हैंकेल आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, हैंकेल आव्यूह (या उत्प्रेरक आव्यूह ), जिसका नाम हरमन हैंकेल के नाम पर रखा गया है, इस प्रकार से यह वर्ग आव्यूह है जिसमें बाएं से दाएं प्रत्येक आरोही विपरीत-विकर्ण स्थिर है, अतः उदाहरण के लिए:

\qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.

इस प्रकार से अधिक सामान्यतः, हैंकेल आव्यूह रूप का कोई भी

n\times n

आव्यूह

A

होता है

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.

अवयवो के संदर्भ में, यदि

A

के

i,j

अवयव को

A_{ij}

से दर्शाया जाता है और

i\leq j

मान लिया जाता है तो हमारे पास सभी

A_{i,j}=A_{i+k,j-k}

के लिए

k=0,...,j-i.

है

गुण

हैंकेल आव्यूह सममित आव्यूह है।
मान लीजिए $J_{n}$ $J_{n}$ , $n\times n$ $n\times n$ विनिमय आव्यूह है। यदि $H$ $H$ एक $m\times n$ $m\times n$ हैंकेल आव्यूह है, तो $H=TJ_{n}$ $H=TJ_{n}$ जहां $T$ $T$ एक $m\times n$ $m\times n$ टोएप्लिट्ज़ आव्यूह है
- यदि $T$ वास्तविक संख्या सममित है, तो $H=TJ_{n}$ के चिह्न तक $T$ के समान आइगेन मान होता है।^[1]
हिल्बर्ट आव्यूह हैंकेल आव्यूह का उदाहरण है।

हैंकेल ऑपरेटर

अतः हिल्बर्ट स्थान पर एक हैंकेल ऑपरेटर (गणित) वह है जिसका आव्यूह ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में एक (संभवतः अनंत) हैंकेल आव्यूह है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक हैंकेल आव्यूह एक आव्यूह है जिसके एंटीडायगोनल के साथ स्थिर मान होते हैं, जिसका अर्थ है कि एक हैंकेल आव्यूह $A$ को सभी पंक्तियों $i$ और स्तंभ $j$ , $(A_{i,j})_{i,j\geq 1}$ . के लिए संतुष्ट होना चाहिए, ध्यान दें कि प्रत्येक प्रविष्टि $A_{i,j}$ केवल $i+j$ पर निर्भर करती है

माना कि संबंधित हैंकेल ऑपरेटर $H_{\alpha }$ है। हैंकेल आव्यूह $A$ दिया गया है , फिर संबंधित हैंकेल ऑपरेटर को $H_{\alpha }(u)=Au$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है .