संचरण लाइन

This article is about रेडियो-आवृत्ति घटक. For विद्युत ऊर्जा की गति, see विद्युत शक्ति संचरण. For ध्वनिकी में उपयोग, see ध्वनिक संचरण लाइन.

File:Transmission line animation3.gif

एक दोषरहित दो-तार संचरण लाइन के नीचे दाहिनी ओर बढ़ने वाली तरंग का योजनाबद्ध। काले बिंदु इलेक्ट्रॉनों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीर विद्युत क्षेत्र दिखाते हैं।

File:Coaxial cable cut.jpg

समाक्षीय केबल, सबसे सामान्य प्रकार की संचरण लाइनों में से एक।

संचरण लाइन, विद्युत अभियांत्रिकी में एक विशेष केबल या अन्य संरचना होती है, जिसकी संरचना विद्युत चुम्बकीय तरंगों को निहित तरीके से संचालित करने के लिए की गई है। यह शब्द तब प्रयुक्त होता है, जब चालक की लम्बाई इतनी अधिक होती है कि संचरण की तरंग प्रकृति को आवश्यक रूप से ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है। यह विशेष रूप से रेडियो आवृत्ति अभियांत्रिकी पर प्रयुक्त होता है क्योंकि लघु तरंग दैर्ध्य का अर्थ है कि तरंग घटनाएँ बहुत कम दूरी पर उत्पन्न होती हैं (यह आवृत्ति के आधार पर मिलीमीटर जितनी छोटी हो सकती है)। हालांकि, संचरण लाइनों के सिद्धांत को ऐतिहासिक रूप से बहुत लंबी टेलीग्राफ लाइनों, विशेष रूप से पनडुब्बी टेलीग्राफ केबल पर घटनाओं की व्याख्या करने के लिए विकसित किया गया था।

संचरण लाइनों का उपयोग रेडियो ट्रांसमीटरों और रेडियो संग्राहकों को उनके एंटीना से जोड़ने (तब उन्हें फीड लाइन या फीडर कहा जाता है), केबल टेलीविज़न संकेत वितरित करने, टेलीफोन स्विचिंग केंद्रों के मध्य ट्रंकलाइन रूटिंग कॉल, कंप्यूटर नेटवर्क संयोजन और उच्च गति कंप्यूटर डेटा बस जैसे उद्देश्यों के लिए किया जाता है। आरएफ अभियंता साधारणतः संचरण लाइन के, सामान्य रूप से मुद्रित तलीय संचरण लाइन के रूप में छोटे टुकड़ों का उपयोग करते हैं, जो फ़िल्टर जैसे परिपथों को बनाने के लिए कुछ पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं। वितरित-तत्व परिपथों के रूप में जाने जाने वाले ये परिपथ असतत संधारित्रों और प्रेरकों का उपयोग करने वाले पारंपरिक परिपथों का एक विकल्प हैं।

अवलोकन

साधारण विद्युत केबल मुख्य (मेन्स) शक्ति जैसी कम आवृत्ति वाली प्रत्यावर्ती धारा को वहन करने के लिए पर्याप्त होते हैं, जो दिशा को प्रति सेकंड 100 से 120 बार और श्रव्य संकेतों को उत्क्रम कर देते हैं। हालांकि, इनका उपयोग लगभग 30 किलोहर्ट्ज़ से ऊपर की रेडियो आवृति सीमा में धाराओं को वहन करने के लिए नहीं किया जा सकता है, क्योंकि ऊर्जा केबल को रेडियो तरंगों के रूप में विकीर्ण करती है, जिससे विद्युत की हानि होती है। रेडियो आवृत्ति धाराएँ केबल में संयोजकों और संधियों जैसे विच्छेदन से भी परावर्तित होती हैं, और केबल को वापस स्रोत की ओर ले जाती हैं। ये परावर्तन संकेत शक्ति को गंतव्य तक पहुँचने से रोकते हुए बाधाओं के रूप में कार्य करते हैं। संचरण लाइनें न्यूनतम परावर्तन और विद्युत की हानि के साथ विद्युत चुम्बकीय संकेतों को वहन करने के लिए विशेष निर्माण और प्रतिबाधा मिलान का उपयोग करती हैं। अधिकांश संचरण लाइनों की विशिष्ट विशेषता यह होती है, कि इनकी लंबाई के साथ एक समान अनुप्रस्थ काट आयाम होते हैं, जो इन्हें एक समान विद्युत प्रतिबाधा प्रदान करते हैं, जिसे परावर्तनों को रोकने के लिए विशिष्ट प्रतिबाधा कहा जाता है। संचरण लाइन के प्रकारों में समानांतर लाइन (सीढ़ी लाइन, घूर्णित युग्म), समाक्षीय केबल, और स्ट्रिपलाइन एवं माइक्रोस्ट्रिप जैसी समतलीय संचरण लाइनें सम्मिलित हैं। किसी दिए गए केबल या माध्यम से चलने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति जितनी अधिक होगी, तरंगों की तरंग दैर्ध्य उतनी ही कम होगी। संचरण लाइनें तब आवश्यक हो जाती हैं, जब संचरित आवृत्ति की तरंग दैर्ध्य पर्याप्त रूप से इतनी कम होती है कि केबल की लंबाई तरंग दैर्ध्य का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बन जाती है।

माइक्रोवेव और उससे अधिक की आवृत्तियों पर, संचरण लाइनों में विद्युत-हानि अत्यधिक हो जाती है, और इसके स्थान पर तरंग निर्देशों का उपयोग किया जाता है, जो विद्युत चुम्बकीय तरंगों को सीमित और निर्देशित करने के लिए "नलिका" के रूप में कार्य करता है। कुछ स्रोत तरंग निर्देश को एक प्रकार की संचरण लाइन के रूप में परिभाषित करते हैं; हालांकि, इस लेख में उन्हें सम्मिलित नहीं किया जाएगा। इसके विपरीत टेराहर्ट्ज विकिरण, अवरक्त और दृश्यमान श्रेणियों में भी उच्च आवृत्तियों पर, तरंग निर्देश हानिपूर्ण हो जाते हैं, और प्रकाशिक विधियों (जैसे लेंस और दर्पण) का उपयोग विद्युत चुम्बकीय तरंगों को निर्देशित करने के लिए किया जाता है।

इतिहास

विद्युत संचरण लाइनों के व्यवहार का गणितीय विश्लेषण जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, लॉर्ड केल्विन और ओलिवर हीविसाइड के कार्यों से विकसित हुआ। लॉर्ड केल्विन ने वर्ष 1855 में एक पनडुब्बी केबल में विद्युत-धारा का प्रसार प्रतिरूप तैयार किया। इस प्रतिरूप ने 1858 ट्रांस-अटलांटिक पनडुब्बी टेलीग्राफ केबल के खराब प्रदर्शन की सही भविष्यवाणी की। वर्ष 1885 में, हैवीसाइड ने पहला पेपर प्रकाशित किया जिसमें उनके केबलों में प्रसार के विश्लेषण और टेलीग्राफर के समीकरणों के आधुनिक रूप का वर्णन किया गया था।

चार टर्मिनल प्रतिरूप

File:Transmission line symbols.svg

संचरण लाइन के लिए योजनाबद्ध इलेक्ट्रॉनिक प्रतीक पर विविधता।

एक विद्युत संचरण लाइन को विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए दो-पोर्ट नेटवर्क (क्वाड्रिपोल) के रूप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

सबसे साधारण स्थिति में नेटवर्क को रैखिक (अर्थात किसी भी पोर्ट में जटिल विभवान्तर, उसमें प्रवाहित उस जटिल धारा के समानुपाती होता है जब कोई परावर्तन नहीं होता है) और इन दोनों पोर्टों को विनिमेय माना जाता है। यदि संचरण लाइन अपनी लंबाई के अनुदिश एक समान है, तो इसके व्यवहार को बड़े पैमाने पर एक प्राचल द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे विशिष्ट प्रतिबाधा (प्रतीक Z₀) कहा जाता है। यह एक लाइन पर किसी दी गई तरंग के जटिल विभवान्तर और उसी तरंग की जटिल धारा का अनुपात होती है। Z₀ के विशिष्ट मान, एक समाक्षीय केबल के लिए 50 या 75 ओम, तारों के एक घूर्णित युग्म के लिए लगभग 100 ओम और रेडियो प्रसारण में उपयोग किए जाने वाले एक सामान्य प्रकार के अघूर्णित युग्म के लिए लगभग 300 ओम होते हैं।

संचरण लाइन के नीचे विद्युत भेजते समय सामान्यतः यह वांछनीय होता है कि जितनी संभव हो, उतनी विद्युत की मात्रा भार द्वारा अवशोषित की जाए और जितनी संभव हो, उतनी कम विद्युत स्रोत पर पुनः परावर्तित कर दी जाए। यह, भार प्रतिबाधा को Z₀ के बराबर बनाकर सुनिश्चित किया जा सकता है, जिस स्थिति में संचरण लाइन को सुमेलित कहा जाता है।

File:TransmissionLineDefinitions.svg

एक संचरण लाइन दो काले तारों के रूप में खींची जाती है। लाइन में x दूरी पर, प्रत्येक तार से प्रवाहित होने वाली धारा I(x) होती है, और तारों के बीच एक विभवान्तर V(x) होता है। यदि धारा और विभवान्तर एक तरंग (बिना परावर्तन के) से आते हैं, तो V(x) / I(x) = Z₀, जहाँ Z₀ लाइन की विशिष्ट प्रतिबाधा है।

संचरण लाइन में प्रवाहित की जाने वाली विद्युत की कुछ मात्रा की प्रतिरोध के कारण हानि हो जाती है। इस प्रभाव को ओमीय या प्रतिरोधी हानि कहा जाता है (ओमीय तापन देखें)। उच्च आवृत्तियों पर विसंवाहक हानि नामक एक और प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाता है, जो प्रतिरोध के कारण होने वाली हानि को जोड़ता है। विद्युत-रोधी सामग्री के संचरण लाइन के अंदर प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र से ऊर्जा को अवशोषित करने पर विसंवाहक हानि होती है, जो इसे ऊष्मा में परिवर्तित करती है (विसंवाहक तापन देखें)। संचरण लाइन को श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध (R) और प्रेरण (L) एवं समानांतर क्रम में एक धारिता (C) और चालकत्व (G) के साथ प्रतिरूपित किया गया है। प्रतिरोध और चालकत्व, एक संचरण लाइन में हानि में योगदान करते हैं।

संचरण लाइन में विद्युत की कुल हानि प्रायः डेसीबल प्रति मीटर (dB/m) में निर्दिष्ट होती है, और सामान्यतः संकेत की आवृत्ति पर निर्भर करती है। निर्माता प्रायः आवृत्तियों की एक श्रृंखला पर हानि को डेसीबल प्रति मीटर में प्रदर्शित करते हुए एक सारणी प्रदान करता है। 3 डेसीबल की हानि लगभग विद्युत के आधे हिस्से के समान होती है।

उच्च-आवृत्ति संचरण लाइनों को उन विद्युत चुम्बकीय तरंगों को वहन करने के लिए संरचित किया जा सकता है जिनकी तरंग दैर्ध्य, लाइन की लंबाई से कम या तुलनीय होती है। इन शर्तों के तहत, कम आवृत्तियों पर गणना के लिए उपयोगी अनुमान अब सटीक नहीं हैं। यह प्रायः रेडियो, माइक्रोवेव और प्रकाशिक संकेतों, धातु जाल प्रकाशिक फिल्टरों और उच्च गति डिजिटल परिपथों में पाए जाने वाले संकेतों के साथ होता है।

टेलीग्राफर के समीकरण

Main article: टेलीग्राफर के समीकरण

See also: तांबे की रेखाओं पर परावर्तन

टेलीग्राफर के समीकरण (या सिर्फ टेलीग्राफ समीकरण) रैखिक अवकल समीकरणों का एक युग्म है, जो दूरी और समय के साथ विद्युत संचरण लाइन पर विभवान्तर ($V$) और विद्युत धारा ($I$) का वर्णन करता है। ये समीकरण संचरण लाइन का प्रतिरूप बनाने वाले ओलिवर हैवीसाइड द्वारा विकसित किए गए थे, जो मैक्सवेल के समीकरणों पर आधारित हैं।

File:Transmission line element.svg

संचरण लाइन के प्राथमिक घटक का योजनाबद्ध निरुपण।

संचरण लाइन प्रतिरूप, वितरित-तत्व प्रतिरूप का एक उदाहरण है। यह, दो-पोर्ट प्राथमिक घटकों की एक अपरिमित श्रृंखला के रूप में संचरण लाइन का निरूपण करता है, जिनमें से प्रत्येक, संचरण लाइन के एक अतिसूक्ष्म खंड का निरूपण करता है:

• चालकों के वितरित प्रतिरोध $R$ को एक श्रेणी प्रतिरोधक (ओम प्रति इकाई लंबाई में व्यक्त) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
• वितरित प्रेरण $L$ (तारों के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के कारण, स्व-प्रेरकत्व, आदि) को एक श्रेणी प्रेरक (हेनरी प्रति इकाई लंबाई में) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
• दो चालकों के बीच धारिता $C$ को एक पार्श्वपथ संधारित्र (फैराड प्रति यूनिट लंबाई में) द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
• दो चालकों को पृथक करने वाली विसंवाहक सामग्री की चालकत्व $G$ को संकेत तार और उत्क्रम तार (सीमेंस प्रति इकाई लंबाई में) के बीच एक पार्श्वपथ प्रतिरोधक द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

मॉडल में आकृति में दिखाए गए तत्वों की एक अनंत श्रृंखला होती है, और घटकों के मान प्रति इकाई लंबाई निर्दिष्ट होते हैं, जिससे घटक का चित्र भ्रामक हो सकता है। $R$, $L$, $C$, तथा $G$ भी आवृत्ति के कार्य हो सकते हैं। एक वैकल्पिक संकेतन $R'$, $L'$, $C'$ तथा $G'$ का उपयोग इस तथ्य पर बल देने के लिए किया जाता है कि ये मान, लम्बाई के सापेक्ष अवकलज होते हैं। इन राशियों को उनसे प्राप्त द्वितीयक लाइन नियतांकों से भिन्न करने के लिए प्राथमिक लाइन नियतांक के रूप में भी जाना जा सकता है, और ये नियतांक प्रसार नियतांक, क्षीणन नियतांक और चरण नियतांक होते हैं।

लाइन विभवान्तर $V(x)$ और धारा $I(x)$ को आवृत्ति क्षेत्र में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता:

${\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=-(R+j\,\omega \,L)\,I(x)$

${\frac {\partial I(x)}{\partial x}}=-(G+j\,\omega \,C)\,V(x)~\,.$

(अवकल समीकरण, कोणीय आवृत्ति ω और काल्पनिक इकाई j देखें)

दोषरहित लाइन की विशेष स्थिति

तत्वों $R$ और $G$ के नगण्य रूप से छोटे होने पर संचरण लाइन को दोषरहित संरचना माना जाता है। इस काल्पनिक स्थिति में, प्रतिरूप केवल $L$ और $C$ तत्वों पर निर्भर करता है जो विश्लेषण को बहुत आसान बनाता है। दोषरहित संचरण लाइन के लिए, द्वितीय कोटि स्थिर-अवस्था टेलीग्राफर के समीकरण हैं:

${\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,V(x)=0$

${\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,I(x)=0~\,.$

ये, वे तरंग समीकरणें हैं जिनमें समतल तरंगें हल के रूप में अग्र और विपरीत दिशाओं में समान प्रसार गति के साथ होती हैं। इसका भौतिक महत्व यह है कि विद्युत चुम्बकीय तरंगें संचरण लाइनों के नीचे प्रसारित होती हैं और सामान्य रूप से, एक परावर्तित घटक होता है जो मूल संकेत को हस्तक्षेपित करता है। ये समीकरण संचरण लाइन सिद्धांत के लिए मौलिक हैं।

दोषसहित लाइन की सामान्य स्थिति

सामान्य स्थिति में हानि की शर्तें, $R$ और $G$ दोनों सम्मिलित होती हैं, और टेलीग्राफर के समीकरणों का पूर्ण रूप बन जाता है:

${\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}V(x)\,$

${\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}I(x)\,$

जहाँ $\gamma$ (जटिल) प्रसार स्थिरांक है। ये समीकरणें संचरण लाइन सिद्धांत के लिए मौलिक हैं। ये तरंग समीकरणें भी हैं, और विशेष स्थिति के समान इसमें भी हल होते हैं, लेकिन ये घातीय क्षय कारकों के साथ ज्या और कोज्या का मिश्रण होती हैं। प्राथमिक प्राचलों $R$, $L$, $G$, तथा $C$ के पदों में प्रसार स्थिरांक $\gamma$ का हल प्रदान करता है:

$\gamma ={\sqrt {(R+j\,\omega \,L)(G+j\,\omega \,C)\,}}$

और विशिष्ट प्रतिबाधा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\,\omega \,L}{G+j\,\omega \,C}}\,}}~\,.$

$V(x)$ तथा $I(x)$ के हल हैं:

$V(x)=V_{(+)}e^{-\gamma \,x}+V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\,$

$I(x)={\frac {1}{Z_{0}}}\,\left(V_{(+)}e^{-\gamma \,x}-V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\right)~\,.$

नियतांक $V_{(\pm )}$ को सीमा की स्थितियों से निर्धारित किया जाना चाहिए। विभवान्तर स्पंद $V_{\mathrm {in} }(t)\,$ के लिए, $x=0$ से प्रारंभ होकर धनात्मक $x$ की दिशा में गति करता है, फिर $x$ की स्थिति पर संचरित स्पंद $V_{\mathrm {out} }(x,t)\,$को प्रत्येक आवृत्ति घटक को $e^{-\operatorname {Re} (\gamma )\,x}\,$ द्वारा क्षीणन करते हुए, अपने चरण को $-\operatorname {Im} (\gamma )\,x\,$द्वारा उन्नत करते हुए और प्रतिलोम फ़ोरियर रूपांतरण को लेते हुए $V_{\mathrm {in} }(t)\,$के फोरियर रूपांतरण ${\tilde {V}}(\omega )$ की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है। $\gamma$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

$\operatorname {Re} (\gamma )=\alpha =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\cos(\psi )\,$

$\operatorname {Im} (\gamma )=\beta =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\sin(\psi )\,$

$a~\equiv ~R\,G\,-\omega ^{2}L\,C\ ~=~\omega ^{2}L\,C\,\left[\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\left({\frac {G}{\omega C}}\right)-1\right]$

$b~\equiv ~\omega \,C\,R+\omega \,L\,G~=~\omega ^{2}L\,C\,\left({\frac {R}{\omega \,L}}+{\frac {G}{\omega \,C}}\right)$ के साथ,

जब न तो $L$, न ही $C$, और न ही $\omega$ शून्य हो, तब दाएँ पक्ष का व्यंजक है, और साथ ही,

$\psi ~\equiv ~{\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (b,a)\,$

जहां atan2, द्वि-प्राचल चाप-स्पर्शज्या फलन का सर्वत्र परिभाषित रूप है, दोनों कोणांकों के शून्य होने पर स्वेच्छ मान शून्य होता है।

वैकल्पिक रूप से, सम्मिश्र वर्गमूल की गणना बीजगणितीय रूप से की जा सकती है:

$\alpha ={\frac {\pm b}{\sqrt {2\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}}},$

तथा

$\beta =\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}},$

चालन माध्यम द्वारा तरंग की गति की दिशा के विपरीत चुने गए धन या ऋण चिह्नों के साथ। (ध्यान दें कि a सामान्यतः ऋणात्मक होता है, क्योंकि $G$ तथा $R$ सामान्यतः $\omega C$ तथा $\omega L$ से बहुत छोटे होते हैं। इसलिए −a सामान्यतः धनात्मक होता है। b सदैव धनात्मक होता है।)

विशेष, निम्न दोष की स्थिति

छोटी हानि और उच्च आवृत्तियों के लिए व्यापक समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है: यदि ${\tfrac {R}{\omega \,L}}\ll 1$ तथा ${\tfrac {G}{\omega \,C}}\ll 1$ तब

$\operatorname {Re} (\gamma )=\alpha \approx {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,$

$\operatorname {Im} (\gamma )=\beta \approx \omega \,{\sqrt {L\,C\,}}~.\,$

चरण में $-\omega \,\delta$ की एक वृद्धि, समय में $\delta$ के एक विलंब के समतुल्य है , $V_{out}(t)$ की गणना सरलता से की जा सकती है:

$V_{\mathrm {out} }(x,t)\approx V_{\mathrm {in} }(t-{\sqrt {L\,C\,}}\,x)\,e^{-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,x}.\,$

हैवीसाइड स्थिति

Main article: हैवीसाइड स्थिति

हैवीसाइड स्थिति एक विशेष स्थिति है जहाँ तरंग बिना किसी प्रसार विरूपण के लाइन से नीचे गति करती है। इसके घटित होने की शर्त निम्न है:

${\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}$

संचरण लाइन की इनपुट प्रतिबाधा

File:SmithChartLineLength.svg

एक लंबाई $\ell$ के दोषरहित ट्रांसमिशन लाइन के माध्यम से लोड की ओर देखते हुए, इस प्रतिबाधा स्मिथ चार्ट पर नीले घेरे के बाद, $\ell$ बढ़ने पर प्रतिबाधा बदल जाती है। (इस प्रतिबाधा को इसके परावर्तन गुणांक की विशेषता है, जो कि घटना वोल्टेज से विभाजित परावर्तित वोल्टेज है।) चार्ट के भीतर केंद्रित नीले घेरे को कभी-कभी SWR सर्कल (लगातार खड़े तरंग अनुपात के लिए छोटा) कहा जाता है।

एक संचरण लाइन की विशिष्ट प्रतिबाधा $Z_{0}$, एकल विभवान्तर तरंग के आयाम और उसकी धारा तरंग का अनुपात है। चूंकि अधिकांश संचरण लाइनों में एक परावर्तित तरंग भी होती है, इसलिए विशिष्ट प्रतिबाधा सामान्यतः वह प्रतिबाधा नहीं होती है जिसे लाइन पर मापा जाता है।

भार प्रतिबाधा $Z_{\mathrm {L} }$ से एक निश्चित दूरी $\ell$ पर मापी गई प्रतिबाधा निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$Z_{\mathrm {in} }\left(\ell \right)={\frac {V(\ell )}{I(\ell )}}=Z_{0}{\frac {1+{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}{1-{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}}$,

जहाँ $\gamma$ प्रसार नियतांक है और ${\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }={\frac {\,Z_{\mathrm {L} }-Z_{0}\,}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}}}$ विभवान्तर परावर्तन गुणांक है, जिसे संचरण लाइन के भार सिरे पर मापा जाता है। वैकल्पिक रूप से, उपरोक्त सूत्र को भार विभवान्तर परावर्तन गुणांक के स्थान पर भार प्रतिबाधा के संदर्भ में इनपुट प्रतिबाधा व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:

$Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}\,{\frac {Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}\tanh \left(\gamma \ell \right)}{Z_{0}+Z_{\mathrm {L} }\,\tanh \left(\gamma \ell \right)}}$.

दोषरहित संचरण लाइन की इनपुट प्रतिबाधा

एक दोषरहित संचरण लाइन के लिए प्रसार नियतांक विशुद्ध रूप से काल्पनिक है, $\gamma =j\,\beta$, इसलिए उपरोक्त सूत्रों को पुनः लिखा जा सकता है

$Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell )}{Z_{0}+j\,Z_{\mathrm {L} }\tan(\beta \ell )}}$

जहाँ $\beta ={\frac {\,2\pi \,}{\lambda }}$ तरंग संख्या है।

$\beta ,$ की गणना में, संचरण लाइन के अंदर तरंगदैर्ध्य सामान्यतः मुक्त-स्थान में तरंगदैर्ध्य की तुलना में भिन्न होती है। परिणामस्वरूप, इस तरह की गणना करते समय संचरण लाइन की सामग्री के वेग कारक को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

दोषरहित संचरण लाइनों की विशेष स्थितियाँ

अर्द्ध तरंगदैर्ध्य

विशेष स्थिति के लिए जहाँ $\beta \,\ell =n\,\pi$, जहाँ n एक पूर्णांक है, (जिसका अर्थ है कि लाइन की लंबाई, अर्द्ध तरंगदैर्ध्य की गुणज है), व्यंजक, भार प्रतिबाधा के रूप में परिवर्तित हो जाता है जिससे

$Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }\,$

सभी $n\,.$ के लिए, इसमें वह स्थिति सम्मिलित है, जब $n=0$, अर्थात् संचरण लाइन की लंबाई तरंगदैर्ध्य की तुलना में नगण्य है। इसका भौतिक महत्व यह है कि किसी भी स्थिति में संचरण लाइन को नगण्य माना जा सकता है (अर्थात् तार के रूप में माना जाता है)।

चौथाई तरंगदैर्ध्य

Main article: चौथाई-तरंग प्रतिबाधा ट्रांसफार्मर

उस स्थिति के लिए, जहाँ लाइन की लंबाई, एक चौथाई तरंगदैर्ध्य के बराबर या एक चौथाई तरंगदैर्ध्य का एक विषम गुणज है, तब इनपुट प्रतिबाधा बन जाती है:

$Z_{\mathrm {in} }={\frac {Z_{0}^{2}}{Z_{\mathrm {L} }}}~\,.$

सुमेलित भार

एक अन्य विशेष स्थिति तब होती है जब भार प्रतिबाधा, लाइन की विशिष्ट प्रतिबाधा के बराबर होती है (अर्थात लाइन का मिलान किया जाता है), जिस स्थिति में प्रतिबाधा, लाइन की विशिष्ट प्रतिबाधा तक कम हो जाती है जिससे

$Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }=Z_{0}\,$

सभी $\ell$ और सभी $\lambda$ के लिए।

कम

File:Transmission line animation open short2.gif

एक खुला-परिपथ लोड (शीर्ष), और एक लघु-परिपथ लोड (नीचे) के साथ संचरण लाइन पर स्थायी तरंगें। काले बिंदु इलेक्ट्रॉनों को निरुपित करते हैं, और तीर विद्युत क्षेत्र को प्रदर्शित करते हैं।

Main article: स्टब

कम भार की स्थिति में (अर्थात् $Z_{\mathrm {L} }=0$), इनपुट प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से काल्पनिक है और स्थिति एवं तरंगदैर्ध्य (आवृत्ति) का एक आवर्ती फलन है।

$Z_{\mathrm {in} }(\ell )=j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell ).\,$

खुला

Main article: स्टब

एक खुले भार की स्थिति में (अर्थात् $Z_{\mathrm {L} }=\infty$), इनपुट प्रतिबाधा एक बार पुनः काल्पनिक और आवर्ती है।

$Z_{\mathrm {in} }(\ell )=-j\,Z_{0}\cot(\beta \ell ).\,$

व्यावहारिक प्रकार

समाक्षीय केबल

Main article: समाक्षीय केबल

समाक्षीय लाइनें लगभग सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगों को केबल के आतंरिक क्षेत्र तक सीमित कर देती हैं। इसलिए समाक्षीय लाइनें नकारात्मक प्रभावों के बिना मुड़ी और घूर्णित (सीमाओं के अधीन) हो सकती हैं, और उनमें अवांछित धाराओं को प्रेरित किए बिना उन्हें प्रवाहकीय समर्थन के लिए बंधित किया जा सकता है। कुछ गीगाहर्ट्ज़ तक के रेडियो-आवृत्ति अनुप्रयोगों में, तरंग केवल अनुप्रस्थ विद्युत और चुंबकीय अवस्था (टीईएम) में प्रसारित होती है, जिसका अर्थ है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों प्रसार की दिशा के लंबवत हैं (विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय और चुंबकीय क्षेत्र परिधीय है)। हालांकि, उन आवृत्तियों पर अन्य अनुप्रस्थ अवस्थाएँ प्रसारित हो सकती हैं, जिसके लिए तरंग दैर्ध्य (विसंवाहक) केबल की परिधि से काफी कम होती है। इन अवस्थाओं को दो समूहों, अनुप्रस्थ विद्युत (टीई) और अनुप्रस्थ चुम्बकीय (टीएम) तरंग निर्देश अवस्थाओं में वर्गीकृत किया गया है। जब एक से अधिक अवस्थाएँ उपलब्ध हो सकती हैं, तो केबल ज्यामिति में मोड़ और अन्य अनियमितताएँ, विद्युत को एक अवस्था से दूसरे अवस्था में स्थानांतरित करने का कारण बन सकती हैं।

कई मेगाहर्ट्ज़ की बैंडविड्थ के साथ टेलीविजन और अन्य संकेतों के लिए उपयोग, समाक्षीय केबलों के सबसे सामान्य उपयोग हैं। 20वीं सदी के मध्य में उन्होंने लंबी दूरी के टेलीफोन संयोजन लिये।

तलीय लाइनें

Main article: तलीय संचरण रेखाएँ

तलीय संचरण लाइनें चालकों, या कुछ स्थितियों में विसंवाहक स्ट्रिपों के साथ संचरण लाइनें हैं, जो समतल और पट्टी के आकार की होती हैं। इनका उपयोग मुद्रित परिपथ और माइक्रोवेव आवृत्तियों पर कार्य करने वाले एकीकृत परिपथों पर घटकों को परस्पर संयोजित करने के लिए किया जाता है, क्योंकि ये तलीय प्रकार, इन घटकों के निर्माण की विधियों के साथ सुमेलित हैं। तलीय संचरण लाइनों के कई रूप उपलब्ध हैं।

माइक्रोस्ट्रिप

File:Solec Kujawski longwave antenna feeder.jpg

एक प्रकार की संचरण लाइन जिसे केज लाइन कहा जाता है, जिसका उपयोग उच्च शक्ति, कम आवृत्ति अनुप्रयोगों के लिए किया जाता है। यह एक बड़े समाक्षीय केबल के समान कार्य करता है। यह उदाहरण पोलैंड में एक लॉन्गवेव रेडियो ट्रांसमीटर के लिए एंटीना फीड लाइन है, जो 225 kHz की आवृत्ति और 1200 kW की शक्ति पर संचालित होता है।

Main article: माइक्रोस्ट्रिप

माइक्रोस्ट्रिप परिपथ एक पतले समतल चालक का उपयोग करता है, जो एक समतल तल के समानांतर होता है। माइक्रोस्ट्रिप, एक मुद्रित परिपथ बोर्ड (पीसीबी) या चीनी मिट्टी के अधःस्तर के एक ओर तांबे की एक पट्टी रखकर बनाया जा सकता है, जबकि दूसरी ओर एक सतत समतल तल होता है। पट्टी की चौड़ाई, विसंवाहक परत की मोटाई (पीसीबी या चीनी मिट्टी) और संवाहरोधी परत का विसंवाहक नियतांक, विशिष्ट प्रतिबाधा को निर्धारित करता है। माइक्रोस्ट्रिप एक खुली संरचना होती है जबकि समाक्षीय केबल एक बंद संरचना होती है।

स्ट्रिपलाइन

Main article: स्ट्रिपलाइन

एक स्ट्रिपलाइन परिपथ, धातु की एक समतल पट्टी का उपयोग करता है, जिसे दो समानांतर समतल तलों के बीच रखकर दबाया जाता है। अधःस्तर की संवाहरोधी सामग्री एक विसंवाहक का निर्माण करती है। पट्टी की चौड़ाई, अधःस्तर की मोटाई और अधःस्तर की सापेक्ष पारगम्यता पट्टी की विशिष्ट प्रतिबाधा को निर्धारित करती है, जो कि एक संचरण लाइन है।

समतलीय तरंग निर्देश

Main article: समतलीय तरंग निर्देश

एक समतलीय तरंग निर्देश में एक केंद्र पट्टी और दो आसन्न बाह्य चालक होते हैं, ये तीनों समतलीय संरचनाएँ होती हैं जो एक ही संवाहरोधी अधःस्तर पर एकत्रित होती हैं और इस प्रकार उसी समतल ("समतलीय") में स्थित होती हैं। केंद्र चालक की चौड़ाई, आंतरिक और बाह्य चालकों के बीच की दूरी और अधःस्तर की सापेक्ष पारगम्यता, समतलीय संचरण लाइन की विशिष्ट प्रतिबाधा को निर्धारित करती हैं।

संतुलित लाइनें

Main article: संतुलित लाइन

संतुलित लाइन, एक संचरण लाइन होती है जिसमें एक ही प्रकार के दो चालक होते हैं, और तल एवं अन्य परिपथों के बराबर प्रतिबाधा होती है। संतुलित लाइनों के कई प्रारूप हैं, जिनमें ट्विस्टेड पेयर, स्टार क्वाड और ट्विन-लीड सबसे सामान्य हैं।

घूर्णित युग्म

Main article: घूर्णित युग्म

घूर्णित युग्म सामान्यतः स्थलीय टेलीफ़ोन संचार के लिए उपयोग किए जाते हैं। ऐसे केबलों में, कई युग्म एक ही केबल में दो से लेकर कई हज़ार तक एक साथ समूहबद्ध होते हैं। इस प्रारूप का उपयोग इमारतों के अंदर डेटा नेटवर्क वितरण के लिए भी किया जाता है, लेकिन संचरण लाइन प्राचलों के दृढ़ता से नियंत्रित होने के कारण केबल अधिक महंगा होता है।

स्टार क्वाड

Main article: स्टार क्वाड केबल

स्टार क्वाड एक चार-चालकों वाली केबल है जिसमें सभी चार चालकों को केबल अक्ष के चारों ओर एक साथ घुमाया जाता है। इसे कभी-कभी 4-तार टेलीफोनी और अन्य दूरसंचार अनुप्रयोग जैसे दो परिपथों के लिए उपयोग किया जाता है। इस विन्यास में प्रत्येक युग्म दो गैर-आसन्न चालकों का उपयोग करता है। अन्य बार इसका उपयोग ऑडियो अनुप्रयोग और 2-तार टेलीफोनी जैसी एकल, संतुलित लाइनों के लिए किया जाता है। इस विन्यास में दो गैर-आसन्न चालक, केबल के दोनों सिरों पर एक साथ और अन्य दो चालक भी एक साथ निलंबित होते हैं।

जब इसका उपयोग दो परिपथों के लिए किया जाता है, तो दो अलग-अलग घूर्णित युग्म वाले केबलों के सापेक्ष अप्रासंगिक संकेत कम हो जाता है।

जब इसका उपयोग एकल, संतुलित लाइन के लिए किया जाता है, तो केबल द्वारा उठाया गया चुंबकीय हस्तक्षेप आभासी पूर्ण सामान्य अवस्था संकेत के रूप में उपलब्ध होता है, जिसे युग्मन ट्रांसफॉर्मरों द्वारा आसानी से निष्कासित किया जाता है।

घूर्णित, संतुलित संकेतन और चौगुने प्रतिरूप के संयुक्त लाभ उत्कृष्ट ध्वनिक प्रतिरक्षा प्रदान करते हैं, और विशेष रूप से कम संकेत स्तर के अनुप्रयोगों जैसे माइक्रोफ़ोन केबल के लिए एक विद्युत केबल के बहुत करीब स्थापित होने पर भी लाभदायक होते हैं। इससे होने वाली हानि यह है कि स्टार क्वाड, दो चालकों के संयोजन में, सामान्यतः समान दो-चालक घूर्णित और परिरक्षित ऑडियो केबल की क्षमता को दोगुना कर देता है। उच्च धारिता के कारण दूरी बढ़ने पर विकृति बढ़ती है, और उच्च आवृत्तियों की हानि अधिक होती है।

ट्विन-लीड

Main article: ट्विन-लीड

ट्विन-लीड (प्रतरूप-लीड) में एक सतत विसंवाहक द्वारा अलग रखे गए चालकों का एक युग्म होता है। चालकों को एक ज्ञात दूरी से अलग रखने से, ज्यामिति निर्धारित हो जाती है और लाइन की विशेषताएँ दृढ़ता से सुसंगत होती हैं। यह समाक्षीय केबल की तुलना में कम हानि है क्योंकि ट्विन-लीड की विशिष्ट प्रतिबाधा सामान्यतः समाक्षीय केबल की तुलना में अधिक होती है, जिससे कम धारा के कारण प्रतिरोधक हानि कम होती है। हालांकि, यह हस्तक्षेप के लिए अधिक संवेदनशील होती है।

लेचर लाइनें

Main article: लचर लाइनें

लेचर लाइनें समानांतर चालकों का एक रूप है जिसका उपयोग अति-उच्च आवृत्ति में अनुनादी परिपथ बनाने के लिए किया जा सकता है। ये एक सुविधाजनक व्यावहारिक प्रारूप होते हैं जो मिश्रित-तत्व मॉडल (एचएफ/वीएचएफ में प्रयुक्त) और अनुनादी गुहाओं (यूएचएफ/अधिक-उच्च आवृत्ति) के बीच के अंतर की पूर्ति करते हैं।

एकल-तार लाइन

टेलीग्राफ संचरण के लिए पहले असंतुलित लाइनों का उपयोग अधिक किया जाता था, लेकिन संचार का यह रूप अब अनुपयोगी हो गया है। केबल घूर्णित युग्म के समान होते हैं, जिसमें कई कोर एक ही केबल में बंधे होते हैं लेकिन प्रति परिपथ केवल एक चालक प्रदान किया जाता है और कोई घूर्णन नहीं होता है। एक ही मार्ग के सभी परिपथ, भूसम्पर्कित धाराओं के लिए एक उभनिष्ठ मार्ग का उपयोग करते हैं। एकल-तार भूसम्पर्कित धाराओं का विद्युत शक्ति संचरण कई स्थानों पर उपयोग में है।

सामान्य अनुप्रयोग

संकेत हस्तांतरण

विद्युत संचरण लाइनों का उपयोग अधिक व्यापक रूप से लंबी या छोटी दूरी पर उच्च आवृत्ति संकेतों को न्यूनतम विद्युत हानि के साथ प्रसारित करने के लिए किया जाता है। टेलीविज़न या रेडियो एरियल से संग्राहक तक डाउन लीड इसका एक व्यावाहारिक उदाहरण है।

संचरण लाइन परिपथ

Main article: वितरित-तत्व परिपथ

प्रतिबाधा मिलान परिपथ, फिल्टर, शक्ति-विभाजक और दिशात्मक युग्मकों सहित संचरण लाइनों के साथ परिपथ की एक बड़ी विविधता का निर्माण भी किया जा सकता है।

चरणबद्ध संचरण लाइन

See also: तरंग निर्देश फ़िल्टर § प्रतिबाधा मिलान

File:Segments.jpg

चरणबद्ध संचरण लाइन का एक सरल उदाहरण जिसमें तीन खंड होते हैं।

व्यापक सीमा प्रतिबाधा मिलान के लिए एक चरणबद्ध संचरण लाइन का उपयोग किया जाता है। इसे श्रेणीक्रम में जुड़े संचरण लाइन के कई भागों के रूप में माना जा सकता है, जिसमें प्रत्येक एकल तत्व की विशिष्ट प्रतिबाधा $Z_{\mathrm {0,i} }$ होती है। इनपुट प्रतिबाधा को श्रृंखला संबंध के क्रमिक अनुप्रयोग से प्राप्त किया जा सकता है:

$Z_{\mathrm {i+1} }=Z_{\mathrm {0,i} }\,{\frac {\,Z_{\mathrm {i} }+j\,Z_{\mathrm {0,i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })\,}{Z_{\mathrm {0,i} }+j\,Z_{\mathrm {i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })}}\,$

जहाँ $\beta _{\mathrm {i} }$, संचरण लाइन के $\mathrm {i}$-वें खंड की तरंग संख्या है और $\ell _{\mathrm {i} }$ इस खंड की लंबाई है, $Z_{\mathrm {i} }$ अग्र-सिरे की प्रतिबाधा है, जो $\mathrm {i}$-वें खंड को लोड करती है।

File:PolarSmith.jpg

एक संचरण लाइन के साथ प्रतिबाधा परिवर्तन चक्र जिसकी विशिष्ट प्रतिबाधा $Z_{\mathrm {0,i} }$ इनपुट केबल $Z_{0}$ की तुलना में छोटी है और परिणामस्वरूप, प्रतिबाधा वक्र $-x$-अक्ष की ओर केंद्रित होता है। इसके विपरीत, यदि $Z_{\mathrm {0,i} }>Z_{0}$, तो प्रतिबाधा वक्र $+x$ अक्ष की ओर केंद्रित होना चाहिए।

क्योंकि प्रत्येक संचरण लाइन खंड की विशिष्ट प्रतिबाधा $Z_{\mathrm {0,i} }$ प्रायः चौथी इनपुट केबल ( ऊपर दिए गए आरेख के बाईं ओर केवल तीर चिह्नित $Z_{0}$ के रूप में प्रदर्शित किया गया है) की प्रतिबाधा $Z_{0}$ से भिन्न होती है, प्रतिबाधा परिवर्तन चक्र स्मिथ चार्ट के $x$-अक्ष के साथ केंद्रित है, जिसका प्रतिबाधा प्रतिनिधित्व सामान्यतः $Z_{0}$ के विरुद्ध सामान्यीकृत होता है।

स्टब फिल्टर

See also: वितरित-तत्व फ़िल्टर § स्टब बैंड-पास फिल्टर

यदि एक लघु-परिपथ या खुले-परिपथ में, संचरण लाइन को बिंदु A से बिंदु B तक संकेत हस्तांतरण करने के लिए उपयोग की जाने वाली लाइन के समानांतर तार लगाया जाता है, तो यह एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है। स्टब को बनाने की विधि, अपरिपक्व आवृत्ति मापन के लिए लेचर लाइनों के उपयोग की विधि के समान है, लेकिन यह 'उत्क्रम क्रम में कार्य करती है'। एक एरियल से संकेत देने वाले फीडर के साथ समानांतर में तारित संचरण लाइन की एक खुला-परिपथ लंबाई लेना, ग्रेट ब्रिटेन रेडियो संस्था की रेडियो-संचार विवरण पुस्तिका में सुझाई गई एक विधि है। संचरण लाइन के मुक्त सिरे को काटकर, एक संग्राहक पर प्राप्त संकेत की न्यूनतम शक्ति को प्राप्त किया जा सकता है। इस स्तर पर स्टब फिल्टर, इस आवृत्ति और विषम संनादियों को अस्वीकार कर देता है, लेकिन अगर स्टब के मुक्त सिरे को छोटा किया जाता है तो स्टब एक फिल्टर बन जाता है, जो सम संनादियों को अस्वीकार कर देता है।

विस्तृत फिल्टर, कई स्टबों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। हालाँकि, यह कुछ हद तक दिनांकित तकनीक है। समानांतर-लाइन अनुनादकों जैसे अन्य तरीकों से अत्यधिक सघन फिल्टर बनाए जा सकते हैं।

स्पंद उत्पादन

संचरण लाइनों का उपयोग स्पंद उत्पादकों के रूप में किया जाता है। संचरण लाइन को आवेशित करके और फिर इसे एक प्रतिरोधक भार में अनावेशित करके, लाइन की विद्युत लंबाई के दोगुने के बराबर एक आयताकार स्पंद, हालांकि आधे विभवान्तर के साथ प्राप्त किया जा सकता है। ब्लमलीन संचरण लाइन एक संबंधित स्पंद बनाने वाली युक्ति है, जो इस सीमा को पार करता है। इन्हें कभी-कभी रडार ट्रांसमीटरों और अन्य उपकरणों के लिए स्पंदित शक्ति स्रोतों के रूप में उपयोग किया जाता है।

ध्वनि

ध्वनि तरंग प्रसार का सिद्धांत गणितीय रूप से विद्युत चुम्बकीय तरंगों के समान है, इसलिए संचरण लाइन सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग ध्वनिक तरंगों के संचालन के लिए संरचनाओं के निर्माण के लिए भी किया जाता है; और इन्हें ध्वनिक संचरण लाइन कहा जाता है।

यह भी देखें

• कृत्रिम संचरण लाइन
• अनुदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय तरंग
• प्रसार वेग
• रेडियो आवृत्ति शक्ति संचरण
• समय डोमेन परावर्तक

संदर्भ

Part of this article was derived from Federal Standard 1037C.

• Steinmetz, Charles Proteus (27 August 1898). "The natural period of a transmission line and the frequency of lightning discharge therefrom". The Electrical World: 203–205.
• Grant, I.S.; Phillips, W.R. (1991-08-26). Electromagnetism (2nd ed.). John Wiley. ISBN 978-0-471-92712-9.
• Ulaby, F.T. (2004). Fundamentals of Applied Electromagnetics (2004 media ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-185089-7.
• "Chapter 17". Radio communication handbook. Radio Society of Great Britain. 1982. p. 20. ISBN 978-0-900612-58-9.
• Naredo, J.L.; Soudack, A.C.; Marti, J.R. (Jan 1995). "Simulation of transients on transmission lines with corona via the method of characteristics". IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution. 142 (1): 81. doi:10.1049/ip-gtd:19951488. ISSN 1350-2360.
  

अग्रिम पठन

• Honoring of Guglielmo Marconi. Annual Dinner of the Institute at the Waldorf-Astoria. New York: American Institute of Electrical Engineers. 13 January 1902.
• "Using Transmission Line Equations and Parameters". Star-Hspice Manual. Avant! Software. June 2001. Archived from the original on 25 September 2005.
• Cornille, P. (1990). "On the propagation of inhomogeneous waves". Journal of Physics D: Applied Physics. 23 (2): 129–135. Bibcode:1990JPhD...23..129C. doi:10.1088/0022-3727/23/2/001.
• Farlow, S.J. (1982). Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. J. Wiley and Sons. p. 126. ISBN 0-471-08639-8.
• Kupershmidt, Boris A. (1998). "Remarks on random evolutions in Hamiltonian representation". J. Nonlinear Math. Phys. 5 (4): 383–395. arXiv:math-ph/9810020. Bibcode:1998JNMP....5..483K. doi:10.2991/jnmp.1998.5.4.10. S2CID 14771417. Math-ph/9810020.
• "Transmission line matching" (PDF). Department of Electronic and Information Engineering. High Frequency Circuit Design. Hong Kong Polytechnic University. EIE403.
• Wilson, B. (19 October 2005). "Telegrapher's Equations". Connexions. Archived from the original on 9 January 2006.
• Wöhlbier, John Greaton (2000). Modeling and Analysis of a Traveling Wave under Multitone Excitation (PDF). Electrical and Computer Engineering (M.S.). Madison, WI: University of Wisconsin. §"Fundamental Equation" and §"Transforming the Telegrapher's Equations". Archived from the original (PDF) on 19 June 2006.
• "Wave Propagation along a Transmission Line" (Educational Java Applet). Educational Resources. Keysight Technologies. (May need to add "http://www.keysight.com" to your Java Exception Site list.)
• Qian, Chunqi; Brey, William W. (2009). "Impedance matching with an adjustable, segmented transmission line". Journal of Magnetic Resonance. 199 (1): 104–110. Bibcode:2009JMagR.199..104Q. doi:10.1016/j.jmr.2009.04.005. PMID 19406676.

बाहरी संबंध

• "Transmission Line Calculator (Including radiation and surface-wave excitation losses)". terahertz.tudelft.nl. Delft, NL: Technical University of Delft.
• "Transmission Line Parameter Calculator". cecas.clemson.edu/cvel. Clemson, SC: Clemson University.