Y-Δ रूपांतरण

विद्युत अभियन्त्रण में Y-Δ रूपांतरण को वाई-डेल्टा भी लिखा जाता है और इसे कई अन्य नामों से भी जाना जाता है, यह विद्युत नेटवर्क के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए गणितीय तकनीक है। यह नाम परिपथ आरेखों की आकृति से प्राप्त होता है, जो क्रमशः अक्षर Y और ग्रीक कैपिटल लेटर Δ की भाँति दिखता हैं। यह परिपथ परिवर्तन सिद्धांत 1899 में आर्थर एडविन केनेली द्वारा प्रकाशित किया गया था। यह तीन-चरण विद्युत शक्ति परिपथ के विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

Y-Δ रूपांतरण को तीन प्रतिरोधों के लिए स्टार-मेश रूपांतरण की विशेष स्थिति माना जा सकता है। गणित में, Y-Δ रूपांतरण वृत्तीय तलीय रेखांकन के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

नाम

File:Theoreme de kennelly2.svg

इसके T-Π प्रतिनिधित्व में रूपांतरण का चित्रण।

Y-Δ रूपांतरण को कई अन्य नामों से भी जाना जाता है, जो अधिकांशतः किसी भी क्रम में सूचीबद्ध दो आकृतियों पर आधारित होते हैं। Y के रूप में वर्णित वाई को T या स्टार भी कहा जा सकता है; डेल्टा के रूप में लिखे गए Δ को त्रिभुज Π (पाई के रूप में वर्णित) या जाल भी कहा जा सकता है। इस प्रकार, रूपांतरण के सामान्य नामों में वाई-डेल्टा या डेल्टा-वाई, स्टार-डेल्टा, स्टार-मेश, या T-Π सम्मिलित हैं।

मूल Y-Δ रूपांतरण

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इस लेख में उपयोग किए जाने वाले लेबल के साथ Δ और Y परिपथ।

रूपांतरण का उपयोग तीन टर्मिनलों वाले नेटवर्क में समानता स्थापित करने के लिए किया जाता है। जहां तीन तत्व सामान्य नोड पर समाप्त होते हैं और कोई भी स्रोत नहीं होता है, तब प्रतिबाधाओं को परिवर्तित कर नोड को समाप्त कर दिया जाता है। तुल्यता के लिए, टर्मिनलों के किसी भी जोड़े के मध्य प्रतिबाधा दोनों नेटवर्कों के लिए समान होनी चाहिए। यहां दिए गए समीकरण जटिल के साथ वास्तविक प्रतिबाधाओं के लिए भी मान्य होते हैं। जटिल प्रतिबाधा ओम में मापी गई मात्रा है जो सामान्य प्रकार से सकारात्मक वास्तविक संख्या के रूप में प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व करती है, और सकारात्मक एवं नकारात्मक काल्पनिक मानों के रूप में विद्युत प्रतिक्रिया का भी प्रतिनिधित्व करती है।

Δ से Y में रूपांतरण के लिए समीकरण

सामान्य विचार यह है कि निम्नलिखित समीकरण द्वारा Δ परिपथ में सन्निकट नोड्स के प्रतिबाधा $R'$, $R''$ के साथ Y परिपथ के टर्मिनल नोड पर प्रतिबाधा $R_{\text{Y}}$ की गणना की जाए।

$R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$

जहाँ $R_{\Delta }$, Δ परिपथ में सभी प्रतिबाधाएँ हैं। इससे विशिष्ट सूत्र प्राप्त होता है-

${\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}$

Y से Δ में रूपांतरण के लिए समीकरण

सामान्य विचार Δ परिपथ में प्रतिबाधा $R_{\Delta }$ की गणना करना है

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}$

जहां $R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$, Y परिपथ में प्रतिबाधा के सभी जोड़े के गुणनफलों का योग है और $R_{\text{opposite}}$, Y परिपथ में नोड की प्रतिबाधा है जो $R_{\Delta }$ के शीर्ष के विपरीत है। विशिष्ट शीर्षों के सूत्र इस प्रकार हैं-

${\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}$

या, यदि प्रतिरोध के अतिरिक्त प्रवेश का उपयोग कर रहे हैं:

${\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}$

ध्यान दें कि सामान्य सूत्र में Y से Δ में प्रवेश का उपयोग, Δ से Y में प्रतिरोध के उपयोग के समान है।

परिवर्तन के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमाण

विद्युत परिपथों में सुपरपोजिशन प्रमेय के परिणाम के रूप में रूपांतरण की व्यवहार्यता दर्शायी जा सकती है। अधिक सामान्य स्टार-मेश रूपांतरण के परिणाम के रूप में प्राप्त संक्षिप्त प्रमाण निम्नानुसार दिया जा सकता है। समतुल्यता इस कथन में निहित है कि तीन नोड्स ($N_{1},N_{2}$ और $N_{3}$) पर प्रयुक्त होने वाले किसी भी बाहरी वोल्टेज ($V_{1},V_{2}$ और $V_{3}$) के लिए, संबंधित धाराएं ($I_{1},I_{2}$ और $I_{3}$), Y और Δ परिपथ दोनों के लिए पूर्णतः समान हैं। इस प्रमाण में, हम नोड्स पर दी गई बाहरी धाराओं से प्रारम्भ करते हैं। सुपरपोज़िशन प्रमेय के अनुसार, धारा के साथ तीन नोड्स पर प्रयुक्त निम्नलिखित तीन समस्याओं के नोड्स पर परिणामी वोल्टेज के सुपरपोज़िशन का अध्ययन करके वोल्टेज प्राप्त किया जा सकता है-

1. ${\displaystyle }$