संख्या

संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4, और आगे हैं।^[1] संख्याओं को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, 5 अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, मूलभूत अंक सामान्यतः अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए संगठित विधि है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है।^[2]^{[lower-alpha 1]} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अतिरिक्त, अंकों ऑर्डर करने के लिए ( क्रमिक संख्या के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि आईएसबीएन के साथ) का उपयोग अधिकांश लेबल के लिए (टेलीफोन संख्या के साथ) उपयोग किया जाता है। सामान्य उपयोग में एक संख्या उस संख्या से स्पष्ट रूप से भिन्न नहीं होती है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, शून्य (0)^[3] ऋणात्मक संख्याएँ,^[4] परिमेय संख्याएँ जैसे कि एक आधा $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , वास्तविक संख्या जैसे कि 2 का वर्गमूल $\left({\sqrt {2}}\right)$ ^[5] को सम्मिलित करने के लिए शताब्दियों से संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,^[6] और पाई( $π$ ) और सम्मिश्र संख्याएं जो −1 (काल्पनिक संख्या) के वर्गमूल के साथ वास्तविक संख्याओं का (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन) विस्तार करती हैं।^[4] संख्याओं के साथ गणना अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ की जाती है, सबसे परिचित, जोड़, घटाव, गुणन, विभाजन (गणित), और घातांक हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, शब्द जो संख्या सिद्धांत, संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अतिरिक्त, संख्याओं का संसार में सांस्कृतिक महत्व है।^[7]^[8] उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अधिकांश अशुभ माना जाता है, और मिलियन त्रुटिहीन मात्रा के अतिरिक्त बहुत अधिक संकेत दे सकता है।^[7] यद्यपि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।^[9] न्यूमेरोलॉजी ने ग्रीक गणित के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।^[9]

19 वीं शताब्दी के समय, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना प्रारंभ कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है। सबसे पहले हाइपरकम्प्लेक्स संख्याएं थी, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन सम्मिलित थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और क्षेत्रों (गणित) के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का विषय है।^[10]

इतिहास

अंक

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।^[11] रोमन अंकों, प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और आज संसार में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली सबसे आम प्रणाली बनी हुई है।^[12]^{[better source needed]} प्रणाली की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।^[12]

संख्याओं का पहला उपयोग

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों को उन पर काटे गए निशानों के साथ खोजा गया है, जो कई लोगों का मानना है कि ये मिलान के निशान हैं।^[13] इन मिलान चिह्नों का उपयोग बीता हुआ समय, जैसे दिनों की संख्या, चंद्र चक्र या जानवरों की मात्रा का अभिलेख रखने के लिए किया जा सकता है।

टैली प्रणाली में स्थानीय मान (आधुनिक दशमलव संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है। किन्तु, टैली प्रणाली को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थानीय मान के साथ पहली ज्ञात प्रणाली मेसोपोटामिया की आधार 60 प्रणाली (सी.-3400 ईसा पूर्व) थी और सबसे पुरानी ज्ञात आधार 10 प्रणाली मिस्र में 3100 ईसा पूर्व की है।^[14]

शून्य

शून्य तारीखों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग 628 ईस्वी तक का है, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया। उन्होंने 0 को एक संख्या के रूप में माना और विभाजन सहित इसमें सम्मिलित संक्रियाओं पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी सम्मिलित है। इस समय तक (7वीं शताब्दी) अवधारणा स्पष्ट रूप से खमेर अंकों के रूप में कंबोडिया तक पहुंच गई थी, और दस्तावेज़ीकरण से पता चलता है कि यह विचार बाद में चीन और इस्लामी संसार में फैल गया।

File:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg

खमेर अंकों में 605 संख्या, 683 ईस्वी से शिलालेख से।दशमलव आकृति के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।

ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त पहला ग्रंथ है जिसमें शून्य का एक संख्या के रूप में उल्लेख किया गया है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को सामान्यतः शून्य की अवधारणा तैयार करने वाला पहला माना जाता है। उन्होंने ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे "शून्य प्लस एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है, और एक ऋणात्मक संख्या प्लस शून्य ऋणात्मक संख्या है।" ब्रह्मस्फुटसिद्धांत शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात पाठ है, न कि किसी अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के प्रतीक के रूप में टॉलेमी और रोमन द्वारा किया गया था।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को स्थान-मान प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए। कई प्राचीन ग्रंथों में 0 का प्रयोग हुआ हैं। बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका उपयोग किया। मिस्रियों ने डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया। भारतीय ग्रंथों ने शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए संस्कृत शब्द शुन्य या शून्य का उपयोग किया। गणित के ग्रंथों में यह शब्द अधिकांश संख्या शून्य को संदर्भित करता है।^[15] इसी प्रकार, पाणिनि (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में शून्य (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए औपचारिक व्याकरण का प्रारंभिक उदाहरण (पिंगला भी देखें) देखे।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, चूंकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

अभिलेख बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस संख्या के रूप में 0 की स्थिति के बारे में अनिश्चित प्रतीत होते थे: उन्होंने स्वयं से पूछा "कैसे 'कुछ नहीं' कुछ हो सकता है?" रोचक दार्शनिक के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, 0 और निर्वात की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क देखे। एलिया के ज़ेनो के विरोधाभास भाग में 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या 1 संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक लोगों ने शून्य के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना प्रारंभ किया, एक शेल ग्लिफ़, नई संसार में, संभवतः चौथी शताब्दी ईसा पूर्व किन्तु निश्चित रूप से 40 ईसा पूर्व तक, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया। माया अंकगणित ने बेस 4 और बेस 5 को बेस 20 लिखा।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने आधार 4, बेस 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।^[16]^{[better source needed]}

130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्कस और बेबीलोनियों से प्रभावित होकर, 0 के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था (लंबे ओवरबार वाला एक छोटा वृत्त) साठवाँ अंक प्रणाली के अन्दर अन्यथा अल्फाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था। क्योंकि यह केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में नहीं, किन्तु अकेले उपयोग किया गया था, यह हेलेनिस्टिक शून्य पुरानी संसार में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था। उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) के बाद के बीजान्टिन पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ और 70) में रूपांतरित किया था।

525 तक रोमन अंकों के साथ तालिकाओं में एक और वास्तविक शून्य का उपयोग किया गया था (डायोनिसियस एक्सिगुअस द्वारा पहला ज्ञात उपयोग), किन्तु एक शब्द के रूप में, नुल्ला का अर्थ कुछ भी नहीं है, प्रतीक के रूप में नहीं। जब विभाजन ने शेषफल के रूप में 0 दिया, तो निहिल, जिसका अर्थ कुछ भी नहीं है, का उपयोग किया गया। ये मध्यकालीन शून्य भविष्य के सभी मध्यकालीन कंप्यूटर (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा उपयोग किया गया था। उनके प्रारंभिक, एन का एक पृथक उपयोग, रोमन अंकों की तालिका में बेडे या एक सहयोगी के बारे में 725, एक वास्तविक शून्य प्रतीक द्वारा उपयोग किया गया था।

ऋणात्मक संख्या

ऋणात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की प्रारंभ में मान्यता दी गई थी। गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने की विधि सम्मिलित हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को और काले छड़ का उपयोग ऋणात्मक गुणांक निरूपित करने के लिए किया गया था।^[17] पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ 3 शताब्दी ईस्वी में ग्रीस में था।डायोफेंटस ने अंकगणित में 4x + 20 = 0 (समाधान ऋणात्मक है) के समतुल्य समीकरण का उल्लेख करते हुए कहा कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के समय, ऋण का प्रतिनिधित्व करने के लिए भारत में ऋणात्मक संख्या का उपयोग किया गया था। डायोफेंटस के पिछले संदर्भ पर 628 में ब्राहमस्फुसिद्दान्टा में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की गई थी, जिन्होंने आज के उपयोग में रहने वाले सामान्य रूप से द्विघात फार्मूले का उत्पादन करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया था।चूँकि, भारत में 12 वीं शताब्दी में, भस्कारा II द्विघात समीकरणों के लिए ऋणात्मक मूलें देता है, किन्तु कहता है कि ऋणात्मक मान इस स्थिति में नहीं लिया जाना है, क्योंकि यह अपर्याप्त है;लोग ऋणात्मक मूलों को मंजूरी नहीं देते हैं।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं सेंचुरी तक ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, चूंकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में ऋणात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय 13 द बुक ऑफ द एबाकस, 1202) और बाद में हानि के रूप में (में Flos)। रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी मूलें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची मूलों और झूठी मूलों को भी स्वैप करने का विधि मिला। इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर ऋणात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।^[18] यूरोपीय काम में ऋणात्मक संख्याओं का पहला उपयोग निकोलस चौक्वेट द्वारा 15 वीं सेंचुरी के समय था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में उपयोग किया, किन्तु उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

नवीनतम 18 वीं शताब्दी के रूप में, इस धारणा पर समीकरणों द्वारा लौटे किसी भी ऋणात्मक परिणाम को अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

तर्कसंगत संख्याएँ

दशमलव भिन्न की अवधारणा दशमलव स्थान-मान अंकन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है; ऐसा लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, जैन गणित सूत्र के लिए पाई या 2 के वर्गमूल के दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना को सम्मिलित करना आम है।

यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक काल की है। प्राचीन मिस्रवासियों ने गणितीय ग्रंथों जैसे राइंड मैथमेटिकल पेपिरस और काहुन पेपिरस में परिमेय संख्याओं के लिए अपने मिस्री अंश संकेतन का उपयोग किया। मौलिक ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया।^[19] इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं, जो लगभग 300 ईसा पूर्व के हैं। भारतीय ग्रंथों में सबसे अधिक प्रासंगिक स्थानंग सूत्र है, जिसमें गणित के सामान्य अध्ययन के भाग के रूप में संख्या सिद्धांत भी सम्मिलित है।

दशमलव अंशों की अवधारणा दशमलव स्थान-मान संकेतन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है;लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, नीलन का सूत्र के लिए यह आम है कि अनुकरणीय आई या 2 के वर्गमूल के लिए दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना सम्मिलित करें।^{[citation needed]} इसी प्रकार, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों ने महान आवृत्ति के साथ सेक्सजैमिमल (बेस एंड एनबीएसपी; 60) अंशों का उपयोग किया।

तर्कहीन संख्या

800 और 500 ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित सुलबा सूत्रों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था।^[20]^{[better source needed]} तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण सामान्यतः पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से पाइथागोरसिज़्म हिपपासस के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीअंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।चूंकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे। वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, किन्तु वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अधिकांश रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने से मौत की सजा सुनाई जिससे इस निराशाजनक समाचार को फैलाया जा सके।^[21]^{[better source needed]}

16वीं शताब्दी ने नकारात्मक अभिन्न और अंश (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई। 17वीं शताब्दी तक, गणितज्ञों ने सामान्यतः आधुनिक अंकन के साथ दशमलव अंशों का उपयोग किया। चूंकि, 19वीं शताब्दी तक गणितज्ञों ने अपरिमेय को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग नहीं किया, और एक बार फिर अपरिमेय का वैज्ञानिक अध्ययन किया। यह यूक्लिड के बाद से लगभग निष्क्रिय रहा था।1872 में, कार्ल वीमर स्ट्रैस के सिद्धांतों का प्रकाशन (उनके शिष्य ई। कोसाक द्वारा), एडुआर्ड हाइन,^[22] जॉर्ज कैंटर,^[23] और रिचर्ड डेडेकिंड^[24] के बारे में लाया गया था। 1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के रूप में प्रस्थान के ही बिंदु को लिया था, किन्तु सिद्धांत को सामान्यतः वर्ष 1872 में संदर्भित किया जाता है। वेयरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से साल्वटोर पिंचरेल (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकिंड कट लेखक के बाद के काम (1888) और पॉल टैनरी (1894) द्वारा समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। वेइरस्ट्रास, कैंटर और हेइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, चूंकि डेडेकाइंड ने वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में कट (श्निट) के विचार पर अपना निष्कर्ष निकाला, सभी परिमेय संख्याओं को दो विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग कर दिया। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर,[25] और मेरे द्वारा योगदान प्राप्त हुआ।^[25]

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की मूलों की खोज महत्वपूर्ण विकास था, एबेल -रफिनी प्रमेय (पाओलो रफिनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि वे एनटीएच रूट (केवल अंकगणित संचालन से जुड़े सूत्र (सूत्रों को हल नहीं किया जा सकता है)और मूलें)। इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के विस्तृत समुच्चय (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था। इवरिस्ट गैलोइस (1832) गैलोइस में सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत से बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

अपरिमेय संख्याओं, (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), से निकटता से जुड़े निरंतर अंशों ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया,^[26] और 19 वीं शताब्दी के उद्घाटन में जोसेफ लुइस लैग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया था। अन्य उल्लेखनीय योगदान ड्रुकेंमुलर (1837), कुन्ज (1857), लेम्के (1870), और गुंथर (1872) द्वारा किए गए हैं। रामुस^[27] ने पहले विषय को निर्धारकों के साथ जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन,^[28] अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंथर,^[29] के केटनब्रुकडेटरमिनेंटन के सिद्धांत में बाद के योगदान थे।

ट्रांसेंडेंटल संख्या और रियल

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व^[30] पहली बार जोसेफ लिउविले (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। 1873 में चार्ल्स हरमाइट ने सिद्ध किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में सिद्ध किया कि and ट्रान्सेंडैंटल है। अंत में, कैंटर के पहले बधाई देने वाले सबूत से पता चला कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बहुत अधिक है, किन्तु सभी बीजीय संख्याओं का समुच्चय गिनने योग्य है, इसलिए ट्रांसेंडेंटल संख्याों की बहुत अधिक अनंत संख्या है।

अनंत और infinitesimals

गणितीय अनंत का सबसे पहले ज्ञात अवधारणा यजुर विदाई, प्राचीन भारतीय स्क्रिप्ट में दिखाई देती है, जो बिंदु पर बताती है, यदि आप अनंत से हिस्सा निकालते हैं या अनंत में हिस्सा जोड़ते हैं, तो भी क्या रहता अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का 400 bc तक लोकप्रिय विषय था। उन्होंने एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, हर जगह अनंत और अनंत काल तक अनंत के पांच प्रकारों के बीच भेद किया था। प्रतीक ${\text{∞}}$ अधिकांश अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंत की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया। उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच प्रतिष्ठित किया - आम सहमति यह है कि केवल बाद वाले का सही मान था। गैलीलियो गैलीली के दो नए विज्ञानों ने द्विभाजन अनंत समुच्चयों के बीच एक-से-पत्राचार के विचार पर चर्चा की। किन्तु सिद्धांत में अगली प्रमुख अग्रिम जॉर्ज कैंटर द्वारा किया गया था;1895 में उन्होंने अपने नए समुच्चय सिद्धांत के बारे में पुस्तक प्रकाशित की, जो अन्य चीजों के साथ -साथ, ट्रांसफ़िनाइट संख्या और कंटीनम परिकल्पना को तैयार कर रही थी।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि असीम रूप से बड़ी और अनंत संख्याओं को सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है और इसका उपयोग गैर -मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए किया जा सकता है। हाइपररेल संख्याों की प्रणाली अनंत और अनंत संख्याओं के बारे में विचारों के इलाज की कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है, जो कि आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा अनंत पथरी के आविष्कार के बाद से गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा लापरवाही से उपयोग की गई थी।

इन्फिनिटी का आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रोजेक्टिव ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक, इन्फिनिटी में आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है। किसी दिए गए दिशा में समानांतर लाइनों के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु में परिवर्तित करने के लिए पोस्ट किया जाता है। यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) ड्राइंग में गायब होने के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या

ऋणात्मक संख्याओं की चौकोर मूलों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और अलेक्जेंड्रिया के आविष्कारक बगुले के काम में हुआ 1st century AD, जब उन्होंने पिरामिड के असंभव टुकड़ा की मात्रा पर विचार किया। जब 16 वीं सेंचुरी ने तीसरे और चौथे डिग्री के बहुपदों की मूलों के लिए फार्मूले को बंद कर दिया, तो निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया और गेरोलमो कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए। यह जल्द ही अनुभव किया गया कि ये सूत्र, चाहे कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी ऋणात्मक संख्याओं की चौकोर मूलों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।

यह दोगुना अस्थिर था क्योंकि वे उस समय भी ऋणात्मक संख्याओं पर विचार नहीं करते थे। जब रेने डेसकार्टेस ने 1637 में इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द गढ़ा, तो उन्होंने इसे अपमानजनक माना। (जटिल संख्याओं की वास्तविकता की चर्चा के लिए काल्पनिक संख्या देखें।) भ्रम का और स्रोत यह था कि समीकरण

{(\sqrt{- 1})}^{2} = \sqrt{- 1} \sqrt{- 1} = - 1 </

[1]

[2]

[lower-alpha 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

Anonymous

Search