जैकोबी बहुपद

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गणित में, जैकोबी बहुपद(कभी-कभी अतिज्यामितीय बहुपद कहा जाता है) $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$ शास्त्रीय लंबकोणीय बहुपदों का एक वर्ग हैं। वे अंतराल $[-1,1]$ पर प्रभाव $(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ के संबंध में लंबकोणीय हैं। गेंगेंबोइर बहुपद, और इस प्रकार लेजेंड्रे बहुपद, ज़र्निके बहुपद और चेबिशेव बहुपद, जैकोबी बहुपद के विशेष स्थितियां हैं।

जैकोबी बहुपद कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।

परिभाषाएँ

हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से

जैकोबी बहुपदों को हाइपरज्यामितीय फलन के माध्यम से निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),$

जहाँ $(\alpha +1)_{n}$ पोछाम्मेर का प्रतीक है(बढ़ते तथ्यात्मक के लिए)। इस स्थिति में, हाइपरज्यामितीय फलन के लिए श्रृंखला परिमित है, इसलिए निम्नलिखित अनुरूप अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}$

रोड्रिग्स का सूत्र

रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा एक समतुल्य परिभाषा दी गई है:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}$

अगर $\alpha =\beta =0$, तो यह लीजेंड्रे बहुपदों को कम कर देता है:

$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.$

वास्तविक तर्क के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति

यथार्थ $x$ जैकोबी बहुपद को वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)=\underset{}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$