G2 (गणित): Difference between revisions

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 {{DISPLAYTITLE:G<sub>2</sub> (mathematics)}}
 {{Group theory sidebar |Topological}}
-{{Lie groups |Simple}}
+गणित में, G<sub>2</sub> तीन सरल [[झूठ समूह|अपरिभाषित समूह]] (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके अपरिभाषिते बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2,</math> साथ ही साथ कुछ [[बीजगणितीय समूह]] है। वे पाँच असाधारण [[सरल झूठ समूह|सरल अपरिभाषित समूह]] में से सबसे छोटे हैं। G<sub>2</sub> का रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] हैं, जिसमें आयाम 7 और 14 है।
-गणित में जी<sub>2</sub>तीन सरल [[झूठ समूह]]ों (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके झूठे बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2,</math> साथ ही कुछ [[बीजगणितीय समूह]]। वे पाँच असाधारण [[सरल झूठ समूह]]ों में से सबसे छोटे हैं। जी<sub>2</sub> रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो [[मौलिक प्रतिनिधित्व]] हैं, आयाम 7 और 14 के साथ।
+G<sub>2</sub> का संक्षिप्त रूप को [[ऑक्टोनियन]] बीजगणितक [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को उसके 8-आयामी [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] [[spinor]] [[समूह प्रतिनिधित्व]] (एक [[स्पिन प्रतिनिधित्व]]) में संरक्षित करता है।
-जी. का संक्षिप्त रूप<sub>2</sub> [[ऑक्टोनियन]] के [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो अपने 8-आयामी [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] [[spinor]] [[समूह प्रतिनिधित्व]] (एक [[स्पिन प्रतिनिधित्व]]) में किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को संरक्षित करता है।
 == इतिहास ==
-झूठ बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math>, सबसे छोटा असाधारण सरल झूठ बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले सरल झूठ बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, [[ विल्हेम हत्या ]] ने [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]] को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी सरल झूठ बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं <math>\mathfrak{g}_2</math>.<ref>{{cite journal
+अपरिभाषित बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math>, सबसे छोटा असाधारण साधारण अपरिभाषित बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले साधारण अपरिभाषित बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम हत्या]] ने [[फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ)]] को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी साधारण अपरिभाषित बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं <math>\mathfrak{g}_2</math>.<ref>{{cite journal
   | last = Agricola | first = Ilka | author-link = Ilka Agricola
   | issue = 8
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   | volume = 55
   | year = 2008}}</ref>
-में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से लैस है - जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का एक सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math> अनंत समरूपता के रूप में प्रकट होता है।<ref>{{cite journal|author=Élie Cartan|title=परिमित और सतत सरल समूहों की संरचना पर|journal=C. R. Acad. Sci.|volume=116|year=1893|pages=784–786}}</ref> उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी यही बात देखी। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के कॉन्फ़िगरेशन का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण होता है जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना रोल करता है।<ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the "rolling distribution" | author = Gil Bor and Richard Montgomery |journal =L'Enseignement Mathématique|volume =55|year=2009|pages=157–196|doi=10.4171/lem/55-1-8|arxiv=math/0612469| s2cid = 119679882 }}</ref><ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the rolling ball | author = John Baez and John Huerta |arxiv=1205.2447|journal =Trans. Amer. Math. Soc.|volume =366| issue = 10 |year=2014|pages=5257–5293|doi=10.1090/s0002-9947-2014-05977-1}}</ref>
+में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया । <math>\mathbb{C}^5</math> एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से सुसज्जित है - अर्थात्, जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}_2</math> अतिसूक्ष्म सममिति के रूप में प्रकट होता है।<ref>{{cite journal|author=Élie Cartan|title=परिमित और सतत सरल समूहों की संरचना पर|journal=C. R. Acad. Sci.|volume=116|year=1893|pages=784–786}}</ref> उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी इसी बात पर ध्यान दिया। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के विन्यास का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण के साथ जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना लुढ़कता है।<ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the "rolling distribution" | author = Gil Bor and Richard Montgomery |journal =L'Enseignement Mathématique|volume =55|year=2009|pages=157–196|doi=10.4171/lem/55-1-8|arxiv=math/0612469| s2cid = 119679882 }}</ref><ref>{{cite journal| title = G<sub>2</sub> and the rolling ball | author = John Baez and John Huerta |arxiv=1205.2447|journal =Trans. Amer. Math. Soc.|volume =366| issue = 10 |year=2014|pages=5257–5293|doi=10.1090/s0002-9947-2014-05977-1}}</ref>
-में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा जी के जटिल रूप में संरक्षित है।<sub>2</sub>.<ref>{{cite journal|author=Friedrich Engel|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना|journal=Leipz. Ber.|volume=52|year=1900|pages=63–76,220–239}}</ref>
+में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) G<sub>2</sub> के जटिल रूप के लिए एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा संरक्षित है।<ref>{{cite journal|author=Friedrich Engel|title=रैखिक परिसर के अनुरूप एक नई संरचना|journal=Leipz. Ber.|volume=52|year=1900|pages=63–76,220–239}}</ref>
-में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आयामी सरल झूठ समूह है।<ref>{{cite book|author=Élie Cartan|chapter= Nombres complexes|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year= 1908|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G का सघन वास्तविक रूप है<sub>2</sub>.<ref>{{citation|author=Élie Cartan|title=Les groupes reels simples finis et continus|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=31|year=1914|pages=255–262}}</ref>
+में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आ*यामी सरल अपरिभाषित समूह है।<ref>{{cite book|author=Élie Cartan|chapter= Nombres complexes|title=गणितीय विज्ञान का विश्वकोश|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|year= 1908|pages = 329–468}}</ref> 1914 में उन्होंने कहा कि यह G<sub>2</sub>का सघन वास्तविक रूप है। <ref>{{citation|author=Élie Cartan|title=Les groupes reels simples finis et continus|journal=Ann. Sci. École Norm. Sup.|volume=31|year=1914|pages=255–262}}</ref>
-पुरानी किताबों और पत्रों में, जी<sub>2</sub> कभी-कभी ई द्वारा चिह्नित किया जाता है<sub>2</sub>.
+पुरानी किताबों और पत्रों में, G<sub>2</sub> को कभी-कभी E<sub>2</sub> द्वारा निरूपित किया जाता है।सार बीजगणित में, एक परिमित समूह एक समूह है जिसका अंतर्निहित सेट परिमित है। गणितीय या भौतिक वस्तुओं की समरूपता पर विचार करते समय परिमित समूह अक्सर उत्पन्न होते हैं, जब वे वस्तुएँ संरचना-संरक्षण परिवर्तनों की एक सीमित संख्या को स्वीकार करती हैं। परिमित समूहों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में चक्रीय समूह और क्रमपरिवर्तन समूह शामिल हैं।
 == वास्तविक रूप ==
-इस रूट सिस्टम से जुड़े 3 सरल रियल लाई बीजगणित हैं:
+इस रूट प्रणाली से जुड़े 3 सरल वास्तविक लाई बीजगणित हैं:
-*जटिल लाई बीजगणित जी का अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित<sub>2</sub> इसका आयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबद्ध समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G का कॉम्पैक्ट रूप है<sub>2</sub>.
+*जटिल लाई बीजगणित G<sub>2</sub> के अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित काआयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबंधित समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G<sub>2</sub> का कॉम्पैक्ट रूप है।
-*सघन रूप का झूठ बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
+*सघन रूप का अपरिभाषित बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
-* गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}}. इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो बस जुड़ा हुआ है।
+* गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका [[बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह]] तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है {{nowrap|SU(2) × SU(2)/(−1,−1)}} है। इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो कि केवल जुड़ा हुआ है।
 == बीजगणित ==
 === डाइकिन आरेख और कार्टन मैट्रिक्स ===
-जी के लिए [[डायनकिन आरेख]]<sub>2</sub> is given by [[Image:Dynkin diagram G2.png|जी 2 का डायकिन आरेख]].
+G<sub>2</sub> के लिए [[डायनकिन आरेख]] द्वारा दिया गया है: [[Image:Dynkin diagram G2.png|जी 2 का डायकिन आरेख]].
 इसका [[कार्टन मैट्रिक्स]] है:
@@ Line 47: / Line 45: @@
-=== जी की जड़ें<sub>2</sub> ===
+=== जी<sub>2</sub> के मूल ===
 {| class=wikitable width=480
 |- valign=top
-|[[File:Root system G2.svg|160px]]<BR>The 12 vector [[root system]] of G<sub>2</sub> in 2 dimensions.
+|[[File:Root system G2.svg|160px]]<BR>2 आयामों में G<sub>2</sub> की 12 सदिश [[root system]] (मूल प्रणाली)।
-|[[File:3-cube t1.svg|160px]]<BR>The A<sub>2</sub> [[Coxeter plane]] projection of the 12 vertices of the [[cuboctahedron]] contain the same 2D vector arrangement.
+|[[File:3-cube t1.svg|160px]]<BR>[[cuboctahedron]] (क्यूबोक्टाहेड्रोन) के 12 शीर्षों के A<sub>2</sub> [[Coxeter plane]] (कॉक्सेटर समतल) प्रक्षेपण में समान 2D सदिश व्यवस्था होती है।
-|[[Image:G2Coxeter.svg|160px]]<BR>Graph of G2 as a subgroup of F4 and E8 projected into the Coxeter plane
+|[[Image:G2Coxeter.svg|160px]]<BR>F4 और E8 के उपसमूह के रूप में G<sub>2</sub> का ग्राफ कॉक्सेटर विमान में प्रक्षेपित किया गया।
 |}
-के लिए सरल जड़ों का एक सेट {{Dynkin2|node_n1|6a|node_n2}} ऊपर कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उनके द्वारा फैलाए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं हैं (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं की जा सकती)। उपरोक्त आरेख एक अलग जोड़ी जड़ों से प्राप्त किया गया है: <math>\alpha = \left( \sqrt{2}, 0 \right)</math> और <math display="inline">\beta = \left(\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{6}},\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{6},1 \right)</math>. शेष धनात्मक जड़ें | (सकारात्मक) जड़ें A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β हैं। यद्यपि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैलाते हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह तीन-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में [[सदिश स्थल]] के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:
+के लिए सरल मूलों का एक सेट {{Dynkin2|node_n1|6a|node_n2}} सीधे ऊपर दिए गए कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उन लोगों द्वारा स्पैन किए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं है (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली को पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं किया जा सकता है)।ऊपर दिया गया आरेख एक अलग जोड़ी मूलों से प्राप्त किया जाता है: <math>\alpha = \left( \sqrt{2}, 0 \right)</math> और <math display="inline">\beta = \left(\sqrt{2}\cos{\frac{5\pi}{6}},\sin{\frac{5\pi}{6}}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{6},1 \right)</math>. शेष धनात्मक मूलें |
+शेष (धनात्मक) मूल हैं A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β । हालांकि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैले हुए हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह त्रि-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में [[सदिश स्थल]] के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:
 {|
 |
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 :(1,1,&minus;2), (&minus;1,&minus;1,2)
 |}
-सरल जड़ों का संगत सेट है:
+सरल मूलों का संगत सेट है:
 :e₁−e₂ = (1,−1,0), और −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1)
 नोट: α और A मिलकर Root_system#An|A₂ के लिए रूट सिस्टम ''समान'' बनाते हैं, जबकि β और B द्वारा गठित सिस्टम Root_system#An|A₂ के लिए ''आइसोमॉर्फिक'' है।
@@ Line 73: / Line 73: @@
 === विशेष पवित्रता ===
-जी<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi ]] समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। जी के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G2 मैनिफोल्ड भी कहा जाता है|G<sub>2</sub>-कई गुना।
+G<sub>2</sub> संभावित विशेष समूहों में से एक है जो एक [[रिमेंनियन मीट्रिक]] के [[ holonomi |holonomi]] (समग्र)समूह के रूप में प्रकट हो सकता है। G के [[कई गुना]]<sub>2</sub> होलोनॉमी को G<sub>2</sub> मैनिफोल्ड भी कहा जाता है।
 == बहुपद अपरिवर्तनीय ==
@@ Line 96: / Line 96: @@
 -F+M&E+L& K &-C+J& -I & H & 0
 \end{bmatrix}</math>
-यह बिल्कुल समूह का झूठ बीजगणित है
+यह बिल्कुल समूह का अपरिभाषित बीजगणित है
 : <math>G_2=\{g\in SO(7):g^*\varphi=\varphi, \varphi = \omega^{123} + \omega^{145} + \omega^{167} + \omega^{246} - \omega^{257} - \omega^{347} - \omega^{356}\}</math>
@@ Line 102: / Line 102: @@
 == प्रतिनिधित्व ==
-वास्तविक और जटिल लाई बीजगणित और लाई समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण [[वेइल वर्ण सूत्र]] द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं {{OEIS|id=A104599}}:
+वास्तविक और जटिल अपरिभाषित बीजगणित और लाई (अपरिभाषित) समूहों के परिमित-आयामी अभ्यावेदन के वर्ण [[वेइल वर्ण सूत्र]] द्वारा दिए गए हैं। सबसे छोटे अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम हैं {{OEIS|id=A104599}}:
-:1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार) , 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 .
+:1, 7, 14, 27, 64, 77 (दो बार), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (दो बार), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (दो बार), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 1156, 11648 .
--आयामी प्रतिनिधित्व झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी एक जी की क्रिया है<sub>2</sub> काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर।
+-आयामी प्रतिनिधित्व अपरिभाषित बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व है, और 7-आयामी प्रतिनिधित्व काल्पनिक ऑक्टोनियंस पर G<sub>2</sub> की क्रिया है।
-आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (#Dynkin आरेख में दो नोड्स के अनुरूप इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक)।
+आयाम 77, 2079, 4928, 30107, आदि के दो गैर-आइसोमॉर्फिक इर्रेड्यूबल निरूपण हैं। मौलिक प्रतिनिधित्व वे हैं जो आयाम 14 और 7 के साथ हैं (डाइनकिन आरेख में दो नोड्स के अनुसार इस क्रम में कि ट्रिपल तीर बिंदु पहले से दूसरे तक इंगित करता है)।
-{{harvtxt|Vogan|1994}} जी के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया<sub>2</sub>.
+{{harvtxt|Vogan|1994}} ने G<sub>2</sub> के विभाजित वास्तविक रूप के (अनंत-आयामी) एकात्मक इरेड्यूसबल निरूपण का वर्णन किया ।
 == परिमित समूह ==
-समूह जी<sub>2</sub>(q) बीजगणितीय समूह G के बिंदु हैं<sub>2</sub> [[परिमित क्षेत्र]] F पर<sub>''q''</sub>. इन परिमित समूहों को पहली बार [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] द्वारा 1990 में पेश किया गया था {{harvtxt|Dickson|1901}} विषम क्ष और के लिए {{harvtxt|Dickson|1905}} भी क्यू के लिए। जी. का आदेश<sub>2</sub>(क्यू) है {{nowrap|''q''<sup>6</sup>(''q''<sup>6</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − 1)}}. कब {{nowrap|''q'' ≠ 2}}, समूह सरल समूह है, और कब {{nowrap|1=''q'' = 2}}, इसमें उपसमूह 2 आइसोमोर्फिक के सूचकांक का एक साधारण उपसमूह है <sup>2</सुप>ए<sub>2</sub>(3<sup>2</sup>), और ऑक्टोनियंस के अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह है। जांको समूह जांको समूह जे1|जे<sub>1</sub>जी के एक उपसमूह के रूप में पहली बार बनाया गया था<sub>2</sub>(11). {{harvtxt|Ree|1960}} ने ट्विस्टेड [[ री समूह ]] पेश किए <sup>2</सुप>जी<sub>2</sub>(क्यू) आदेश {{nowrap|''q''<sup>3</sup>(''q''<sup>3</sup> + 1)(''q'' − 1)}} के लिए {{nowrap|1=''q'' = 3<sup>2''n''+1</sup>}}, 3 की एक विषम शक्ति।
+समूह G<sub>2</sub>(q) [[परिमित क्षेत्र]] Fq बीजगणितीय समूह G<sub>2</sub> के बिंदु हैं । इन परिमित समूहों को सर्वप्रथम [[लियोनार्ड यूजीन डिक्सन]] {{harvtxt|Dickson|1901}} विषम q के लिए {{harvtxt|Dickson|1905}} के लिए सम q के लिए पेश किया गया था। G<sub>2</sub> (q) की कोटि {{nowrap|''q''<sup>6</sup>(''q''<sup>6</sup> − 1)(''q''<sup>2</sup> − 1)}} है। जब {{nowrap|''q'' ≠ 2}}, समूह सरल समूह है, और जब {{nowrap|1=''q'' = 2}} होता है, तो इसमें 2A<sub>2</sub>(32) के सूचकांक 2 आइसोमॉर्फिक का एक सरल उपसमूह होता है, और ऑक्टोनियंस के एक अधिकतम क्रम का ऑटोमोर्फिज्म समूह होता है। जांको समूह J<sub>2</sub> का निर्माण सबसे पहले G<sub>2</sub>(11) के उपसमूह के रूप में किया गया था।{{harvtxt|Ree|1960}} (1960) ने {{nowrap|1=''q'' = 3<sup>2''n''+1</sup>}}, 3 की एक विषम शक्ति के लिए आदेश {{nowrap|''q''<sup>3</sup>(''q''<sup>3</sup> + 1)(''q'' − 1)}}के मुड़ [[ री समूह |री समूह]] 2 G<sub>2</sub>(q) की शुरुआत की।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 121: / Line 121: @@
 * मौलिक प्रतिनिधित्व
 * जी2-संरचना|जी<sub>2</sub>-संरचना
-* झूठ समूह
+* अपरिभाषित समूह
 * [[सात आयामी क्रॉस उत्पाद]]
-* सरल झूठ समूह
+* सरल अपरिभाषित समूह
 ==संदर्भ==
@@ Line 136: / Line 136: @@
 *{{Citation | last1=Vogan | first1=David A. Jr. | title=The unitary dual of G<sub>2</sub> | doi=10.1007/BF01231578 | year=1994 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=116 | issue=1 | pages=677–791 | mr=1253210| bibcode=1994InMat.116..677V | s2cid=120845135 }}
-{{Exceptional_Lie_groups}}
-{{String theory topics |state=collapsed}}
-[[Category: बीजगणितीय समूह]] [[Category: झूठ बोलने वाले समूह]] [[Category: Octonions]] [[Category: असाधारण झूठ बीजगणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/03/2023]]
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