौजूदा नहीं होने के अनुरूप हैं। एक चुंबकीय मोनोपोल #द्वैत परिवर्तन द्वारा विद्युत और चुंबकीय आवेशों को प्रभावी रूप से एक दूसरे में घुमाया जा सकता है।

विद्युत दुर्बल समरूपता

• विद्युत कमजोर समरूपता
• इलेक्ट्रोवीक समरूपता टूट रही है

सुपरसिममेट्री

Main article: Supersymmetry

ले सुपरएलजेब्रा एक बीजगणित है जिसमें (उपयुक्त) आधार तत्वों का या तो रूपांतरण संबंध होता है या एक प्रतिसंयोजन संबंध होता है। समरूपता को इस प्रभाव के लिए प्रस्तावित किया गया है कि सभी फर्मीओनिक कणों में बोसोनिक अनुरूप होते हैं, और इसके विपरीत। इन समरूपता में सैद्धांतिक अपील है कि समरूपता को छोड़कर कोई अतिरिक्त धारणा (जैसे तारों का अस्तित्व) नहीं बनाई जाती है। इसके अलावा, सुपरसिमेट्री मानकर, कई पेचीदा मुद्दों को हल किया जा सकता है। ये समरूपताएं, जो लाइ सुपरएलगेब्रस द्वारा प्रस्तुत की जाती हैं, की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि नहीं की गई है। अब यह माना जाता है कि यदि वे मौजूद हैं, तो वे टूटी हुई समरूपताएँ हैं। लेकिन यह अनुमान लगाया गया है कि गहरे द्रव्य ग्रेविटिनो का गठन करता है, द्रव्यमान के साथ एक स्पिन 3/2 कण, इसका सुपरसिमेट्रिक पार्टनर [[गुरुत्वाकर्षण]] है।

विनिमय समरूपता या क्रमपरिवर्तन समरूपता

See also: Spin-statistics theorem, Exchange interaction, Identical particles, and Holstein–Herring method

विनिमय समरूपता या क्रमचय समरूपता की अवधारणा क्वांटम सांख्यिकी के एक मूलभूत अभिधारणा से ली गई है, जिसमें कहा गया है कि दो समान कणों के आदान-प्रदान के बाद कोई भी प्रत्यक्ष भौतिक मात्रा नहीं बदलनी चाहिए। इसमें कहा गया है कि क्योंकि सभी अवलोकन योग्य आनुपातिक हैं $\left|\psi \right|^{2}$ समान कणों की एक प्रणाली के लिए, तरंग कार्य $\psi$ ऐसे एक्सचेंज पर या तो वही रहना चाहिए या साइन बदलना चाहिए। अधिक आम तौर पर, n समान कणों की एक प्रणाली के लिए तरंग कार्य करता है $\psi$ परिमित सममित समूह S के एक अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व के रूप में रूपांतरित होना चाहिए_n. यह पता चला है कि, स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के अनुसार, फ़र्मियन राज्य S के एंटीसिमेट्रिक इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के रूप में रूपांतरित होते हैं_nऔर बोसोन सममित अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में बताता है। अणुओं की रोविब्रोनिक अवस्थाओं के समरूपता वर्गीकरण के लिए क्रिस्टोफर लॉन्गेट-हिगिंस | लॉन्गेट-हिगिंस स्थानिक उलटा के साथ उपयुक्त समान परमाणु क्रमपरिवर्तन और क्रमपरिवर्तन के समूह के रूप में आणविक समरूपता समूह की शुरुआत की।

क्योंकि दो समान कणों का आदान-प्रदान गणितीय रूप से प्रत्येक कण के 180 डिग्री के ROTATION के बराबर है (और इसलिए एक कण के फ्रेम के 360 डिग्री के रोटेशन के लिए), रोटेशन संक्रियक (क्वांटम यांत्रिकी) लागू होने के बाद तरंग फ़ंक्शन की सममित प्रकृति कण के स्पिन (भौतिकी) पर निर्भर करती है। पूर्णांक स्पिन कण 360 डिग्री रोटेशन पर अपने वेव फ़ंक्शन के संकेत को नहीं बदलते हैं - इसलिए पूरे सिस्टम के वेव फ़ंक्शन का संकेत नहीं बदलता है। अर्ध-पूर्णांक स्पिन कण 360 डिग्री रोटेशन पर अपने तरंग फ़ंक्शन का संकेत बदलते हैं (स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय में और देखें)।

वे कण जिनके लिए वेव फंक्शन एक्सचेंज पर साइन नहीं बदलता है, उन्हें बोसॉन या सिमेट्रिक वेव फंक्शन वाले कण कहा जाता है। वे कण जिनके लिए सिस्टम का वेव फंक्शन बदलता है, उन्हें फ़र्मियन कहा जाता है, या एक विषम संबंध वेव फ़ंक्शन वाले कण।

इसलिए फ़र्मियन बोसोन (जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं) की तुलना में विभिन्न आँकड़ों (जिसे फ़र्मी-डिराक आँकड़े कहा जाता है) का पालन करते हैं। फर्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों में से एक फ़र्मियन के लिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत है - कोई भी दो समान फ़र्मियन एक ही क्वांटम अवस्था को साझा नहीं कर सकते हैं (दूसरे शब्दों में, एक ही राज्य में दो समान फ़र्मियों का तरंग कार्य शून्य है)। यह बदले में fermions के लिए अध: पतन दबाव का परिणाम है - छोटी मात्रा में संपीड़न के लिए fermions का मजबूत प्रतिरोध। यह प्रतिरोध साधारण परमाणु पदार्थ की "कठोरता" या "कठोरता" को जन्म देता है (क्योंकि परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन होते हैं जो फर्मन होते हैं)।

यह भी देखें

• सममित समूह
• स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय
• अनुमानित प्रतिनिधित्व
• कासिमिर संचालक
• पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर
• सामान्य सापेक्षता में समरूपता
• पुनर्सामान्यीकरण समूह
• एक झूठ समूह का प्रतिनिधित्व
• पोंकारे समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
• लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Barnes, K.J. (2010). Group theory for the standard model and beyond. Series in high energy physics, cosmology, and gravitation. Taylor & Francis. ISBN 978-142-007-874-9.
• Chaichian, M.; Hagedorn, R. (1998). Symmetry in quantum mechanics: From angular momentum to supersymmetry. Graduate student series in physics. Institute of physics (Bristol and Philadelphia). ISBN 0-7503-0408-1.
• Hall, Brian C. (2013). Quantum Theory for Mathematicians. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. S2CID 117837329.
• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 222 (2nd ed.). Springer. doi:10.1007/978-3-319-13467-3. ISBN 978-3-319-13466-6.
• Haywood, S. (2011). Symmetries and Conservation Laws in Particle Physics: An Introduction to Group Theory for Particle Physicists. World Scientific. ISBN 978-184-816-703-2.
• Ladd, M.F.C. (1989). Symmetry in molecules and crystals. Solid state science. Ellis Horwood series in physical chemistry. ISBN 0-85312-255-5.
• Ludwig, W.; Falter, C. (1996). Symmetries in physics. Solid state science (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-60284-4.
• Martin, B.R.; Shaw, G. (2013). Particle Physics. Manchester Physics Series (3rd ed.). Wiley. p. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
• McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Moretti, V. (2018). Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation. Unitext. Vol. 110 (2nd ed.). Springer. doi:10.1007/978-3-319-70706-8. ISBN 978-3-319-70705-1. S2CID 125121522.

बाहरी संबंध

• (2010) Irreducible Tensor Operators and the Wigner-Eckart Theorem Archived 2014-07-20 at the Wayback Machine
• Reece, R.D. (2006). "A Derivation of the Quantum Mechanical Momentum Operator in the Position Representation".
• Soper, D.E. (2011). "Position and momentum in quantum mechanics" (PDF).
• Lie groups
• Porter, F. (2009). "Lie Groups and Lie Algebras" (PDF).
• Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine
• Mulders, P.J. (November 2011). "Quantum field theory" (PDF). Department of Theoretical Physics, VU University. 6.04.
• Hall, B.C. (2000). "An Elementary Introduction to Groups and Representations". arXiv:math-ph/0005032.