सह समुच्चय

G समूह है (ℤ/8ℤ, +), पूर्णांक मॉड्यूल n अतिरिक्त के अनुसार। उपसमूह H में केवल 0 और 4 होते हैं। के चार बाएँ सहसमुच्चय हैं H: H अपने आप, 1 + H, 2 + H, और 3 + H (योगात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा गया है क्योंकि यह योगात्मक समूह है)। वे सब मिलकर पूरे समूह का विभाजन करते हैं G समान-बनावट, गैर-अतिव्यापी समुच्चय में। एक उपसमूह का सूचकांक [G : H] 4 है।

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत, समूह G के एक उपसमूह H का उपयोग G के अंतर्निहित समुच्चय(गणित) को विघटित करने के लिए किया जा सकता है, समान आकार के उपसमुच्चय जिन्हें सहसमुच्चय कहा जाता है। बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय हैं। सहसमुच्चय्स (बाएं और दाएं दोनों) में समान संख्या में तत्व (प्रमुखता) जैसे H होते हैं। इसके अलावा, H स्वयं बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय दोनों है। G में H के बाएँ सहसमुच्चयों की संख्या G में H के दाएँ सहसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। इस सामान्य मान को G में H का सूचकांक कहा जाता है और इसे आमतौर पर [G : H] द्वारा निरूपित किया जाता है।

समूहों के अध्ययन में सहसमुच्चय एक बुनियादी उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, वे लाग्रेंज के प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं जो बताता है कि किसी भी परिमित समूह G के लिए, G के प्रत्येक उपसमूह H के तत्वों की संख्या G के तत्वों की संख्या को विभाजित करती है। एक विशेष प्रकार के उपसमूह (एक सामान्य उपसमूह) के सहसमुच्चय का उपयोग दूसरे समूह के तत्वों के रूप में किया जा सकता है जिसे भागफल समूह या कारक समूह कहा जाता है। जैसे वेक्टर रिक्त स्थान और त्रुटि सुधार कोड सहसमुच्चय गणित के अन्य क्षेत्रों में भी दिखाई देते हैं।

परिभाषा

मान लीजिये H एक उपसमूह है समूह G का जिसकी संक्रिया गुणक रूप से लिखी गई है (जुगलबंदी समूह संक्रिया को दर्शाती है)। g के एक तत्व G को देखते हुए, G में H के बाएं सहसमुच्चय G के एक निश्चित तत्व G द्वारा H के प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त किए गए समुच्चय हैं (जहां G बाएं कारक है)। प्रतीकों में ये हैं,

gH = {gh : h an element of H} for g in G.

सही सहसमुच्चय समान रूप से परिभाषित किए गए हैं, सिवाय इसके कि तत्व g अब एक सही कारक है, अर्थात,

Hg = {hg : h an element of H} for g in G.

जैसा g समूह के माध्यम से भिन्न होता है, ऐसा प्रतीत होता है कि कई सहसमुच्चय (दाएं या बाएं) उत्पन्न होंगे। फिर भी, यह पता चला है कि कोई भी दो बाएं सहसमुच्चय (क्रमशः दाएं सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त हैं या समुच्चय के रूप में समरूप हैं।

यदि समूह संक्रिया योगात्मक रूप से लिखी जाती है, जैसा कि अधिकांशतः होता है जब समूह आबेली समूह होता है, तो प्रयुक्त अंकन g + H या H + g, क्रमश बदल जाता है।

पहला उदाहरण

मान लीजिये G ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह हो। इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है {I, a, a², b, ab, a²b}. इस समूह में, a³ = b² = I और ba = a²b. संपूर्ण केली तालिका भरने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है:

∗	I	a	a2	b	ab	a2b
I	I	a	a2	b	ab	a2b
a	a	a2	I	ab	a2b	b
a2	a2	I	a	a2b	b	ab
b	b	a2b	ab	I	a2	a
ab	ab	b	a2b	a	I	a2
a2b	a2b	ab	b	a2	a	I

मान लीजिये T उपसमूह हो {I, b}. (भिन्न) के बाएं सहसमुच्चय T हैं:

• IT = T = {I, b},
• aT = {a, ab}, और
• a²T = {a², a²b}.

चूंकि सभी तत्व G अब इनमें से किसी एक सहसमुच्चय में प्रकट हो गए हैं, कोई और उत्पन्न करने से नए सहसमुच्चय नहीं मिल सकते हैं, क्योंकि एक नए सहसमुच्चय में इनमें से किसी एक सहसमुच्चय के साथ एक तत्व होना चाहिए और इसलिए इन सहसमुच्चयों में से एक के समान होना चाहिए, उदाहरण के लिए, abT = {ab, a} = aT.

का सही सहसमुच्चय T हैं:

• TI = T = {I, b},
• Ta = {a, ba} = {a, a²b} , और
• Ta² = {a², ba²} = {a², ab}.

इस उदाहरण में, को छोड़कर T, कोई बायाँ सहसमुच्चय भी दायाँ सहसमुच्चय नहीं है।

मान लीजिये H उपसमूह हो {I, a, a²}. के बाएं सहसमुच्चय H हैं IH = H और bH = {b, ba, ba²} का सही सहसमुच्चय H हैं HI = H और Hb = {b, ab, a²b} = {b, ba², ba}, इस स्थिति में, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय H का भी एक सही सहसमुच्चय H है।

मान लीजिये H किसी समूह का उपसमूह हो G और मान लीजिए g₁, g₂ ∈ G. निम्न कथन समतुल्य हैं:

• g₁H = g₂H
• Hg₁⁻¹ = Hg₂⁻¹
• g₁H ⊂ g₂H
• g₂ ∈ g₁H
• g₁⁻¹g₂ ∈ H

गुण

गैर-समरूप सहसमुच्चयों की असंगति इस तथ्य का परिणाम है कि यदि x से संबंधित gH तब gH = xH. यदि x ∈ gH तो वहाँ एक उपलब्ध होना चाहिए a ∈ H ऐसा है कि ga = x. इस प्रकार xH = (ga)H = g(aH). इसके अतिरिक्त, चूंकि H एक समूह है, बाएँ गुणन द्वारा a एक आपत्ति है, और aH = H.

इस प्रकार का हर तत्व G उपसमूह के ठीक एक बाएं सहसमुच्चय से संबंधित है H,और H अपने आप में एक बायां सहसमुच्चय है (और वह जिसमें पहचान है)।

एक ही बाएँ सहसमुच्चय में होने वाले दो तत्व भी एक प्राकृतिक तुल्यता संबंध प्रदान करते हैं। के दो तत्वों को परिभाषित कीजिए G, x और y, उपसमूह के संबंध में समतुल्य होना H यदि xH = yH (या समकक्ष यदि x⁻¹y से संबंधित H). इस संबंध के तुल्यता वर्ग के बाएँ सहसमुच्चय H हैं। तुल्यता वर्गों के किसी भी समुच्चय के साथ, वे अंतर्निहित समुच्चय का एक विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) बनाते हैं। समतुल्य वर्ग के अर्थ में एक सहसमुच्चय प्रतिनिधि एक प्रतिनिधि (गणित) है। सभी सहसमुच्चय्स के प्रतिनिधियों के एक समुच्चय को ट्रांसवर्सल (कॉम्बिनेटरिक्स) कहा जाता है। एक समूह में अन्य प्रकार के तुल्यता संबंध होते हैं, जैसे कि संयुग्मन, जो विभिन्न वर्गों का निर्माण करते हैं जिनमें यहां चर्चा किए गए गुण नहीं होते हैं।

समान कथन सही सहसमुच्चय पर लागू होते हैं।

यदि G तब एक एबेलियन समूह है g + H = H + g प्रत्येक उपसमूह के लिए H का G और हर तत्व g का G. सामान्य समूहों के लिए, एक तत्व दिया गया g और एक उपसमूह H समूह का G, का सही सहसमुच्चय H इसके संबंध में g संयुग्मी उपसमूह का बायां सहसमुच्चय भी है g⁻¹Hg इसके संबंध में g, वह है, Hg = g(g⁻¹Hg).

सामान्य उपसमूह

एक उपसमूह N समूह का G का एक सामान्य उपसमूह है G यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए g का G संबंधित बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय बराबर हैं, अर्थात, gN = Ng. यही स्थिति उपसमूह की है H उपरोक्त पहले उदाहरण में। इसके अतिरिक्त, के सहसमुच्चय N में G एक समूह बनाते हैं जिसे भागफल समूह कहा जाता है G/N.

यदि H सामान्य उपसमूह नहीं है G, तब इसके बाएँ सहसमुच्चय इसके दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न होते हैं। अर्थात एक है a में G ऐसा है कि कोई तत्व नहीं b संतुष्ट करता है aH = Hb. इसका मतलब है कि का विभाजन G के बाएं सहसमुच्चय में H के विभाजन से भिन्न विभाजन है G के सही सहसमुच्चय में H. यह उपसमूह द्वारा सचित्र है T उपरोक्त पहले उदाहरण में। (कुछ सहसमुच्चय संपाती हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि a के केंद्र (समूह सिद्धांत) में है G, तब aH = Ha.)

दूसरी ओर, यदि उपसमूह N सामान्य है सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय एक समूह बनाता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है G / N ऑपरेशन के साथ ∗ द्वारा परिभाषित (aN) ∗ (bN) = abN. चूँकि प्रत्येक दायाँ सहसमुच्चय एक बायाँ सहसमुच्चय होता है, इसलिए बाएँ सहसमुच्चय को दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

एक उपसमूह का सूचकांक

Main article: Index of a subgroup

के प्रत्येक बाएँ या दाएँ सहसमुच्चय H में तत्वों की संख्या समान होती है (या अनंतता के स्थिति में कार्डिनैलिटी H) जैसा H अपने आप। इसके अतिरिक्त, बाएं सहसमुच्चय की संख्या सही सहसमुच्चय की संख्या के बराबर होती है और इसे इंडेक्स के रूप में जाना जाता है H जी में, के रूप में लिखा [G : H]. लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय हमें उस स्थिति में सूचकांक की गणना करने की अनुमति देता है जहां G और H परिमित हैं:

$$|G|=[G:H]|H|.$$

यह समीकरण उस स्थिति में भी लागू होता है जहां समूह अनंत हैं, चूंकि अर्थ कम स्पष्ट हो सकता है।

अधिक उदाहरण

पूर्णांक

मान लीजिये G पूर्णांकों का योज्य समूह हो, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +) और H उपसमूह (3Z, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +). फिर के सहसमुच्चय H में G तीन समुच्चय हैं 3Z, 3Z + 1, और 3Z + 2, कहाँ 3Z + a = {..., −6 + a, −3 + a, a, 3 + a, 6 + a, ...}. ये तीन समुच्चय समुच्चय को विभाजित करते हैं Z, इसलिए इसका कोई अन्य सही सहसमुच्चय नहीं है H. जोड़ की क्रमविनिमेयता के कारण H + 1 = 1 + H और H + 2 = 2 + H. अर्थात्, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय H भी एक सही सहसमुच्चय है, इसलिए H एक सामान्य उपसमूह है। (इसी तर्क से पता चलता है कि एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है।)

यह उदाहरण सामान्यीकृत किया जा सकता है। फिर से चलो G पूर्णांकों का योज्य समूह हो, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +), और अब चलो H उपसमूह (mZ, +) = ({..., −2m, −m, 0, m, 2m, ...}, +), कहाँ m एक सकारात्मक पूर्णांक है। फिर के सहसमुच्चय H में G हैं m समुच्चय mZ, mZ + 1, ..., mZ + (m − 1), कहाँ mZ + a = {..., −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, ...}. से अधिक नहीं हैं m सहसमुच्चय, क्योंकि mZ + m = m(Z + 1) = mZ. सहसमुच्चय (mZ + a, +) का मॉड्यूलर अंकगणित है a मापांक m. उपसमूह mZ में सामान्य है Z, और इसलिए, भागफल समूह बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है Z/mZ इंटीग्रर्स मॉड एन का समूह।

वेक्टर

सहसमुच्चय का एक और उदाहरण वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत से आता है। वेक्टर स्पेस के तत्व (वैक्टर) वेक्टर जोड़ के अनुसार एक एबेलियन समूह बनाते हैं। सदिश समष्टि की रैखिक उपसमष्टि इस समूह के उपसमूह हैं। एक वेक्टर स्थान के लिए V, एक उप-स्थान W, और एक निश्चित वेक्टर a में V, समुच्चय

$$\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$$

एफ़िन उपक्षेत्र कहलाते हैं, और सहसमुच्चय हैं (बाएं और दाएं दोनों, चूंकि समूह एबेलियन है)। 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष वैक्टर के संदर्भ में, ये एफ़िन सबस्पेस सभी लाइनें या विमान हैं जो सबस्पेस के समानांतर (ज्यामिति) हैं, जो मूल के माध्यम से जाने वाली रेखा या विमान है। उदाहरण के लिए, विमान (ज्यामिति) पर विचार करें R². यदि m मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है O, तब m एबेलियन समूह का एक उपसमूह है R². यदि P में है R², फिर सहसमुच्चय P + m एक रेखा है m′ इसके समानांतर m और गुजर रहा है P.

मैट्रिक्स

मान लीजिये G आव्यूहों का गुणक समूह हो,

$$G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$$

और उपसमूह H का G,

$$H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$$

के एक निश्चित तत्व के लिए G बाएं सहसमुच्चय पर विचार करें

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$$

अर्थात्, बाएँ सहसमुच्चय में सभी आव्यूह होते हैं G वही ऊपरी-बाएँ प्रविष्टि है। यह उपसमूह H में सामान्य है G, लेकिन उपसमूह

$$T=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right]:<!--\; :\; -->a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$