शेफ़र अनुक्रम

गणित में, शेफ़र अनुक्रम या पॉवरॉइड एक बहुपद अनुक्रम है, अर्थात, बहुपदों का अनुक्रम (p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक उसकी डिग्री के बराबर होता है, जो कॉम्बिनेटरिक्स में अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित स्थितियों को संतुष्ट करता है। इनका नाम इसाडोर एम. शेफ़र के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा

बहुपद अनुक्रम (p_n) निश्चित करें। x में बहुपदों पर एक रैखिक ऑपरेटर Q को परिभाषित करें

$Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.$

यह सभी बहुपदों पर Q निर्धारित करता है। बहुपद अनुक्रम p_n शेफ़र अनुक्रम है यदि रैखिक ऑपरेटर Q अभी परिभाषित शिफ्ट-एक्विवरिएंट है; ऐसा Q तब डेल्टा ऑपरेटर होता है। यहां, हम बहुपदों पर शिफ्ट-एक्विवरिएंट होने के लिए रैखिक ऑपरेटर Q को परिभाषित करते हैं यदि, जब भी f(x) = g(x + a) = T_a g(x) का "शिफ्ट" है, तो g(x), then (Qf)(x) = (Qg)(x + a); यानी, Q हर शिफ्ट ऑपरेटर के साथ आवागमन करता है:T_aQ = QT_a।

गुण

सभी शेफ़र अनुक्रमों का समुच्चय बहुपद अनुक्रमों की अम्ब्रल संरचना के संचालन के तहत समूह है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया हैl मान लीजिए (p_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) और (q_n(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...) बहुपद अनुक्रम हैं, जिनके द्वारा दिया गया है

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.$

तब अम्ब्रल संरचना $p\circ q$ बहुपद अनुक्रम है जिसका nवाँ पद है

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }$

(सबस्क्रिप्ट n p_n में दिखाई देता है, क्योंकि यह उस अनुक्रम का n पद है, लेकिन q में नहीं, क्योंकि यह अनुक्रम को उसके किसी एक पद के बजाय संपूर्ण रूप में संदर्भित करता है)।

इस समूह का समरूपता अवयव मानक एकपद आधार है

$e_{n}(x)=x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\delta _{n,k}x^{k}.$

दो महत्वपूर्ण उपसमूह एपेल अनुक्रमों का समूह हैं, जो वे अनुक्रम हैं जिनके लिए ऑपरेटर Q केवल विभेदन है, और द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह, जो वे हैं जो समरूपता को संतुष्ट करते हैं

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).$

शेफ़र अनुक्रम ( p_n(x) : n = 0, 1, 2, ... ) द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि दोनों

$p_{0}(x)=1\,$

और

$p_n(0)$