होलोनोमिक फलन

Further information: पी-पुनरावर्ती समीकरण

गणित में, और विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण में, होलोनोमिक फलन कई चरों का सहज फलन है जो बहुपद गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों की प्रणाली का समाधान है और डी-मॉड्यूल सिद्धांत के संदर्भ में उपयुक्त आयाम स्थिति को संतुष्ट करता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, होलोनोमिक फलन चिकनी फलनों के होलोनोमिक मॉड्यूल का तत्व है। होलोनोमिक फलनों को अलग-अलग परिमित फलनों के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जिन्हें डी-परिमित फलनों के रूप में भी जाना जाता है। जब चरों में शक्ति श्रृंखला होलोनोमिक फलन का टेलर विस्तार होता है, तो या कई सूचकांकों में इसके गुणांकों के अनुक्रम को 'होलोनोमिक' भी कहा जाता है। होलोनोमिक अनुक्रमों को पी-पुनरावर्ती अनुक्रम भी कहा जाता है: वे पुनरावर्ती रूप से बहुभिन्नरूपी पुनरावर्तन द्वारा परिभाषित होते हैं जो पूरे अनुक्रम से संतुष्ट होते हैं और इसके उपयुक्त विशेषज्ञताओं द्वारा एक होलोनोमिक फलन का टेलर विस्तार होता है, इसके गुणांक का क्रम , एक या कई सूचकांकों में, को होलोनोमिक भी कहा जाता है। अविभाज्य स्थिति में स्थिति सरल हो जाती है: कोई भी अविभाज्य अनुक्रम जो बहुपद गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, या समकक्ष रूप से बहुपद गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय अंतर समीकरण, होलोनोमिक है।

चर में होलोनोमिक फलन और अनुक्रम

परिभाषाएं

मान ले $\mathbb {K}$ विशेषता (बीजगणित) 0 का क्षेत्र (गणित) (उदाहरण के लिए, $\mathbb {K} =\mathbb {Q}$ या $\mathbb {K} =\mathbb {C}$) होना चाहिये।

फलन $f=f(x)$ बहुपद उपस्थित होने पर डी-परिमित (या होलोनोमिक) कहा जाता है $0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]$ जैसे कि

$a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0$

सभी एक्स के लिए रखती है। इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $Af=0$ जहाँ

$A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}$

और $D_{x}$ अंतर ऑपरेटर है जो $f(x)$ को $f'(x)$ का माप करता है। $A$ f का विलोपन करने वाला संकारक कहलाता है (का विलोपन करने वाला संकारक $f$ वलय में आदर्श (वलय सिद्धांत) बनाएं $\mathbb {K} [x][D_{x}]$का संहारक कहा जाता है $f$). मात्रा r को विलोपन संकारक का क्रम कहा जाता है। विस्तार से, होलोनोमिक फलन f को क्रम r का कहा जाता है, जब इस तरह के क्रम का विलोपन करने वाला ऑपरेटर उपस्थित होता है।

क्रम $c=c_{0},c_{1},\ldots$ बहुपद उपस्थित होने पर पी-रिकर्सिव (या होलोनोमिक) कहा जाता है $a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]$ जैसे कि

$a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0$

सभी n के लिए रखती है। इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है $Ac=0$ जहाँ

$A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}$

और $S_{n}$ शिफ्ट ऑपरेटर जो मैप करता है $c_0,{}_{}$