द्वितीय अवकलज

द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।

कलन में, किसी फलन f का द्वितीय अवकलज, या द्वितीय कोटि का अवकलज, f के अवकलज का अवकलज होता है। साधारणतया, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि राशि के परिवर्तन की दर स्वयं किस प्रकार परिवर्तित हो रही है; उदाहरण के लिए, समय के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का तात्क्षणिक त्वरण, या समय के सापेक्ष वस्तु के वेग परिवर्तन की दर है। लीबनिज संकेतन में:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

जहाँ a त्वरण, v वेग, t समय, x स्थिति, और d तात्क्षणिक "डेल्टा" या परिवर्तन है। अंतिम व्यंजक ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ समय के सापेक्ष स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।

किसी फलन के आलेख पर, द्वितीय अवकलज आलेख की वक्रता या अवतलता के संगत होता है। धनात्मक द्वितीय अवकलज वाले एक फलन का आलेख ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाले फलन का आलेख विपरीत प्रकार से वक्रित होता है।

द्वितीय अवकलज घात नियम

प्रथम अवकलज के लिए घात नियम को दो बार प्रयुक्त करने पर द्वितीय अवकलज का घात नियम निम्नानुसार उत्पन्न होता है:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

संकेतन

Further information: अवकलन के लिए संकेतन

किसी फलन $f(x)$ का द्वितीय अवकलज सामान्यतया $f''(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अर्थात्:

$f''=\left(f'\right)'$

अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, स्वतंत्र चर x के सापेक्ष परतंत्र चर y के द्वितीय अवकलज को इस प्रकार लिखा जाता है

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से व्युत्पन्न किया गया है:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

वैकल्पिक संकेतन

जैसा कि पिछले खंड में वर्णन है, कि द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ है। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालाँकि यह अवकलों की एक भिन्न के समान दिखता है, परन्तु भिन्न को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, पदों को निरस्त नहीं किया जा सकता है, आदि। हालाँकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। इसे पहले अवकलज पर भागफल नियम को प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने से निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

$y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$

इस सूत्र में, $du$, $u$ पर प्रयुक्त अवकल संकारक, अर्थात्, $d(u)$ को निरूपित करता है, $d^{2}u$ अवकल संकारक की दो बार प्रयुक्ति, अर्थात् $d(d(u))$ को निरूपित करता है, और $du^{2}$, $u$ पर प्रयुक्त किए गए अवकल संकारक के वर्ग, अर्थात् ${(d}^{}$