परिमाणक (तर्क)

अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणकों के लिए सत्य की तालिका।

गणितीय तर्क में, परिमाणक एक संक्रियक है जो निर्दिष्ट करता है कि प्रेक्ति के क्षेत्र में कितने व्यक्तिगत विवृत सूत्र को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, पूर्व क्रम सूत्र $\forall xP(x)$ में सार्वत्रिक परिमाणक $\forall$ व्यक्त करता है कि डोमेन में सब कुछ $P$ द्वारा निर्दिष्ट गुण को संतुष्ट करता है। दूसरी ओर, अस्तित्वगत परिमाणक $\exists$ सूत्र में $\exists xP(x)$ अभिव्यक्त करता है कि डोमेन में कुछ स्थित है जो उस गुण को संतुष्ट करता है। एक सूत्र जहां एक परिमाणक व्यापक क्षेत्र (तर्क) लेता है उसे परिमाणित सूत्र कहा जाता है। परिमाणित सूत्र में मुक्त चर और बाध्य चर और उस चर के दिग्दर्शन का गुण निर्दिष्ट करने वाला एक उप-सूत्र होना चाहिए।

अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में मात्रात्मक कथन का अनुवाद करने का एक उदाहरण इस प्रकार होगा। कथन को देखते हुए, पीटर के प्रत्येक मित्र या तो नृत्य करना पसंद करते हैं या समुद्र तट पर जाना पसंद करते हैं(या दोनों), मुख्य पहलुओं की पहचान की जा सकती है और परिमाणक सहित प्रतीकों का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है। तो, X को सभी पीटर के मित्रों का समूह है, P(x) विधेय (गणितीय तर्क) x नृत्य करना पसंद करता है, और Q(x) विधेय x समुद्र तट पर जाना पसंद करता है। फिर उपरोक्त वाक्य को औपचारिक संकेतन $\forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))$के रूप में लिखा जा सकता है जिसे पढ़ा जाता है, "प्रत्येक x के लिए जो कि X का सदस्य है, P x पर लागू होता है या Q x पर लागू होता है"।

सूत्र P के लिए कुछ अन्य परिमाणित व्यंजकों का निर्माण इस प्रकार किया गया है,

$\exists {x}\,P$ $\forall {x}\,P$

इन दो अभिव्यक्तियों (ऊपर की परिभाषाओं का उपयोग करके) को पढ़ा जाता है क्योंकि पीटर का एक मित्र स्थित है जो नृत्य करना पसंद करता है और पीटर के सभी मित्र क्रमशः नृत्य करना पसंद करते हैं। भिन्न अंकन में समूह X और समूह सदस्यों x के लिए सम्मिलित हैं:

$\bigvee _{x}P$ $(\exists {x})P$ $(\exists x\ .\ P)$ $\exists x\ \cdot \ P$ $(\exists x:P)$ $\exists {x}(P)$ $\exists _{x}\,P$ $\exists {x}{,}\,P$ $\exists {x}{\in }X\,P$ $\exists \,x{:}X\,P$

ये सभी विविधताएँ सार्वभौमिक परिमाणीकरण पर भी लागू होती हैं। सार्वत्रिक परिमाणक के लिए अन्य विविधताएं हैं

$\bigwedge _{x}P$ $\bigwedge xP$ $(x)\,P$

संकेतन के कुछ संस्करण स्पष्ट रूप से परिमाणीकरण की सीमा का उल्लेख करते हैं। परिमाणीकरण की सीमा सदैव निर्दिष्ट होनी चाहिए; किसी दिए गए गणितीय सिद्धांत के लिए, यह कई विधियों से किया जा सकता है:

• प्रत्येक परिमाणीकरण के लिए प्रेक्ति का एक निश्चित डोमेन मान लें, जैसा कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत में किया गया है,
• प्रेक्ति के कई डोमेन पूर्व से निर्धारित करें और इसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक चर का एक घोषित डोमेन हो, जो उस चर का प्रकार है। यह प्रकार प्रणाली कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषा की स्थिति के अनुरूप है, जहां चरों ने प्रकार घोषित किए हैं।
• स्पष्ट रूप से परिमाणीकरण की सीमा का उल्लेख करें, संभवतः उस डोमेन में सभी वस्तुओं के समूह के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना (या उस डोमेन में वस्तुओं के प्रकार(प्रकार सिद्धांत))।

कोई भी चर किसी अन्य के स्थान पर मात्रात्मक चर के रूप में उपयोग कर सकता है, कुछ प्रतिबंधों के अंतर्गत जिसमें चर प्रग्रहण नहीं होता है। यहां तक ​​​​कि यदि संकेतन प्रकार किए गए चर का उपयोग करता है, तो उस प्रकार के चर का उपयोग किया जा सकता है।

अनौपचारिक रूप से या प्राकृतिक भाषा में, ∀x या ∃x P(x) के बाद या मध्य में प्रकट हो सकता है। औपचारिक रूप से, यद्यपि, प्रतिरूपी चर का परिचय देने वाले वाक्यांश को सामने रखा गया है।

गणितीय सूत्र परिमाणक के लिए सांकेतिक अभिव्यक्ति को प्राकृतिक भाषा परिमाणक के साथ मिलाते हैं जैसे,

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या x के लिए, ...

यहाँ एक x का अस्तित्व है जैसे कि...

कम से कम एक x के लिए, ....

विशिष्टता परिमाणीकरण के लिए संकेतशब्द में सम्मिलित हैं:

ठीक एक प्राकृत संख्या x के लिए, ...

एक और मात्र एक x ऐसा है कि ....

इसके अतिरिक्त, x को सर्वनाम से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए,

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, इसका गुणनफल 2 के साथ इसके योग के बराबर होता है।

कुछ प्राकृतिक संख्या प्रमुख है।

परिमाणकों का क्रम( नीडन)

See also: परिमाणक परिवर्तन

परिमाणकों का क्रम अर्थ के लिए महत्वपूर्ण है, जैसा कि निम्नलिखित दो कथन द्वारा स्पष्ट किया गया है:

प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, एक प्राकृत संख्या s का अस्तित्व होता है जैसे कि s = n^2।

यह स्पष्ट रूप से सत्य है; यह सिर्फ इतना आधिपत्य करता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक वर्ग होता है। अभिकथन का अर्थ जिसमें परिमाणकों का क्रम विपरीत है, भिन्न है:

एक प्राकृत संख्या s का अस्तित्व इस प्रकार है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए s = n^{2 होता है।}

यह स्पष्ट रूप से असत्य है; यह आधिपत्य करता है कि एक प्राकृतिक संख्या है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का वर्ग है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वाक्य विश्लेषण निर्देश देता है कि कोई भी चर बाद में प्रस्तावित किए गए चर का फलन नहीं हो सकता है।

गणितीय विश्लेषण से एक कम नगण्य उदाहरण समान निरंतरता और निरंतर फलन निरंतरता की अवधारणाएं हैं, जिनकी परिभाषा मात्र दो परिमाणकों की स्थिति में विनिमय से भिन्न होती है। वास्तविक संख्याओं से 'R' से 'R' तक के फलन f को कहा जाता है।

• बिंदुवार निरंतर यदि
  $$\forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )$$
• समान रूप से निरंतर यदि
  $$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )$$

पूर्व स्थिति में, δ के लिए चुना गया विशेष मान ε और x दोनों का एक फलन हो सकता है, चरों जो इससे पूर्व हैं। बाद के स्थिति में, δ मात्र ε का फलन हो सकता है(अर्थात, इसे x से मुक्त चुना जाना है)। उदाहरण के लिए, f(x) = x² बिंदुवार संतुष्ट करता है, परन्तु एकसमान निरंतरता नहीं(इसकी ढलान अपरिबद्ध है)। इसके विपरीत, बिंदुवार निरंतरता की परिभाषा में दो प्रारंभिक सार्वभौमिक परिमाणकों को बदलने से अर्थ नहीं बदलता है।

सामान्य नियम के रूप में, एक ही क्षेत्र(तर्क) के साथ दो आसन्न सार्वभौमिक परिमाणकों की अंतर्विनिमय(या एक ही क्षेत्र के साथ दो आसन्न अस्तित्वगत परिमाणकों की अंतर्विनिमय) से सूत्र का अर्थ नहीं बदलता है(यहाँ उदाहरण देखें ), परन्तु अंतर्विनिमय अस्तित्वगत परिमाणक श्रेणी आसन्न सार्वभौमिक परिमाणक इसका अर्थ बदल सकते हैं।

किसी सूत्र में परिमाणकों के नीडन की अधिकतम गहराई को उसका परिमाणक कोटि कहते हैं।

समतुल्य भाव

यदि D x का डोमेन है और P(x) पदार्थ चर x पर निर्भर एक निर्धारक है, तो सार्वभौमिक कथन को

$\forall x\!\in \!D\;P(x)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इस संकेतन को प्रतिबंधित या सापेक्षित या परिबद्ध परिमाणक के रूप में जाना जाता है। समान रूप से कोई लिख सकता है,

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x$