सममित समष्टि

गणित में, सममित समष्टि स्यूडो- रीमानियन कई गुना (या अधिक सामान्यतः, छद्म-रीमानियन मैनिफोल्ड) होता है, जिसके समरूपता के समूह में प्रत्येक बिंदु के बारे में उलटा समरूपता होती है। इसका अध्ययन रीमानियन ज्यामिति के उपकरणों के साथ किया जा सकता है, जिससे होलोनोमी के सिद्धांत में परिणाम सामने आते हैं, या बीजगणितीय रूप से असत्य सिद्धांत के माध्यम से, जिसने एली कार्टन को पूर्ण वर्गीकरण देने की अनुमति दी जाती हैं। सममित समष्टि सामान्यतः अंतर ज्यामिति, प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में होते हैं।

ज्यामितीय शब्दों में, पूर्ण, बस जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड सममित समष्टि है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर समानांतर परिवहन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। अधिक सामान्यतः, रिमेंनियन मैनिफोल्ड (एम, जी) को सममित कहा जाता है यदि और केवल यदि एम के प्रत्येक बिंदु पी के लिए, आइसोमेट्री सम्मिलित है। 'एम' 'पी' को ठीक करता है और स्पर्शरेखा समष्टि $T_{p}M$ पर अभिनय करता है, इस प्रकार शून्य से पहचान के रूप में (प्रत्येक सममित समष्टि पूर्ण रूप से कई गुना है, क्योंकि किसी भी जियोडेसिक को समापन बिंदुओं के बारे में समरूपता के माध्यम से अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है)। दोनों विवरणों को स्वाभाविक रूप से स्यूडो-रीमानियन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग तक बढ़ाया जा सकता है।

लाई सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सममित समष्टि लाई उपसमूह एच द्वारा जुड़े लाई समूह जी का भागफल जी/एच है जो जी के समावेशन (गणित) के अपरिवर्तनीय समूह का (एक जुड़ा हुआ घटक) है। यह परिभाषा में रिमेंनियन परिभाषा से अधिक सम्मिलित है, और एच कॉम्पैक्ट होने पर इसे कम कर देता है।

रीइमेन्नियन सममित समष्टि गणित और भौतिकी दोनों में विभिन्न प्रकार की स्थितियों में उत्पन्न होते हैं। होलोनॉमी के सिद्धांत में उनकी केंद्रीय भूमिका की खोज मार्सेल बर्जर ने की थी। वे प्रतिनिधित्व सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के साथ-साथ अंतर ज्यामिति में अध्ययन की महत्वपूर्ण वस्तुएं हैं।

ज्यामितीय परिभाषा

एम को जुड़ा हुआ रिमेंनियन मैनिफोल्ड और एम का बिंदु है। पी के समीप के भिन्नता एफ को 'जियोडेसिक समरूपता' कहा जाता है यदि यह बिंदु पी को ठीक करता है और उस बिंदु के माध्यम से भूगर्भ विज्ञान को उलट देता है, अर्ताथ यदि γ भूगर्भीय है $\gamma (0)=p$ तब $f(\gamma (t))=\gamma (-t).$ होता हैं। यह इस प्रकार है कि पी पर मानचित्र एफ का व्युत्पन्न पी के स्पर्शरेखा समष्टि पर पहचान मानचित्र घटा है। सामान्य रीमानियन मैनिफोल्ड पर, f को आइसोमेट्रिक होने की आवश्यकता नहीं है, न ही इसे सामान्य रूप से, p के समीप से M के सभी तक बढ़ाया जा सकता है।

M को 'समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित' कहा जाता है यदि इसकी भूगणित समरूपता वास्तव में सममितीय है। यह वक्रता टेंसर के सहसंयोजक व्युत्पन्न के लुप्त होने के बराबर है। एक समष्टिीय रूप से सममित समष्टि को '(वैश्विक रूप से) सममित समष्टि' कहा जाता है, यदि इसके अतिरिक्त इसके जियोडेसिक समरूपता को सभी एम पर आइसोमेट्री तक बढ़ाया जा सकता है।

मूल गुण

कार्टन-एम्ब्रोस-हिक्स प्रमेय का अर्थ है कि एम समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित है यदि और केवल यदि इसका वक्रता टेंसर सहसंयोजक व्युत्पन्न है, और इसके अतिरिक्त यह कि प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ, पूर्ण समष्टि समष्टिीय रूप से रीमानियन सममित समष्टि वास्तव में रीमानियन सममित है।

प्रत्येक रिमेंनियन सममित समष्टि M पूर्ण है और रीमानियन सजातीय समष्टि (जिसका अर्थ है कि M का आइसोमेट्री समूह M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है)। वास्तव में, आइसोमेट्री समूह का पहले से ही पहचान घटक एम पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (क्योंकि एम जुड़ा हुआ है)।

समष्टिीय रूप से रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि जो रिमेंनियन सममित नहीं हैं, को रीमानियन सममित रिक्त समष्टि के भागफल के रूप में आइसोमेट्री के असतत समूहों द्वारा बिना किसी निश्चित बिंदु के, और (समष्टिीय रूप से) रीमानियन सममित रिक्त समष्टि के खुले उपसमुच्चय के रूप में बनाया जा सकता है।

उदाहरण

रिमेंनियन सममित रिक्त समष्टि के मूल उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि, गोले, प्रक्षेपी समष्टि और अतिपरवलयिक समष्टि हैं, जिनमें से प्रत्येक अपने मानक रीमानियन मैट्रिक्स के साथ हैं। अधिक उदाहरण कॉम्पैक्ट, अर्ध-सरल लाई समूहों द्वारा प्रदान किए जाते हैं जो द्वि-अपरिवर्तनीय रिमेंनियन मीट्रिक से लैस होते हैं।

1 से अधिक जीनस की प्रत्येक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह (निरंतर वक्रता -1 की अपनी सामान्य मीट्रिक के साथ) समष्टिीय रूप से सममित समष्टि है, लेकिन सममित समष्टि नहीं है।

प्रत्येक लेंस समष्टि समष्टिीय रूप से सममित है लेकिन सममित नहीं है, इसके अपवाद के साथ $L(2,1)$ जो सममित है। लेंस रिक्त समष्टि असतत आइसोमेट्री द्वारा 3-गोले के भागफल हैं जिनका कोई निश्चित बिंदु नहीं है।

एक गैर-रिमेंनियन सममित समष्टि का उदाहरण एंटी-डी सिटर समष्टि है।

बीजगणितीय परिभाषा

यहाँ पर बता दें कि G कनेक्टेड लाइ ग्रुप है। फिर जी के लिए 'सममित समष्टि' सजातीय समष्टि जी/एच है जहां विशिष्ट बिंदु का स्टेबलाइज़र एच ऑट (जी) में इनवॉल्यूशन (गणित) σ के निश्चित बिंदु सेट का खुला उपसमूह है। इस प्रकार σ σ के साथ G² = आईडी_G का ऑटोमोर्फिज्म है, और एच अपरिवर्तनीय सेट का खुला उपसमूह है

$G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.$

क्योंकि H खुला है, यह G के घटकों का संघ है^σ (बेशक, पहचान घटक सहित)।

जी के ऑटोमोर्फिज्म के रूप में, σ पहचान तत्व को ठीक करता है, और इसलिए, पहचान में अंतर करके, यह लाई बीजगणित के ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। ${\mathfrak {g}}$ G का, जिसे σ द्वारा भी निरूपित किया जाता है, जिसका वर्ग सर्वसमिका है। यह इस प्रकार है कि σ के eigenvalues ​​​​± 1 हैं। +1 आइगेनसमष्टि लाई बीजगणित है ${\mathfrak {h}}$ एच का (चूंकि यह जी का असत्य बीजगणित है^σ), और −1 आइगेनसमष्टि को दर्शाया जाएगा ${\mathfrak {m}}$. चूंकि σ का स्वाकारीकरण ${\mathfrak {g}}$ है, यह असत्य बीजगणित अपघटन का प्रत्यक्ष योग देता है

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$

इसके साथ

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.$

किसी भी सजातीय समष्टि के लिए पहली स्थिति स्वचालित है: यह केवल अतिसूक्ष्म स्टेबलाइजर ${\mathfrak {h}}$ का ले सबलजेब्रा ${\mathfrak {g}}$ है, इस प्रकार इसकी दूसरी शर्त का अर्थ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {h}}$-अपरिवर्तनीय पूरक ${\mathfrak {h}}$ में ${\mathfrak {g}}$ से है, इस प्रकार कोई भी सममित समष्टि रिडक्टिव सजातीय समष्टि है, लेकिन कई रिडक्टिव सजातीय समष्टि हैं जो सममित समष्टि नहीं हैं। सममित रिक्त समष्टि की मुख्य विशेषता तीसरी शर्त है कि ${\mathfrak {m}}$ कोष्ठक में ${\mathfrak {h}}$ के समान हैं।

इसके विपरीत, कोई असत्य बीजगणित दिया गया है ${\mathfrak {g}}$ इन तीन स्थितियों को संतुष्ट करने वाले प्रत्यक्ष योग अपघटन के साथ, रैखिक मानचित्र σ, पर पहचान के बराबर ${\mathfrak {h}}$ और माइनस आइडेंटिटी ऑन ${\mathfrak {m}}$, समावेशी ऑटोमोर्फिज्म है।

रिमेंनियन सममित समष्टि असत्य-सैद्धांतिक विशेषता को संतुष्ट करते हैं

यदि M रिमेंनियन सममित समष्टि है, तो M के आइसोमेट्री समूह का पहचान घटक G Lie समूह है जो M पर सकर्मक रूप से कार्य करता है (अर्थात, M रीइमेन्नियन सजातीय है)। इसलिए, यदि हम M के कुछ बिंदु p को ठीक करते हैं, तो M भागफल G/K के लिए भिन्न है, जहाँ K, P पर M पर G की क्रिया के समसमष्टििक समूह को दर्शाता है। p पर क्रिया को अवकलित करके हम T पर K की सममितीय क्रिया प्राप्त करते हैं_pएम। यह क्रिया वफादार है (उदाहरण के लिए, कोस्टेंट के प्रमेय द्वारा, पहचान घटक में किसी भी आइसोमेट्री को इसके जेट बंडल द्वारा निर्धारित किया जाता है। किसी भी बिंदु पर 1-जेट) और इसलिए के टी के ऑर्थोगोनल समूह का उपसमूह है_pएम, इसलिए कॉम्पैक्ट। इसके अतिरिक्त, यदि हम एस द्वारा निरूपित करते हैं_p: M → M p पर M की जियोडेसिक समरूपता को मानचित्र से प्रदर्शित किया जा सकता हैं।

$\sigma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}$

एक इनवोल्यूशन (गणित) असत्य समूह आटोमार्फिज्म है जैसे कि आइसोट्रॉपी समूह K निश्चित बिंदु समूह $G^{\sigma }$ के बीच समाहित है और इसका पहचान घटक (इसलिए खुला उपसमूह) $(G^{\sigma })_{o}\,,$ अधिक जानकारी के लिए पृष्ठ 209, अध्याय IV, हेल्गसन की डिफरेंशियल ज्योमेट्री, लाई ग्रुप्स, और सिमेट्रिक समष्टिेस में सेक्शन 3 पर परिभाषा और निम्नलिखित प्रस्ताव देखें।

संक्षेप में, M कॉम्पैक्ट आइसोट्रॉपी समूह K के साथ सममित समष्टि G/K है। इसके विपरीत, कॉम्पैक्ट आइसोट्रॉपी समूह के साथ सममित समष्टि रीमानियन सममित समष्टि हैं, हालांकि यह अद्वितीय तरीके से जरूरी नहीं है। रिमेंनियन सममित समष्टि संरचना प्राप्त करने के लिए हमें पहचान कोसेट eK पर G/K के स्पर्शरेखा समष्टि पर K-इनवैरियेंट आंतरिक उत्पाद को ठीक करने की आवश्यकता है: ऐसा आंतरिक उत्पाद हमेशा औसत से सम्मिलित होता है, क्योंकि K कॉम्पैक्ट है, और G के साथ अभिनय करके , हम G/K पर G-इनवैरियेंट रीइमेन्नियन मीट्रिक g प्राप्त करते हैं।

यह दिखाने के लिए कि G/K रीमानियन सममित है, किसी भी बिंदु p = hK (K का सहसमुच्चय, जहाँ h ∈ G) पर विचार करें और परिभाषित करें

$s_{p}:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1}h')K$

जहां σ जी फिक्सिंग के का समावेश है। फिर कोई उस एस की जांच कर सकता है_p (स्पष्ट रूप से) एस के साथ आइसोमेट्री है_p(पी) = पी और (अंतर करके) डीएस_p टी पर पहचान घटा के बराबर_pएम। इस प्रकार एस_p जियोडेसिक समरूपता है और, चूंकि p मनमाना था, M रिमेंनियन सममित समष्टि है।

यदि कोई रिमेंनियन सममित समष्टि M से प्रारंभ करता है, और फिर इन दो निर्माणों को अनुक्रम में करता है, तो प्राप्त रिमेंनियन सममित समष्टि मूल के लिए सममितीय है। इससे पता चलता है कि बीजगणितीय डेटा (जी, के, σ, जी) पूरी तरह से एम की संरचना का वर्णन करता है।

रीमानियन सममित रिक्त समष्टि का वर्गीकरण

Main article: सरल असत्य बोलने वाले समूहों की सूची

1926 में रीमानियन सममित समष्टिों के बीजगणितीय विवरण ने एली कार्टन को उनका पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त करने में सक्षम बनाया जाता हैं।

किसी दिए गए रीमानियन सममित समष्टि एम के लिए (जी, के, σ, जी) इससे जुड़े बीजगणितीय डेटा हो। एम के संभावित आइसोमेट्री वर्गों को वर्गीकृत करने के लिए पहले ध्यान दें कि रिमेंनियन सममित समष्टि का सार्वभौमिक कवर फिर से रीमानियन सममित है, और कवरिंग मैप को इसके केंद्र के उपसमूह द्वारा कवरिंग के जुड़े आइसोमेट्री समूह जी को विभाजित करके वर्णित किया गया है। इसलिए, हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि एम बस जुड़ा हुआ है। (इसका अर्थ है कि के कंपन के लंबे सटीक अनुक्रम से जुड़ा हुआ है, क्योंकि जी धारणा से जुड़ा हुआ है।)

वर्गीकरण योजना

एक साधारण रूप से जुड़े हुए रिमेंनियन सममित समष्टि को इरेड्यूसिबल कहा जाता है यदि यह दो या अधिक रीमानियन सममित समष्टिों का उत्पाद नहीं है। तब यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी आसानी से जुड़ा हुआ रिमेंनियन सममित समष्टि इर्रिडिएबल का रिमेंनियन उत्पाद है। इसलिए, हम खुद को इरेड्यूसिबल, बस जुड़े हुए रिमेंनियन सममित समष्टिों को वर्गीकृत करने के लिए खुद को प्रतिबंधित कर सकते हैं।

अगला कदम यह दिखाना है कि कोई भी अप्रासंगिक, बस जुड़ा हुआ रिमेंनियन सममित समष्टि एम निम्नलिखित तीन प्रकारों में से है:

1. यूक्लिडियन प्रकार: M की वक्रता गायब हो जाती है, और इसलिए यह यूक्लिडियन समष्टि के लिए सममितीय है।

2. कॉम्पैक्ट प्रकार: 'एम' में गैर-ऋणात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य नहीं) अनुभागीय वक्रता है।

3. गैर-कॉम्पैक्ट प्रकार: 'एम' में गैर-धनात्मक (लेकिन समान रूप से शून्य न